CC BY
9ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №4
13
Имеем равенство (1 + z)b(1 — z)a = ßi(z) + h(z), где функция
и 1/2
sin Ьтт f (1 -х)а(1 +x)b _ sin атг f (1 + x)b(l - x)a
ßl{z) - J (1 -xz)\x\l+a+b ~ J (1 - xz)xl+a+b -1 1
удовлетворяет условиям теоремы 1, а
h<*> = h / rh^ 121 <2-
\z\=2
поэтому в равномерной метрике на единичном круге она приближается полиномами со скоростью геометрической прогрессии. Согласно лемме 2, порядок рациональной аппроксимации f в Hp совпадает с порядком приближения ßi в Hp, и в силу теоремы 1 асимптотика (64) доказана.
Замечание 3. Теорема 1 при значениях параметра p £ (0,1) доказана в работе [8].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гончар А.А. О скорости рациональной аппроксимации некоторых аналитических функций // Матем. сб. 1978. 105, № 2. 147-163.
2. Andersson J.-E. Rational approximation to function like xa in integral norms // Anal. math. 1988. 14, N 1. 11-25.
3. Пекарский А.А. Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова // Алгебра и анализ. 1995. 7. 121-132.
4. Newman D.J. Quadrature formulae for Hp functions // Math. Z. 1979. 166. 111-115.
5. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
6. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. М.: Наука, 1984.
7. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. Linear functionals on Hp spaces with 0 < p < 1 //J. reine und angew. Math. 1969. 238. 32-60.
8. Мочалина Е.П. Аналитическая продолжимость функций и рациональные приближения в некоторых пространствах: Канд. дис. М., 2006.
Поступила в редакцию 09.07.2007
УДК 517.9
РАНГ, ЖЕСТКОСТЬ ФАКТОРОВ И СЛАБОЕ ЗАМЫКАНИЕ Zn-ДЕЙСТВИЙ,
СОХРАНЯЮЩИХ МЕРУ
В. В. Рыжиков
В работе рассматриваются сохраняющие меру действия группы Zn на вероятностном пространстве Лебега (X, В, ¡л). Действие {5г}, г € Zn, на пространстве (X, ¡) называется жестким, если найдется такая последовательность Wi, что ^^ — с и ¡(А П А) — ¡(А) для любого А € В .В операторной
терминологии последнее можно переписать в виде слабой сходимости I, где 5 : Ь2(Х, В,л) —
Ь2(Х, В,л) обозначает оператор, отвечающий автоморфизму 5, а I является тождественным оператором. Ниже мы рассматриваем последовательности башен Рохлина-Халмоша
и = и Тх Е3, Е3 € В,
с прямоугольными конфигурациями Qj = {0,1,... ,Н\(])}х...х{0,1,... ,Нп(])}, предполагая, что Нт— с, ] — с, 1 < т < п.
14
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №4
Действие [Тх} обладает рангом 1, если существует последовательность таких башен, что для любого
А с д3,
измеримого множества А найдется последовательность множеств Qf С Qj, для которой выполнено
¡(ЛА [J TzEj) — 0.
z^Qf
Пусть {Sz} — некоторое действие группы Zn. Рассмотрим косое произведение Tz : X — X, X = X х Y, определенное формулой Tz(x,y) = (Szx,R(z,x)y), где R(z,x) — некоторый коцикл R : Zn х X — Aut(Y, ¡л!). Действие {Tz} сохраняет меру ¡л = Ц х ¡Л. Ограничение действия {Tz} на инвариантную ст-алгебру называется фактором. Хорошо известно, что всякое действие изоморфно косому произведению над его фактором. Этим представлением мы пользуемся ниже.
Действие {Tz} называется слабо перемешивающим относительно фактора {Sz}, если мера ц х f х f является эргодической относительно косого произведения (Sz,R(z,x) х R(z,x)).
Если же мера ¡л' атомична (пространство Y состоит из конечного числа точек), то действие {Tz} называется конечным расширением фактора {Sz}.
В [1] доказано, что любой автоморфизм S, коммутирующий с автоморфизмом T ранга 1, является слабым пределом степеней T. Для Z2-действий контрпример был построен в [2]. В [1] также показана жесткость факторов Z-действий ранга 1. Недавно Довнарович построил Z2-действия с нежесткими факторами. В его примерах действия являются конечными расширениями факторов.
Наша цель — доказать, что в случае неконечных расширений соответствующие факторы Zn-действий ранга 1 должны быть жесткими.
Теорема 1. Если действие {Tz : z Е Zn} ранга 1 является слабо перемешивающим относительно собственного фактора {Sz}, то найдется последовательность z(i) — сю, такая, 'что Tz(i) —P, где P — ортопроекция на пространство фактора.
Теорема 1 будет доказана методами работ [3, 4].
Теорема 2. Если действие {Tz : z Е Zn} ранга 1 не является конечным расширением собственного фактора, то этот фактор жесткий.
Для Z-действий теорема 2 доказана в [1].
При 0 < 5 < 1 положим
U = LI Tz Ej,
zeSQj
где 5Qj обозначает множество {0,1,..., [5h\(j)]} х ... х {0,1,..., [5hn(j)]}.
Мера v на X х X называется самоприсоединением (self-joining), если ее проекции на сомножители в квадрате X х X совпадают с Ц и мера v инвариантна относительно Tz х Tz для всех z. В нашем случае XX = X х Y и ¡л = ц х ¡'. Частный случай самоприсоединения — диагональная мера А в XX х XX:
Д(Л х Л') х (B х B') = ¡(Л П B)ц'(Л' П B').
О самоприсоединениях Z-действий ранга 1 см., например, [5, 4].
Лемма. Пусть {Tz} — действие ранга 1 группы Zn. Если для эргодического самоприсоединения v действия {Tz} выполнено lim^^, v(Uj х Ujj) > 0, то найдется такая последовательность {w(j)}, что
(I х Tw(j))A — an(5)v + (1 - an(5))v',
где an(5) > (1 — 5)n, а v' — некоторое самоприсоединение.
Доказательство этой леммы представляет собой модификацию рассуждений случая действий Z, см. теорему 3.1 в [4]. (Самоприсоединение v приближается взвешенными суммами частей сдвигов диагональной меры. Большинство этих почти инвариантных частей должно быть близко к эргодической мере v, следовательно, можно выбрать индивидуальную последовательность, стремящуюся к мере v.)
Доказательство теоремы 1. Так как атомический фактор, очевидно, является жестким, ниже предполагается, что ст-алгебра, отвечающая фактору, не является конечной.
Пусть P — ортопроекция на пространство фактора, т.е.
(Pf)(x) = j f (x,y) df (y).
Определим меру V: для любых /,д £ Ь2(Х х У, ц х ¡')
/ , ® д^ = / Р/(х,у)д(х,у) Ч х
■)ХхУ хХхУ -)ХхУ
Мера V инвариантна относительно Тг х Тг. Поскольку
V((А х А') х (X х Г)) = V((X х Г) х (А х А')) = ¡(А)л(А'),
V является самоприсоединением. Из равенства
V((А х Л!) х (В х В')) = ¡(А П В)л(А')л(В')
и эргодичности меры ц х ¡' х ¡' относительно косого произведения (Бх,К(г,х) х К(г,х)) видно, что самоприсоединение V эргодично. Для 5 > 0 выполняется
V(и] х и]) = !(Рхи*)Хи* х ¡' = I Рхи*РХи* х ¡' > 52п - о(1).
Отметим, что р.(и]) — 5п при ] — то. Из леммы получаем
(I х Т2,ц) )А — (IV + ..., а > (1 - 5)п,
где последовательность г'(г) зависит от 5. Используя диагональный метод при 5 — 0, мы находим последовательность '(]), такую, что (I х Тш(у))А — V. Это эквивалентно сходимости Т^) —-ш Р. Как следствие
получаем жесткость фактора: I, '(]) — то, поскольку ограничение Р на пространство фактора
является тождественным оператором.
Доказательство теоремы 2. Поскольку теперь мера V может быть неэргодической, нельзя непосредственно применить лемму. Заметим, что № — проекция меры V на X х X — является эргодиче-ской, так как пv = Аххх (диагональная мера в X х X). Это вытекает из того, что действие ранга 1 является эргодическим. Таким образом, повторив аргументы для эргодической проекции, получим (I х Бт(^)Аххх — Аххх, что влечет I. Теперь нужно показать, что ш(з) — то.
Отметим, что мера V сингулярна относительно диагональной меры А. Если, напротив, присоединение
V имеет компоненту А, то это означает, что действие [Тх} есть конечное расширение фактора }. Как будет показано, это единственная возможность для фактора быть нежестким.
Чтобы упростить изложение, рассмотрим случай Z-действий. Наши рассуждения переносятся на общий случай без принципиальных изменений. Обозначим
С<-°'т) = У ТхЕ3 х Тг+ШЕ3,
г: z€Qj'Z+w€Qj
аналогичным образом определим (колонны) . Положим
П = и (С(°'т) и с(т'0))-
we¿Q j
Поскольку множество Б] содержит квадрат и] х и], для которого V(и] х и]) > (л х ¡'(и]))2 ~ 52,
получим Ишвир.,- V(Б]) > 0. Учитывая, что множество Б] является объединением непересекающихся колонн, перепишем это выражение в виде
£ V(С(°'т) \ Б]) м(\с(0т)) - м.
we¿Q j
(о Мз))
7 '
такую , что пv(|Ctf'w(j))) — пv = Аххх. Так как мера ¡' непрерывна, получим V(С0'0^) — 0. Следова-
В силу того что пv = Аххх — эргодическая мера , следуя [4] , можно найти последовательность С(
(о'о))
хх х
тельно, можно выбрать ) = 0 для всех ].
Рассмотрим меры v(|cfw(j))) и (Id х TjA(\cfw(j))). Так как эти меры совпадают на множествах вида TZ1 Ej х Tz2Ej, то с учетом аппроксимации, фигурировавшей в определении действия ранга 1, получим, что слабые пределы последовательностей таких мер одинаковы. Следовательно,
n(Id х Tw(j))A(\cj°'w(j))) ^ nv = AxxX•
Теперь, уменьшая 5, с помощью диагонального метода получаем
n(Id х Tw(j))A ^ Axxx, (Id х Sw(j))Axxx ^ Axxx■
Это в точности означает, что Sw(j) I. Таким образом, вспоминая, что w(j) = 0, получаем, что фак-тордействие является жестким. □
Автор признателен Т. Довнаровичу и Ж.-П. Тувено за стимулирующие дискуссии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. King J. The commutant is the weak closure of the powers, for rank one transformations // Ergodic Theory and Dynamical Systems. 1986. 6. 363-384.
2. Downarowicz T, Kwiatkowski J. Weak closure theorem fails for Z2-actions // Stud. math. 2002. 153. 115-125.
3. Goodson G.R., Ryzhikov V. V. Conjugations, joinings, and direct products of locally rank-one dynamical systems //J. Dynamical and Control Systems. 1997. 3. 321-341.
4. Рыжиков В.В. Перемешивание, ранг и минимальное самоприсоединение действий с инвариантной мерой // Матем. сб. 1992. 183, № 3. 133-160.
5. King J., Thouvenot J.-P. A canonical structure theorem for finite joining-rank maps //J. Anal. Math. 1991. 51. 211-230.
Поступила в редакцию 16.11.2007
УДК 517.9
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ОПЕРАТОРОМ ВЛАДИМИРОВА
О. Г. Смолянов, Н. Н. Шамаров
В работе доказываются формулы Фейнмана-Каца для уравнений теплопроводности с оператором Владимирова (играющим здесь роль оператора Лапласа); при этом предполагается, что неизвестные функции определены на произведении вещественной прямой и пространства над полем р-адических чисел и принимают вещественные или комплексные значения. Аналогичные формулы можно получить и для уравнений типа Шредингера. Такие уравнения могут быть полезны при построении как математических моделей процессов, масштабы которых характеризуются планковскими длиной и временем, так и математических моделей, описывающих феноменологию в химии, механике сплошных сред, а также в психологии (см. [1-4] и имеющиеся там ссылки).
Формулой Фейнмана называется представление решения задачи Коши для эволюционного дифференциального или псевдодифференциального уравнения с помощью предела интегралов по декартовым степеням некоторого пространства Е; формулой Фейнмана-Каца называется представление решения той же задачи с помощью интеграла по траекториям в том же пространстве Е (далее роль Е играет пространство над полем р-адических чисел). При этом кратные интегралы в формулах Фейнмана совпадают с интегралами, являющимися конечномерными аппроксимациями интегралов по траекториям, так что фактически формулы Фейнмана-Каца — это следствия формул Фейнмана. Так как подынтегральные выражения в формулах Фейнмана являются элементарными функциями от коэффициентов рассматриваемых уравнений, то такой способ получения формул Фейнмана-Каца одновременно приводит и к методу вычисления интегралов по траекториям, содержащихся в этих формулах.
