CC BY
11Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова 2011, №3
Немировский Ю. В., д-р физ.-мат. наук, проф.,
Ажермачев А. В., асс.
Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин)
РАСЧЕТ ДЕРЕВЯННЫХ ФЕРМЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ НЕОДНОРОДНОСТИ СВОЙСТВ*
nemirov@itam.nsc.ru
Разработана методика расчета элементов деревянных ферменных конструкции при учете естественных особенностей дерева, связанных с его разносопротивляемостью растяжению-сжатию, и неоднородностью свойств вдоль ствола дерева.
Ключевые слова: деревянные конструкции, фермы, неоднородность свойств, нелинейные деформации
Древесина вследствие своего органического происхождения относится к анизотропным материалам. Различие в свойствах древесных пород и неоднородности свойств материала каждой породы связано с различием анатомического строения клеток ранней и поздней древесины, характером спирального расположения фибрилл, распределением влаги, климатических условий роста, особенностями почвенных оснований и даже особенностями преимущественного проявления ветровых нагрузок. В связи с этим дерево, как конструкционный материал обнаруживает ряд особенностей деформирования и разрушения, которые к настоящему времени не изучены в полной мере.
На основе многочисленных и разнообразных испытаний образцов малых объемов и размеров установился взгляд, что древесина является ортотропным и однородным телом и на его основе развиты методы расчетов элементов деревянных конструкций [1 - 4]. В то же время
а+ (в) = Д+ (& + а; (4)е2 а (в) = А- (4)е + А2 (4)е2. где А± (£), А± (£) - коэффициенты аппроксимации диаграмм деформирования образцов, вырезанных на разных расстояниях £ от комля ствола дерева (знак "+" означает растяжение, "-" - сжатие). Немногочисленные обнаруженные в литературе данные [1 - 5] показывают, что модули упругости, пределы прочности, плотность
экспериментально установлено, что вдоль ствола дерева в направлении от комля к вершине свойства деревянных образцов существенно изменяются [1, 5] и образцы в условиях растяжения и сжатия обнаруживают различные свойства нелинейного деформирования. Таким образом, изделие из дерева при больших его линейных размерах в реальных условиях нагружения будет вести себя, как неупругое и неоднородное тело, что должно быть учтено при разработке расчетных методик.
Правильный учет естественной неоднородности продольных свойств древесины позволит приспособить ее к конкретным условиям работы конструкций упростить технологию и трудоемкость изготовления, снизить отходы пиломатериалов. В связи с этим, учитывая свойство раз-носопротивляемости образцов при растяжении и сжатии, как и в [6, 7], примем следующие зависимости между напряжениями и деформациями.
в > о, а; > о, а2+ < о, в < о, а; > о, а2 > о,
(1)
для различных пород деревьев практически линейно уменьшаются в направлении от комля к вершине. В связи с этим для коэффициентов А Д А2 в выражениях (1) и пределов прочности можно принять зависимости
А; (£) = А, (1 - , к± > о, А,, = А,е4", с? < о, (1 = 1, 2) (2)
а*±(£) = а± (1 - г±£) или а± (£) = а±* ехр(-г±£), (3)
л± 1 ± л± ± ± ± ± л± 1 ± ± ±
где А1, , А1, с , а0», Г , Г - константы. ны константы Аш, ^ , а0», г - для линейных
На основе обработки имеющихся данных зависимостей (2) и (3) для древесины уральской
[1 - 5] (аппроксимация экспериментальных дан- сосны ных методом наименьших квадратов) определе-
A = 1,637• 105 кг/см2; = 2,002• 10~2кг/(см2 м); =-5,536-106кг/см2; к2+ = 6,451-10~2 кг/(см2 м); = 1075 кг/см2; r+ = 1,389 • 102 кг/(см2 м); A- = 1,404 • 105 кг/см2; к{ = 1,718 • 10"2 кг/(см2 м); A- = 1,147 • 107 кг/см2; к~= 4,914• 10"2кг/(см2 м); ст- =-427,8кг/см2; zf = 1,389• 10~2кг/(см2 м).
Рисунок 1. Графики изменения аппроксимирующих коэффициентов Аг± и А2± вдоль ствола дерева для древесины уральской сосны:
1200 1000 800 600 400
а - график изменения коэф. А1 ; б - график изменения коэф. . Ь
ov , кг 1см2
растяжеш <е
0
Рисунок 2. График изменения пределов прочности вдоль ствола дерева для древесины уральской сосны
± а7±
Графики изменения коэффициентов а] , а2 и пределов прочности <у* ("+" - растяжение, "-" - сжатие) по длине ствола от комля (£ = 0) к вершине приведены на рис. 1, 2 соответственно.
При проведении специальной целевой программы испытаний эти зависимости могут быть уточнены.
Соотношения (1), (2), (3) позволяют исследовать на примерах ряда простейших стержневых конструкций из дерева влияние неоднородности на их несущую способность и деформационную податливость.
Рассмотрим случай центрального растяжения-сжатия деревянного стержня. Если деревянный брус использован в качестве колонны (рис.3), то уравнение равновесия для него будет иметь вид:
^ -y(£)F (х) = 0, N(x) = a(x)F (x) ,(4)
dx
где
( й Л
у(£) = Уо 1 -- £ или у(£) =Уов-^ (5)
I Уо )
у0 - удельный вес древесины в окрестности комля, с1, - константы, £- координата, отсчитываемая вдоль ствола дерева от комля к вершине, £0 - координата начального среза ствола в районе комля, х - текущая координата вдоль оси колонны, ^(х) - площадь поперечного сечения колонны. Координата £ изменяется в пределах длины ствола 0 < £ < /0, где 10 - длина ствола дерева.
Рисунок 3. Расчетная схема колонны Если I - длина колонны, то х = £-£, когда направление осей х и £ совпадают и х = -£ + £0+1, когда направление осей х и £
противоположны. Если площадь поперечного сечения ^(х) известна, то интегрируя уравнение (4) при учете зависимостей (5) и граничного условия
=-р (6)
для напряжения ст(х) получим выражение
а
а (х) =
N ( х ) F g)
N (х) = -
P + | yg)F gd
(7)
Деформация сжатия колонны в соответствии с законом (1) будет иметь выражение
dU (х) £ (Л) =-;-= (( Л) ,
dx
(8)
р- (х) = -
А—
N ( х)
2A-(g) \A-g)F(g у 2А- g)
А—
,(9)
откуда для перемещения нагруженного конца колонны, получим
I
и-(I) = (х)Ж. (10)
о
Для проекта "равнопрочной" колонны, где в любом сечении по длине колонны достигается предел прочности при учете неоднородности свойств для напряжений а (х) следует принять равенство
а (х) = а*(£) , (11)
Подставляя напряжения (11) в уравнения равновесия (4) для площади ^(х) получим уравнение
d ln ( F (х)а- g) ):
7(g)
dx а* (£)
интегрируя его с учетом граничного условия (5), получим
^(х)а*- (£) = -Р ехр [ dx. (12)
Уравнение для перемещения такого стержня будет иметь вид
dU- (х) dx
= (2( х)■■
(2( х) =--AL(gL .
(2( ) 2А2(g) у
а* (х)
A- g)
+
A- g) - A- (g)
(13)
и перемещение нагруженного конца такой колонны будет определяться равенством
U-(l) = jWх)^ •
(14)
Расчет ферменных конструкций рассмотрим на примере треугольной фермы (рис. 4) по методике описанной в [9].
Рисунок 4. Треугольная ферма Обозначим:
х:, = х; У, = У; U = ^ ; V = V, р
P
F,„
х
х
i . Т7 _ km . _ Pkm . „ _ km
тл ; km r^ ; гkm — ; km — ;
km
P0 F0
ро
где X, У - координаты ьго узла фермы; Ui, V - компоненты перемещения /-го узла фермы вдоль оси х и оси у соответственно; х0, Р0 - обезразмеривающие параметры; , ры,
сы - соответственно площадь, плотность и удельная стоимость материала ^га-стержня фермы, , р0, с0 - соответственно площадь
стержней, плотность материала и удельная стоимость материала эталонной фермы.
Определим безразмерную длину и направляющие косинусы стержней фермы:
4т =>/(Хт - Хк )2 + (Ут - Уи )2 ; (15)
ркт = ; 7km = • (16)
L
L
кт кт
Усилия в стержнях фермы определяются методом вырезания узлов.
Деформация стержней фермы:
(Um - Uk )(хт - хк ) + (Vm - Vk )(^ - Л )
l
(17)
km
Если элементы фермы неравнопрочны, то напряжения в них определяются равенствами
аkm (gkm) т-^ , m \ • (18)
kmvr>kmJ
Для стержней постоянного сечения имеем
Fkm gkm ) = Fkm = COnSt •
2
0
2
Учитывая закономерности деформирования (1) для деформаций стержневых элементов рас-
сматриваемой фермы получим выражения
'кт
(Хкт ) = Ркт (Хкт ) = —
А
(,£кт) -р
1(кт) кт
(кт)(£кт) ^
А
%кт)
24
— ^ кт (£кт )
1 (£кт )
(кт) )
А—
(19)
( кт )
При известных значениях деформаций стержней, учитывая условия закрепления фермы, путем интегрирования нетрудно определить удлинение стержней фермы (20), а затем перемещения узлов.
/кт
икт (/кт ) =\ Ркт (Хкт )-Хкт (20)
0
При проектировании равнопрочной фермы для напряжений в элементах фермы будем иметь выражения
^*(км) = —^0*(кт) (1 — Г1(кт)£кт )
или
^»(кт) = —^0*(кт) еХР (—Г2(кт)£кт ) , (21)
Подставляя эти выражения в (19) получим соответствующие формулы для деформаций. В этом случае площади сечения элементов фермы будут определяться выражениями
^кт (£кт ) = | | = ^кт (£кт ) . (22)
£1кт
В ^ / ^кш (£кт ) Укт (£кт )—£кт ,
£0кт
£1кт
С = ^ Скт ^ ^кт (£кт )Укт (£кт )—£к
(23)
где Укт (£кт ) = У0кт (1 - -кт£Ы ) - удельный вес породы дерева соответствующей ^га-стержню.
В качестве примера рассмотрим расчет треугольной фермы изображенной на рис.4.
Длина фермы - / = 9 м ; высота фермы -Н = 0,25/; узловые нагрузки: р = 8 т , Р = 8 т, р = 8 т, Р = 10 т, р = 30 т, х0 = / .
Таблица 1
*( кт)
№ узла А1 А2 Аз А4 А5 Аб А7
Хг 0 0 1/3 1 1/3 1 2/3 1 2/3 1 1
Уг 0 н 0 2/3 Н 0 1/3 н 0
Общий вес и стоимость ферменной конструкции будут определяться равенствами
Выражения для определения усилий в стержнях фермы:
М + ^24 - Р. дг _ -М35 ( А5У34 - Р3УУ35 ) - ^36 (РзбУз4 - Р34У36 ) .
^ 12 = ' ^13 =
N14 =
У12 (А4У13 -^13У34 )
N34 (Р34У24 - Р24У34 ) - N46 (Р46У24 - Р24У46 ) - Р2Р24 .
(Р24У14 -РУ )
ы _ N34 (Р34У,4 Р14У34 ) , N46 (Р46У14 ~ Р14У46 ) ^
^ 24 =--—-:--— + ——-:--— + ■
Р2Р14
(Р24У14 - Р14У24 ) (Р24У14 - Д4У24 ) (Р24У14 - Р14У24 )
н =_^35(Р35Г13^Ру)-Ы36 (Р36У13 ~Р13У36 ) .
34 (Р34У13 Р13У34) (Р34У13 -Д3У34) '
ж =_N5IÍР5Zy5iZpy5LР4(РР4У56 ~Р56Ур4) .
35 (Р56У35 Р35У56) (Р56У35 "^56) '
д, _ N56 (Р56У46 - Р46У56 ) - N¡7 (Р6пУ46 - Р46У67 ) - Р3Р46 . "36 =
; ^ = N2
24
N =-
» АЛ
(Р46У36 Р36У46 )
N^56 (Р5бУ36 Р3бУ56 ) | N67 (Р67У36 Р3вУ67 )
Р3Р36
(Р46У36 - Р36У46 ) (Р46У36 - Р36У46 ) (Р46У36 - Р36У46 ) '
н = -^57 (Р57У35 - Р3ъУ57 ) - Р4 (РР4У35 - Р35Ур4 ) . 56 (Р56У35 Р35У56 ) ;
N57 =
Р5Р67
(Р67У57 Р57У67 )
N67 =-
Р5Р57
(Р57 У57 -Р57У67 ) '
Для определения узловых перемещений, запишем деформации стержней фермы, используя выражение (3), получаем систему линейных уравнений, число которых равно количеству стержней фермы. По условиям закрепления узлы А , А и А ограничены в смещениях:
й = о; й2 = о; V = о .
Решая полученную систему уравнений, определяем горизонтальные и вертикальные перемещения узлов Ui, V .
За эталонную конструкцию примем ферму, стержни которой изготовлены из сосны, площадь стержней одинакова и подобрана по наиболее нагруженному стержню. Перемещения узлов эталонной фермы определялись из условия, что зависимость между напряжениями и деформациями квадратичная (1). Вес эталонной фермы равен В0 = 44о, 8 кг площадь стержней
равна р = 3о1,7 см2.
Фермы разделены на два вида: первый вид - фермы, стержни которой изготовленные из «комлевой» части ствола дерева (= о); второй - фермы, стержни которой изготовленные из «вершинной» части ствола (= ¡0 — ¡ы,
¡0 = 6 м).
Расчеты ферм проведены при следующих условиях:
1) сечения стержней фермы подобраны из условия прочности, зависимость между напряжениями и деформациями квадратичная, модули упругости и пределы прочности не изменяются
по длине стержня, причем пределы прочности равны «расчетным» значениям
(а; = Ю3о кг/см2, а— = 41о кг/см2);
2) сечения стержней фермы подобраны из условия прочности, зависимость между напряжениями и деформациями квадратичная, модули упругости переменны по длине стержня, пределы прочности равны минимальным значениям по длине ствола (о < ¡0)
(а*(£)тп = 985 кг/см2, |а— (£)\ = 392 кг/см2),
I 1тт
расчеты выполнены для двух видов ферм;
3) сечения стержней фермы подобраны из условия равнопрочности, зависимость между напряжениями и деформациями квадратичная, модули упругости и пределы прочности переменны по длине стержня, расчеты выполнены для двух видов ферм.
Безразмерный вес проектируемых конструкций будем искать в виде:
В„
вР =—-* В
(24)
где 5 - номер вида фермы, р - номер условий расчета.
Результаты расчетов представлены в таблицах 1, 2. В таблице 2 приведены усилия, длины и площади стержней ферм (для ферм в которых сечения стержней подобраны из условия равнопрочности приведены максимальные (начальные) площади стержней), в таблице 3 приведены перемещения узлов.
Таблица 2
Усилия, длины и площади стержней фермы
№ стержня , кг ¡т, б/р В0 = 440,8кг вп = 0,404 в12 = 0,423 в13 = 0,396 в23 = 0,413
Ркт ,см2 Ркт ,см2 Ркт ,см2 Ккт ,см2 ,см2
1-2 22667 0,250 301,69 22,010 23,01 21,09 22,24
1-3 84000 0,333 301,69 81,55 85,28 78,14 81,54
1-4 -25342 0,373 301,69 61,81 64,65 59,23 61,49
2-4 -63221 0,344 301,69 154,2 161,28 147,77 153,99
3-4 9000 0,167 301,69 8,74 9,14 8,37 8,93
3-5 120000 0,333 301,69 116,5 121,83 111,63 116,48
3-6 -37108 0,344 301,69 90,51 94,66 86,74 90,39
4-6 -86585 0,344 301,69 211,18 220,88 202,38 210,9
5-6 10000 0,083 301,69 9,71 10,15 9,3 10,03
5-7 120000 0,333 301,69 116,5 121,83 111,63 116,48
6-7 -123693 0,344 301,69 301,69 315,54 289,12 301,29
Таблица 3
Перемещения узлов фермы, см
№ узла А1 А2 Аэ А4 Аз Ав а7
В0 U, см 0 0 0,577 -0,493 1,425 -0,557 2,274
V, см -21,253 -21,141 -20,798 -20,769 -17,562 -17,545 0
в11 U, см 0 0 2,748 -1,991 5,497 -1,348 8,245
V, см -53,708 -51,647 -54,761 -53,387 -45,283 -44,596 0
в12 U, см 0 0 2,536 -1,79 5,072 -1,177 7,608
V, см -49,03 -47,131 -49,991 -48,727 -41,337 -40,706 0
в22 U, см 0 0 2,56 -1,824 5,12 -1,213 7,68
V, см -49,691 -47,769 -50,666 -49,383 -41,898 -41,256 0
в13 U, см 0 0 2,833 -2,096 5,666 -1,457 8,498
V, см -55,876 -53,731 -56,979 -55,535 -47,13 -46,4 0
в23 U, см 0 0 2,647 -1,906 5,294 -1,28 7,941
V, см -51,587 -49,617 -52,593 -51,289 -43,483 -42,836 0
Расчеты ферм выполнены при длине ствола /0 = 6 м, увеличение длины ствола дерева существенно влияет на вес ферм, стержни которой изготовленные из «вершинной» части ствола и подобраны из условия равнопрочности. Например, если вес треугольной равнопрочной фермы при /0 = 6 м равен В13 = 175,4кг (в13 = 0,396) и
В23 = 182,1кг (в23 = 0,413) и разница составляет 3,8% (6,7кг), то при /0 = 9 м В13 = 175,4кг (в13 = 0,396), а В23 = 190,5кг (в23 = 0,432), разница достигает 8,6% (15,1кг).
Проведенные расчеты показывают, что при учете реальных особенностей древесины можно получить при заданном уровне нагружения проекты с улучшением качественных характеристик по весу. Вес и перемещения узлов фермы зависят от того из какой части ствола дерева изготовлены стержни фермы. Фермы, стержни которой изготовленные из «комлевой» части ствола, выигрывают по весу у ферм, чьи элементы выполнены из верхней части стволов деревьев, а по деформативности проигрывают.
*Работа выполнена по гранту РФФИ №11-08-00186а.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Леонтьев, Н.Л. Упругие деформации древесины/ Н.Л. Леонтьев - М.-Л.: Гослесбум-издат, 1952.- 117с.
2. Митинский, А.Н. Упругие постоянные древесины как ортотропного материала/ А.Н. Митинский: Труды ЛТА. - № 65. - Л., 1949.
3. Ашкенази, Е.К. Анизотропия древесины и древесных материалов/ Е.К. Ашкенази -М.: Лесная промышленность, 1978. 222с.
4. Филимонов, Э.В. Конструкции из дерева и пластмасс/ Э.В. Филимонов, Л.К. Ермоленко, М.М. Гаппоев - М.: Изд-во ассоциации строительных вузов, 2004. - 438с.
5. Иванов, Ю.М. О деформациях и напряжениях в древесине, как неоднородном материале/ Ю.М. Иванов: Труды Института леса АНСССР. - т. IV. - М.-Л.: Изд. АНСССР, 1949.
6. Немировский, Ю.В. Расчет и рациональное проектирование деревянных стержневых элементов/ Современные проблемы совершенствования и развития конструкций в строительстве и на транспорте // Ю.В. Немировский: Труды III Междунар. науч.-техн. конф. - Самара: Изд-во СамГАСУ, 2005. - с. 247-251.
7. Мищенко, А.В. Расчет и проектирование деревянных стержневых систем с учетом физической нелинейности/ А.В. Мищенко, Ю.В. Немировский// Строительная механика и расчет сооружений. -2007.- № 6. - с. 46-52.
8. Белов, С.В. Ветер - главный фактор, определяющий форму стволов деревьев и их устойчивость/ Лесоводство, лесные культуры и почвоведение// С.В. Белов: Межвузовский сб. науч. тр. / Ленинградская лесотехническая академия им. С. М. Кирова. - Вып. III. - Л., 1974. -с. 3-24.
9. Немировский, Ю.В. Синтез плоских ферменных конструкций/ Проблемы оптимального проектирования конструкций // Ю.В. Немировский: Сб. докл. IV Всероссийского семинара - Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 2002. - с. 274-281
