Проблемы устойчивости неподвижных точек полиномиальных отображений в некоторых компактных кольцах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н. Н. Петpов

ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В НЕКОТОРЫХ КОМПАКТНЫХ КОЛЬЦАХ*

В работе рассматриваются проблемы устойчивости по Ляпунову неподвижных точек полиномиальных отображений в кольце целых m-адических чисел. Полученные результаты находят применение в нейрофизиологии при изучении процессов мышления в рамках так называемых когнитивных моделей. Излагается также общая точка зрения на изучение процессов, лежащих за пределами нашего понимания.

1. Нейpонные цепи. В рассматриваемой ниже модели нейpоном называется объект, имеющий m «уровней возбуждения», которые нумеруются целыми числами 0,1,..., m — 1, где m > 1. В простейшем случае m = 2 нейрон может находиться в двух состояниях: возбуждённом (firing) и нейтральном (nonfiring). Этим состояниям отвечают соответственно числа 1 и 0. «Сигнал», принимаемый нейроном, меняет его состояние на противоположное.

В случае m > 2 «возбуждение» накапливается постепенно. Предполагается, что уровням возбуждения отвечают внутренние частоты колебаний сомы нейрона и сигнал, принимаемый нейроном, находящимся в k-ом состоянии, приводит его в состояние с номером (k + 1), если k ^ m — 2. Если же k = m — 1, то поступающий сигнал приводит к релаксации нейрона, т. е. к состоянию k = 0.

В рассматриваемой модели, о которой пойдёт речь далее, цепью называется счётное линейно упорядоченное множество нейронов, занумерованных натуральными числами. В цепи П1,П2, . . . нейрон Щ может «влиять»1 только на те нейроны nj, для которых j > i.

Инфоpмационным состоянием цепи называется счётный набор натуральных чисел xi, Х2,..., в котором каждое число xi удовлетворяет неравенству 0 ^ xi ^ m —1 и может быть интерпретировано как информационное состояние нейрона ni. Таким образом, информационное состояние цепи может быть охарактеризовано целым m-адическим числом.

Другое описание информационного состояния цепи с помощью дробных вещественных чисел в m-ичной системе счисления оказывается неадекватным. В самом деле, если нейрон ni, находящийся в (m — 1)-ом состоянии, после получения сигнала переходит в нулевое состояние, то «единица» прибавляется не к xi-i (как это имело бы место при вещественном описании), а к xi+i (нейрон ni может влиять на ni+i, но не на ni-i). Такой перенос «единицы» соответствует операции сложения в множестве Zm целых m-адических чисел.

Напомним определение множества Zm. Пусть k и l —два натуральных числа, записанные в m-ичной системе счисления с помощью m цифр. Определим «расстояние» d между ними следующим образом: если k = l, положим d(k, l) = 0; в противном

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-4609.2006.1), НИИ математики и механики им. акад. В.И.Смирнова СПбГУ.

1 Механизм этого влияния уточняется в нейpофизиологии.

© Н. Н. Петpов, 2007

случае, где в—натуральное число, обладающее следующим свойством: пе-

рвые (в — 1) знаков чисел к и I (если они есть) совпадают, а их в-ые знаки различны. Нетрудно убедиться, что определённая таким образом функция ¿(-, •) является метрикой в множестве натуральных чисел, которое, однако, полным метрическим пространством не является. Стандартная процедура пополнения этого пространства приводит к полному метрическому пространству ^т, элементами которого являются последовательности натуральных чисел, каждое из которых принимает значение в множестве {0,1,..., т — 1}.

Натуральные числа естественным образом «вкладываются» в ^т: это те и только те элементы из ^т, которые представляют собой финитные последовательности, т. е. последовательности, в которых лишь конечное число членов, отличных от нуля. Элементы множества Zm удобно представлять себе в виде последовательностей, члены которых с возрастанием номера располагаются «справа налево до бесконечности». В Zm естественным образом вводятся операции сложения, вычитания и умножения, которые превращают Zm в компактное коммутативное ассоциативное кольцо с единицей ... 001. В частности, сложение и умножение в Zm можно производить «столбиком», так как первые к знаков суммы (произведения) однозначно определяются первыми к знаками слагаемых (сомножителей). Вычитание в Zm определяется следующим образом. Пусть х, у — произвольные элементы из Zm. Положим х — у = х + ( — 1)у, где под ( —1) понимается целое т-адическое число, все «знаки» которого равны (т — 1):

(т — 1) . . . (т — 1) (т — 1).

Если мы к этому т-адическому числу прибавим т-адическую «единицу» ... 001, то получим нуль во всех «разрядах».

Информационное состояние цепи может быть интерпретировано как «некоторое представление о предмете изучения». Уточнение этого представления осуществляется с помощью «когнитивного» оператора Р, который каждому элементу х € Zm ставит в соответствие элемент у = Р (х) € Zm. В предлагаемой модели в качестве такого оператора рассматривается многочлен с коэффициентами из Zm. Неподвижная точка такого оператора, являющаяся «аттрактором», трактуется как «истинное представление о предмете» или как «точное решение задачи».

Итак, рассматриваемая модель включает в себя «мозг», состоящий из цепи нейронов, и полиномиальный логический оператор, который предполагается одним и тем же на каждом шаге «рассуждения». Несмотря на относительную простоту этой модели, она позволяет выявить некоторые качественные особенности процесса мышления.

2. Устойчивость неподвижных точек. Пусть х* —неподвижная точка полиномиального отображения Р, т. е. Р(х*) = х*. Если хо € Zm —начальное приближение, то через хп будем обозначать п-ую итерацию хо при отображении Р (хх = Р(хо), х2 =

Р (хх),...).

Для всякого многочлена

П

Р(х) = 53 ^ к=0

с коэффициентами из Zm справедливо представление

Р(х,у)= Р(х)+ Р' (х)у + д(х,у)у2, (*)

где формальная производная

п

Р (х) = ^3 какхк-1, к=1

а Q — некоторый многочлен от двух переменных.

Пусть В(х*, г) = {х € Zm : ¿(х, х*) < г} — шар с центром в х* радиуса г. Опpеделение. Неподвижную точку х* отображения Р назовём устойчивой по Ляпунову, если для любого £ > 0 найдётся такое 5 > 0, что если начальное приближение хо € В(х*, 5), то для всех номеров т = 1, 2,... итерации хт € В(х*, £).

Теоpема 1. Всякая неподвижная точка х* полиномиального отображения Р устойчива по Ляпунову.

Доказательство. Зададимся произвольным числом £ > 0 и покажем, что в качестве 5 можно взять число £. Для этого рассмотрим произвольную точку хо € В(х* ,£). Если жо ф х*, то существует такое натуральное число в, что с1(хо, ж*) = - < е и, следовательно, хо = х* + тя-1Ао, где А — некоторый элемент из Zm.

Покажем, что аналогичное представление справедливо для любой итерации хт. В самом деле, если х; = х* + тя-1А;, то используя (*), получаем

х;+1 = Р(х;) = Р(х* + тя-1А;) = Р(х*) + Р (х*)тя-1А; + т2(я-1)А^(х*, тя-1А;),

откуда следует

(¿(ж*, жш) ^ — < е.

в

Из доказанной теоремы следует важный вывод: полиномиальное отображение обладает необходимым свойством «правильного» логического оператора — начальное приближение хо при итерациях «не ухудшается».

Перейдём теперь к проблеме классификации неподвижных точек полиномиальных отображений в Zm.

Неподвижная точка х* называется неподвижной точкой 1-го типа, если существует такое г > 0, что для любого хо € В(х*, г) последовательность хп ^ х*.

Неподвижная точка х* называется неподвижной точкой 11-го типа, если в любой окрестности В(х*,г) точки х* найдутся такие точки хо = х* и уо, что хп ^ х*, в то время как последовательность уп не сходится к х*.

Неподвижная точка х* называется неподвижной точкой Ш-го типа, если существует такое г > 0, что для любого хо € В(х*, г), хо = х*, последовательность хп не сходится

зк

к х* .

Проблема классификации неподвижных точек полиномиальных отображений в Zlо решена в работе [1]. Сфомулируем полученный результат.

Теоpема 2. Пусть х* —неподвижная точка полиномиального отображения Р в Zlо. Тогда

1) х* — неподвижная точка I-го типа тогда и только тогда, когда значение формальной производной Р (х*) начинается с 0.

2) х* — неподвижная точка 11-го типа тогда и только тогда, когда значение формальной производной Р (х*) начинается с 2, 4, 6, 8 или 5.

3) х* — неподвижная точка Ш-го типа тогда и только тогда, когда значение формальной производной Р (х*) начинается с 1, 3, 7 или 9.

Можно показать, что если т — простое число, то 11-й тип невозможен. В этом случае «задача» либо «не решается» (111-й тип), либо «тривиальна» (1-й тип). Если же,

например, m = 10, то чтобы получить «решение задачи» для неподвижной точки II-го типа, надо «угадать» начальное приближение. Таким образом, кольца с составными m более адекватно описывают процесс решения задачи.

Рассматриваемая модель отражает «хаотичную» деятельность мозга, точнее, его полную раскрепощённость. Это свойство, сформировавшееся у человека (по-видимому) в результате длительной эволюции, позволяет ему более или менее успешно решать возникающие в жизни проблемы. Известно, например, что электроэнцефалограмма мозга человека в бодрствующем состоянии обладает явно выраженными признаками «хаотичности». Напротив, всякая наблюдаемая на экране «регулярность» может свидетельствовать о тяжёлом заболевании (например, эпилепсии). Считается, что электроэнцефалограмма является одной из основных характеристик активности человеческого мозга. В частности, у спящего человека наблюдается «скатывание» к фрактальному аттрактору. Отражением «хаотичности» в рассматриваемой модели является следующий факт: множество Zm всех информационных состояний цепи нейронов гомеоморфно канторову совершенному множеству, которое является фракталом с хаусдорфовой размерностью log 3 2 « 0.6.

Проблемы устойчивости неподвижных точек полиномиальных отображений в Zm приводят к обобщению некоторых фундаментальных понятий математики. Пусть xo — произвольное натуральное число, которое можно считать элементом Z10 и P(x) = x10. Хотя поведение итераций xn «на бесконечности» практически не контролируемо, в топологии Z10 последовательность xn сходится для любого Xo £ Z10 к одному из корней уравнения x = x10. Это уравнение имеет в Z10 четыре корня:

0 =...000, Т = ... 001, X = ... 625, У =...376.

С помощью теоремы 2 нетрудно установить, что каждая из этих неподвижных точек отображения P(x) = x10 асимптотически устойчива по Ляпунову (I тип), причём, если хо начинается с 0, то х„ —> 0,

если хо начинается с 1, 3, 7 или 9, то х„ —> 1,

если x0 начинается с 5, то xn ^ X, и, наконец,

если x0 начинается с 2, 4, 6 или 8, то xn ^ Y.

Все четыре предела являются идемпотентамикольца Z10, т. е. удовлетворяют уравнению А2 = А. Так как Z10 изоморфно как кольцо произведению Z2 х Z5, число идем-потентов, в точности, равно четырём.

Этот простой пример наводит на мысль о том, что иногда наблюдаемый хаос может оказаться «регулярным» процессом (например, «скатывание» к аттрактору), если его рассматривать в другой, более естественной топологии.

Как известно, в квантовой механике (линейный) оператор «распознавания», который интерпретируется как некоторая величина, является проектором, т. е. совпадает со своим «квадратом». Значения этой величины 1 и 0, удовлетворяющие уравнению А2 = А, соответствуют ответам «да» (1) и «нет» (0).

В кольцах Zm с простым m это уравнение также имеет два решения. Однако если m — составное, ситуация меняется. В Z10, например, появляются ещё два решения X и Y, которые могут быть интерпретированы как два вида «незнания». Два ответа «не знаю», принадлежащие двум «дуальным» объектам (субъектам), обладают следующими свойствами:

— их «объединение» (сумма) даёт положительный ответ, так как X + Y =1,

— «их пересечение» (произведение) даёт отрицательный ответ, так как X -Y = 0 (X и Y являются в Z10 делителями нуля).

Элементарное доказательство этих свойств можно найти в [2].

Есть основания предполагать, что «незнание» должно характеризоваться «полной хаотичностью» появления различных цифр в представлении X (или Y). Точный смысл сказанного заключается в следующем.

Пусть ni —число цифр, совпадающих с г, в первых n разрядах числа X. Тогда

lim — = 77: {*)

U 10

для каждого г = 0,1, 2,... 9. Из (*) следует аналогичное предельное соотношение и для Y. Впервые, насколько известно автору, первые несколько десятков знаков числа X, были получены А. Б. Жиглевич. В 2004 году американским математиком А. Антоновым были получены первые 150, затем 300 и, наконец, 1020 знаков числа X. Результаты его вычислений приводятся ниже.

Случай n =150. Случай n = 300. Случай n = 1020.

г га; —100% п

1 13 8.67

2 21 14.00

3 13 8.67

4 7 4.67

5 19 12.67

6 20 13.33

7 6 4.00

8 16 10.67

9 17 11.33

0 18 12.00

г га; П-i ^ — 100% п

1 22 7.33

2 40 13.33

3 27 9.00

4 19 6.33

5 33 11.00

6 34 11.33

7 27 9.00

8 32 10.67

9 37 12.33

0 29 9.67

г га; П-i ^ — 100% п

1 93 9.12

2 108 10.59

3 104 10.20

4 96 9.41

5 110 10.78

6 106 10.39

7 107 10.49

8 87 8.53

9 107 10.49

0 102 10.00

Проведённые вычисления лишь в последнем случае оставляют надежду на подтверждение гипотезы (*), которая до сих пор не доказана.

Для т =10 могут быть построены другие варианты «многозначной логики». Однако некоторые считают, что случай т =10 является исключительным.

Некоторые геометрические объекты в Zm имеют прозрачный когнитивный смысл. Элементы пространства Zm интерпретируются как информационные состояния «идеальной» (т. е. бесконечной) цепи нейронов. Шары в Zm называются ассоциациями. Каждая ассоциация определяется конечным числом первых знаков некоторого элемента х £ Zm. Множество шаров в Zm называется идеей. В «пространстве идей» доказывается, что при некоторых естественных предположениях всегда существует аттрактор, который интерпретируется как «искомая идея» [3].

3. Общая теоpия. В заключение несколько слов о возможной теории, объединяющей модели нейрофизиологии и теоретической физики микромира. Объединяющая их идея заключается в том, что в обоих случаях следует отказаться от описания изучаемых процессов с помощью вещественных чисел и основанных на нём представлений о структуре пространства-времени. В обоих случаях предлагается заменить отрезок прямой канторовым совершенным множеством. Однажды А. Пуанкаре заметил, что переход от рациональных чисел к вещественным — нетривиальный и ответственный выбор. Эти слова позволяют предположить, что указанная выше возможность им не исключалась. К сказанному выше о нейрофизиологии добавим несколько слов о достоинствах р-адического описания пространства-времени [4].

В квантовой механике с учётом гравитации, на основе соотношений Гейзенберга, доказывается, что ошибка в измерении длины не может быть меньше так называемой «планковской длины»

где h — постоянная Планка, G — гравитационная постоянная, с — скорость света.

Подобная неопределённость возникает и в теории относительности: одновременность двух событий, произошедших в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии г, не может быть установлена с точностью, превышающей г/с. Но эта неопределённость имеет другую природу. В квантовой механике в известном смысле нет расстояний меньше lpi и времён меньше lpi/с. Таким образом, для описания пространства-времени в микромире континуум вещественных чисел должен быть чем-то заменён. Известно, что всякое числовое поле содежит либо поле рациональных чисел, либо (конечное) поле Галуа. Хотя физики-теоретики не исключают использования полей Галуа, последние плохо приспособлены для описания сложных процессов. Во-первых, в этих полях нет нетривиальных метрик, во-вторых, непонятно, как осуществляется переход от «микроописания» к «макроописанию», в котором удовлетворительно используются вещественные числа. Таким образом, речь может идти лишь о расширении поля рациональных чисел, отличном от стандартного. По известной теореме Островского в множестве Q рациональных чисел могут быть только два вида нормы (с точностью до изоморфизма): обычный модуль (абсолютная величина) и так называемая р-одическоя норма (р — простое число), которая определяется следующим образом.

Пусть x £ Q представлено в виде г = p“m/n, где а, m, n — целые числа, причём последние два отличны от нуля и не делятся на р. Тогда полагают | |г| |р = р-а и ||0||p = 0. Эта норма превращает Q в метрическое пространство, которое, как и в «вещественном» случае, оказывается неполным. Стандартная процедура его пополнения приводит к полю р-адических чисел Qp. Каждый элемент x £ Qp раскладывается в «ряд Лорана» по степеням p, в котором содежится лишь конечное число членов с отрицательными степенями р. Если таких членов нет, x называется целым р-одическим числом. Множество всех целых р-адических чисел, которое обычно обозначается через Zp,2 имеет мощность континуума и играет в Qp роль единичного отрезка (||x||p ^ 1 для всех x £ Zp). Доказано, что Zp гомеоморфно конторову совершенному множеству. Таким образом, если мы, отказываясь от «вещественного» пополнения множества Q, ограничимся только теми метриками на Q, которые порождаются нормами, то неизбежно придём к канторову множеству.

Множество Qp является ультраметрическим пространством. Метрическое пространство называется ультраметрическим, если в «неравенстве треугольника» сумма «расстояний» заменена на их максимум. Хотя свойства этого пространства кажутся экзотическими, некоторые полагают, что оно более адекватно описывает мир элементарных частиц. Например, в качестве центра шара можно выбрать любую его точку. Отсюда, в частности, следует, что если два шара имеют непустое пересечение,то один шар лежит в другом. Можно показать также, что в пространстве Qp все треугольники — «равнобедренные». Основная причина столь необычных свойств заключается в том, что р-адическая норма принимает лишь счётное множество значений вида ра, где а — произвольное целое число. Поэтому переход от «вещественного описания» к р-адическому иногда называют предквонтовонием.

2 Zp является частным случаем опpеделённого выше кольца Zm.

Из определения р-адических чисел следует, что натуральное число, делящееся на «большую» степень р, в р-адической норме оказывается «малым». В физике популярна идея подобия «большого и малого». Достаточно вспомнить планетарную модель атома или гипотетическое подобие «чёрных дыр» и элементарных частиц, которые, с точки зрения теории струн3, представляют собой просто различные фазовые состояния «струнной материи». Это иллюстрирует справедливость высказываемого некоторыми авторами следующего философского тезиса: вид универсальных законов природы не должен зависеть от числовых полей, с помощью которых эти законы формулируются.

Summary

N. N. Petrov. Stability problems of fixed points for polinomial maps in some compact rings.

In the article some theorems on Lyapunov stability of fixed points for polinomial maps in the ring of integer m-adic numbers are presented. Those are used in some cognitive models describing processes of thinking. A connection between these problems and ones arising in the study of microcosm is discussed.

Литература

1. Антонов А. В., Петров Н. Н. Пpедельное поведение полиномиальных итеpаций в неко-Topbix компактных кольцах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сеp. 1. 1996. Вып. 4. С. 35-41.

2. Петpов Н.Н., Жиглевич А. Б. О четьфёх pешенияx уpавнения x2 = x // Квант. 1989. №11. С. 14-18.

3. Khrennikov A. p-adic discrete dynamical systems and collective behaviour of information states in cognitive models // Discrete Dynamics in Nature and Society. 2000. Vol. 5. P. 59-69.

4. Владим^ов В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. p-Адический анализ и математическая физика. М., 1994. 352 с.

5. Волович И. В. p-Адическое пpoстpанствo-вpемя и теopия стpун // Теop. и мат. физ. 1987. Т. 71. №3. С. 337-340.

Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.

3в которую p-адическая математика «проникла» благодаря основополагающей работе И. В. Во-ловича [5].