О нерегулярном режиме крутильных колебаний в вискозиметре Швидковского Е. Г. Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.137.3

О НЕРЕГУЛЯРНОМ РЕЖИМЕ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ВИСКОЗИМЕТРЕ ШВИДКОВСКОГО Е.Г.

И.В. Елюхина

Исследован переходный режим крутильных колебаний в вискозиметре Швид-ковского Е.Г. и выявлены условия, при которых справедливо положение о регулярности режима.

В основе теории крутильно-колебательного метода измерения вязкости жидкости [1] лежит положение о регулярном режиме колебаний, т.е. предполагается, что начальное распределение скоростей не оказывает влияния на движение среды. Рассмотрим развитие данного режима и изучим случаи, не позволяющие корректно решить вискозиметрическую задачу при пренебрежения переходными процессами.

Для этого воспользуемся зависимостью для амплитуды колебаний, полученной Дж.Кестином и Ф.Ньюэллом [2] при решении нестационарной задачи крутильных колебаний цилиндра операторным методом:

(1 + Л^)ехр(^7)

«(0 = -«оХ

* S,

2S,

где Sk - корни уравнения

(^+Ao)2+1 + I(S,) = 0, L(Sk) = SkK'K

-1

2Д0 +dL(s)/ds\ri

(1)

tKsjlo)

П

(2)

L(Sk) - функция трения, определенная в (2) для вискозиметра со свободной поверхностью; a -

угловое смещение цилиндра; а0 - начальное смещение; К'-MR2/ 2; Л0 - ¿>0/(2;r); T = qQt;

I;0=R/d; tj0 - Н! d \ d = ; fin - корни уравнения Jx(jun) = 0; t - время,

остальные обозначения - см. в работе [3], представленной в настоящем сборнике. Установлено, что уравнение (2) имеет два комплексно сопряженных корня:

Sk=su = q/qi-b±i), (3)

отвечающие регулярному режиму, и бесконечное множество отрицательных действительных корней, которые можно определить графическим способом.

Сравним параметры переходного и основного процессов для длинного цилиндра, т.е. учтем только первое слагаемое в правой части выражения для функции трения (2). Длительность затухания возмущений, вызванных переходными процессами по сравнению с регулярными колебаниями охарактеризуем, например, соотношением

U = Ui-U2, (4)

где С/1 = | S^l, S{ - минимальный по модулю корень для соответствующего значения характеризующий затухание самого медленного из переходных возмущений, Z72= jRe^ 2)| = -модуль действительной части от корней ¿12,

Для длинного цилиндра корень S{ можно считать приближенно равным

Si

м

£

(5)

Выразим декремент затухания колебаний А заполненного жидкостью вискозиметра согласно приближенной зависимости Швидковского Е.Г. [1]:

Елюхина И.В.

О нерегулярном режиме крутильных колебаний в вискозиметре Швидковского Е.Г.

Д(£) = Яе

2 К'

К

Л л(^) 2

(6)

где Не, 1т - действительная и мнимая части от комплексного выражения; £ = 11/3*; 3' = у] у/ц , т.е. £ -где ^д/можно представить согласно [1] как

V/ ^о(^) 2

= -1т

4*'

а:

(7)

Из рис. 1 видно, что при £ > колебательное движение, описывающее так называемый установившийся режим, затухает быстрее, чем апериодическое движение, характеризующее переходный процесс, в то время как при К*К~х > 0.3 реализуются условия эксперимента < 25 ), достаточно часто встречающиеся на практике (рис. 2).

Рис. 1. Зависимость корней от параметра £

Рис. 2. Зависимость §|т от отношения К7К

Исследуем также поведение отношения величин основного, регулярного, процесса и накладываемых на него негармонических возмущений:

(8)

где аГ(^9 а - модули а{1) (1), определенные при корнях ¿12 (3) и ^ (5). Очевидно, что при £ > ^т значение а (8) со временем уменьшается. Интересным представляется определение предельного значения такого, что при £ <£* после пТ колебаний величина а превышает 10*г. Результаты, полученные для пт - 5 , кт - 4, проиллюстрированы на рис. 3.

20

€ 16 25

125

8 75

0 0025 005 0075 01 К1 К"1

Рис. 3. Зависимость £

----- — пг = 0, кт—Ъ\

- — пт ~ 5, кт- 3 ;

........ " п_ = 5 , -

14 16

Рис. 4. Зависимость числа колебаний в переходном режиме от £ :

- К1 КГ1 -10~3;

- К*К1=1(Г2;

- КЧГ1=\0-1

Серия «Математика, физика, химия», выпуск 1

83

Физика_______

Представляя Skt в зависимости (1) как27tSk -k-q0fq, где q0!q определяется из (7), находим число колебаний пт, проходимых для установления требуемого режима при различных условиях эксперимента, т.е. при различных £ (рис. 4).

Таким образом, в настоящем исследовании теория нерегулярного режима крутильных колебаний для ньютоновских жидкостей дополнена практическими приложениями, к которым необходимо обращаться в каждом вискозиметрическом эксперименте. Задача решена для начальных

условий: а(0) = aö, da/dt\ = 0 .

Литература

1. Швидковский Е.Г. Некоторые вопросы вязкости расплавленных металлов. - М.: ГИТТЛ, 1955.-206 с.

2. Kestin J., Newell G.F. Theory of oscillating type viscometers: the oscillating cup. Part I. // J Appl Math PhysZAMP. - 1957. -V. 8. - P. 433-449.

3. Елюхина И.В. Планирование оптимального эксперимента по одновременному определению вязкости и плотности ньютоновской среды - см. в наст, сборнике.