CC BY
85
УДК 539.3
Л. А. МЕРЖИЕВСКИИ
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск
МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ В УДАРНО-ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССАХ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
На основе модели вязкоупругого тела максвелловского типа, сочетающей преимущества континуального описания с учетом микроструктурных механизмов необратимой деформации, анализируются релаксационные процессы реализующихся при ударном сжатии конденсированных сред. Рассмотрены выделение и затухание упругого предвестника, релаксация касательных напряжений во фронте ударной волны, релаксационные процессы в тонких прослойках и при взаимодействии ударных волн с волнами разрежения, при ударном сжатии пористых и композитных сред, импульсном воздействии интенсивных энергетических пучков.
Ключевые слова: ударное сжатие, упруговязкая среда, релаксация, касательные напряжения.
Получение экспериментальной информации об ударно-волновых процессах осложняется тем, что в них достигаются экстремальные состояния за и на короткие, порядка микросекунд, промежутки времени, поэтому для интерпретации зачастую косвенных результатов и вычисления основных параметров привлекаются модельные представления о свойствах сред. Обычно используются соотношения для плоских стационарных ударных волн, выражающие законы сохранения, полученные в рамках модели сплошных сред. Следует помнить, однако, что ряд процессов, которые принято считать стационарными, может считаться таковыми только после некоторых переходных этапов, связанных с релаксацией определенных параметров среды (касательных напряжений, тепловых потоков и т.д.). В данной работе анализируются некоторые из таких релаксационных процессов, неучет которых при анализе экспериментальных данных может привести к ошибочным количественным результатам и неверным качественным выводам. Для анализа используются модели вязкоупругого тела максвел-ловского типа, хорошо зарекомендовавшие себя в решении ряда задач ударно-волнового деформирования [ 1 — 4]. Модели позволяют сочетать преимущества макроскопического описания в рамках континуального подхода с учетом микроструктурных механизмов необратимых деформаций.
В основе моделей — формулировка основных соотношений, выражающих законы сохранения для упруговязкой сплошной среды максвелловского типа в дифференциальной форме в случае конечных деформаций, приведенная в [5]. Принципиальной особенностью этой модели является включение в определяющие соотношения времени релаксации касательных напряжений в форме непрерывной зависимости от параметров, характеризующих состояние среды. В последующих обобщениях исходной модели учитываются и другие релаксационные
процессы и строятся зависимости для соответствующих времен релаксации. Аналитический вид зависимостей выбирается на основе учета микро-и мезоструктурных механизмов необратимого деформирования.
В случае поликристаллических сред основным микроструктурным механизмом релаксации касательных напряжений является эволюция дислокационного ансамбля. Воспользуемся связью времени релаксации касательных напряжений т со скоростью пластической деформации £ , тогда по формуле Орована
¿£р ¿г
0 № Г,
в которой ер — пластическая деформация, т0 — параметр, который зависит от температуры, Мш, и — плотность подвижных дислокаций и их скорость.
В полимерах происходящие при механических воздействиях релаксационные процессы связаны с различными формами теплового движения структурных элементов полимера, характеризующихся своим спектром времен релаксации. Как всякий термофлуктуационный процесс, релаксация будет характеризоваться энергией активации и., а для соответствующего времени т. можно использовать формулу Больцмана — Аррениуса
=4 е*Рр,/кТ)
где тд.— характерное время релаксационного перехода. Полное время релаксации можно представить в виде суммы слагаемых, соответствующих механизмам релаксации на разных структурных уровнях:
г = Х г, =Х Ты ехрГ и ] .
г
При нагружении полимера возникающие напряжения изменяют величину энергии активации, понижая потенциальный барьер релаксационного перехода. Учет этого обстоятельства приводит к соотношению
т01 ехр
и0,
кТ
где аш — интенсивность касательных напряжений, ад. — эффективный активационный объемом, трактуемый как объем активируемого структурного элемента. В общем случае ад. может рассматриваться как функция температуры и скорости деформации, и. является более сложной функцией характеристик процесса. Анализ основных релаксационных механизмов и предварительные расчеты показали, что в формуле для т достаточно ограничиться двумя слагаемыми.
Необходимые для конкретизации приведенных соотношений параметры выбираются на основе минимизации расхождения решения задачи о динамическом растяжении тонкого стержня с экспериментальными диаграммами деформирования, или другими экспериментальными данными. Детально методики построения зависимостей для времен релаксации описаны в работах [1, 4, 6 — 8].
Другой отличительной особенностью моделей является уравнение состояния среды, включающее удельной внутренней энергии или иного термодинамического потенциала от второго инварианта тензора деформаций. В качестве основы для его построения используются принципы уравнения Ми — Грюнайзена [3, 4, 9]. Один из вариантов уравнения состояния имеет вид
Е(8, Б, 5 ) = Ес (5) + ЕБ (5, Б) + Б, (5,5 ).
Здесь Е, Ес, ЕБ, Е( — полная удельная внутренняя энергия и её упругая, девиаторная и тепловая составляющие соответственно, 8 = Уд /V — отношение начального удельного объема к текущему, Б, 5 — второй инвариант девиатора тензора деформаций и энтропия.
В рамках построенных и реализованных моделей удается учесть и смоделировать следующие релаксационные процессы:
— для кристаллических и полимерных сред — релаксация касательных напряжений;
— для сред пористых и испытывающих полиморфные превращения — релаксация касательных напряжений и удельного объёма;
— для композитов — релаксация касательных напряжений и несовместности деформаций компонентов;
— для термо-упруго-вязких сред — релаксация касательных напряжений и теплового потока.
Известно, что в определенном диапазоне амплитуд ударных волн в материалах, демонстрирующих упругопластичские свойства, происходит расщепление ударной волны на упругий предвестник и пластическую волну. Выделение упругого предвестника и выход расщепляющейся ударной волны на стационарный двухволновой режим — один из рассматриваемых релаксационных процессов. Указанные особенности процесса хорошо передаются в проведенных расчетах распространения ударной ударных волн [1]. Сказанное иллюстрируется на рис. 1, где показаны рассчитанные профили массовой скорости на различные моменты времени
100
80
60
40
20
и, м/с
2
г-
Л V V и
|\ \ 1 \ \ 1 \ \ 1 \ \
1 1 V 1 \ 1 \ 1 1 1 | \ \ V И 1 \г, см
0.2
0.4
0 6
0.8
Рис. 1. Упругий предвестник в прямой и отраженной ударных волнах
в железной пластине. Достаточно наглядно, несмотря на сглаживание фронтов, связанное с наличием аппроксимационной вязкости применявшейся разностной схемы, прослеживается процесс выделения упругого предвестника и установления двухволно-вой конфигурации. Кривая 1 на рис. 1 — экспериментальная зависимость изменения амплитуды упругого предвестника по мере его распространения в железе Армко [10]. Ход кривой полностью соответствует наблюдающемуся в расчете затуханию амплитуды упругого предвестника. Его скорость с хорошей точностью совпадает со скоростью распространения упругих возмущений, вычисленной по известным упругим постоянным металла.
Расщепление ударной волны на упругий предвестник и пластическую волну может происходить и в случае, когда она распространяется по материалу, уже сжатому ударной волной (вторичное сжатие). Это связано с особенностями протекания релаксационных процессов и также воспроизводится в расчетах по использованной модели [1]. В задаче, результаты решения которой приведены на рис. 1, вторичное сжатие реализуется при отражении ударной волны от правой границы расчетной области, имитировавшей жесткую стенку (кривая 2).
Проведенные расчеты хорошо воспроизводят и другой релаксационный процесс, сопровождающий распространение ударных волн — релаксацию касательных напряжений во фронте ударной волны, зависящую от амплитуды ударной волны и непосредственно связанную с шириной зоны ударного перехода. На рис. 2 показана рассчитанная эволюция касательных напряжений для трех амплитуд ударных волн в полиметилметакрилате полиметилметакрилате (1 — упругая волна, 2 — двухволновая конфигурация, 3 — ударная волна большой амплитуды, при которой уже не выделяется упругий предвестник) [4].
Анализ результатов показывает, что ширина фронта стационарной ударной волны зависит от прочностных характеристик материала.
Очень существенна роль релаксационных процессов в переходных явлениях, возникающих в тонких прослойках — изолирующих прокладках, использующихся при установке в образцах
манганиновых датчиков, применяющихся для измерения давления в ударных волнах. При этом даже близость акустических импедансов материалов прокладок и исследуемых образцов не исключает возникновения релаксационного процесса, связанного с разрывом касательных напряжений. Этим же объясняется несимметричная реакция термопарного датчика температуры относительно направления прохождения ударной волны, в результате чего скачок температуры на контактной границе зависит от того, в каком порядке проходит ударная волна по материалам, образующим термопару [11]. Так, на рис. 3 показана эволюция температуры при прохождении плоской ударной волны интенсивностью 40 ГПа через плоскую границу между кон-стантаном и медью (материалы, образующие термопару). Здесь 1 — переход волны из константана в медь, 2 — из меди в константан. Профили массовой скорости, напряжений и плотности при переходе через границу остаются неизменными [11].
Существенную роль играют релаксационные процессы при взаимодействии ударных волн с волнами разрежения. Их особенности рассмотрены на примере одномерной задачи о взаимодействии плоской ударной волны с догоняющей волной разгрузки. На рис. 4 приведены результаты расчета затухания амплитуды ударной волны в полиметил-метакрилате в сравнении с экспериментальными данными, полученными в двух различных постанов-
ках [4]. Сплошная линия соответствует экспериментам 1, пунктир — экспериментам 2. Роль релаксационных процессов во взаимодействии ударных волн с волнами разрежения обсуждалась в [12].
При описании ударного сжатия пористых сред принципиальным является учет не только релаксации касательных напряжений, но и релаксации удельного объема (плотности). В модели [6] построена зависимость времени релаксации удельного объема от параметров, характеризующих состояние среды, с использованием которой удается описать достаточно тонкие эффекты, сопровождающие распространение ударных волн в пористом материале. Например, на рис. 5 приведены рассчитанные профили ударных волн одинаковой амплитуды в средах одинаковой пористости, но с разным характерным размером пор. Расчет показывает, что ширина переходной зоны в этих средах оказывается различной.
В случае композитов, кроме учета касательных напряжений в материалах компонентов, модели дополняются учетом релаксации несоответствия упругих деформаций [7]. Это позволило смоделировать ряд достаточно тонких особенностей ударно-волнового деформирования композитов, например, трехволновую структуру ударной волны. Расчеты адекватно описывают экспериментальные данные
[13].
При импульсном воздействии на материалы интенсивных энергетических потоков (лазерного
1 Рис. 6
и
излучения, ионного или электронного пучка) ударная волна формируется в результате интенсивного испарения и теплового расширения вещества. В этих случаях существенную роль может играть релаксация теплового потока и ограниченность (конечность) скорости передачи тепла. Релаксационные эффекты в таких процессах рассмотрены на основе сформулированной модели термоупру-говязкой среды, включающей гиперболическое уравнение теплопроводности [8]. На рис. 6 результаты расчета затухания амплитуды ударной волны, вызванной воздействием лазерного импульса, по данной модели (кривая 1) сравниваются с экспериментальными данными (точки) и расчетами по гиперболическому уравнению теплопроводности с постоянным значением времени релаксации теплового потока (кривые 2, 3) и по модели упру-гопластического деформирования, учитывающей испарение вещества. Приведенные данные демонстрируют преимущества построенной модели.
Библиографический список
1. Мержиевский, Л. А. Численное моделирование ударно-волновых процессов в металлах / Л. А. Мержиевский,
A. Д. Реснянский // Физика горения и взрыва. — 1984. — № 5. - С. 114-122.
2. Мержиевский, Л. А. Прочностные эффекты в обратной кумуляции / Л. А. Мержиевский, А. Д. Реснянский,
B. М. Титов // Доклады АН СССР. - 1986. - Т. 290, № 6. -
C. 1310-1314.
3. Мержиевский, Л. А. Моделирование динамического сжатия поликристаллического А1203 / Л. А. Мержиевский // Физика горения и взрыва. - 1998. - № 6. - С. 85-94.
4. Мержиевский, Л. А. Моделирование ударно-волнового деформирования полиметилметакрилата / Л. А. Мержиевский, М. С. Воронин // Физика горения и взрыва. — 2012. — № 2. - С. 113-123.
5. Годунов, С. К. Элементы механики сплошной среды / С. К. Годунов. - М. : Наука,1978. - 303 с.
6. Мержиевский, Л. А. Моделирование динамического сжатия пористого железа / Л. А. Мержиевский, А. В. Тя-гельский // Физика горения и взрыва. - 1994. - № 4. -С. 124-133.
7. Мержиевский, Л. А. Моделирование ударно-волновых процессов в однонаправленных композитах / Л. А. Мержиевский, А. Д. Реснянский, Е. И. Роменский // ФГВ. - 1993. -№ 5. - С. 72-75.
8. Merzhievsky, L. A. Wave processes in thermoviscoelastic medium / L. A. Merzhievsky, Y. F. Kondratyev // J. Phys. IV. -1991. - V. 1, C. 3. - P. 503-510.
9. Воронин, М. С. Моделирование ударно-волновых процессов в алюминии с использованием малопараметрического уравнения состояния при нешаровом тензоре деформаций / М. С. Воронин, Е. И. Краус, Л. А. Мержиевский // Известия Алтайского гос. ун-та. Математика и механика; управление, вычислительная техника и информатика; физика. - 2014. -Т. 81. - № 1. - С. 32-35.
10. Тейлор, Дж. У. Динамика дислокаций и динамическая текучесть / Дж. У. Тейлор // Механика : сб. пер. - 1966. -Т. 98. - № 4. - С. 145-152.
11. Мержиевский, Л. А. Релаксационные эффекты в термопарных измерениях температуры при ударном сжатии металлов / Л. А. Мержиевский, А. Д. Реснянский // Доклады IV Всесоюз. совещания по детонации. - 1988. - Т. 2. -С. 20-26.
12. Мержиевский, Л. А. О выборе модели для описания затухания ударных волн в металлах / Л. А. Мержиевский, А. Д. Реснянский // Физика горения и взрыва. - 1983. -№ 1. - С. 99-105.
13. Мержиевский, Л. А. Динамическое сжатие модельного однонаправленного композита / Л. А. Мержиевский, О. А. Нижников // Физика горения и взрыва. - 1993. -№ 5. - С. 76-80.
МЕРЖИЕВСКИЙ Лев Алексеевич, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник. Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 11.09.2015 г. © Л. А. Мержиевский
Книжная полка
51/О-92
Охорзин, В. А. Теория управления : учеб. для вузов по специальности «Прикладная математика» и направлению «Прикладная математика» / В. А. Охорзин, К. В. Сафонов. - СПб. : Лань, 2014. - 223 с.
В учебнике рассматриваются модели и методы автоматического и оптимального управления системами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями на основе передаточных функций, частотных методов, методов вариационного исчисления, принципа максимума, динамического программирования и метода моментов. Теория сопровождается многочисленными примерами и программами в системе МаГСАБ. Алгоритмы управления иллюстрированы примерами задач управления орбитами геостационарных спутников.
Предназначен студентам высших учебных заведений, обучающимся по направлениям подготовки «Информатика и вычислительная техника», «Прикладная математика», а также всем, кто интересуется применением методов классического и оптимального управления.
