CC BY
58
REACTIVE POWER IN THE LONG ELECTRICAL LINES Berzan V., Rimschi V., Patsiuk V., Tirsu M.
Institute of Power Engineering of the Academy of Sciences of Moldova
Abstract. This paper presents a numerical method for the calculation of electric circuits with distributed parameters with losses that may vary over time. It is proposed to use the energy integral in order to estimate the accuracy of numerical solutions. The elaborated numerical scheme, named Albatross, is conservative with minimal dissipation and dispersion. These properties lead to the fact that the computational error does not accumulate, that gives the possibility to realize the transparent calculations of non stationary solutions without loss of accuracy at large time intervals corresponding to 300...500 electromagnetic wave runs along the line length right up to steady-state regime. The results of calculations for non-homogeneous circuits with distributed parameters are presented graphically. These results can be used as a model to develop a new approximate methods for numerical solution of electrotechnical problems. The solutions of this problems have been obtained by means of operator method, complex amplitude method, Fourier method as well as by numerical method Albatross. The results of calculations for various modes in the half-wave transmission line are represented. The comparison between the physical and mathematical experiments in analyzing of different regimes in half-wave electrical transmission line is represented. The comparison of accuracy of the solutions obtained by proposed method, by Finite Difference Time Domain (FDTD) method and by Godunov's scheme for telegraph equations is carried out. It is illustrated, that FDTD method has some limited application for solving the telegraph equations in spite of the fact that it is of second order of accuracy.
Keywords: Long transmission line, telegraph equations, non-stationary currents and voltages, distributed and lumped parameters.
PUTEREA REACTIVA iN LINIILE ELECTRICE Berzan V., Rimschi V., Patsiuk V., Tirsu M.
Power Engineering Institute of Academy of Sciences of Moldova Rezumat. in lucrare se prezinta metoda numerica de calcul a circuitelor electrice cu pierderi, parametri distribuiti §i variabili in timp. Se propune de a utiliza integrala energiei in scopul de a estima precizia solutiilor numerice. Schema numerica de calcul elaborata, care a fost denumita Albatros, prezinta o schema conservativa cu disipare §i dispersie minima. Aceste propriety rezulta din faptul, ca eroarea de calcul nu se acumuleaza, ceea ce ofera posibilitatea de a realiza calculele a solutiilor proceselor nestationare in circuite fara pierderea preciziei pentru intervale mari de timp, de exemplu, care corespund la 300 ... 500 de propagari ale undelor electromagnetice in linia lunga pana la atingerea regimului stationar. Rezultatele calculelor in circuitle neomogene cu parametri distribuiti sunt prezentate in forma grafica. Aceste rezultate pot fi folosite ca o solutie de proba pentru elaborarea §i verificarea preciziei a unor noi metode aproximative de obtinere a solutiilor numerice din domeniul fizicii matematice, inginerie §i sistemelor electroenergetice. Solutiile au fost obtinute prin metoda operationala, metoda amplitudinilor complexe, metoda Fourier prin separarea variabilelor, precum §i prin metoda numerica de calcul neitrerupt Albatros. Compararea rezultatelor calculelor s-a executat pentru procesele din linia cu lungimea de semiunda. S-a comparat preciziea solutiilor obtinute prin metoda analitica, prin metoda diferentelor finite in domeniul de timp (Finite Difference Time Domain - FDTD) §i metoda Godunov pentru cazul ecuatiilor telegrafi§tilor. S-a ilustrat, ca metoda FDTD are limitari pentru rezolvarea ecuatiilor telegrafi§tilor, chiar daca acestea au ordinul doi de precizie.
Cuvinte-cheie: Linie lunga de transmisie, ecuatiile telegrafi§tilor, curenti §i tensiuni nestationare, parametri distribiuti §i concentrati.
РЕАКТИВНАЯ МОЩНОСТЬ В ДЛИННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ Берзан В.П., Римский В.К., Пацюк В.И., Тыршу М.С.
Институт энергетики Академии наук Молдовы Аннотация. В работе представлен численный метод для расчета электрических цепей с распределенными параметрами с потерями, которые могут изменяться во времени. Предлагается использовать интеграл энергии для оценки точности численных решений. Разработана численная схема, названная Альбатрос, консервативная по свойствам, с минимальной диссипацией и дисперсией. Эти
свойства приводят к тому, что вычислительная ошибка не накапливается, что дает возможность реализовать расчеты нестационарных решений без потери точности при больших интервалах времени, соответствующих 300 ... 500 пробегам электромагнитной волны в длинной линии, вплоть до достижения установившегося состояния. Результаты расчетов для неоднородных цепей с распределенными параметрами представлены графически. Эти результаты могут быть использованы в качестве образцовых (поверочных) при разработке новых приближенных методов численного решения электротехнических и электроэнергетических задач. Решения рассмотренной задачи были получены с помощью операторного метода, метода комплексных амплитуд, метода Фурье при разделении переменных, а также численным методом Альбатрос. Представлены графически результаты расчетов различных режимов в полуволновой линии электропередачи. Сравнение и оценка точности решения задачи осуществлено сопоставлением решений полученных по предлагаемому методу, методом конечных разностей во временной области (FDTD) и по схеме Годунова для телеграфных уравнений. Установлено, что метод конечных разностей имеет некоторые ограничения по применению при решении телеграфных уравнений, несмотря на то, что он имеет второй порядок точности.
Ключевые слова: Длинные линии передачи, телеграфный уравнения, нестационарные токи и напряжения, распределенные и сосредоточенные параметры.
1. Introducere
Sensul fizic al puterii reactive este determinat de schimbul de energie dintre campul electric §i campul magnetic ín circuitele de curent alternativ. Cel mai frecvent se considera cá atat campul electric, cat §i campul magnetic sunt localizate ín spa^iu. Pentru aceastá ipotezá, elementele ín care are loc stocarea energiei electrice se prezintá condensatoarele electrice §i bobinele de inductan^á - reactoare §i/sau transformatoare. Aceste elemente se considera echipamente electrotehnice cu parametri concentra^ pentru cazul curen^ilor de curent alternativ de frecven^á industrialá. Adesea, se considera, cá márimile ce determina parametrii condensatoarelor §i bobinelor de inductan^á au sens de márimi geometrice. Ca exemplu, se poate indica la capacitatea pámantului, care se másoará §i ín centimetri.
Pentru electrotehnicá, prezentarea ín schemele echivalente a elementelor cu proprietá^i de stocare a energiei ín campul electric §i campul magnetic este o practicá frecvent utilizatá. Introducerea no^iunii de circuit electric este utilá §i rezultativá. Totu§i, din punct de vedere a fizicii proceselor, circuitele electrice cu parametri concentra^ sunt o aproximare[1], care devine evidentá la analiza proceselor tranzitorii §i de ínaltá frecven^á. Utilizarea schemelor echivalente cu parametri concentra^ este justificatá la índeplinirea condi^iei l << X. Deci, dimensiunea l a echipamentului §i/sau a circuitului este mult mai mica in comparare cu lungimea undei electromagnetice X, determinatá de frecven^a curentului din circuit.
Re^elele electrice sunt un element al sistemelor electroenergetice cu semene pronun^ate de circuite cu parametri distribuid [2]. In liniile electrice de lungime mare se observá o variare a valorii decalajului de fazá dintre curent §i tensiune ín diferite sec^iuni ale liniei [3]. Din punct de vederea a electrotehnicii clasice pentru cazul circuitelor cu curen^i de formá sinusoidalá, ín linia electricá are loc o redistribuire a puterii transmise prin linie. In unele sec^iuni predominá componenta activá a puterii, iar ín alte sec^iuni componenta reactivá, fie cu caracter capacitiv, fie cu caracter inductiv [2,4].
In acest context apar neclaritá^i privitor la tratarea no^iunilor de putere activá §i reactivá ín liniile cu parametric distribuite chiar §i pentru cazul regimurilor sinusoidale. Problema este mult mai dificilá ín cazul proceselor tranzitorii sau a regimurilor deformate. De exemplu, cu metoda amplitudinilor complexe (MAC) puterea aparentá a liniei se poate prezenta cu douá componente ortogonale §i se poate determina repartida lor pe lungimea circuitului, fárá a apela la schema echivalentá prezentatá de circuite de tipul RLC [5].In regimuri deformante pentru a asigura balanza energeticá ín circuit se mai introduc componente suplimentarea de putere - puterea deformantá [6], care direct nu reiese din esen^a fizicá a proceselor energetice din circuit. Reie§ind din aceastá mica analizá a problemei, se poate sugera idea, cá chiar §i ín
cazul regimului sinusoidal în circuitele liniare pot apare dificulta^ la definirea §i explicarea esentei fizice a marimilor utilizate pentru característica proceselor energetice din aceste circuite în cazul exprimarii lor ca putere. Din patru marimi cum sunt puterea aparenta, puterea activa, puterea reactiva §i puterea deformanta utila se prezinta pentru consumator numai o singura componenta - puterea activa.
2. Formularea problemei investigatiei
Liniile electrice prezinta un element functional pentru transportul energiei produse la centralele electrice catre consumatorii finali. Ca produs comercializat se prezinta puterea activa facturata totalmente §i puterea reactiva care se factureaza partial în functie de factorul de putere a receptoarelor de energiei electrice a consumatorului. În acest context puterea activa §i puterea reactiva sunt determinate la intrarea §i ieçirea liniei electrice de curent alternative. Procesele din linie ramân fara examinare din pOunct de vedere a raporturilor dintre diferite component a puterii electrice ce circula prin retea. Liniile de înalta tensiune au semene evidente de circuite cu parametri distribuiti §i urmare a acestui fapt apare problema privind modul de tratare a notiunii de putere reactiva în aceste circuite.
De pe pozitiile fizicii matematice se poate depâçi aceasta dificultate, daca consideram, ca ecuatiile initiale ale circuitelor electrice liniare se refera la clasa ecuatiilor hiperbolice. Pentru aceste ecuatii se poate utiliza integrala energiei sau teorema conservarii energiei, inclusiv a energiei electromagnetice în circuitul cu parametri distribuiti [7-10].În baza acestei ipoteze vom examina modalitatea de determinare a puterii reactive a liniei lungi monofilare cu parametri distribuiti în regim sinusoidal §i pentru semnale periodice de curent §i tensiune de forma arbitrara - regim nesinusoidal.
3. Puterea liniei electrice în regim sinusoidal
Transportul energiei electromagnetice prin linia lunga cu ajutorul curentilor de conductivitate se descrie de ecuatiile telegrafiçtilor, care se pot trata ca derivate a teoremelor Kirhhgoff pentru un circuit închis, format de o portiune a circuitului cu lungimea de dx [2]
L ^ +dU + Ri = 0; C dU + ^ + Gu = 0. (1)
dt dx dt dx
Pentru a obtine unica solutie este necesar de completat sistemului de ecuatii (1) cu conditiile initiale §i de limita. Fie ca în momentul initial al timpului t = 0 linia se conecteaza la o sursa de tensiune sinusoidala, iar ca sarcina are o impedanta Z5 = R + jXs :
u = U0j pentru x = 0; u = Zsi pentru x = l.
Prin transformarea în spatiu a functiilor complexe vom deduce urmatoarea relatie integrala prin înmultirea primei ecuatii a sistemului (1) la functia conjugata a curentului i*, iar ecuatia a doua o vom substitui cu ecuatia conjugata §i o vom înmulti la functia de tensiune
u. La sumarea acestor expresii transformate obtinem urmatoarea relatie
*
di * du d * * *
L — i + C-u +— (ui ) + Rii + Guu = 0
dt dt dx
sau
L — i* + C — u + — (ui*) + R\i I2 + G\u I2 = 0. (2)
dt dt dx
Vom mai scrie o relate conjugate a ecua^iei (2):
L—i + C—u * + — (u *i) + R\i I2 + G\u I2 = 0. (3)
ôt ôt dx
Ecua^iile (2) §i (3) le vom transforma prin sumarea §i scaderea lor. Dupa executarea unor roceduri de modificare a ecua^iilor ob^inem doua expresii:
1 — (l| i |2 + C\u |2 )+ —[Re(ui*)] + R\i |2 + G\u |2 = 0; (4)
rdi .* di* —j--J 1 + C
dt dt J
L
A a..*
du* du ô
u- — u* 1 + 2 j — [Im( ui*)]= 0. (5)
dt dt J dx
Lansam ipoteza, ca în regim sta^ionar pentru t ^œ soluta cautata, ca §i tensiunea la intrarea liniei se poate prezenta prin func^ii complexe de tipul u(x, t) = U(x)ejmt §i
i(x, t) = I(x)ejmt. Daca valorile efective ale tensiunii §i curentului le vom nota astfel U(x) = |U(x)| ej(Pu(x); I (x) = |I (x)| e.M(x), observam ca vor fi veridice rela^iile I u(x,t)| = I U(x)| §i I i(x,t)| = |I(x)| . Aceasta ne permite sa consideram ca partea reala Re(ui*) a rela^iei (4) §i partea imaginara Im(ui*) a rela^iei (5) se pot exprima prin puterea activa P §i puterea reactiva Q în acel sens, cum aceste marimi sunt definite în [4,5]:
m = \U (x) |.| I (x)| ejiPu( V^ x) = |U (x) |I (x)| j x); 9(x) = ^(x)-q>,.(x);
Re(ui*) = |U(x) I ■ |I (x)| cos^(x) = P(x) ; Im(ui*) = |U(x) | • |I (x)| sin ^(x) = Q(x).
Substituim în ecua^iile (4) §i (5) tensiunea u(x, t ) = U (x)ejat §i curentul i(x, t) = I(x)ejmt. Întegram expresiile ob^inute pe variabila x în intervalul 0 < x < l. În rezultat se ob^ine ecua^ia balan^ei puterii active §i reactive în circuitul examinat:
J (
R\I ( x)| 2 + G\U ( x)| 2 )dx = P(0) - P(l ) (6)
0
§i
raj(l|I(x)|2 - C\U(x)|2)dx = Q(0) - Q(l). (7)
0
Componentele din stanga ale ecuador (6) §i (7) determina respectiv puterea activa §i puterea reactiva a liniei. La analiza proceselor vom utiliza in continuare formúlele metodei amplitudinilor complexe (MAC):
V
Zn =
R + JCTL ; ô=a + jß =4(R + JßL)(G + /шС); Zs = Rs + j
ZBX = Z 0
\ G + /шС
Z5 + Z 0th(ô l )
ßL -■
юС
S У
; Uo = ZbxIo ; U1 = ZSIX ; U1 = Uoch(ôl) - Z0Iosh(ôl) ;
Z 0 + Zs th(51 )
S = UI * = P + jQ = Un cos9 + J|U|I| sin ф.
În aceste formule sunt notate variabilele: ш = 2 nf - frecventa unghiularâ; Z0 -impedanta caracteristicâ a liniei; ô, a, ß- coeficientii de propagare, atenuare §i fazâ; ZS, ZВХ - impedanta sarcinii circuitului §i impedanta de intrarea a circuitului electric; U0, I0, U1, I1 -valorile complexe ale tensiunii §i curentului la intrarea §i la capâtul liniei cu lungimea l; S -puterea aparentâ; P- puterea activâ §i Q puterea reactivâ.
Solutia câutatâ pentru orifice punct x a portiunii [0, l] dupâ MAC se prezintâ de relatiile
U (x) = U0ch(ôx) - Z 010sh(ôx); Z 01 ( x) = -U0sh(ôx) + Z 0 I0ch(ôx). (8)
În ecuatiile (б) и (7) vom substitui componentele respective luând în considerare ecuatiile (8) în (6) §i (7). Expresiile obtinute se vor integra dupâ variabila x pentru a obtine în formâ evidentâ formulele ce reprezintâ integral legâturile dintre puterea sursei, puterea absorbitâ de sarcinâ §i linia lungâ:
2 Z o|2 [P(0) - P(l)] = (r + G\Z o|2 )sh(al) [( |Uo|2 + |I 0 Zol2 )ch(al ) - 2Re(Uo Io*Zo* )sh(al)_
+
+ (r - G|Z 0|2 )sin(ßl )
ß
Io Z o I2 - Uo I2 )cos(ß/ ) + 2 Im (Uo Io* Z 0* )sin(ß/)
[q(0) - Q(l )] = (l - ÖZ o|2 )
ш v 7
2 |sh(al)
+ (l + tfZ o|2 )
^sin(ßl )
ß
a
Io Zol2 - \U o|2 ) - "
+
(\u0|2 + |i0 z 012 )ch(al ) - 2Re(u010* z 0 )sh(al ) 0 )cos(ßl ) + 2 Im (Uo I (*Z 0* ]bin(ßl)]. (9)
Pentru linia fârâ deformarea semnalului §i Zo ô = (у + jß) I a, a =
у = RIL = GIС relatia (9) substantial se simplificâ:
P(0) - P(l ) = sh(yA) Q(0) - Q(l ) = sin(ßA)
( Zb \I o I2 + \U 017Zb )ch(yA) - 2Re (U o 10* )sh(yA) ((ZB |I012 - |U0 |2 /ZB )cos(ßA) + 2 Im(U010* )sin(ßA)
În varianta, când sarcina include numai componenta activâ Z = R , se poate demonstra, câ la capâtul liniei puterea reactivâ are valoarea zero §i ecuatia balantei puterilor în circuit se prezintâ de urmâtoarele relatii:
P(0) - P(l ) =
U02 (1 - e-2yA)(1 + z2e-2yA ) ZB 1 + 2 z у cos(2ßA) + z у2
U0 zy sin(2oA) R _ Z„
—0--y-r; zy = ze _2ya ; z = —--
ZB 1 + 2zY cos(2oA) + z2 Y R + Z£
"y 5 1 b
Pentru cazul RS = ZB al liniei fará deformarea semnalului, ob^inem ca §i la intrarea liniei nu se consuma putere reactiva Q(0) = 0, iar in linia idealá cu sarcina racordatá (y = 0) puterea injectatá (generatá) §i puterea activa absorbitá de sarcina coincid dupa valoare P(0)= P(t).
Atribuirea sensului fizic rezultatelor ob^inute in urma transformárilor prezentate mal sus constituie o problema discutabilá, dar ne se pare foarte esencial in studiul executat ínsu§i procedura de ob^inere a ecua^iei balan^ei puterilor pentru regimul sinusoidal sta^ionar ca consecin^e a transformárilor sistemului de ecua^ii (1). Rela^iile ob^inute nu permit de a da o tratare a naturii puterii reactive §i o prezentare fizicá adecvatá §i argumentatá, chiar pentru cazuri particulare ale regimurilor de funcionare ale llnlllor lungl. Vom menciona, cá in lucrarea [11], precum §i in alte publica^ se considera fizic argumentatá numai puterea lnstantanee p = iu sl valoarea el medle pe perloada T a oscila^iei sinusoidale, definitá ca putere activa P. Componenta denumitá putere reactiva Q §i puterea aparenta S se considera ca márimi comode de calcul, care au capacltatea de a caracteriza intr-un mod stablllt procesele energetlce ale semnalelor slnusoidale (tensiune §i curent). Reie§ind din aceastá constatare a situa^iei privind problema examinatá, vom purcede la studierea evolu^iei valorilor instantanee ale tensiunii §i curentului in circuit, urmárind procesul de la momentul de comuta^ie, decl de la starea nula ini^iala pana la atingerea regimului sta^ionar in circuit (a oscilador din circuitul llnlar cu parametri distribuid §i concentra^). O astfel de abordare se prezintá argumentatá §i logicá, deoarece orice proces sta^ionar are ca predecesor un proces nesta^ionar pentru care a prlorl nu este poslbll de argumentat corectltudlnea de a separa componentele puterll reactlve dln puterea lnstantanee (una sau mal multe componente). Ob^inerea §i argumentarea corectitudinii solu^iei problemei examinate a fost §i este in atenea multor cercetátori [12-14], dar corectitudinea rezultatelor rámane discutabilá, chiar §i in cazul examinárii regimurilor ne slnusoldale perlodlce in clrcultele llnlare.
4. Puterea liniei ín regim ne sinusoidal
Pentru regimurile sta^ionare sinusoidale componenta instantanee a puterii active se determina ca valoarea medie pentru perioada oscila^iei, de exemplu dupa formula [11]:
Q = -!_ f u (dt = _-L f i (^dt. (10)
&T f [dt) &T f [ dt)
Formule de genul (10) se pot utlllza numal pentru clrculte cu parametrl concentra^ §i nu pot fl utlllzate la fectuarea calculelor in circuitele cu parametri distribuid §i circuitele cu curen^i §i tensiuni ne sinusoidale. Pentru problema calculárii puterii in regimuri ne sinusoidale §i circuite cu parametri distribuid vom apela la ecua^iile hiperbolice [7-10] cu scopul ob^inerii expresiei pentru integrala energiei in circuitele liniare, deoarece formula ob^inutá este veridicá pentru orice funche, care este soluta sistemului de (1).
Pentru ob^inerea rela^iei integralei energiei vom utiliza procedura standard, ce consta in ínmul^irea primei ecua^ii a sistemului (1) la varlablla i, iar a ecua^iei a doua la variabila u. Rela^iile ob^inute astfel le vom suma
T .di .du n ,2 _ Su di „ 2 1 d ,T ,2 _ 2. n ,2 „ 2 d ,. . n Li — + i — + Ri + Cu — + u— + Gu = 0sau--(L + Cu ) + Ri + Gu + — (iu) = 0.
dt dx dt dx 2 dt dx
Integrarea ultimii expresii ín domeniul 0<x <l, 0< x <t, jinand cont de condijiile inicíale, ne permite sá objinem relamía:
J J (rí 2 + Gu 2 )dxdr +1J (lí 2 + Cu 2 )dx = J [/(0, x) u(0, x) - /(l, x) u(l, x)] dx. (11)
t i , . ^ i
,-2 , , _ J(l¿2 + Cu 2 Jdx _J [7(0, T) u(0, x) - J(i, x) u(
0 0 2 0 0
Partea din stanga a balanjei energetice a circuitului prezintá suma componentei active, care ireversibil se transforma in cáldurá §i a componentei reactive (reversibile) a energiei totale a circuitului (0 < x < l), iar funcjia din dreapta prezintá diferenja dintre energia cedatá de sursá §i energia absorbitá de sarciná. Toate componentele expresiei (11) se másoará in Joule.
In caz cá valorile instantanee ale curenjilor §i tensiunilor sunt solujiile sistemului inijial de ecuajii (1), reiese cá se respectá §i legea conservárii energiei (11). Deoarece pentru condijii inijiale §i de limitá nule egalitatea (11) este veridicá numai pentru solujia trivialá i = u = 0, iar din alternativa Fredholm reiese demonstrarea teoremei privind unica solujie a sistemului in caz cá aceastá solujie existá.
La cunoa§terea repartijiei in spajiu §i in timp ale tensiunilor §i curenjilorín circuitul examinat objinem din expresia (11), cá pierderile ireversibile a puterii active in linie pentru momentul de timp t se determiná din urmátoarea relajie
P(t) = J(Rí2 + Gu2)dx , (12)
iar valoarea totalá a componentei reversibile a energiei acumulate in campul electric §i magnetic al liniei pentru momentul de timp t > 0 se calculeazá din
1 i 1 l 1 l W(t) = Wm (t) + W3(t) = 1 J(Zi'2 + Cu2)dx, Wm (t)= 1 JLi2 dx, W3(t)= 1 JCu2 dx . (13)
2 0 2 0 2 0 Diferenjierea expresiei (11) dupá variabila t ne permite sá objinem urmátoarea relajie
i 1 d I
J(Ri2 + Gu2 )dx +--J (Li2 + Cu2) dx = i(0, t) u(0, t) - i(l, t) u(l, t)
0 2 dt 0
iar utilizand notárile expresiilor (12), (13) objinem formula
P(t) + d W (t) = i(0, t) u(0, t) - i(l, t) u(l, t). dt
Vom considera, cá toate componentele acestei formule sunt funcjii periodice §i determinand valoarea lor medie pentru intervalul de timp [0,7], objinem expresia
t T i t
- JP(t)dt + - [W(T) - W(0)] = - Ji(0, t)u(0, t)dt - - Ji(l, t) u(l, t)dt. (14) 7 0 7 7 0 7 0
Deoarece este valabila condijia W (T) = W (0), ecuajia pentru balanza puterii active a generatorului, sarcinii §i a circuitului dintre sursa §i sarcina (linia lunga) se va prezenta de relaja
i t
Pa = P(0) - P(l)= - J P (t )dt.
In particular, pentru regimul sinusoidal stajionar T = / © objinem
u(x, t) = U (x)sin(©t + qu (x)), i(x, t) = I (x)sin(©t + 9 (x)),
unde U(x) §i I(x) - valorile efective ale tensiunii §i curentului. Calculul integralelor (14) conduce la urmatoarele relajii:
Pa = JR2(x) + GU2(x)Jdx; P(0) = I(0)U(0)cos^(0);
P(l) = I (l)U (l) cos9(l); 9( x) = 9« (x) - 9/ (x).
Urmare a acestui fapt relaja (15) a balanjei puterilor active in circuit se va prezenta de expresia
J RI 2(x) + GU 2(x) dx = P(0) - P(l)
care coincide cu relajia (6).
Daca vom utiliza metodologia descrisa anterior pentru objinerea relajiilor de calcul a puterii reactive pentru cazul funcjiilor arbitrare periodice cu diferenjierea ecuajiei (1) §i inmuljirea la variabila i, precum §i prin inmuljirea ecuajiei a doua la operatorul du/dt cu sumarea acestor expresii objinem relajiile:
T.d2i . d fdu„.di JSu Li-+i— I — 1 + Ri— + C\ —
dt2 dx l dt) dt l dt,
du di du
+--+ Gu— = 0
dt dx dt
sau
1 - (Ri'2 + Gu 2) + Li ™ + cfdu] + -d-fi du] = 0.
2 dt dt 2 l dt ) dx I dt )
Integrarea ultimei relajii in domeniul 0 < x < l se finalizeaza cuobjinerea relajiei:
1 d 2 dt
i
J(Ri2 + Gu 2) dx + J
0
r. d2i „f du Li--+ C
dt2
dt
dx=i(0, t) ^um - iXi, t)du(l,11
dt
dt
Prin calcularea valorii medii pentru intervalul de timp [0,T] objinem ca
t i
± [P(T) - P(°)] +1JJ
T 0 0
r. d2i „f du Li--+ C
dt 2
dt
1 t
dxdt = — J i(0, t)
T 0
du(0, t) dt
dt--
T
1 t
1 Ji(l,t)
0
du(l, t) dt
dt,
i
0
0
2
i
2
0
\
deoarece P(T) = P(0), iar ^inand cont de (10) §i in baza unor transformari a rela^iei examinate se ob^ine ecua^ia balan^ei puterilor reactive in circuitul liniei:
Tl 1jj
T
00
r . d2i J du Li--h C
dt 2
dt
dxdt = -ra[Q(0) - Q(l)].
(16)
Rela^ia (16) se poate transforma in urmatoarea expresie
Tl 1jj
T
00
r . d2i J du" Li—- + C
dt
2
dt
i i 1 C ■di dxdt = — i —
T J0 dt
T T l
dx - T ii
00
t=0
L
'8f dt
CI {dt
dxdt.
T
Pentru solu^ia periodica cu perioada T componenta idi / dt\t_Q este egala cu zero. Ca
urmare a acestui fapt, reiese, ca pentru sarcina activa a liniei u = Rsi §i in corespundere cu (10) puterea reactiva la capatul liniei va avea valoarea zero: Q(l) = 0. Din (16) ob^inem rela^ia, care este veridica pentru orice solute periodica §i care prezinta coraportul dintre puterile reactive ale sursei, sarcinii §i liniei lungi din cadrul circuitului integru
1 Tl
(nT ^^
00
L
f di ^ 2 f (U 2
ydt J v
dt
Pentru regimul sinusoidal se ob^ine formula
dxdt = Q(0) - Q(l)
(17)
raj [LI 2( x) - CU2 (x)] dx = Q(0) - Q(l),
(18)
care coincide cu rela^ia (7).
5. Analiza indicatorilor energetici ai liniei electrice
Vom efectua o analiza numerica a indicatorilor energetici ai liniei electrice cu tensiuni §i curen^i sinusoidali §i de forma ne sinusoidala. Este util de prezentat parametrii circuitului in sistemul de unita^i relative L = C = ZB = X = a = T = f = 1. Ca obiect al cercetarii selectam linia fara deformarea semnalului pentru care se poate ob^ine solu^ia precisa atat pentru regimul sta^ionar, cat §i tranzitoriu pentru tensiuni §i curen^i cu forma arbitrara [15]. Fie ca, linia electrica omogena cu parametrii l = 3 X /8; R = G = 0.48 se conecteaza la sursa de tensiune sinusoidala u = sin(2ft), §i care are ca sarcina o rezisten^a activa la capatul ei x = l,
deci u = R i.
Liniile cu lungimea de unda X /8, 3 X /8, 5 X /8,... se caracterizeaza prin aceea, ca valorile calculate cu metoda MAC ale pierderilor active in regim de mers in gol coincid cu valorile pierderilor in regim de scurtcircuit dupa modul. In regim de putere naturala cu sarcina RS = 1 puterea reactiva a liniei este egala cu zero. In acest regim se considera ca linia este echilibrata
2
2
2
2
0
dupa puterea reactiva, deoarece valorile instantanee ale energiilor campului electric §i campului magnetic coincid dupa valoare [13].
Regimul stajionar are ca predecesor regimul tranzitoriu §i din aceste considerente calcularea proceselor in circuit se prezinta util de efectuat in consecutivitatea lor naturala de derulare. In figura 1 sunt prezentate curbele de evolujie a puterii aparente instantanee a sursei S0(t) = '(0, t) u(0, t) §i a pierderilor P(t) in linie (curbele 1;2) de la momentul de comutajie
pentru sarcina liniei: mers in gol Rs = m (a), scurt circuit Rs = 0 (b) §i sarcina racordata Rs = 1 (c). Constanta notata cu cifra 3, corespunde valorii calculate cu metoda MAC a diferenjei puterilor active ale sursei §i a sarcinii, care totalmente corespunde valorii medii in regim stajionar calculata cu formula (15) pentru sarcinile examinate ale liniei, respectiv: Pa = 0.1726 (a); 0.1726 (b); 0.1512 (c).
Fig. 1 Caracterul evolufiei în timp a puterii instantanee active a sarcinii §i a pierderilor (putere activa) în linie (curbele 1;2) pentru R =G =0.48 §i schimbarea valorii sarcinii
Rs = » (a); 0 (b); 1 (c).
Cu scopul analizei numerice a derulärii proceselor electromagnetice §i schimbului de energie dintre componentele circuitului (sursä §i linia cu parametri distribuiji) vom calcula valorile instantanee ale componentelor puterii reactive în inductanja §i capacitatea distribuite ale liniei QM (t) §i Q^t), care se determinä ca derivate a variabilei t a funcjiilor instantanee a energiilor WM (t) §i W^t) (curbele 1;2) acumulate în câmpul magnetic §i în câmpul electric al liniei cu curent alternativ sinusoidal. Linia electricä este o porjiune de circuit cu parametri distribuai. In figura 2 curba 3 corespunde valorii instantanee a puterii reactive la bornele sursei determinatä cu metoda MAC §i care absolut coincide cu valoarea calculatä cu ajutorul formulei (18) pentru curenjii §i tensiunile de formä sinusoidalä.
Fig.2. Evolufia in timp a puterii instantanee a campului magnetic §i campului electric in linia cuparametrii de disipare R =G =0.488 atribuirea sarcinii urmateoarelor valori
discrete Rs = rn (a); 0 (b); 1 (c).
magnetic §i campului electric in liria fara deformarea semralului cu sarcina activa racordata Rs = 1. Feromerul are ur caracter mai complex pentru cazul card amplitudirile §i fazele puterilor irstartaree ru coincid in timpul procesului tranzitoriu §i in regim stajiorar. Estimarea puterii reactive pentru astfel de cordi^ii in forma de valoare numerica este destul de aproximativa §i la rivel calitativ caracterizeaza procesul de circulate a erergiei electromagnetice in circuitul liniar cu parametri distribui^i. De exemplu, puterea reactiva la
intrarea în linie în regim de mers în gol are valoarea Qo = 0.4693 (curba 3 în fig. 2a) §i Qo = -0.4693 în regim de scurtcircuit (curba 3 în fig. 2b). Din acestea reiese, cä în regim de mers în gol dominantä în linie este energia acumulatä în câmpul electric al liniei, iar în regim de scurtcircuit energia acumulatä în câmpul magnetic. Aceasta se confirmä §i de caracterul evolutiilor functiilor periodice, care §i-au schimbat valorile de amplitudine în figurile respective.
În fig. 3 se prezintä evolutia în timp a puterii totale a sursei §i a puterii active a liniei în regim de scurtcircuit (curbele 1;2) pentru rezistenta longitudinalä R §i conductivitatea activä transversalä G a liniei R = 0; G =0.48 (a); R=G=0 (b). Curba, notatä cu numärul 3 corespunde valorii constante a puterii active în linie Pa = 0.1082 (a), inclusiv Pa = 0.0 (b).
Fig.3. Evolufia în timp a puterii instantanée a sarcinii §i a pierderilor de energie în linia electrica în regim de scurtcircuit (curbele 1;2) pentru valorile parametrilor câmpului magnetic §i câmpului electric în linia cu parametrii de disipare R = 0; G =0.48 (a); 0 (b)
Valorile instantanée a puterilor ce caracterizeazà câmpul magnetic §i electric al liniei în regim de scurtcircuit sunt prezentate în figura 4. Curbele notate cu 3, corespund respectiv urmàtoarelor valori ale puterii reactive a liniei Qo = - 0.4906 (a); - 0.5 (b), calculate cu formula (18). Pentru problemele examinate soluble regimului stationar sunt prezentate de functii periodice formate din por{iuni de sinusoidà (fig.5). Pentru acest tip de functii metoda MAC nu se poate utiliza în principiu pentru obtinerea solutiilor càutate.
Fig.4. Valorile instantanee a puterii reactive a câmpului magnetic a câmpului liniei în regim de scurtcircuit electric (curbele 1;2) pentru R = 0; G =0.48 (a); 0 (b)
Fig.5. Valorile instantanee a tensiunii curentului (curbele 1;2) la intrarea în linie în scurtcircuit
pentru R = 0; G =0.48 (a); 0 (b)
Vom menciona, cä pierderile de putere activä în linie §i în acest caz se pot caracteriza printr-o singurä valoare medie pe perioadä, pe când diferen^a dintre valorile puterilor instantanee utilizate pentru caracteristica energeticä a câmpurilor magnetic §i electric ale liniei, care se calculeazä cu formula (18) §i se prezintä în formä de o singurä valoare numericä nu mai este posibil sä elucideze informaba la integral despre procesele de schimb de energie ale câmpurilor electromagnetice ale circuitului electric. Contrapunerea informatiei grafice prezentatä în figura 2b §i figura 4 permite de a depista o particularitate foarte esen^ialä ce se referä la caracterul derulärii proceselor în linie §i care constä în aceea, cä caracterul evolutiei instantanee în timp a câmpului magnetic §i a câmpului electric a liniei în regim de scurtcircuit diferä destul de esencial. Totodatä, caracteristicile integrale prezentate ca putere reactivä (18) se deosebesc dupä valoare foarte neesen^ial. Diferen^a este depistatä numai pentru a doua §i/sau a treia cifrä zecimalä semnificativä a solutiei numerice.
La aplicarea la intrarea liniei a tensiunii alternative cu forma de trapez cu pante abrupte de creyere §i de descreyere (fig.6), valorile puterii reactive (fig.7) Q0 = - 0.626 (a); -0.636 (b) depä^esc valorile respective prezentate în figura 7, dar diferen^a dintre valorile acestor märimi este neesen^ialä. La aplicarea semnalului periodic de formä triunghiularä cu aceiaçi valoare a amplitudinii puterea reactivä a liniei devine de douä ori mai micä dupä valoare: Q0 = -0.314 (a); -0.318 (b).
Fig.6. Valorile instantanee a tensiunii curentului (curbele 1 ;2) la intrarea în linia în scurtcircuit cu parametrii R = 0; G =0.48 (a); 0 (b) la aplicarea la intrarea ei a tensiunii cu forma de trapez
Fig.7. Valorile puterii instantanee a puterii reactive a câmpului magnetic §i a câmpului
electric (curbele 1;2) a liniei în regim de scurtcircuit cu parametrii R = 0; G =0.48 (a);
0 (b)
Concluzii
1. Cu metoda amplitudenilor complexe (MAC) s-au obtinut relatiile generalizate în formä evidentä ce reprezintä integral legäturile dintre puterea sursei, puterea absorbitä de sarcinä §i linia lungä. Din aceste relatii se obtin expresiile pentru calcularea puterii active (pierderile) §i reactive a liniei färä deformarea semnalelor în regim racordat §i în linia färä pierderi.
2. Relatiile obtinute nu permit de a da o tratare a naturii puterii reactive a liniei §i o prezentare fizicä adecvatä §i argumentatä, chiar pentru cazuri particulare ale regimurilor de functionare ale liniilor lungi.
3. Pentru cazul semnalelor de formä arbitrarä, dar periodice, s-au obtinut relatiile, care prezintä coraportul dintre puterile reactive ale sursei, sarcinii §i liniei lungi din cadrul
circuitului integru §i care sunt veridice pentru orice solute periodica privind puterea reactiva a liniei.
4. Se eviden^iaza coincident absoluta a valorilor puterilor instantanee a campului magnetic §i campului electric in linia fara deformarea semnalului cu sarcina activa racordata Rs = 1.
5. S-a depistat o diferen^a dintre valorile puterilor instantanee a campurilor magnetice §i electrice ale liniei. Pentru aceste condi^ii prezentrea cantitativa in forma de o singura valoare numerica a puterii reactive nu poate servi la integral ca masura a proceselor de schimb de energie dintre campurile electromagnetice ale circuitului electric cu parametri distribu^i.Aceasta este o urmare a faptului, ca caracterul evolu^iei instantanee in timp a campului magnetic §i a campului electric a liniei in regim de scurtcircuit difera destul de esen^ial.
Bibliografia
[1] Beber, E. Liniar transient analysis. Volume I. Lumped-Parameter Two-Terminal Networks. New York: John Wiley&Sons, INC. London: Chapman&Hall, Limited. Traducere in rusa. M.: Sovetskoe radio, 1958.-392 p.
[2] Berzan V.P; Rimschi, V.X.; Tirsu, M.S.; Patsyuk, V.I.; Uzun, M.N. About some features of the power transfer mode on the long transmission line. Euro-Asian Jornal of sustainable energy development policy, 2013, vol.4, nr. 1, January-June 2011, p.1-10.
[3] Александров Г.Н.; Ле Тхань Бак. Уменьшение потерь мощности в дальних линиях электропередачи с управляемыми реакторами. - Электричество, 2007, №3, СС. 815.
[4] Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи /Учебник для ВТУЗов. - М.: Высшая школа, 1984. - 559с
[5] Круг К.А. Основы электротехники. - Л.: ОНТИ, 1936. -888 с.
[6] Кочкин В. Реактивная мощность в электрических сетях. Технологии управляемой компенсации. http://news.elteh.ru/arh/2007/45/08.php
[7] Годунов С.К. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1971. - 416 с.
[8] Годунов С.К.; Забродин А.В.; Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. - М.: Наука, 1976. - 400 с.
[9] Самарский А.А. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1987.
[10] Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. - М.: Наука, 1973. -416 с.
[11] Крогерис А.Ф.; Рашевиц К.К.; Трейманис Э.П. и др. Мощность переменного тока. - Рига: Физ.-энерг.ин-т Латв. АН, 1993. - 294 с.
[12] Агунов, М.В.; Агунов А.В. Об энергетических соотношениях в электрических цепях с несинусоидальными режимами. - Электричество, 2005, № 4, с. 53 - 56.
[13] Александров, Г. Н. Природа реактивной мощности линий электропередачи. -Труды СПбГТУ , 2006, № 501. Электроэнергетическое оборудование: надёжность и безопасность, с.100 -109.
[14] Демирчян К.С. Реактивная мощность на случай несинусоидальных функций. -Известия Академии наук РФ. Энергетика, 1992, № 1, с. 3 - 18.
[15] Пацюк В.И. Несинусоидальные напряжения при синусоидальном токе на входе разомкнутой линии с потерями. - Проблемы региональной энергетики, 2008, № 3 (8), с. 47-60.
Lucrarea a fost prezentatä la Forul International FOREN 2014, 22-26 iunie 2014, Palatul Parlamentului, Bucureçti, Romania
Despre autori.
Berzan Vladimir. Doctor-habilitat in stiinte tehnice. Aria intereselor stiintifice: diagnostica utilajului energetic, procese tranzitorii în retele electrice neomogene, modelarea matematicâ, transport al energiei electrice la distante mari, surse de energie renovabile. Autorul a mai mult de 220 de publicâri stiintifice, inclusiv 25 patente si 12 monografii. E-mail: berzan@ie.asm.md
Tîrsu Mihai. A absolvit Universitatea Tehnica a Moldovei în 1994, specialitatea «Automatizarea si conducerea sistemelor tehnice». În 2003 a obtinut titlul de doctor în stiinte tehnice. Cercetârile de bazâ petrece în domeniul conducerii retelelor de transport, diagnozei echipamentului de tensiune înaltâ, electronicii de fortâ.
Patiuc Vladimir. Doctor habilitât în stiinte fizico-matematice, docent al Universitâtii de Stat din Moldova, colaborator stiintific superior al Academiei de Stiinte a Moldovei. Ariile intereselor stiintifice: fizica matematicâ, analiza numericâ, mecanica mediilor compacte, electrotehnica teoreticâ, electronica de fortâ. Autor a mai mult de 140 de publicâri stiintifice, inclusiv 9 monografii si o inventie.
