Прямая динамическая задача сейсмики для горного предприятия Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРЯМАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА СЕИСМИКИ ДЛЯ ГОРНОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

Е.В.Бегус, В.Б.Заалишвили, Ж.Д.Туаева Геофизический центр экспериментальной диагностики Владикавказского научного центра РАН и Правительства Республики Северная Осетия - Алания

Известно, что сейсмическая безопасность общества обеспечивается путем значительного сокращения числа жертв и уменьшения ущерба от природных и техногенных землетрясений. Горное предприятия Северного Кавказа, как правило, расположены в зоне высокой сейсмической опасности, подлежат оценкам сейсмического риска наравне с другими системами человеческой жизнедеятельности (градостроительство, системы жизнеобеспечения и т.д.). В работе представлено моделирование деформаций поверхности-фундамента горного предприятия при возможном сейсмическом воздействии, если слагающая грунт толща представляет собой слоистую прямоугольную область с упругими свойствами с неоднородными включениями. Неоднородные включения представляют горные выработки различной плотности.

Рассматривается двумерное волновое уравнение вида

д 2и д 2и 1 д 2и

- +

дг2 дх2 V2 (х, г )дt2 в прямоугольной области О = {(^ x, z): 0 < t < ^ 0 < z < ^ 0 < x < L} Задача решается при нулевых начальных данных:

ди

(1)

и =

^=0 дt

= 0.

(2)

Граничные условия (на свободной поверхности задаются нулевые напряжения):

ди

= 0

Источник с координатами х = 0, z = h задается граничным условием:

ди д

(3)

= ^(0, где

ж

( -10 У

>—to)

(4)

На боковых гранях: —

дх

х=0

ди дх

= 0.

(5)

х=Ь

Функция V (х, 2) является кусочно-постоянная двух координат x и z:

v( х, г) =

|у2, а < г < Ь, с < х < ё

,0 < г < а, Ь < г < й, 0 < х < с, ё < х < Ь

К данной задаче применяется аналитико-численный метод [1 ], основанный на комбинации конечных интегральных преобразований Фурье по переменной х и метода линейной факторизации.

Ь

Пусть V(г, п, t) = |и(г, х, t)соя -

0

( пжх |

^ Ь )

|ёх,

1 2 ш тогда и(г, х, t ) = — V (г,0, t )н— (г, п, t )со Ь

Ь

п=1

I пжх -)

г=0

й

г

2

2

0

е

?

0

126

Вестник ДГТУ. Технические науки.

Будем рассматривать волновое поле до момента 1 < Т, где Т - минимальное время распространения переднего фронта волны до отражающих поверхностей х = Ь, ъ = 0.

В результате интегрального косинус-преобразования (6) задача (1)-(5) в терминах новой функции запишется в виде:

N Я2Т

5V 2Т/ ^ Л чдV(г, к, г)

—Р V = > с(к,п,г)- ' ,

2 Рп > у ' ' у дг2 '

, дV V = —

=0 дг

= 0.

г=0

дУ_

дг

= 0.

г=0

д¥_ дг

г=Ь 0

ь

| и0 (г)

( плх Л , соя - ах.

Здесь рП=(т)<с(к•пг)=|^2(1ХГ2)

(клх Л (плхЛ , ■соя-I соя-\ах.

' V Ь 1 \ Ь 1

Пусть Ъи (г) = | и0 (г )со8(-плх О*.

Задача (7)-(9) может быть представлена в векторном виде:

(плх Л1

дг2

= С-1

дг2

- Р

V

- дV V = —

Уг=0 дг

дУ_ дг

= 0,

= 0,

дУ_ дг

= В.

Здесь V (г, г) = (V (г, к,, г), V (г, к1, г),..., V (г, кы, г ))Г,

Р = Ла^, р2,..., Р2), В = (¿0 (г), Ъ (г),..., bN (г))т ^(0,0,г) с(1,0,г) .... сN,0,г ф,1,г) с(1,1,г) .... сN,1,г)

С =

с(0,N,г) с(1,N,г) .... сN,N,г)

(7)

(8) (9)

(10) (11) (12)

Для решения (10)-(12) воспользуемся конечно-разностной аппроксимацией по координатам ъ и 1. Вводится равномерная сетка {(ги у) = ((1-1) т, (¡-1)!; I = 1,..., М+1;у = 1,..., О+1; к = Мт; Т = О!}. Тогда выражения (10)-(12) в конечных разностях примут вид:

V7+1 - 2Vi} + V

г г

= С 1

(V/! - V+1 + V-+1

!

- РV

]+1

V0 = 0, V1 = V

г г

V] = V] + Вт V] = V]

у М-1 у М + В т, '0 '1

(13)

(14)

(15)

Задача (13)-(15) решается с помощью метода линейной факторизации по переменной ъ [2]. Вектор-функция V(z,г) ищется в виде Vii+l = Д■+1V■++1 + Вг+1 (16), где коэффициенты

г=0

Ь

г=0

г

2

г

0

Аг+1, В+1 неизвестны. Для их нахождения выражение = А V/+1 + В подставляется в (13)

и приводится к виду (16). Коэффициенты при вектор-функции V (г, t) приравниваются, и мы получаем рекуррентные соотношения для Аг+1, В+1 (прямой ход), г = 1,..., М-1. Затем вычисляются компоненты вектор-функции Vi1+1, г = М-1,.,1 (обратный ход). Прямой и

обратный ход осуществляются на каждом временном слое.

Расчет смещения грунтовой толщи на поверхности z=h представлен на рис. 1 при размерах неоднородного включения a=5м, Ь=8м, c=10м, d=30м, L=40м, T=20 сек., были взяты два профиля x = 20м - рыхлая неоднородность (ряд 2), x=5 м - скала (ряд 1).

0,02 0,01 0

время, сек.

Ряд1 Ряд2

Рис.1 График колебания смещения грунтовой толщи

Продольная волна, распространяющаяся к поверхности из скального основания, попадает в слой песка и скорость ее распространения при этом снижается от 1200 м/с до 200 м/с. Расчеты показали, что амплитуда колебаний, при этом, возрастает в три раза, что, согласно сейсмической шкале, соответствует увеличению интенсивности на 1,5 балла. Этот вывод находится в хорошем соответствии с законом сохранения энергии.

Полученные результаты численного эксперимента являются основой для их использования в целях сейсмического микрорайонирования территорий и сейсмостойкого строительства горных предприятий.

Библиографический список:

1. Конюх Г.В., Михайленко Б.Г. Комплексирование метода прямых и конечных интегральных преобразований при решении прямых динамических задач сейсмики. Сб. докладов VII Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Изд-во РГУ, Ростов-на-Дону, 1997г., с.66-70.

2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Москва, «Наука», 1989 г.