CC BY
43
УДК 532.137.3
РАБОЧИЕ УРАВНЕНИЯ
ЛИНЕЙНОЙ КРУТИЛЬНОЙ ВИСКОЗИМЕТРИИ
И.В. Елюхина, Д.Ю. Никитин
Выполнены обзор и сравнение рабочих уравнений линейной крутильной вискозиметрии, составляющих основу аналитического метода расчета нелинейных свойств, в рамках прямой и обратной задач. Записаны реометрические уравнения для линейных комбинаций вязких и упругих составляющих.
Вязкость является структурно чувствительной характеристикой веществ, по которой судят, например, об изменениях материала, возникающих во время технологических процессов. Для ее измерения используется ряд приборов, описанных, в частности, в [1]. При высоких температурах / и давлениях круг инструментов сужен и часто применяется крутильный вискозиметр [2]. Математическое описание процессов, протекающих в нем, выполняется на основе общих теорем динамики: об изменении импульса объема жидкости в рамках подхода Эйлера или Лагранжа и об изменении момента импульса тигля, принимаемого абсолютно твердым телом, относительно оси вращения. Традиционно полагается ньютоновский характер жидкости, т.е. линейная зависимость между напряжением сг и скоростью сдвига I), когда сг = О при /) = 0. Для практических приложений адекватны точные решения, получаемые при следующих допущениях: скольжение между средой и внутренней поверхностью тигля отсутствует, амплитуды колебаний малы, т.е. течение жидкости в цилиндре осесимметричное и существенной компонентой вектора скорости является азимутальная. При этом переходный режим затухающих колебаний не рассматривается.
Одно из таких решений получено Швидковским Е.Г. [2]. Здесь вязкость V в прямой задаче вискозиметрии определяется из вискозиметрической системы уравнений:
/ „2 , „2 ^ Т„ ( 2 , 2 ^
V V а) — = р К
1 , Ро+Яо 2 2 Р +Г)
Оп 1"-п
~К
1-
Ро + Яо
2 2 р+я
или б) Ь'+Ь”— = 2К(р-р0); (1)
Я
Х' = Ке(Х), Х" = 1т(£), ¿ = -2уМ/З-
у2(/?) | Амк1^лчвпн)
(2)
М/3) Н ¿0^ ’ где Р = , 0„2 =/%-к/у, k = p + iq, р = 3!т, р0=8й/т0, <7 = 2я7г, / = >/-Г; J¡ - функ-
ции Бесселя первого рода / -го порядка; К - момент инерции пустой подвесной системы; Ь -функция трения; М - масса жидкости в вискозиметре полувысотой Н и радиусом Я; р, я -коэффициент затухания и циклическая частота колебаний; 30, т0 - логарифмический декремент затухания § и период г колебаний вискозиметра при М = 0; р.п - корни уравнения Зх(цпК) = Ъ. Принято число торцов <3 = 2: образец смачивает крышку вискозиметра или на его поверхности присутствует пленка.
Выражение (2) представляет одно из точных решений, полученных впоследствии в [3]:
Су + Д0)2+1 + £>(.у) = 0, 5, 2 =т0(-А + /)/г, (3)
где представленные соотношения для £)(5) являются математически эквивалентными, преобразуются из одной формы в другую и эффективны в различных ситуациях:
ад:
2 4/д (У^о ) | 8я3А у. )
^1(^о) % и=1 Ми5//
Т7т7,
00
I
о
71 4о т=0 1
1
— „2 ,,2 и=1 5 М\п
(2ти + 1)24 /((^о) _Л(^7о)
£>(.?) = 5 А---------------2~ £
п 64
"0(2от + 1)2 /!(5от^0>т
00 00 II
Я-2 й=1т=0М«(2/и + 1>2(5-‘у«
,)
(4)
В (3), (4) величины
А = МЯ2/2К, £0=Л/с1, щ =НЫ, а = А = 3/(2х), Мы=МпК,
4 = Ми/#о + *. 4 = ■» + [(2»* + 1)^/(2т70)]2 , 5ПШ = -[(2/и + 1)я-/(270)]2 -/4,/£02 ;
Л - отношение моментов инерции замороженной жидкости в тигле и К; с/ - толщина пограничного слоя; Я - полувысота образца при а = 2 и высота при а-1; /; - модифицированные функции Бесселя / -го порядка.
Выделенные решения (1)—(4) найдены без дополнительных к отмеченным ранее предположениям и их можно рекомендовать для обработки опытных данных. Обзор основных упрощенных зависимостей для расчета вязкости ньютоновских жидкостей выполнен, например, в [4]. Часто на практике используются формулы Швидковского Е.Г. для слабовязкого приближения, которые при низких Г из исследуемого диапазона при реализуемых в эксперименте условиях могут приводить к некорректной картине свойств. Вместо традиционного решения методом последовательных приближений [2] здесь можно осуществить минимизацию по V значений функции
<р(у)--
1 (К1 2{8-т80/т0)
я КМЯ) та(у)2
•Ш1П ,
(5)
2Я^
: +--- > -
1
Яе
к2Я4
^М2пЯ2вгп)
к2Я4
Я^4ж/(ту) Я ¿/ф/(гу) [
Сумма ряда в последнем слагаемом обычно заменяется выражением (Ь-ср/<?) [2], где дискретные значения коэффициентов Ъ и с даны в таблице 1 в [2] и могут быть интерполированы на весь интервал, например, кубическими сплайнами. Результаты по вязкости, получаемые из (1а), (2) и (5), тогда совпадают в пределах 0,1 % в рассматриваемой области £0 > 10, т.е. при вычислениях по такому варианту существенно понижается их трудоемкость без потери точности.
Система (1а), (2) предпочтительна для обратной задачи вискозиметрии. Очевидно, что при использовании и мнимой 1т, и действительной Ле частей вискозиметрических уравнений минимум некоторой целевой функции /, являющейся критерием соответствия экспериментальных и расчетных данных, на множестве двух параметров г и 8 более выражен (рис. 1а). При расчетах только по 11е или 1т на оси возникающего, как и на рис. 16, оврага появляются локальные минимумы. В модели (16), (2) не содержится период г0, зависящий от нагрузки на нить и /, т.е. подлежащий измерению во всем рабочем интервале / с опытной нагрузкой на нить, и требуемый при расчете по (1а), в связи с чем модель обладает преимуществом в прямой задаче. Функция качества, построенная по Ле от уравнения (1а), (2), более пологая, т.е. влияние ошибок в наблюдаемых параметрах на оценку у выше, а более выраженный минимум 1ш(/) смещается сильнее вследствие ошибок в г. На рис. 1 отмечены интервалы т'±(т'-х0) и 8'±(8'-80), где г', 8' отвечает минимуму /{г, 8); расчеты проводились при Я -1 см, р = 6 г/см3, г0 = 5 с, Л = 0,15, 2НIЯ = 2,5, £0 ~ 11; моделирование закона колебаний тигля выполнено по (1а), (2).
Для линейных жидкостей при наличии упругости характеристики, входящие в реологический закон, также, как и для ньютоновских сред, представляются вне переходных процессов функциями, изменяющимися по закону ехр(-А*), а вместо ньютоновской динамической вязкости
т] в уравнения, в частности, (1), (2) вводится комплексная вязкость т]*. При заданных допущениях теории метода, например, для модели Олдройда щ = т](\ -кА^КХ-кЛ^), где Я, и /Ц - время релаксации и запаздывания. Для простейших моделей вязкоупругих жидкости и твердого тела, т.е. моделей Максвелла и Фойгта, выражения для вискозиметрических функций отмечены в [5,
Серия «Математика, физика, химия», выпуск 10
43
Физика
Рис. 1. Поверхность функции качества /(г, S) при расчетах по моделям (1а), (2) (а) и (16), (2) (6)
6]. Пусть имеем последовательное соединение двух элементов: вязкого элемента Ньютона и параллельной комбинации вязкого и упругого элементов Фойгта. Тогда, например, для простого сдвигового течения о1] = T)XDX, &2 Ю2 + <у2 ¡Чг = D2, гДе G - модуль сдвига, 1, 2- номера элементов, точкой обозначена производная по времени. Для такого соединения а = ах = а2, D = DX +D2, и получаем, что a = TjxD-Tj](ä/G2 +<t/tj2), т.е. Т]„ =7,/[l + ^1 (llrj2 -£/G2)]. Часто
для описания используется модель Бюргера с последовательным соединением моделей Максвелла и Фойгта, т.е. механическая схема которой включает две пружины и два поршня.
Отмеченные особенности представляют интерес при выборе точного решения для аналитических расчетов свойств нелинейных, в общем случае упругих вязкопластичных, жидкостей с различной комбинацией элементарных моделей. Построение и аппаратное приложение подобных решений целесообразно сопроводить детальным анализом их чувствительности [5].
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 07-02-96016_урал).
Литература
1. Шрам, Г. Основы практической реологии и реометрии / Г. Шрамм. - М.: КолосС, 2003. -312с.
2. Швидковский, Е.Г. Некоторые вопросы вязкости расплавленных металлов / Е.Г. Швидковский. - М.: ГИТТЛ, 1955. - 206 с.
3. Kestin, J. Theory of oscillating type viscometers: The oscillating cup. Part I / J. Kestin, G.F. Newell // Z. Angew. Math. Phys. - 1957. - V. 8. - P. 433-449.
4. Шпильрайн, Э.Э. Исследование вязкости жидких металлов / Э.Э. Шпильрайн, В.А. Фомин, С.Н. Сковородько, Г.Ф. Сокол. - М.: Наука, 1983. - 243 с.
5. Елюхина, И.В. Исследование неньютоновских свойств высокотемпературных жидкостей / И.В. Елюхина. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2006. - 140 с.
6. Kleiman, R.N. Analysis of the oscillating-cup viscometer for the measurement of viscoelastic properties / R.N. Kleiman // Phys. Rev. - 1987. - V. 35, № 1. - P. 261-275.
Поступила 17 января 2008 г.
