Расчет частот оболочек вращения с использованием параллельных вычислений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 329-331

329

УДК 534.121+004.4

РАСЧЕТ ЧАСТОТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

© 2011 г. В.Л. Тарасов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

vl-tarasov@yandex.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Для распараллеливания вычислений при расчете собственных частот оболочек вращения предлагается строить отдельные общие решения разрешающей системы дифференциальных уравнений на нескольких участках оболочки с последующей стыковкой решений для определения постоянных интегрирования. Задачи расчета собственных частот для различных волновых чисел независимы и распараллеливаются непосредственно. Реализация параллельных вычислений выполнена с использование библиотеки МР1СН2. Приведены результаты численных экспериментов.

Ключевые слова: собственные частоты, волновые числа, оболочка вращения, распараллеливание вычислений, система обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задачи расчета колебаний осесимметричных оболочечных конструкций в линейной постановке могут быть сведены к краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка путем разложения в ряд Фурье по окружной координате [1]:

У=А(х, X, т)у, 0< х< I. (1)

Здесь у — вектор из 8 неизвестных, описывающих напряженно-деформированное состояние оболочки, штрих обозначает дифференцирование по меридиональной координате х; А(х, X, т) — квадратная матрица коэффициентов системы, X — параметр, пропорциональный собственной частоте, т — число волн в окружном направлении в форме колебаний. В качестве основных неизвестных У! , У2 , Уз , У4 , У5 , У6 , У7 , У8 удобно выбрать величины, пропорциональные соответственно: сдвиговому усилию в срединной поверхности, меридиональному изгибающему моменту, меридиональному усилию, поперечному усилию, перемещению в окружном направлении, углу поворота нормали к срединной поверхности, перемещению в меридиональном направлении и нормальному перемещению точек срединной поверхности.

Граничные условия задаются на левом (х = = 0) и правом (х = I) торцах оболочки:

ИьуХ0) = 0, Нку(1)= 0. (2)

Здесь Нь , Нк — матрицы коэффициентов граничных условий размером 4x8 на левом (Ь) и правом (К) торцах оболочки.

Алгоритм решения краевой задачи (1), (2) состоит в следующем. Строится набор из 4-х линейно независимых решений, удовлетворяющих системе (1) и граничным условиям слева. Составляется линейная комбинация с произвольными коэффициентами этих решений, в результате чего получается общее решение системы (1), удовлетворяющее краевым условиям слева. Это общее решение подставляется в краевые условия на правом конце, получается система уравнений для нахождения произвольных постоянных. В случае расчета собственных частот система для определения постоянных интегрирования будет однородной и будет иметь ненулевое решение при равенстве нулю определителя системы, значение которого зависит от параметра X. Значения X, обращающие в нуль этот определитель, дают значения собственных частот. Форма колебаний, соответствующая найденной собственной частоте, определяется с точностью до постоянного множителя. Для вычисления формы колебаний нужно выбрать некоторое ненулевое начальное условие, удовлетворяющее краевому условию на левом конце, и решить задачу Коши для системы (1) при найденном параметре собственной частоты X. Выбор ненулевого начального условия всегда возможен, так как краевое условие на левом конце представляет систему 4-х уравнений относительно 8 неизвестных. Таким образом, численное решение краевой задачи (1), (2) сводится к многократному интегрированию системы дифференциальных уравнений (1) с различными

330

В.Л. Тарасов

начальными условиями. Для ускорения расчетов естественно применение современных программных и аппаратных средств распараллеливания вычислений.

Поскольку решением линейной краевой задачи (1), (2) является линейная комбинация с произвольными коэффициентами линейно независимых частных решений, то очевидной является идея строить параллельно эти частные решения. В случае с системой уравнений теории тонких оболочек такое распараллеливание оказывается невозможным, так как одни частные решения оказываются быстро растущими, а другие — быстро убывающими, в результате чего первоначально независимые решения оказываются фактически зависимыми, что не позволяет определить постоянные интегрирования. Для борьбы с этим явлением можно использовать метод ортогональной прогонки С.К. Году -нова [2], состоящий в том, что система частных решений строится не по отдельности, а совместно и для преодоления «сплющивания» системы векторов решения проводится их ортонормирование через определеннее число шагов интегрирования. Таким образом, при реализации метода ортогональной прогонки невозможно распараллеливание для независимого построения частных решений.

Тем не менее, возможно распараллелить решение линейной краевой задачи (1), (2). Для этого можно начинать построение двух систем независимых решений методом ортогональной прогонки одновременно с обоих торцов оболочки навстречу друг другу, выбирая начальные условия, удовлетворяющие краевым условиям на левом и правом торце. Общие решения для левой и правой части оболочки содержат по 4 постоянные интегрирования. Из условия совпадения решений в точке стыковки решений получается система 8 алгебраических уравнений для нахождения 8 постоянных интегрирования. Построение левого и правого решения можно распределить на 2 процессора. Данный подход можно обобщить, разбивая оболочку на большее число участков интегрирования и используя соответствующее число процессоров. Недостатком такого подхода является увеличения порядка системы уравнений для определения постоянных интегрирования. Общие решения для концевых участков содержат по 4 постоянных

интегрирования, для внутренних — по 8, таким образом, если участков интегрирования будет n > 1, то потребуется определить 8(n — 1) постоянных интегрирования

При расчете собственных частот требуется каким-либо методом найти параметр частоты Х, обращающий в нуль упомянутый выше определитель, что требует многократного решения краевой задачи (1), (2) и многократной пересылки данных между процессорами, вследствие чего эффект от распараллеливания вычислений снижается. При расчете спектра собственных частот для нескольких значений волновых чисел в окружном направлении можно независимо вычислять собственные частоты для каждого волнового числа одновременно на нескольких процессорах.

Изложенный подход к распараллеливанию как отдельной краевой задачи, так и расчетов частот для различных волновых чисел, был реализован для конических оболочек с использованием библиотеки MPICH2 [3] и Visual Studio.

Были проведены численные эксперименты по расчету собственных частот усеченной конической оболочки с параметрами из [4]: торцы оболочки жестко защемлены, радиус большего основания равен 5 радиусам меньшего основания, угол образующей с большим основанием 60°, отношение толщины оболочки к радиусу большего основания 0.003, коэффициент Пуассона 0.3.

В численных экспериментах выполнялось распараллеливание при решении краевой задачи, распараллеливание при вычислении собственных частот для различных волновых чисел и совместное распараллеливание. Использовались компьютеры с одно- и двухъядерными процессорами, соединенные локальной сетью. В качестве примера полученных результатов в таблице приведено время в секундах расчета собственных частот для б волновых чисел при вычислениях с использованием двух процессоров. Видно, что при распараллеливании только по волновым числам сокращение времени составило 35%, а при дополнительном распараллеливании решения краевой задачи время расчетов сократилось на 41%.

При увеличение числа процессоров до б время расчета 6 частот сокращалось до 3 раз.

Таблица

Последовательный алгоритм Распараллеливание по волновым числам Распараллеливание по волновым числам и по решению краевой задачи

0.2265 0.1479 0.1334

Список литературы

1. Кармишин А.В. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. 376 с.

2. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифферен-

циальных уравнений // Успехи матем. наук. 1961. Т. 16, № 3. С. 171-174.

3. MPICH2 home page // http://phase.hpcc.jp/mirrors/ mpi/mpich2/index.htm

4. Кольман Э.Р., Силкин В.Б. Свободные коле -бания конической оболочки при различных граничных условиях // Расчеты на прочность. 1968. Вып. 13.

С. 251-273.

CALCULATION OF THE FREQUENCY OF SHELLS OF REVOLUTION USING PARALLEL COMPUTING

V.L. Tarasov

The parallel calculation of natural frequencies of shells of revolution to construct some general solutions of the resolving system of differential equations in several areas of the shell, followed by docking solutions for the determination of permanent integration is pro-posed. The problems of calculating the natural frequencies for different wave numbers are non-dependent and directly parallelized. The library of MPICH2 is used for the implementa-tion of parallel computation. The results of numerical experiments are presented.

Keywords: natural frequencies, wave numbers, parallel computing system of ordinary differential equations.