CC BY
50
УДК 624.073.11:539.371
РАСЧЕТ БЕТОННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КОЛОНН В СТАЛЬНОЙ ОБОЙМЕ НА СИЛОВЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Э.Д. Чихладзе, профессор, д.т.н.,
А.Г. Кислов, доцент, к.т.н., А.В. Игнатенко, ассистент, ХНАДУ
Аннотация. Рассматривается сталебетонная цилиндрическая колонна кольцевого сечения при силовых воздействиях. Исследуется напряженно-деформированное состояние колонны с учетом трехосного напряженного состояния бетона; определяются контактные силы между бетонным ядром и стальной обоймой; оценивается несущая способность колонны.
Ключевые слова: колонна, стальная обойма, бетонное ядро, силы контактного воздействия.
Введение
Использование бетонных цилиндрических колонн в стальной обойме экономически выгодно и целесообразно при больших нагрузках и ограниченных размерах сечений. К таким конструкциям относятся опоры мостов, колонны станций метрополитенов и др.
Цель и постановка задачи
в)
В работе рассмотрена цилиндрическая сталебетонная консольная колонна, находящаяся под действием равномерно распределенной нагрузки интен-сивностью q и собственной массы (рис.1, а). Отнесем конструкцию, изображенную на рисунке, к коротким колоннам. Это позволяет нам не принимать во внимание изгибающие моменты в поперечных сечениях, возникающие вследствие продольного изгиба. Будем учитывать нелинейность деформирования бетона, работающего в условиях объемного напряженного состояния. Предельные значения среднего напряжения ст и инварианта 51 определяем в соответствии с критерием прочности А.В. Яшина [1]. Пользуясь этой методикой, рассчитываем также значения параметров деформирования бетона Е и V.
Принимаем, что стальная обойма защищена от потери местной и общей устойчивости. Критерием наступления предельного состояния считаем достижение стт по Мизесу [2]. Работу ядра и обоймы в продольном направлении принимаем совместной. Исходя из этого условия определяем долю напряжения, воспринимаемую ядром (qb) и сталью (qst).
Рис. 1. Расчетная схема колонны и ее элементов: а - сталебетонная колонна; б - бетонное ядро радиусом Ш bet; в - стальная обойма радиусом Ш st
Реализация задачи
Для оценки напряженно-деформированного состояния сечения колонны раскрываем контакт между бетоном и сталью. В качестве неизвестных принимаем силы контактного взаимодействия. Для их определения в каждом сечении z = hi (рис.
1, б, в) используем условие равенства перемещений на границе контакта:
X [8* (ШЬе,) -8Л (ШЪе, )]-К _Ъ (*Ъ„) - U st (Шъе,) J = 0
(1)
где Ur Ъ (ШЪе, h
t (ШЪе,) - радиальные переме-
щения на границе от вертикальной нагрузки соответственно в бетонном ядре и стальной обойме; [84 (^4«) -§й (^4«)] - разность перемещений в радиальном направлении точек обоймы ядра от единичной силы; Х1 =1 (рис.1, б, в). В силу осе-
вой симметрии задачи контактные силы Х1 зависят только от координаты г . Эти силы определяются только для сечений г < к, поскольку в нижнем сечении отсутствуют радиальные перемещения. Опишем методику определения перемещений, входящих в уравнение (1). Напряжения в рассматриваемой задаче распределяются симметрично относительно центральной оси г , перпендикулярной плоскости сечения. Составляющие касательно напряжения тг0 и т0г обращаются в нуль вследствие симметрии. Касательное напряжение тгг также может быть принятым равным нулю, если предположить, что поверхность поперечного сечения колонны после деформации остается перпендикулярной всем продольным волокнам [3]. Если pg - масса единицы объема колонны, то объемные силы при действии вертикальной распределенной нагрузки (рис.1, а) равняются
х = у = о, г = pg
и дифференциальные уравнения равновесия принимают вид [5]
^ + = 0; (2)
дг г
5стг
dz
= Pg-
где р - плотность материала, g - ускорение свободного падения.
Составляющие напряжения как функции от перемещений имеют вид [3]
dur ur duz ) dur
—- + — + —- + 2ц~—; (3)
dr r dz , 1 dr
dur ur duz' \ „ ur
—- + — + —- + 2ц—; (4)
dr r dz / r
du u du 1 „ duz
—- + — + —- 1 + 2ц——; (5)
dr r dz / J dz
O = q + Pgz • (6)
Здесь X, ц - коэффициенты Ляме:
x = - £v *
----------, ц =----------
(1 + v)(1 -2 v) 2(1 + v)
Введем для удобства обозначения
Pi =
Рз =
X
4ц(Х + ц)
X
Р2 =
X + 2ц
в4 =
X + 2ц 4ц(Х + ц) 1
2(X + ц)
В бетонном ядре перемещение иг должно удовлетворять следующим граничным условиям:
при r = 0 ur b = 0 ;
при z = h Ur_ь(^bet) = 0 ;
при Z < h Orb (^bet) = °-
(7)
Решение задачи (3) - (6), полученное аналогично [4], имеет вид:
u (r)=-qtI +C(z)I
Ur b (r) ~ j1(r ) ^ 1 2(r) ,
— r r
(8)
где
1
^bet)
[?bl1(^bet)];
Cb (Z) |z<h =--
1
2ц
P2P3 +■
d (12(r)
dr I r
(9)
d (I (r)
qb I вз(1 -2цв1)-2ц-' 1W
dr ^ r
I1 (r) = J rPA, I2 (r) = J rp2dr.
0 0
Соответствующие напряжения имеют вид
о b = qb I Рз(1 - 2цР1) - 2ц^г!^-^ 11 +
dr I r
+Cb (z)2ц| р2рз +
dr I r
(10)
Параметры деформирования, входящие в (7)-(10) относятся к бетонному ядру.
Перемещения в стальной обойме должны удовлетворять таким граничным условиям
при z = h ur_s, («bet) = ur_„ («s,) = 0 (11)
при z = h °r _ s, (^bet) = Or _ t (^S,) = 0 •
Поскольку в обойме «bet < r < , решение (3) -
(5), (11) имеет вид [4]
1
Cs,(z) J rp2dr - q, J rp1dr+(z)
• (12)
Подставив выражение (12) в граничные условия (11), получаем значения констант интегрирования
(г)|г=к = 0,
С„ (г)|г=к = [*„ /,(ЭТЛ) ] (13)
2 (^/)
U
Я, (г) |г<к =-
(14)
С, (г) |г<к =-
«21 О( Г X, + «31
«11 = «1 (КЪе1 ), «12 = «1 (К*,)
«1(г) = 2ЛР2Р3 +
д (12 (г)
дг I г
«21 = «2 (КЪе1 ), «22 = «2 (К*, ) , «2 (г) = -2ц / г2 ,
«31 = «3 (КЪй ), «32 = «3 (Кй ) , (15)
иЬг = ^4 (Г) Т.
(20)
Константу Аь (г) определяем из условия °г (КЪе4) = 1 (сжимающие напряжения считаем положительными). Подставив выражение (20) в (3), получим
стг = -
Е
2(1 -V)
Аь (г) = -
2(1 -V)
Е
Аь (г) = -1,
иЬг = - г , (21)
Е
8ь = иЬг (Къе4) =-ЭТъе,.
Е
«3(г) = Ч»
Р3(1 - 2мА) - 2^ (
дг V г
. (16)
Соответствующие значения напряжений стг ^ получим, подставив (12) в (3):
Определим константы в обойме. Используем во всех выражениях механические характеристики стали. Из (19) следует
и*'г = А,(г) г+В*,(г) 1. (22)
стг « = Ч, | Р3(1 - 2цР1) - 2^-д(| | +
+С, (г) • 2ц| Р2Р3 +-дг (^П-^ О (г)
(17)
Подставив (23) в (3), после преобразований получим
2(1 -V)
1 + V г
Параметры деформирования, входящие в (11) -(17), относятся к стальной обойме.
Напряжение ст0 в обеих задачах получаем из условия равновесия (2):
дстг
ст0 = г~^Т + стг.
дг
(18)
Для определения перемещений 8Ь и 8*, от радиальной нагрузки Х1 = 1 решаем систему уравнений закона Гука (3), (4) с учетом ст г = 0. В результате получаем
гиг = А( г) у + В( г), (19)
Для определения А(г), В(г) используем граничные условия
Отсюда
СТг (Къе4) = -1, СТг (Къе4) = 0.
а*, (г) = 1 -
в, (г) =
Е К -К2 ^ ^ ЛЪе1
1 +V КЪегК2,
Е К2 -КЪе,
Таким образом, для единичного перемещения
8* = тг (КЪе4) получаем
где А(г), В(г) - неизвестные константы интегрирования.
8„ =
К2
(К -КЪе4)Е
(1 -V) Къе4 + (1 + V)
Ка
Къ,
. (23)
Определим константы в бетонном ядре. Используем во всех выражениях механические характеристики бетона. Из (19) в силу ограниченности перемещения при г = 0 следует Вь (г) = 0, т.е.
Подставив значения перемещений (8), (12), (19), (23) в уравнение (1), найдем контактную силу Х1 в каждом сечении г = к и несущую способность колонны.
— «
32
«
«
2
Вывод
Разработан математический аппарат, позволяющий оценить несущую способность цилиндрических сталебетонных колон при силовых воздействиях.
Литература
1. Яшин А.В. Теория деформирования бетона при
простом и сложном нагружениях. Бетон и железобетон. - 1986. - №8. - С.39-42.
2. Чихладзе Э.Д., Арсланханов А.Д. Расчет стале-
бетонных элементов прямоугольного сечения на прочность при осевом сжатии. Бетон и железобетон. - 1993. - №3. - С.13-15.
3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упруго-
сти: / Пер.с англ. - М.: Наука, 1975. - 576 с.
4. Чихладзе Э.Д., Веревичева М.А., Жакин И.А.
Расчет бетонных цилиндрических колонн на силовые и температурные воздействия./ Зб.наукових праць „Ресурсоекономш мате-рiали, конструкций будiвлi та споруди”. -Рiвне. 2003. -Вип.9. - С.359-365.
5. Тихонов А.Н., Самарський А.А. Уравнения
математической физики. - М.: Наука, 1972. - 73 с.
Рецензент: А.Л. Шагин, профессор, д.т.н., ХГТУ-СА.
Статья поступила в редакцию
