CC BY
115
УДК 517.938
О КАНТОРОВЫХ КУБАХ*
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 3
Н. Н. Петров
С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, nikolai.petrov@pobox.spbu.ru
Введение. В работе обсуждаются основные элементы новой модели четырёхмерного пространства-времени, основанной на отказе от естественного вещественного описания. Причины такого отказа хорошо известны. Из соотношений неопределённости Гейзенберга с учетом гравитации следует, что ошибка в измерении длины не может быть меньше так называемой «планковской длины» 1р, которая выражается через постоянную Планка, скорость света с и гравитационную постоянную Ньютона. В квантовой механике, по существу, нет расстояний меньше 1р и нет «интервалов времени» меньше 1р/с.
Другая причина заключается в скептическом отношении к аксиоме Архимеда, которая очевидным образом выполняется в поле вещественных чисел (см. полезное обсуждение этого вопроса в [1]). Возможность использования неархимедовых полей для описания пространства-времени была отмечена еще Д. Гильбертом. Близкую позицию занимал А. Пуанкаре, который назвал переход от рациональных чисел к вещественным нетривиальным и ответственным выбором, полагая, что континуум числовой прямой не во всех случаях дает удовлетворительное описание пространственных переменных.
Известно, что каждое поле содержит либо поле рациональных чисел, либо (конечное) поле Галуа. Использование последнего вместо вещественных чисел затруднительно. Во-первых, в полях Галуа нет нетривиальных метрик. Во-вторых, непонятно, как осуществляется переход от «микроописания» к «макроописанию», в котором определяющую роль играют вещественные числа. Поэтому естественно поставить вопрос о «расширении» поля рациональных чисел, отличном от стандартного. По теореме Островского [2, с. 521], в множестве рациональных чисел существуют только два вида нетривиальной нормы: обычный модуль (абсолютная величина) и так называемая р-адическая норма, определённая для каждого простого числа р. Таким образом, отказ от вещественного описания пространства-времени, по существу, приводит к использованию р-адического анализа. Адекватность такого описания была высказана в качестве гипотезы в работе [3].
Столь жёсткий выбор математического аппарата обусловлен желанием иметь дело исключительно с числовыми полями. Однако в некоторых случаях для адекватного описания сложных процессов могут быть использованы более общие числовые системы. Например, в нейрофизиологии при описании процессов мышления также имеются веские основания для отказа от вещественного описания [4-6]. Для изучения таких процессов, требующих, кстати сказать, квантово-механических рассмотрений, могут быть использованы кольца, а именно, множества целых т-адических чисел для любого натурального т > 1. Дальнейшие рассуждения, касающиеся структуры пространства-времени, в значительной степени относятся и к процессам мышления.
* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (грант №2010-1.1-111-128-033).
© Н. Н. Петров, 2012
1. Канторово множество. Отказ от вещественного описания некоторых процессов в нейрофизиологии и в квантовой механике требует существенного изменения математического аппарата. В основе такого изменения лежит замена отрезка числовой прямой канторовым совершенным множеством. При этом вся евклидова прямая заменяется дизъюнктным объединением счётного числа канторовых множеств. Целесообразность такой необычной замены подробно обсуждается в [6]. В частности, в этой работе отмечается, что топологическая структура канторова множества, в сравнении с отрезком, обладает многими преимуществами. Например, известно, что любой метризуемый компакт является непрерывным образом канторова множества, в то время как метризуемый континуум (т. е. связный компакт) является непрерывным образом отрезка в том и только в том случае, когда он (континуум) локально связен (теорема Хана—Мазуркевича). Канторово множество является универсальным в классе всех нульмерных топологических пространств со счётной базой, т. е. в него го-меоморфно вкладывается любое пространство из этого класса. Таким образом, можно сказать, что, в известном смысле, канторово множество проще, чем отрезок числовой прямой.
В то же время отрезок числовой прямой и канторово множество имеют принципиально важные общие черты, что неудивительно, так как они, по-видимому, являются элементами описания нашего мира на разных уровнях. Например, имеет место замечательная теорема А. А. Милютина [7, 8]:
Пространства непрерывных функций, заданных на метрических компактах континуальной мощности, линейно изоморфны.
Последнее означает, что если Е1 и Е2 суть два такие (банаховы) пространства, то существует линейный оператор А из Е\ на Е2, для которого ||А|| < то, ||А-1|| < то. В частности, пространство непрерывных функций, заданных на отрезке, линейно изоморфно пространству непрерывных функций, заданных на канторовом множестве.
Кроме того, из сказанного выше следует, что всякий локально связный метризу-емый континуум есть непрерывный образ отрезка числовой прямой и непрерывный образ канторова множества.
Рассмотрение канторова множества в качестве основного элемента математического аппарата, описывающего сложные процессы окружающего нас мира, имеет и определённое методологическое значение.
Во-первых, оно непосредственно касается законов логики, которые, как считают многие, требуют серьёзных уточнений всякий раз, когда речь идет о микромире.
Во-вторых, создается впечатление, что канторово множество лежит на «границе нашего понимания». Многие считают, что принцип психофизического параллелизма, позволяющий человеку ориентироваться в окружающем его мире, имеет естественные границы, определяемые несовершенством нашего мыслительного аппарата. В самом деле, многие известные проблемы математики были решены с помощью контрпримеров, использующих канторово множество. Если ограничиться только теорией динамических систем, то в этой связи уместно упомянуть опровержение Швейцера известной гипотезы Зайферта о том, что всякое С 1-гладкое векторное поле на трёхмерной сфере имеет либо состояние равновесия, либо периодическую траекторию, и сенсационный результат Смейла о том, что структурно устойчивый диффеоморфизм может иметь бесконечно много периодических точек («подкова» Смейла).
В-третьих, есть надежда, что использование канторова множества в качестве основного элемента математического аппарата поможет развить нашу интуицию, необходимую для понимания законов микромира.
Наконец, в-четвёртых, канторово множество — это фрактал, поэтому его гипотетическая фундаментальная роль отвечает тезису о фрактальной структуре нашего мира.
Как уже отмечалось выше, в множестве ( рациональных чисел для каждого простого р существует так называемая р-адическая норма, которая превращает ( в метрическое пространство. Как и в вещественном случае, это пространство оказывается неполным. Стандартная процедура его пополнения приводит к полю р-адических чисел (р. Каждый элемент х € раскладывается в ряд Лорана по степеням р, в котором содержится лишь конечное число членов с отрицательными степенями р. Если таких членов нет, х называется целым р-адическим числом. Множество всех целых р-адических чисел, которое обозначается через Zp, является плотным в себе метризуемым компактом, имеет мощность континуума и играет в Zp роль отрезка [—1,1] (||х||р < 1 для всех х € Имеет место следующий фундаментальный факт (см., например, [5, с. 89]):
Множество Zp гомеоморфно канторову совершенному множеству.
Стандартное канторово множество строится следующим образом. Отрезок [0,1] делится на три части и интервал (1/3,2/3) выбрасывается. С каждым из оставшихся отрезков [0,1/3], [2/3,1] поступают аналогичным образом и т.д. После всех «выбрасываний» остается компактное совершенное (т. е. без изолированных точек) множество нулевой лебеговой меры, имеющее, однако, мощность континуума, которое и называется канторовым совершенным множеством. Если воспользоваться троичной системой счисления, то каждая его точка представляет собой троичную дробь, содержащую только нули и двойки.
Известны работы, в которых строится р-адическая квантовая механика с ком-плекснозначными волновыми функциями от р-адических аргументов. В этом направлении, используя аналогию с классической квантовой механикой, удалось продвинуться достаточно далеко. Однако некоторые физики подвергают сомнению ценность подобных исследований, полагая, что волновые функции от р-адических аргументов должны принимать значения в соответствующих квадратичных расширениях, подобно тому, как классическая волновая функция от вещественных переменных принимает значения в поле комплексных чисел, которое является квадратичным расширением поля вещественных чисел. В такой постановке, однако, возникают значительные препятствия, в частности, проблема выбора квадратичного расширения (для любого простого числа р существует несколько неизоморфных квадратичных расширений). Все квадратичные расширения имеют одну и ту же группу Галуа, которая интерпретируется как группа «зарядового сопряжения». Отметим ещё основополагающую работу [1], в которой предлагается р-адическое описание некоторых элементов теории струн.
Замена в квантовой механике основного числового поля влечет за собой пересмотр основ теории вероятностей, что необходимо сделать для точной формулировки физического смысла волновой функции. В этом подходе много неясного. Доказано, например, что замыкание множества рациональных чисел, лежащих между нулем и единицей, в р-адической топологии совпадает со всем полем что плохо согласуется с нашими представлениями о вероятности события. К тому же, с общефилософской точки зрения, неясно, нуждается ли вообще изложение основ мироздания в какой-либо теории вероятностей, хотя большинство физиков склоняются к так называемой «копенгагенской» интерпретации квантовой механики. В рамках этой интерпретации «случайность» — это объективная реальность.
2. Кубы. В пространстве Дп п-мерным кубом называется декартово произведение п отрезков I = [0,1]. В топологии известна общая конструкция — произведение «любого» числа топологических пространств, которое снабжается так называемой «тихоновской» топологией [9, с. 127]. В этой топологии произведение компактов является компактом. Важную роль в математике играют «тихоновские кубы» 1т для т > Ко, в частности, куб I(«гильбертов кирпич»), свойства которого существенно используются в доказательстве упомянутой выше теоремы А. А. Милютина.
Пусть X — топологическое пространство. Обозначим через т(Х) его вес, т. е. наименьшую мощность базы пространства X. Пусть х(х, X) —характер точки х € X, т. е. наименьшая мощность базы в точке х. Тогда через х^) будем обозначать характер всего пространства X, т. е. точную верхнюю границу множества {х(х, X), х € X}. Наконец, через ¿(X) обозначим плотность пространства X, т. е. наименьшую мощность |А|, где А — всюду плотное подмножество пространства X.
Далее символ Ко, как всегда, означает мощность натурального ряда. Мы называем множество счётным, если оно конечно или имеет мощность Ко.
Говорят, что топологическое пространство X
1) удовлетворяет первой аксиоме счётности, если х^) < Ко,
2) удовлетворяет второй аксиоме счётности, если ад^) < Ко,
3) сепарабельно, если ¿(X) < Ко.
Далее нас будут интересовать так называемые канторовы кубы Бт для т > Ко, где Б = {0,1} представляет собой стандартное двоеточие, рассматриваемое как подпространство прямой Д1.
Известно [9, с. 347], что для любого диадического компакта X, т.е. непрерывного образа некоторого канторова куба, ад^) = х^). В интересующем нас частном случае для т > Ко имеем
ЧБт) = х(Бт) = т.
Интерес к канторовым кубам вызван следующими обстоятельствами. Известно, что «наименьший» канторов куб гомеоморфен канторову совершенному множеству, которое, в свою очередь, как уже отмечалось ранее, гомеоморфно множеству целых р-адических чисел. Поскольку с р-адическими числами связаны надежды на то, что они более адекватно отражают структуру пространства-времени «в малом», чем вещественные, возникает вопрос о возможных уточнениях р-адической модели. Для этой цели предлагается использовать канторовы кубы Бт для т > Ко. Как уже отмечалось выше, выбор канторова множества в качестве основного элемента фундаментальной теории пространства-времени, во многом продиктованный желанием иметь дело с числовыми полями, оставляет в стороне другие возможности описания. Может оказаться, что канторово множество недостаточно «мощно» для адекватного описания мира, по крайней мере, в некоторых случаях. Известно, например, что упомянутое выше множество всех р-адических чисел представляет собой ультраметрическое пространство, т. е. метрическое пространство, в котором метрика удовлетворяет «неравенству равнобедренного треугольника». Эта экзотическая структура является прямым следствием упомянутой «маломощности» канторова множества. Принять такое положение дел совсем не просто, хотя некоторые физики думают иначе, полагая, что переход к р-адическому описанию является своего рода «предкван-тованием». Есть основания ожидать, что канторовы кубы могут быть использованы и при построении теории множественности миров в духе Эверетта—Уилера—Грэ-хема.
3. Свойства канторовых кубов. Если т > Ко, канторов куб Вт не удовлетворяет первой аксиоме счётности и, следовательно, не является метризуемым. На наш взгляд, отсутствие метризуемости не является основанием для отказа от рассмотрения упомянутых канторовых кубов в качестве модельных элементов теории о структуре пространства-времени, во всяком случае, в некоторых интерпретациях этой теории. Кроме того, неметризуемость типична в моделях, описывающих внутренний мир человека, в частности, процессы мышления (см. обсуждение этого вопроса в [4]).
Обсудим теперь свойство сепарабельности канторовых кубов. Для неметризуе-мых пространств нельзя утверждать, что сепарабельность эквивалентна второй аксиоме счётности. Известно [8, с. 143], например, что куб Vе является сепарабельным пространством (хотя вторая аксиома счётности для него не выполняется). Этот факт следует из того, что свойство сепарабельности с-мультипликативно, т. е. всякое произведение сепарабельных пространств сепарабельно, если мощность «множества сомножителей» не превосходит с. С другой стороны, имеет место старая теорема Пон-дицери—Марчевского [9, с. 145], которая утверждает, что произведение хаусдорфовых пространств, каждое из которых содержит более одного элемента, не является сепа-рабельным, если мощность «множества сомножителей» больше с.
Канторов куб Vе имеет довольно экзотическую структуру. Он содержит всюду плотное множество X с континуальным характером, более точно, х(х, X) = с для всякого х € X.
Отсутствие сепарабельности, по-видимому, лишает физического смысла (в современном понимании) всякую теорию, использующую канторовы кубы. Считается, что физический смысл имеют только счётные множества, например, множество рациональных чисел. Что же касается их естественных «замыканий» (без которых, видимо, не обойтись), то к ним относятся, как правило, с некоторым предубеждением. Напомним высказывание А. Пуанкаре, приведенное в начале статьи.
Обсудим еще одно свойство канторовых кубов, являющееся основой доказательства многих теорем существования, — секвенциальную компактность, т.е. возможность извлечь из произвольной последовательности сходящуюся. Известно, что для метризуемых пространств секвенциальная компактность эквивалентна компактности. В этом утверждении условие метризуемости существенно: компакт Vе не является секвенциально компактным. С другой стороны, известно, что произведение счётного множества секвенциально компактных пространств секвенциально компактно, т. е. свойство секвенциальной компактности Ко-мультипликативно. В этом утверждении существенно условие счётности. Наличие секвенциальной компактности у канто-ровых кубов Вт для т > Ко возможно лишь при отрицании гипотезы континуума, т.е. если Ко < К1 < с (см. [10]). В общем случае связь компактности и секвенциальной компактности довольно сложная. Например, известны секвенциально компактные пространства, не являющиеся компактными.
Использование канторовых кубов целесообразно лишь для пространственных координат. Для временной координаты более естественным является описание с помощью александровских кубов, которые неявно содержат «стрелу времени». Александровским кубом веса т > Ко называется пространство ^т, где ^ = {0,1} — двоеточие с топологией, состоящей из пустого множества, множества {0} и всего пространства. Известно [9, с. 138], что является универсальным для всех То-пространств веса т. Напомним, что топологическое пространство называется То-пространством, если для любых двух его различных точек по крайней мере одна имеет окрестность, не содержащую другую точку.
4. Заключение. В работе обсуждается одно из возможных направлений усложнения и уточнения теории пространства-времени, формулируемой в рамках р-адического анализа. Отправной точкой является канторово совершенное множество, гомеоморфное множеству целых р-адических чисел и играющее в этой теории роль единичного отрезка. С другой стороны, канторово множество является, с точностью до гомеоморфизма, «наименьшим» канторовым кубом . Имеются веские основания ожидать, что естественным направлением уточнения р-адической модели является изучение канторовых кубов Бт для т > Ко. Вместе с тем, этот путь вызывает следующие возражения. Во-первых, при изучении структуры окружающего мира (как внешнего, так и внутреннего) привлекаются множества более чем континуальной мощности, что, мягко говоря, непривычно для физиков. Во-вторых, при т > Ко теряется метризуемость, что существенно уменьшает возможность числового описания, которое многие считают безусловно необходимым. В-третьих, при т > с исчезает сепарабельность, о чём уже говорилось выше. В-четвёртых, решение многих важных вопросов этой гипотетической теории (детали которой будут изложены в последующих публикациях) требует расширения списка основополагающих аксиом математики, в частности, включение в него аксиомы, касающейся гипотезы континуума, роль которой в математике, не говоря уже о физике, до конца не выяснена. И, наконец, в-пятых, трудно представить себе эксперименты, которые подтверждали бы выводы теории, основанной на канторовых кубах Бт для т > Ко, которые характеризуются «дискретностью произвольной мощности». Впрочем, известны физические теории, например, теория струн, для которых это требование не является обязательным или, во всяком случае, в настоящее время трудно выполнимым. Нельзя исключить, однако, что в физике внешнего и, в особенности, внутреннего мира есть проблемы, которые, в принципе, могут быть решены только качественными методами, использующими нетривиальные конструкции теоретико-множественной топологии. Однако история математики знает много случаев, когда экзотические объекты в математике находили широкое применение в физике.
Литература
1. Волович И. В. р-адическое пространство-время и теория струн // Теоретическая и математическая физика. 1987. Т. 71. №3. С. 337—339.
2. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука. 1979. 623 с.
3. Владимиров В. С., Волович И. В. Суперанализ. I. Дифференциальное исчисление // Теоретическая и математическая физика. 1984. Т. 59. №1. С. 3-27.
4. Хренников А. Ю. Моделирование процессов мышления в р-адических системах координат. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 296 с.
5. Крым В. Р., Петров Н. Н. Исследование операций и принятие решений. В монографии «Леонид Витальевич Канторович: математика, менеджмент, информатика». СПб.: Изд-во «Высшая школа менеджмента»; Издат. дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. 596 с.
6. Петров Н. Н. Проблемы устойчивости неподвижных точек полиномиальных отображений в некоторых компактных кольцах // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2007. Вып. 2. С. 32-38.
7. Милютин А. А. О пространствах непрерывных функций: дис. ... канд. Изд-во МГУ,
1952.
8. Милютин А. А. Изоморфность пространств непрерывных функций над компактами континуальной мощности // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков. 1966. Вып. 2. С. 150-156.
9. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.
Статья поступила в редакцию 26 апреля 2012 г.
