Ранжирование критериев для Парето-оптимальных решений многокритериальных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел IV. Методы искусственного интеллекта

УДК 007.621: 519.8

ЮЛ. Заргарян РАНЖИРОВАНИЕ КРИТЕРИЕВ ДЛЯ ПАРЕТО-ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

В данной статье было уделено внимание ранжированию критериев экспертами с применением бинарных (в общем случае нечетких) отношений. После окончания ранжирования появляется задача принятия решений на основе многокритериального выбора. Данная задача представляет собой задачу скаляризации векторного критерия, как преобразование некоторого множества в интегральный критерий. Решением данной задачи из области Парето будут являться выбор единственного из Парето-оптимальных решений, характеризующим такое состояние системы, при котором значение каждого частного , , положения других элементов.

Ранжирование; критерий; эксперт; оптимальность по Парето.

Yu.A. Zargaryan RANKING CRITERIA FOR PARETO-OPTIMAL SOLUTIONS OF MULTIOBJECTIVE PROBLEMS

In this paper, attention was paid to ranking criteria by experts using the binary (in general, fuzzy) relations. After completing the ranking task appears the decision-making based on multicriteria selection. This problem is a problem scalarization of the vector criterion, the transformation of a set of integral criterion. The solution to this problem in the area will be a Pareto choice of a single Pareto-optimal solutions, describing the state of the system, in which the value of each partial criterion that describes the state of the system can not be improved without deterioration of other elements.

Ranking; criterion; expert, Pareto optimality.

Ранжирование - оценка в ранговой шкале. Под ранжированием критериев f1,f2, fm будем понимать представление ранговой последовательности, в соответствии с убыванием их предпочтительности. Например, семь критериев эксперт может ранжировать следующим образом: (f4;f2; f1, f3; f5 -f7). Ранговая последовательность означает, что самый предпочтительный критерий f4, за ним следует критерий f2, затем идут равно ценные критерии f1 и f3, и, наконец, также равноценны критерии f5, f6 и f7.

Рангом r(a) критерия f в рассмотренном приме ре является номер места, которое критерий занимает в ранговой последовательности (номер места). Для рассмотренного примера критерий f4 получает ранг 1, критерий f2 ранг 2, критерии f1, и f3 - ранг 3, критерии f5, f6 и f7 - ранг 4.

Метод попарного сравнения при ранжировании критериев применим для более достоверного выявления предпочтения эксперта, так как при обычном сравне-

: fi

критерия fj, а критерия fj лучше критерия fk, то и критерий f лучше критерия fk. Метод попарного сравнения такой транзитивности заранее не предполагает.

Например, при выборе критериев /1, /2, ..., /т способ попарно го сравнения состоит в указании большего критерия в каждой возможной паре из множества критериев /1,/2, ...,/т. Может также быть, что оба из критериев в паре равноценны или несравнимы.

В теории множеств [1] известно отношение предпочтения. Рассмотрим применение этого отношения к задаче ранжирования критериев.

Экспертами произведено попарное сравнение критериев из множества

/1, /2, ., /т И в результате получено множество двоек ( /, /у ), [, У = 1,т,[ Ф 7 , в

каждой из которых критерий / предпочтительнее критерия / Например, на множестве критериев /1, /2, ..., /7 экспертами определено отношение предпочтения, графическое задание которого показано на рис. 1. График бинарного отношения на множестве </1,/2, ...,/7> - это подмножество РС</},/2, ...,/7>х</1,/2, ...,/7>, =<</1, />>, </1, /4>, </1, /7>, </2, /4>, </2, /5>, </2, /б>, </3,/>, </з, /2>, </з, /4>, </з, /5>, </з, /б>, </4, /5>, </4, /б>, </5,/>, </5, /б>, </5, /7>, </б, />, </б, /7>, </7, /2>, </7, /з>,

</7, /4>>.

f6

Рис. 1. Графическое задание отношения предпочтения

В результате получено отношение предпочтения <</1,/2, ...,/7>,Р>, причем (//)е Р тогда и только тогда, когда критерий / предпочтительнее критерия /•.

На множестве Р можно задать нечеткое отношение предпочтения,

« /1,/2,...,>,Р > , где график Р содержит множество двоек <<^Р(//)>,<//>>,

I, • = 1, т, I Ф • . Значения степеней предпочтения ^Р(//) задаются экспертами.

Четкое отношение предпочтения порождает многозначное отображение Р/=/\<М>еР}, где Р</> совокупность всех критериев, менее предпочтительных, че м /.

Также нечеткое отношение предпочтения порождает многозначное нечеткое

отображение Р </>={/ \ <<^Р(£/)>,<£/>>е Р }, где Р </> совокупность всех критериев, нечетко менее предпочтительных, че м /. Со степенью принадлежности

Так как задание нечеткого отношения предпочтения на множестве критериев /1,/2, ...,/7 является более общим подходом к задаче ранжирования критериев, то дальнейшее рассмотрение задачи ранжирования критериев будем рассматривать именно в этом аспекте.

Если для нечеткого отношения предпочтения применить операцию нечеткого дополнения

Р1 = { < 1 -Мр( /¡/у ),< >>\<,Мр( А/у ), < // >>е Р},

то получим соотношения <1-,«Р(//),</;/>>, которые означают, что критерий / менее предпочтителен со степенью принадлежности 1-^//), чем кр итерий /.

Может существовать ситуация, в которой критерий / и критерий / являются .

<Мр(/,/•),< /,/• >>е РV

V < 1 -^р(/,/7 ),< /.},/.>>£ Г1, Ц = 1,m, I Ф •

Данная ситуация определяет необходимость введения на множестве критериев /},/2, ...,/7 нечеткого отношения неразличимости ~Р = Р и Р 1 , которое СОСТОИТ из всех тех пар критериев <//>, для которых ни один из критериев / и / нечетко не предпочтительней другого, т.е.

Уу = 1т, Iф • Мр(/1,/]) >< 0,501 -Мр(/,/]) < 0,5.

В практике оценки критериев, при проведении парного сравнения некоторые из них могут быть равнозначными для эксперта, а некоторые - несравнимыми, т.е.

двойки <//> и <//> будут принадлежать 1р .

Может быть так, что некоторые пары критериев <//>,

<ИР(/1,/]),</,/• >>е Р и

< 1 -Мр(/,/•),< /),/>>£ Р4- (1)

Совокупность пар, отвечающих условию (1), образуют нечеткое отношение строгого предпочтения, формально определенного следующим образом:

<Мр-(/,/•),</,/• >>е Р* = Р-РЛ.

, -

ную информацию об оценках в ранговой шкале при попарных сравнениях.

Количественные и балльные измерения критериев содержат больше инфор-, , /1, /2, ., /7. -

тельно знание отношений, позволяет сказать, что лучше критерий /¿чем критерий /,но нельзя сказать, во сколько раз.

В тоже время в практике принятия управленческих решений выводы, делаемые на основе числовых измерений критериев, могут носить и качественный ха, , ,

, .

Качественную информацию о критериях, а также элементах системы полу, , . -ная информация обеспечивает большую надежность вывода, так как часто нет гарантии, что критерии / и / измерены с требуемой точностью, но практически всегда существует гарантия, что значение критерия / больше значения критерия /.

Комплексный анализ критериев, измеренных в разных шкалах, требует осуществления перехода к одному типу данных, числовому или качественному.

Можно свести все критерии к количественному виду за счет сужения множества допустимых преобразований, но в этом случае в качественные критерии вносится новая, искажающая информация.

Возможности теории нечетких множеств [1] и теории возможностей [2] позволяют произвести комплексный анализ критериев путем сведения числовых показателей к качественному виду, переходя к соответствующим нечетким отноше-. , -сообразно применять выводы, как на основе «количественной» обработки результатов измерения критериев, так и на основе «качественной» обработки. Если же эти выводы совпадают, то будет подтверждена их адекватность на основе исход.

В подавляющем числе решаемых практически полезных задач принятия решения существует условие многокритериальное™ - многокритериального выбора. Существует достаточно развитая теория принятия решений при наличии многих критериев [1, 3 и др.], в которой существует понятие оптимального решения по Парето (эффективного решения). Решение считается Парето-оптимальным, «если значение любого из критериев можно улучшить лишь за счет ухудшения значений остальных критериев» [4].

Рассмотрим кратко методы поиска Парето-оптимальных решений для многокритериальных задач и существующие ограничения. Методы направлены на поиск , ,

т.е. ситуацию выбора решения. Модель оперирует с множеством X альтернатив,

, . -

тельности осуществляется при помощи числовых функций /¡,/2, ...,/т, заданных на X. Функции /1,/2, ...,/'т носят названия критерии, показатели качества, критериальные функции, целевые функции и т.д.

Выбор оптимального решения - выбор оптимальной оценки из множества

г-ч/И

достижимых оценок на критериальном множестве Е :

У=/(Х)={уеЕт\у=/(Х), хеХ}, (2)

где в общем случае У=У1хУ2х..., хУт - вектор содержательных оценок.

Если получена векторная оценка у0, то х° - произвольное решение, так что

Лх°)=у0.

Отметим, что в задачах принятия гру пповых решений критерий /, рассматривается как предпочтительность или качество решений г-го, ¡=1, 2, ..., т лица, при. .

Количественное определение критерия применимо, если возможно его численное сравнение [4]. Например, цена изделия является количественным критерием для производства и потребления. Если критерий «цена» изделия выражается функцией /(а), то функция к/(а) (где к - положительное постоянное число) определит тот же критерий в другом, к-кратно измененном масштабе (например, цены в разных ва). /,

на положительную константу, приводит к изменению данного критерия.

С каждым критерием связывают множество допустимых преобразований Ф, , . , преобразованием критерия «цена» являются умножение на положительную константу, что позволяет выполнять сравнение - во сколько раз /(а) больше /(Ь). Функцию <р(х)еФ называют допустимым преобразованием критерия /(х), (хеХ), (/(х)) .

В шкале Ф производят измерения критерия и шкалу называют шкалой отно-,

. ,

масштаб и начало отсчета. Например, запас полуфабриката на предприятии следует измерять в интервальной шкале, так как необходимо фиксировать не только существующий, но и минимально допустимый запас.

Для качественных критериев определена порядковая шкала, для которой множество допустимых преобразований Фп состоит из всех монотонно возрас-, [1]:

Фп ={ф|г1>22^ф(21)>ф(22)}. (3)

Для каждого ^ экспертами может быть определена степень предпочтительности /и^ (х), г = 1,п, исходя из интенсивности проявления некоторого свойства.

Известно [1, 4], что «утверждение о значениях критериев с заданными типами шкал называется осмысленным, или адекватным, если его истинность не изменяется после применения к критериям любых допустимых преобразований, опре». , т

виде линейной свертки F = ^ Ьг/г, где Ъ; - экспертная оценка важности критерия

г=1

¡ь то качественные критерии нельзя применять при решении задач многокритериальной оптимизации [4, 5].

При принятии решений применяют описание предпочтений на основе бинар-

,

объектами заданного множества. Известно [1], что бинарным отношением р на множестве А называется подмножество множества А2=АхА, содержащее упорядоченные пары (а, Ъ), где а,ЪеА. Принадлежность (а,Ъ)ер записывают в виде арЪ. Рассмотрим расширение моделей бинарных отношений на нечетких множествах. Известно [5, 6] задание отношения нечеткого строгого порядка, которое нечет, .

5 = (Л, Ё) - отношение нечеткого строгого порядка на множестве критериев

А={аьа2,...,ап}, а степень строгого порядка цР(а1,а|)>0,5, то критерии связаны отношением нечеткого строгого порядка, причем элемент а, предшествует элементу а|.

Степень совершенно строгого порядка отношения 5 = (Л,Р) определяется как к2(5 ) = к1(5 ) па(§ )соп , где к 1(5) - степень строгого порядка,

а( 8 )соп - степень связности [6].

В работе [7] доказана теорема 1.5, которая применительно к множеству критериев А={а1,а2,.,ап}. Теорема гласит, что если на множестве А задано отношение

нечеткого совершенного строгого порядка 8 = (Л,Р), то существует нечеткая линейная последовательность Р = (Л), нечетко сопряженная с отношением 5 .

А,

представив его нечетко линейно упорядоченным по предшествованию, как множество Р = (Л).

,

цк (х), г = 1,п , определены значения Цр(а1,ар>0,5 щЯ каждой пары (а;,а|), [у = 1,п . Алгоритм ранжирования критериев, для которых существует отношение нечеткого совершенного строгого порядка 5 = (Л,Р), следующий.

Шаг. 1. Выбираем нечетко наименьший критерий из множества Л={а1,а2,.,ап}, удовлетворяющий условию

а( аг) = Пир(Щ,ау) > °. (4)

а у е Л а7 ф аг

Шаг. 2. Случайным образом выбираем некоторый критерий акеА. Если для критерия ак выполняется условие (3), в котором считается, что а^аь то критерий ак -нечетко наименьший. Данный критерий заносим в базу данных, где хранятся пары

а(п) За(п-1), а(п -1)За(п-2),..., а °За(2), а {2За(1), (5)

где индекс вверху обозначает место критерия а по рангу. Затем выполняется переход к шагу 4. При невыполнении условия переходим к шагу 3.

Шаг 3. Если для критерия ак условие (3) не выполняется, то в множестве А ищется другой критерий ар, для которого будет выполняться условие /лР(ар,ак)>0,5. Критерий ар нечетко предшествует критерию ак. Критерий ар исключается из ана-

А .

4. А .

На рис. 2 приведена общая блок-схема алгоритма ранжирования критериев из множества А={ а] ,а2,...,ап}.

Выбор произвольного критерия. Для которого

Организация цикла анализа критериев из множества А={а],а2,... ,ап}

Заполнение базы данных ранжирования критериев

і г

Проверка условия окончания анализа всех критериев из множества А

Рис. 2. Блок-схема алгоритма ранжирования критериев

Субъективные мнения специалистов относительно важности критериев можно определить балльными оценками.

Пример балльной оценки - фактор риска, связан с невыполнением плана поставки некоторого продукта. Для продукта, в зависимости от значения потерь из-за невыполнения плана поставки, добросовестности поставщика, надежности средств

коммуникаций на вербальном уровне, экспертами оценивается степень риска, например: «небольшой риск», «риск в допустимых пределах», «большой риск», «очень большой риск».

Балльная шкала задается дискретным конечным рядом чисел, например, начальный отрезок натурального ряда или часть ряда целых чисел, симметричных относительно нуля (0, ±1, ±2, ..., ±m).

Известно два подхода к получению балльных оценок [4].

При применении первого подхода оценку критериев будем производить согласно заданным эталонам, которые соответствуют градациям выбранной шкалы. С эталонами сравниваются рассматриваемые критерии, но индивидуальные оценки экспертом представляют собой как бы флуктуации реальных значений.

При применении второго подхода при оценке критериев считаем, что нет общепринятых эталонов, а оценки делаются в ранговой (порядковой) шкале так, что множество допустимых преобразований Ф состоит из монотонно возрастающих функций. Ранговые оценки осуществляются из отношения «больше - меньше». Функцию f, измеряющую субъективное предпочтение, называют функцией .

Например, поведение менеджера объясняется, как попытка максимизации функции цены изделия. Поведение менеджера в этом случае хорошо объясняется другой ( , ), результате монотонно возрастающего преобразования первой функции цены.

Ранговое оценивание критериев можно осуществлять не только в числовых терминах, но и применять символы любого упорядоченного множества. Например, 0, 1 - « », « », -дочением символов множества.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Конышева Л.К., Назаров Д.М. Основы теории нечетких множеств. - СПб.: Изд-во Питер, 2011. - 192 с.

2. Пытьев ЮМ. Возможность. Элементы теории и применения. - М.: Изд-во “Эдиториал УРСС”, 2000. - 192 с.

3. Берштейн Л.С., Карелин В.П., Целых А.Н. Модели и методы принятия решений в интегрированных интеллектуальных системах. - Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского университета, 1999. - 278 с.

4. . . : .

- М.: Физматлит, 2002. - 144 с.

5. Ногин В Д. Принцип Эджворта-Парето и относительная важность критериев в случае нечеткого отношения предпочтения // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2003. - Т. 43, № 11. - C. 1676-1686.

6. Заргарян Ю.А., Натаров А.В. Экстремальное управление с нечеткой оптимизацией. Труды Ежегодной научной конференции студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН. - Ростов-на-Дону: Изд-во ЮНЦ РАН, 2009. - С. 130-131.

7. . ., . ., . . -

четкой логикой. - М.: Наука, 1990. - 272 с.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н. профессор Я.Е. Ромм.

Заргарян Юрий Артурович - Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: 88634371689; кафедра систем автоматического управления; ассистент.

Zargaryan Yuri Arturovich - Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: [email protected]; 44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; phone: +78634371689; the department of automatic control systems; assistant.