CC BY
0Журавлева Н.А.
Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I, зав. кафедры «Экономика транспорта», доктор экономических наук, профессор
Вырков С.А.
Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I, научный сотрудник Научно-исследовательского центра проблем управления на железнодорожном транспорте (НЦПУ ПГУПС)
РАСЧЕТ БАЙЕСОВОГО РИСКА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ПЕРЕВОЗОК
THE BAYES RISK CALCULATION APPLIED TO THE TASKS OF ENSURING OF ECONOMIC
SAFETY OF RAIL TRANSPORTATION
Zhuravleva N.A., Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University, Department of Transport Economics, doctor of economics, professor
Vyrkov S. A., Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University, Researcher of Scientific Research center of management problems on the railways
АННОТАЦИЯ
В статье рассмотрены результаты влияния управленческих решений по обеспечению безопасности железнодорожных перевозок на оптимизацию экономических потерь транспортной компании. Методология исследования построена на основе критерия распознавания влияния вероятностных неизвестных объектов или явлений на систему в целом. Произведен расчет байесова риска при исследовании влияния изменений в обеспечении безопасности железнодорожных перевозок, связанных с ошибками в работе обслуживающего персонала, а также при оценке принимаемых решений по безопасности перевозок со стороны системы управления движением поездов.
ABSTRACT
The article describes the results of the managerial decisions' impact in ensuring the safety of rail transport on the optimization of the economic losses of the transport company. The research methodology is based on the recognition criteria of influence of probabilistic unknown objects or phenomena on the overall system. The calculation of the Bayes risk was made in part of researching of the impact of changes in the ensuring of safety in railway transportations connected with mistakes in the work of attendants, and also in assessment of decisions for the transportation security from the side of train traffic control system.
Ключевые слова: безопасность железнодорожных перевозок, байесов риск, квадратичная функция потерь
Keywords: safety of railway transportation, Bayes risk, quadratic loss function.
Введение
Современные транспортные системы экономически эффективны в том случае, когда наблюдается выраженный прирост маржинального дохода у грузоотправителя и увеличивается доход домашних хозяйств у пассажиров (с учетом роста мобильности населения) при снижении ее стоимости у владельца этой транспортной системы. Этот тезис можно рассматривать в основе экономики и железнодорожных перевозок. При этом, терминология экономической безопасности транспортных систем так же основана на пороговых значениях, обеспечивающих конкурентоспособность транспортных организаций на национальном и международном рынках транспортных услуг.
Целью данной статьи является описание результатов научного исследования оптимизации принятия управленческих решений обеспечения безопасности железнодорожных перевозок, минимизирующих экономические потери.
Объектом исследования является деятельность российской компании перевозчика и владельца инфраструктуры - ОАО «РЖД».
Методология исследования построена на расчете Байесова риска или критерия распознавания влияния вероятностных неизвестных объектов или
явлений на систему (в данном случае перевозок) для обеспечения минимума среднего риска транспортных происшествий. Распознавание представляет собой задачу преобразования входной информации о вероятности наступления различных транспортных происшествий, в качестве которых рассмотрены некоторые параметры, (признаки) распознаваемых образов угроз, в выходную, представляющую собой заключение о том, к какому классу относится распознаваемый образ.
В литературе данная проблема рассмотрена фрагментарно, прежде всего с точки зрения безопасности технических средств, технологии перевозок, пороговых значений экономической безопасности перевозок. [1, а46 ; 4, с. 132] Решение задачи оптимизации управленческих решений роста безопасности железнодорожных перевозок, при минимизации экономических потерь на основе методологии байесова риска представлено впервые.
Любое решение, связанное с изменением параметров работы железнодорожной транспортной системы, может вести за собой определенные риски транспортных происшествий и иных событий, связанных с безопасностью движения поездов [1, с. 20]. Наглядным практическим примером может
служить практика продления срока службы объектов инфраструктуры или подвижного состава. Принятие решения в этой области базируется на экспертных заключениях о возможности дальнейшем эксплуатации технических средств. При этом сама экспертиза проводится с технической точки зрения, то есть на основании результатов диагностики и контроля (дефектоскопии, испытаний, анализа показателей работы и др.). Оценка экономических параметров безопасности движения чаще всего происходит в понятии «возмещение ущерба». В подобных случаях может быть затруднена оценка рисков классическими способами, применяемыми на практике, так как испытуемый объект физически не может отвечать предъявляемым к нему нормативным требованиям функционирования. Возникает необходимость рассмотрения иных подходов к оценке рисков уже на пространстве решений, связанных с обеспечением безопасности движения (БД). Другим примером может служить принятие решения о проведении/не проведении ремонта участка железнодорожного пути в зависимости от пропущенного тоннажа. В случае, когда известна функция потерь в зависимости от состояния технических средств, подобная задача сводится к нахождению такого решения, при котором потери были бы минимальными. Решение указанных задач возможно при нахождении риска (угроз нарушения движения) при помощи байесова подхода.
Большая ценность данного метода, помимо полной методологической завершенности, заключается также в возможности отыскания общей структуры оптимальных правил решения, охватывающей большие классы задач, различающиеся заданием функции потерь и априорных распределений вероятности для параметров принимаемого решения 1.
В том случае, когда статистическое описание наблюдаемых данных х и параметров 1 являются
о
R( x) = j
a ■ x ■
1
(x-mx )
~ 2a2
a
■ V2"
dx =
a
полным, то есть известны их плотности вероятности Р(х | 1) и р(1), принципиально задача нахождения оптимального решения правила достаточно проста. Само оптимальное в этих условиях правило решения называется байесовым [2, с. 59; 3 с. 23]. Из выражения для среднего риска и в силу неотрицательности Р(х) следует, что минимум
среднего риска по р достигается в том случае, если при всяком х интеграл
j R(u | x) ■ <(u | x)du
(1)
л
a
■ V2"
минимален. В силу линейности этого выражения относительно р(и | х) его минимум достигается для вероятностной меры Ф(и | х), целиком сосредоточенной в той точке и = щ = щ (х) , в которой имеет место минимум апостериорного риска Я(и, х) [3, с. 23]..
Всякое решение направлено на достижение какой-то цели, выбирается из ряда возможных альтернатив (конечного или бесконечного) и приводит к некоторым последствиям. При формировании методологии оценки рисков в области экономической безопасности железнодорожных перевозок под К(и | х) в выражении (1) будет пониматься функция потерь ху(х) от принятого решения.
В качестве закона распределения случайной величины рассмотрим закон Гаусса. Для примера рассмотрим влияние линейной и квадратичной функции потерь на значение байесова риска.
Определение риска в области БД при линейной функции потерь.
Определение риска негативных последствий от транспортных происшествий в соответствии с Байесовым подходом для линейной функции потерь сводится к нахождению интеграла следующего вида: ь (х~тх)2
■ е 2ет2 СЫ (2)
л
0
e
0
Наглядным примером для рассматриваемого случая может служить зависимость уровня риска от износа технических средств (рисунок 1). Очевидно,
что с возрастанием износа эксплуатируемого объекта или системы риск возникновения неблагоприятного события (опасного отказа) пропорционально увеличивается.
R
Износ, % 0 100
Рис. 1. Пояснения к расчету Байесова риска при линейной функции потерь.
^ „ х - шх 0 - шх шх
Произведем замену переменной: г =-— , ^ =-— =--—,
а а а
тогда х = г -а +шг; дх = адг а верхний передел:
х Ь - шх
Нижний предел интегрирования при замене г2 =-
переменной приобретет следующий вид: а
Получаем интеграл следующего вида:
R(z) =-. -a- f (z-a + mx)• e 2 dz = . • f (z-a-e 2 + mx - e 2 )dz =
a-V2-n m "v2-n m
a a
b-mx b-mx b-mx b-mx
d a z a z ^ a z ^ ^^ a z
/ 2 / 7т _l i mi ^ 2 a 'a . Г T .¿> 2 ar* i__x i ¿y 2
( j z-a-e 2 dz + jmx e 2 dz) = , a - jze 2 dz + , x j e 2 dz
y/2-n m, m, X 42Л m, 42-
Обозначим:
a a a
b-mx
- 2
a z
a-a a -2
R (z) = . - I z e 2 dz (3)
V2-n
a
b-mx
- 2
a z
a - mx a
R2(z) = . x | e 2 dz (4)
V2 - n
'"x
a
Таким образом, после замены переменной байесовский риск определяется следующим выражением:
b-mx b-mx
a z a z
a-a a a гг
R(z) = R(z) +R(z) = -aa- Ize 2 dz + j e~2 dz
42 ■л ш
а а
л с-—1
Г с-х2 л 1
Интеграл (3) является табличным I X ■ е их =--е . Тогда выражение (3) примет следующий
•I 9. п
2 - с
вид:
tm 2 tm bm
a z a 1 ? 1 ?
vr \ a a e -— a a r --z a-a --z a R (z) = . - J z e 2 dz = . J z e 2 dz = . - (-e 2 | ) =
V2-n m V2-n m V2-n m
a a a
(b-m )2 m? m? (b-mv )2
a a , a -a
г (-e 2-a + e 2-a) = - (e 2-a
л/2-n 42n
Перепишем выражение (4):
b-mx b-mx
a ■ m f -12 1 f -12
R2 (z) = . x J e 2 dt = a - mx - . J e 2 dt (5)
V2-n ^2-n
a a
b-mx
T z2
| а г
, ■ I е 2 в выражении (4) представляет собой интеграл Лапласа: V 2 ■л ш.
-n
"x
a
1 h
F (t)
._ , e 2 dt
V2-n
b-mx
b-mx
2
z
2
z
Перепишем выражение (4) в следующем виде:
b-n
b-n
2
Y a 2 0 a
R2(z) = a^mx ■ . j e 2 dt = ■ . ■( je 2 dt + j e 2 dt)
v2- л m v2 ■ л m о
a
m
1 a ^^ a ^^ - - m
= am ■ j e 2 dt - j e 2 dt) = am ^(F(-x-) - F(0) -
V2 ■л i i a
-- m
- J e
0
т Ь — т т
— ¥(--^) + ¥(0)) = а ■ тх ■ (¥(-^) + ¥(—-))
а а а
Таким образом, байесовский риск при линейной функции потерь (выражение 2) можно рассчитать по следующей формуле:
2 ZL \2
mx (--mx) j
R(x) = . ■ (e 2 a - e 2 a ) - a ■ mx ■ (F(--) + F(—))
V2-л a a
(6)
Проведем анализ влияния стандартного отклонения а и математического ожидания тх на величину риска (рис. 2, 3).
1,4 -| 1,2 -
^ 1
OS
«
а
а 0,8
s
a
«
5= 0,6
т =
I 0,4
0,2 -
о о, чо, о^ г^, оо_ ^ ^ ^ Т ^ Г'1 ^ Т ^ Г'1 ^
о" о" о" >-ч" >-ч" го" го" гл" го" ^т" ^т" ^т" чо" чо" чо" чо" г-" г-" г-" оо" оо" оо" оч" оч" оч" оч"
Величина перевенной х
Рис.2. Влияние стандартного отклонения а на величину риска при стандартном нормальном
распределении (тх=0).
Увеличение стандартного отклонения случай- раза (при х > 6,3). Характер кривых при различных ной величины а в два раза при линейной функции значениях а для рассматриваемого случая не меня-потерь приводит к возрастанию риска также в 2 ется.
2
СГ
-
m
2
0
Величина переменной х
Рис. 3. Влияние стандартного отклонения а и математического ожидания тх на величину риска.
Увеличение величины математического ожидания приводит как к возрастанию риска, так и к незначительному изменению характера кривых. При величине переменной х=7,6 при величине тх=0,2 и а=3 увеличение риска составляет порядка 10 % (с 1,283 до 1,149).
Расчет байесова риска при условии линейной функции потерь и распределенной по нормальному закону исследуемой случайной величины может осуществляться при исследовании состояния экономической безопасности железнодорожных перевозок в зависимости от уровня износа технических средств, при проведении анализа влияния изменений в показателях безопасности движения на величину риска (например, когда наблюдается прирост
числа отказов технических средств). Также такой подход может быть применен в оценке БД в зависимости от изменений нормативных значений эксплуатационных показателей объектов железнодорожного транспорта.
Определение риска в области БД при квадратичной функции потерь.
Примером для рассматриваемого случая можно считать отклонение ширины колеи от нормативных значений (рисунок 4). Очевидно, что с увеличением ширины колеи возрастает и риск возникновения случая схода подвижного состава.
R
в, мм
1520 1548 ^
Рис.4. Пояснения к расчету Байесова риска при квадратичной функции потерь.
Расчет риска транспортных происшествий в соответствии с Байесовым подходом для квадратичной функции потерь сводится к нахождению интеграла:
и
R(x) = Jax2
1
(x-mx )
2-а2
а
•л/2-
dx = ■
a
к
а
•л/2-
x •e
(x-mx) 2
2а2 dx
(7)
к
и
e
о
о
В результате выполнения замен переменных и ряда упрощений в выражении 7 и получим следующую формулу для расчета байесовского риска при квадратичной функции потерь: .2
R( x) =
a-a
V2"n
42-a -a -mv
^-m.)+F (m)) - ^-rn
a a a
2- (b-mx )2
+ ■
Vn
■(e
2-m _2
2 (b-mx)2
- e
) + a-m2x-( F (
b - m.
a
m
----e a ) +
a
m
■) + F (m))
a
(8)
2
a
e
2
a
Определим характер зависимости величины байесова риска от параметров Ь, а и Шх (рисунок 5, 6).
1,2 т
1 н
а
§0,8 н
u =
а 0,6 1
а ' s
т 0,4
s ' ч
<и
И 0,2 -
a=3
a=2
a=1,5
a=1
0, 4, 8, 2,
,2 ,2 ,2 ,3
6, 0, 4, 8, 2, 6, ,0 ,4 ,8 ,2 6, 0, ,4 8, ,2 ,6 0, m" "ч" wt- чо" t-^ t-^ OO- oo" oo" oC oC ©"
Величина переменной x
0
Рис.5. Влияние стандартного отклонения а на величину риска при квадратичной функции потерь
Увеличение стандартного отклонения случай- Характер кривых при различных значениях а для ной величины а в два раза (с 1 до 2) при x > 8,0 при рассматриваемого случая не меняется. квадратичной функции потерь приводит к возрастанию риска более чем на 40 % (с 0,632 до 1,078).
Величина переменной x
Рис.6. Влияние стандартного отклонения а и математического ожидания mx на величину риска при
квадратичной функции потерь.
Увеличение величины математического ожидания приводит как к возрастанию риска, так и к незначительному изменению характера кривых. При величине переменной х=8,6 и а=3, а также увеличении в 2 раза математического ожидания тх (с 0,1 до 0,2) увеличение риска составляет порядка 2 % (с 1,085 до 1,103).
Расчет байесова риска при условии квадратичной функции потерь и распределенной по нормальному закону исследуемой случайной величины может проводиться при исследовании влияния изменений в обеспечении безопасности железнодорожных перевозок, связанных с ошибками в работе обслуживающего персонала, а также при оценке принимаемых решений по безопасности
Примеры решений в области БД в увязке с видом функции потерь в области БД
движения со стороны системы управления железнодорожной отраслью.
Заключение
Представленные выше примеры определения рисков в области безопасности движения поездов на основе байесова подхода могут быть применены для различных решений, связанных с изменениями параметров транспортной системы, которые имеют непосредственное влияние на состояние БД. В таблице 1 приведены примеры подобных решений в увязке с характером функции потерь в области безопасности движения поездов.
Таблица 1
Решение в области БД
Линейная
Вид функции потерь
Квадратичная
Степенная
Продление службы
срока
+
Проведение ремонта участка пути_
+
Изменение эксплуатационных параметров ЖДТ
Сокращение линейного персонала_
Модернизация участка
+
+
+
Методологию байесова риска в вопросах обеспечения экономической безопасности движения поездов необходимо дополнять другими видами функций потерь и различными законами распределения для выбираемых решений, что позволит в дальнейшем повысить объективность и полноту анализа и прогноза уровня аварийности на железнодорожном транспорте.
В целом, в работе получен научный результат, позволивший определить виртуальные априорные вероятности, соответствующие заданной вероятности ошибки первого рода (ложной тревоги), и установлено правило определения порога сравнения достаточной статистики по результатам моделирования решений в области безопасности движения.
Список литературы
1. Журавлева, Н.А. Инфраструктра в системе экономической безопасности России/ Н.А. Журавлева. - СПб.:Изд-во НПК «РОСТ», 2009. -180 стр.
2. Лисенков, В.М. Статистическая теория безопасности движения поездов/В.М. Лисенков. — М.: ВИНИТИ РАН, 1999. - 330 с.
3. Репин, В.Г. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем/ В.Г. Репин, Г.П. Тартаковский. — М.: «Советское радио»,1977.
4. Сафаров, А.В. Определение экономической эффективности мероприятий по обеспечению безопасности движения на железнодорожном транспорте: дис. ...канд. экон. наук:08.00.05/ Сафа-ров Александр Владимирович. — М.: ВНИИЖТ,1990.
