Р-адический анализ динамической системы и явление энтропии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Р-Адический анализ динамической системы и явление энтропии

о сч о сч

о ш m

X

<

m О X X

Пхиьо Вэй Лин

аспирант, кафедра «Прикладная математика» МГТУ «СТАН-КИН», [email protected]

Уварова Людмила Александровна

д.ф.-м.н., профессор, кафедра «Прикладная математика» МГТУ «СТАНКИН», uvar11 @yandex.ru

Зеар Аунг

аспирант, кафедра «Прикладная математика и Искусственный Интеллект» Московский энергетический институт (МЭИ), [email protected]

Предложена математическая модель процесса восстановления памяти человека на основе динамических систем в метрическом пространстве Р-адических чисел. Элементами этого пространства являются идеи. Предположим, что эти две идеи близки, если они имеют достаточно длинный начальный сегмент. Мы также предполагаем, что динамические системы могут располагаться в подсознании и управляться воздухом, что соответствует параметрам системы и дает представление о начале итерации динамической системы. Показано, что даже простая Р-адическая динамическая система описывает существенные характеристики процесса восстановления памяти человека. Изучение Р-адических динамических систем может быть применено во многих аспектах, включая изучение того, как работает наше мышление. В настоящее время особенности работы мозга изучаются по-разному. одним из наиболее перспективных и актуальных направлений в изучении и моделировании работы мозга является моделирование процессов мышления в р-адических системах координат. Кроме того, р-адическая динамическая система не должна рассматриваться отдельно от других наук. используя инструменты р-адического анализа, вы можете изучать генетику, особенности мозга и особенности мышления. Ключевые слова: р-адических, математическая модель, динамических систем, барьерных эффектов.

Введение

Понятие Р-адического числа было введено еще в 1897 году немецким математиком Куртом Гензелем. Мы знаем, что Р-адическое число — это элемент расширения поля рациональных чисел, получаемого на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р. Поля частных Qp кольца Zs целых р-адических чисел называется полем p-адических чисел и содержит в себе поле рациональных чисел. Поле р-адических чисел обычно обозначается Qp. [1].

Целое р-адическое число для произвольного простого р обозначается через последовательность х = (хо, xi,...) вычетов хп по mod pn + 1 , что соответствует следующему условию:

Xn = xn-i (modju"), RSslt[ ^

С подобными числами можно проводить различные математические процедуры [2], например для сложения и умножения целых р-А. ч. существуют конкретные формулы:

С* + = + (mod +

О;/)« — ("«oil р"л ')■ (2)

Каждое целое число m отождествляется с р-А. ч. х = (m, m,...).

Р-адические числа можно сравнить и уподобить ряду Лорана какой-либо произвольной функции, записываются они в виде некоего бесконечного ряда по степеням любого числа [3]. Данную запись можно сравнить с десятичной, с тем лишь отличием, что целая часть

здесь бесконечна и соответствует положительным стер

пеням г :

х = а__а_

й, е

, здесь

цифры , а

одно из простых чисел натурального ряда.

Каждый элемент поля р-А. ч. может быть представлен в виде:

(0,1,2.....¿-1} -

р= 2,3,5, ...41,...137,... -

-2

'k = k,

akP

ak < p,

[3]

где ак - целые, ко - некоторое целое число, ако ± 0, и ряд сходится в метрике поля Qp . Числа х е Zp с условием |х|р < 1 (т. е. с ко ^ 0) образуют кольцо Zp целых рА. ч., являющееся пополнением кольца целых чисел поля Q. Числа х е Zp с условием |х|р = 1 (т. е. ко = 0, aо £ 0) образуют мультипликативную группу и называются р-адическими единицами [4].

Изучение р-адической математической физики, в частности р-адического анализа и его особенностей обосновано и актуально по следующим причинам:

1. Хорошо известны общие ограничения квантовой гравитации для измерения расстояний на и за пределами шкалы Планка:

йх ^^ = ['Щ см-

10"

[4]

ведливо 11ш = х.^, где у*11-1 = /""(у). Если х^явпя-ется аттрактором, то его область притяжения является

Art-

где Ax выражает неопределенность измерения расстояния х и 1Р имеет длину Планка, a k при этом-посто-янная Планка.

2. Исходя из локально глобального принципа, когда что-либо действует на все локальные поля (R, Qp), оно также действует на глобальное поле Q. Фундаментальные физические законы должны быть инвариантны по изменению количества полей.

3. Р-адические числа по своей сути имеют уникальную ультраметрическую иерархическую структуру, поэтому они являются одним из наиболее применимых в данном контексте математических инструментов в изучении исследовании иерархических систем и явлений.

4. Существует часть р-адического анализа, связанная с отображением Qp ^ R (C), и это дает важное представление о том, как можно соединить р-адические модели с квантовыми явлениями и иерархическими системами.

Рассмотрим р-адическую динамическую систему и роль в ней неподвижных точек, а также явление энтропии в контексте р-адического поля.

Р-адическая динамическая система и её приложения

На данный момент множество трудов посвящено изучению р-адических динамических систем. В данном исследовании мы хотели бы сосредоточить внимание на неподвижных точках и их роли и поведению в рамках р-адической динамической системы [5].

Пусть (j поле рациональных чисел. Каждое рациональное число х * 0 может быть представлено в виде ж = где r,neZ, m-положительное целое число,а p,n, т- простые числа, р-адическая норма |ас|р = р"ги v « = v. Эта норма удовлетворяет так называемому сильному неравенству треугольника + У\р * ша:<|я.|Р-1уЫ Из этого неравенства можно сделать вывод, что: Если |у|р , тогда |х -I у| р = ша^И^М^} [5] Если |х.|р = .тогда у|,, *£ [6]

Это ультраметричность нормы. относительно р-адической нормы определяет р-адическое поле Любое р-адическое число может представлено в каноническом виде:

x = pr&>(xa.x1p + xip1 + -) [7] Где 7 = 7<ж)е Z и л^-интергеры, О <. Xj<,p- > OJ = 0.1.2..... В этом случае

В динамической системе (/",е)в Qj,, где /:зе В -* f(x.y е В является аналитической функцией и В = йДо)или Обозначим xini = fn(x^, где ха £ В и = f з—зДж). Если f(_x^)=x^ называется

неподвижной точкой. Неподвижная точка х® называется аттрактором, если существует окрестность £)такая, что для всех точек у е Р<я;®) спра-

Любопытно также рассмотреть р-адическую обобщенную карту, которую можно определить по формуле: а(х~)= <вл)3,<ж+ 1), где^ае

С помощью простой сопряженности Ь(х) = ах можно представить С в следующем виде / = к о 0 => ¡Г1, т. е. Г(х} = х3 + ах1,а е [8]

При помощи прямой проверки мы можем выяснить, что неподвижными точками являются следующие:

= 0 и xia = ■

[9]

[10]

Здесьж^-решения ах - 1 = О Чтобы в полной мере исследовать динамику функций мы обратились к ряду авторитетных источников, где доказано существование неподвижных точек [6]. Сначала отметим, что производная от ^является /"(*) = Эх2 I- 2ах [11]

Используя (10) находим:

х.1+х3.=-а,х2х3 = -1, [12]

Г(х„)= 3-ахег<г=2.3 [13]

Случай |ге|р < 1.Пусть р й 3, то из [9] и [12] следует, что кс? 1Р = 1 Пусть р=2, тогда из [8] следует, что (I = рк£ для некоторого & £ Ь с|£-|р = 1. Из этого

\ха1р = р\а±4&ТЦ

= р |pfe£ ± ^p3fiS3 +р3

0

Е±

+ 1

= 1

поскольку ^е1 + = 1 и 3- .Теперь посчитаем . Пусть р ф 3 , тогда, используя (9), получаем

|Г<аЛр = |Я-в1Л=1,ег = 15,

Пусть р = 3, тогда получаем, что 1, о =

2,3.

В множестве существующих работ, некоторые из них указаны ниже, доказаны результаты существования нескольких разновидностей неподвижных точек, в нашем исследовании мы применили подобный подход для исследования барьерных эффектов.

Энтропия в Р-адическом поле

В рамках исследования р-адической динамической системы важно рассмотреть явление энтропии. Мы уже знаем как определить энтропию случайной величины, здесь нам поможет следующее соотношение [1]:

н(X) = "Е^ Я, [14]

xeQ

где X - дискретная случайная величина, принимающая значения на конечном множестве ^ и имеющая распределение вероятностей }. Соответственно,

уменьшение количества информации даётся формулой:

1(Х;¥) = Н (X) - Н (Хг), [15]

здесь Н(Х¥ ) - условная энтропия входа в канал связи относительно выхода У.

Изучение р-адических динамических систем можно применять многоаспектно, в том числе при исследова-

X X

о

го А с.

X

го m

о

2 О

м о

о

CS

о

CS

со

о ш m

X

<

m о х

X

нии работы нашего мышления. В наши дни специфику работы мозга изучают разными способами, одно из перспективных и актуальных направлений в исследовании и моделировании работы мозга - это моделирование процессов мышления в p-адических системах координат [7]. Мы предлагаем обратить внимание на энтропию и информацию и информацию в р-адическом поле Qp , где р - простое число. Данные характеристики очень важны в изучении процесса мышления, поэтому объяснять лишний раз актуальность подобного исследования в интегральном смысле не приходится. В поле Qp корректно определены все арифметические операции, включая деление. Соответственно элементы Qp представляются рядами вида: а

х = -к- +... + а0 +... + апрп +..., а, = 0,1,..., р -1 [16]

Величины Щх принадлежат отрезку [0,1]. В данном случае это возможно, если неотрицательные степени выражения [16] равны нулю и выполнено условие:

к-1 а

I (I %) = 1

хеП ¿=0 Р

Тогда для энтропии получается следующая формула:

Н (X) = -1 (I% 1082(! %)) [17]

хеП 1=0 р 1=0 р

Соответственно, с помощью выражений [15], [17] можно определить информацию, формула для которой в условиях независимости X и У запишется в виде: I (X; ¥) =

^ a(1)

^ a(1)

=-( Е (Е pfi iog2(Z pfi))) -

хеП 1=0 Р\ 1=0 Р\

k- a(2)

м a(2)

-Е (Е % iog2(Z %)))

хеП 1=0 p2 1=0 p2

Выводы

В заключении можно сказать, что мы рассмотрели в целом р-адическую динамическую систему, обратили внимание на важность ее исследования. Также подобная система была рассмотрена на фоне таких явлений, как неподвижные точки и энтропия. Более того, р-адическую динамическую систему не следует рассматривать обособлено от других наук, с помощью инструментов р-адического анализа представляется возможным изучить генетику, специфику работы мозга, особенности мышления.

Литература

1. Kurt Hensel Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1897. — Т. 6. — № 3. — С. 83—88.(нем.)

2. М. Герман, Дж. С. Йоккоз, обобщения некоторых теорем малых делителей на Неархимедовы поля, в: геометрическая динамика, Рио-де-Жанейро, 1981, в: лекционные заметки по математике., том. 1007, Springer, Berlin, 1983, PP.

3. М. Хамраев, Ф. М. Мухамедов, Об одном классе рациональных p-адических динамических систем, J. Math.Anal. Appl. 315 (2006) 76-89.

4. Р. Бенедетто, Гиперболические отображения в p-адической динамике, Эргодическая теория, динамика. Systems 21 (2001) 1-11.

5. С. Альбеверио, А. Хренников, Б. Тироцци, С. Де Смедт, p-адические динамические системы, Теорема. и математика. Phys. 114 (1998) 276-287.

6. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информацию. М.: МЦНМО, - 2002.

7. Хренников А.Ю. Моделирование процессов мышления в р -адических системах координат. М.: Физматлит, - 2004.

P-Adic analysis of a dynamic system and the entropy

phenomenon Phyo Wai Linn, Uvarova L.A., Zayar Aung

STANKIN Moscow state technical University, Moscow Power

Engineering Institute(MPEI) A mathematical model of the process of restoring human memory based on dynamic systems in the metric space of P-adic numbers is proposed. The elements of this space are ideas. Let's assume that these two ideas are close if they have a long enough initial segment. We also assume that dynamic systems can be located in the subconscious and controlled by air, which corresponds to the parameters of the system and gives an idea of the beginning of the iteration of the dynamic system. It is shown that even a simple P-adic dynamic system describes the essential characteristics of the process of restoring human memory. The study of P-adic dynamical systems can be applied in many aspects, including the study of how our thinking works. Currently, the features of the brain are studied in different ways. one of the most promising and relevant areas in the study and modeling of the brain is the modeling of thinking processes in p-adic coordinate systems. In addition, the p-adic dynamic system should not be considered separately from other Sciences. using p-adic analysis tools, you can study genetics, brain features, and thinking features. Keywords: p-adic, mathematical model, dynamic systems, barrier

effects. Reference

1. Kurt Hensel Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. - 1897. - Vol. 6. - No. 3. - Pp. 83-88.(he.)

2. M. Herman, J. S. Jokkoz, generalizations of some small divisor theorems to non-Archimedean fields, in: geometric dynamics, Rio de Janeiro, 1981, in: lecture notes on mathematics., volume. 1007, Springer, Berlin, 1983, PP.

3. M. Khamraev, F. M. Mukhamedov, On a class of rational p-adic dynamical systems, J. Math.Anal. Appl. 315 (2006) 76-89.

4. R. Benedetto, Hyperbolic maps in p-adic dynamics, Ergodic theory, dynamics. Systems 21 (2001) 1-11.

5. S. Albeverio, A. Khrennikov, B. Tirozzi, S. De Smedt, p-adic dynamical systems, Theorem. and math. Phys. 114 (1998) 276-287.

A. S. Holevo, Introduction to quantum theory of information. Moscow: mtsnmo, - 2002.

6. Khrennikov, A. Yu., Modeling of processes of thinking in p-adic coordinate systems. Moscow: Fizmatlit, - 2004.