Прямая задача сейсморазведки в трехмерных анизотропных средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Г Е О Ф И 3 И К А

УДК 550.834.017

ПРЯМАЯ ЗАДАЧА СЕЙСМОРАЗВЕДКИ В ТРЕХМЕРНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

© 2013 г. П.Н. Александров

Центр геоэлектромагнитных исследований ИФЗ РАН

Развитие теории сейсморазведки ставит актуальным вопрос о решении прямыгх трехмерных задач в анизотропных средах. Интерес к изучению анизотропнык свойств упругих сред в последнее время усиливается в связи с возможностью получения дополнительной геологической информации из этих параметров [2, 3].

В основном анизотропия в сейсморазведке связывается с анизотропией скоростей распространения упругих колебаний [1]. Более общий случай, который и будет рассматриваться в настоящей работе, - анизотропия упругих параметров в законе Гука с учетом частотной дисперсии тензора упругих параметров. При этом решение прямой задачи будет основано на объемных интегральных уравнениях без обращения к лучевому приближению. Прежде будет получен баланс упругой энергии. На основе подхода, основанного на получении условия взаимности упругих сред, будут получены объемные интегральные уравнения для вектора скорости смещения и упругих деформаций. В заключение будут рассмотрены численные примеры решений для некоторых трехмерных анизотропнык сред с учетом частотной дисперсии упругих парамет-

ров. При этом какие-либо ограничения, связанные с симметрией тензора упругости, накладываться не будут, учитывая, что в упругих средах может нарушаться принцип взаимности. Кроме этого, сложное строение горных пород, которые являются неоднородными многофазными системами, при переходе к средним величинам может привести к отличию от нуля всех компонент тензора упругости в законе Гука.

При получении интегральных уравнений будем использовать не тензорную технику, а векторную. Отличие заключается только в различном представлении уравнений теории упругости.

Таким образом, в настоящей работе сначала будет получен баланс упругой энергии исходя из векторного представления уравнений теории упругости. Затем получены интегральные уравнения для исследования принципа взаимности, аналогично лемме Лоренца в электродинамики [4]. После этого будут получены объемные интегральные уравнения. И в конце рассмотрены некоторые примеры численной реализации решения прямой задачи теории упругости в трехмерно-неоднородных анизотропных моделях геологической среды.

Вывод уравнения баланса упругой энергии. Уравнения теории упругости в частотной области включают в себя:

1. Уравнение равновесия [5, 6]

ШуРх + р< Бх = - Fx +< = - Fy Шур + рс2 ^ =-¥г ,

(1)

где Г = ^ + ^ + к^ - вектор объемных сторонних сил; р - плотность; с - частота;

8 = ¡¿Х + + к£г - вектор смещений; 1, ^ к - орты декартовой системы координат;

Рх = р+ ]Рху + кРхг - вектор напряжений, возникающий в среде за счет действия сил

в направлении оси х;

Ру = 1Рух + \Ру + кРуг - вектор напряжений, возникающий в среде за счет действия сил

в направлении оси у;

Р = 1РХ + ¿Ру + кРгг - вектор напряжений, возникающий в среде за счет действия сил

в направлении оси г.

2. Закон Гука в векторном виде связывает 9-ти компонентный вектор упругих

Г РХ ^

напряжений Р =

ру

V Р J

с 9-ти компонентным вектором деформаций е =

8

дх

д- 8

ду

—8

vдz J

через мат-

рицу упругих параметров Н размерностью 9 х 9 элементов: е = НР или . Все

материальные параметры здесь и далее являются функциями пространственных координат х, у, г и частоты <с. При этом никаких дополнительных условий, типа условий симмет-рий тензора упругих параметров, не накладывается.

Закон Гука можно переписать в виде

gradSx = ИххРх + НхуРу + кхг Рг = [Н„, ку, кХ2 ]Р = Нх Р

&ай$у = кух Рх + куу Ру + кг Рг = [кух , куу , ^ ]Р = Ну ^

gradSz = кхРх + куРу + кггРг = [к2Х, ку, к22 ]Р = НР .

(2)

С учетом (1) и (2) можно получить

^(¿хРх) = gradSxT ■ Рх + SхШуРх = (НхР)т ■ Рх - рс^х2 - ¿х¥х ау^уРу) = gradSyT ■ Ру + SydiуPy = (НуР)т ■ Ру -рс2Sy2 - SyFy

diу(SzРг) = gradSzT ■ Рг + SzdiуPz = (НгР)т ■ Рг -рс2Sz 2 - S zF г

Г Е О Ф И З И К А Суммируя, окончательно получим

Рх + Бу V + Б, Рг) =

хх У У 2 2 >

Рт ихт Рх + РтНуТ Ру + Р Я/ Рг-р®2 ОС + + С) - (^Л + ^ + зд) =

Рт[Нхт,Нут,Игт]Р-р®282 -8Р .

Таким образом, получено уравнение баланса энергии упругих полей в виде

?хРх + ^ Ру + ^ Рг ) =д- Рх Ьт Ру

Рх + ^ Ру + Б,Р2 ) =4- Рх +*т Ру +д *т Р2 = Рт^Р - РФ ^ 2 -

дх ду дг

где В = [Я?, Иут, Нгт ] .

После интегрирования по объему V, ограниченного поверхностью Б, окончательно получим

§(БхРх + 8уРу + БгР2)пЖ = |(РтВР-р®28-§8Fdv .

Умножим последнее выражение на г®

г® § (Бх Рх + Бу Ру + Бг Р2 = 㮧 (РтВР - рю28 2)ёу - 㮧 .

Б V V

Учитывая, что ®8 = V есть скорость смещения частиц, получим § VРх + VyРу + V2Р2 = 1ф§ (РтВР + рV2)йу - § VFdv

или

§(V,Рх + VyРу + VzР2= 1ф§ (РтВР + рю 282)йу - § VFdv

Б V V

д д д div(VxРх + VyРу + VzР2) = дхVтРх + — VтРу + — VтР2 = гФ(РтВР + рV2)- VF .

Г V ^ А Гр[1] [0]^

Если ввести новый вектор X = и новую матрицу параметров А = ^ в '

где [1] - единичная матрица размером 3 х 3, то правую часть последнего выражения можно переписать в виде

ддд div(VxРх + VyРу + VzР2) = — VтРх + —VтРу + —VтР2 = гФ(ХтАХ)-VF .

дх ду д2

Наличие нулевых и единичной подматриц указывает на возможность более общих материальных уравнений в теории упругости. Кроме этого, для полного заполнения мат-

рицы параметров следует рассматривать плотность тензорной величиной р = р . Для этого нужно ввести еще одно материальное уравнение и вектор массовой скорости (импульса) J = рУ . Тогда уравнения равновесия примут вид

divPx - = -Fx Шуру - Шу =-Ру

divPv -^ =

2 2 2 •

Закон Гука в этом случае будет

е = НР + ЫУ = (Ы Н^У или р = н е - Н -ЫУ = (- Н ~ХЫ Н - У ,

где N - матрица размерностью 9 х 3.

Теорема взаимности для упругих полей. Аналогично лемме Лоренца для электромагнитных полей рассмотрим теорему взаимности для упругих полей. Пусть имеется два источника в разных средах, тогда можно выписать две системы уравнений теории упругости.

Для первого источника и среды ^Рх1 + р® ¿X1 =- ^

divPyl + р® Бу1 =-Fyl (1а)

divPzl + р®=-.

Закон Гука

gradSxl = Н>х

= Ну1Р1 (2а)

gradSzl = Нг1Р1 .

Для второго источника и среды

^Рх2 + р2®2 2 =-Рх2

divPy2 + р2®2 Бу2 =- Fy 2 (1Ь)

divPz 2 + р2®22 = ^2 .

Закон Гука

2п2

gradSx = НхР

X

gradSy2 = Ну 2 Р2 (2Ь)

gradSz 2 = Нг 2 Р2

С учетом (1Ь) и (2a) можно получить

1 2 2 1 2 2 2 12 1 р ) = gradSx • рх + Sxdivpx = gradSx • рх - р2® БхБх -

1Т

1р 2

' X X 1Р 2

'у у

2 1 2 1 2

X X 2 XX ""XX

12 2 12 2 9 1 2 1

^^у Ру ) = • Ру + SydivPy = • Ру - Р2® БуБу -

т

¿Н^Р2) = • Рг2 + 2 = , • Рг2 - Р2® 28 2 - 2

или после суммирования

2 + Бу'Ру2 + 8 Р? 2) = 1Т 2 1Т 2 1Т 2 2 1 2 12 12

Р^х • Px + ф^у • Ру + г • Р - Р2® (SxSx + БуБу + Я? Я? ) -

X X о У У

(БхЧ2 + Бу1Еу2 + 2) = [gradSxl;gradSyl;gradSzl]TР2 -^^2 -S1F2

г г 2 к X X У У 2 2

1"|Тт» 2 „2с1с2

' X ' Л* у ? Л* 2

Аналогично можно получить и для оставшихся уравнений и (2Ь)

Шл(Бх 2Px1 + Бу 2Ру: + Б? Р?') =

[gradSx2; gradSy2; gradSz2]т Р1 - рха 2828' - 82Р

,2о2о1 о2тл1

Разность полученных уравнений есть

d/v((Sx1Px2 + Бу'Ру2 + Б? Р?2)-(Sx2Px1 + Бу2Ру1 + Б?2Р?')) =

[; ; gradS ?1 ]Т Р 2 - [gradSx2; gradSy2; gradS?2]Т р1 -

р2©28182 + р1©28281 - 8^2 + 8 V =

[; ; ]Т и2 [gradSx2; 2; ?2] -

[gradSX 2; gradSy 2; gradS2 2 ]Т и1 [; ; ^^айБ] ] -р2©28182 + р1©28 281 - 8^2 + 8 V =

1 1 1 Т 2 1Т 2 2 2

[gradSx; ; gradS2] (и - и )[gradSx; ^^у; ?] -

(р2 - р1)ю28182 - (8^2 - 82F1)

или

Л/У^Р,2 + Бу'Ру2 + Б? Р?2)-&2Px1 + Бу2р; + Б?Р?')) =

Г 81 ^ gradS ?1 у

^-®2(Р2 - Р1)[1] [0] ^

[0]

(и2 - и1 )

Г 82 ^ gradS

- (8Т2 -82Р')

? у

(3)

где и = Н - 1 .

Полученное выражение есть основа для определения условия взаимности сред.

2 1Т

Если и = и и р2 = рх , то среда является взаимной, поскольку после интегрирования по всему пространству , с учетом убывания поля на бесконечности, получим

18Г2dу =| 82Г^у .

Объемные интегральные уравнения теории упругости. Для разрешения объемных интегральных уравнений в области неоднородности необходимо ввести вектора

Х1 = Х1(^ y0, z0, У^ г1) =

Г 81 Л

gradSХ

V J

, Х2 = X 2(^ У, z, Х1, Уl, г1) =

Г 82 Л

gradSx

^^у

V J

Обозначим также

АЛ = АЛ( х, у, г, с) =

Г-с2(р2-р)[1] [0] Л

[0]

(и2 - и1)

Тогда, после интегрирования по всему пространству, из (3) получим

8 2( ^ Уo, zo, ^ Уl, г1)=-

х^( x, y, z, xo, Уo, Zo)

х1у (x, y, z, xo, Уo, Zo) х/ (x, y, z, ^ Уo, zo)

Т Л

т

т

АЛХ2 (х, у, г, х1, у1, г1 )dxdydz +

(Л^

ш

(81х(х y, z, xo, Уo, ^У 1

81 у (х y, z, xo, Уo, ^

(x, y, ^ Хo, Уo, Zo)T J

Г 2(х, у, г, х1, у1, г1 )dxdydz ,

где верхние индексы у вектора Х1 и нижние индексы у вектора 81 х означают компоненту вектора сторонних сил Г1, заданных в виде дельта функции Дирака.

———

Окончательно можно получить объемные интегральные уравнения вида

( Х1 (Х ^ z, ^ Уо, 2оУ Л

Х1 У (x, ^ z, хо, Уо, г(>)т Х1г (x, y, ^ хо, Уо, ^о)Т

— Х1х (x, y, z, хо, Уо, ^о)Т

дхо

— Х1Х (x, У, ^ хо, Уо, *о)Т дУо

— Х1Х (x, ^ z, Хо, Уо, *о)Т

&о

— Х1У (x, У, ^ xо, Уо, 2о)Т дхо

— Х1У (x, У, ^ ^ Уо, 2о)Т дУо

— Х1У (x, У, ^ x0, Уо, 2о)Т &0

— Х (x, y, z, хо, Уо, ^о)Т дхо

— Х1(x, ^ z, хо, Уо, *о)Т

дУо

— Х1г (x, ^ z, хо, Уо, *о)Т

ии ии ии

Х2(Х0,Уо,^Х1,Уl,21) = | |

АЛХ 2 (х, У, z, х1, У1, z1 )dxdydz +

ии ии ии 11!

—да—да—ад

( Slx (х y, z, xо, Уо, ^)Т ^ SlУ (X y, z, xо, Уо, ^)Т

Slz (x, y, ^ xо, Уо, zо)T

д 1 т

— S х (x, ^ z, хо , Уо, ^

дхо

— Slx (x, ^ z, Хо , Уо, ^)Т

дУо

— Slx (x, ^ z, Хо , Уо, ^)Т

дzо

— Sl У (X y, z, хо, Уо, zо)T

дх„

А С1 дУо

^ У (x, ^ z, xо, Уо, zо)T

д 1 т

— SУ (x, y, z, хо, Уо, zо)

дzо

д 1 т

— S г(x,^z,хо,Уо,^

дхо

д 1 т

— S *(x,У,z,хо,Уо,z0)

дУо

д 1 т

— S г(x,y,z,хо,Уо,z0)

V о

F2(х, У, z, х1, У1, z1)dxdydz .

Вектор Х1 (и, соответственно, вектор 81) являются решениями уравнений теории упругости для однородной области и источника, заданного в виде дельта-функции Дирака. Вместе с пространственными производными они образуют тензорную функцию Грина для уравнений Ламе. Для однородного и изотропного пространства решение имеет вид [7]

Бх (^ ^ 2,ф) =

4пи

х

- + -

С,

Я (гф)

д2 д2 -{Рх + Ру

дхдх дудх

+ Р,

- е

д2дх

Я

Я

Я

Я

1Ф

гф

гф

2

С

С

С

2

д

1

2

е

*

(^ ^ 2,ф) =

4 пи

у

Я

+

С2

(г®)'

— + Ру * дхду

дуду

- + Р

-е

д2ду

Я

Я

Я

Я

г®

-гф

г®

2

С

2

2

С

С

д

д

1

2

е

(X, У, 2,ф) =

4пи

Р,

Я

■ + -

С,

(1ф):

-(Рх

— + Ру * —

дхд,2 дуд,2

+ Р

- е

д2д2

Я

Я

Я

Я

-гф

гф

гф

2

С

2

С

С

д

1

2

е

е

где С1 =

Я + 2и

Р

- скорость распространения продольных волн, С2 =

и

— - скорость р

распространения поперечный волн, Я, и - упругие параметры Ламе.

Таким образом, получены объемные интегральные уравнения для неоднородной произвольно анизотропной упругой среды.

Л и т е р а т у р а

1. Кузнецов В.М., Жуков А.П., Шнеерсон М.Б. Введение в сейсмическую анизотропию: теория и практика. - Тверь: ООО "Издательство ГЕРС", 2006. - 160с.

2. Марков Г.Т., Петров Б.М., Грудинская Г.П. Электродинамика и распространение радиоволн. - М.: Сов. радио, 1979. - 376 с.

3. Хан X. Х19 Теория упругости //Основы линейной теории и ее применения: перевод с немецкого. - М.: Мир, 1988. - 344 с.

4. Уайт Дж.Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн. - М.: Недра, 1986. - 261с.

5. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенный функций с приложениями в технике. - М.: Мир, 1978. - 518с.