CC BY
13С.В. Турунтаев, А.В. Ястребов
Проявления дуалистических свойств физики в преподавании конкретных тем
Резюме. В статье показано, что дуалистические свойства науки, выявленные ранее в работе [1] применительно к математике и в работе [2] применительно к психологии, ярко проявляются в процессе преподавания некоторых тем курса физики. Показано, что их целенаправленное использование полезно как для раскрытия сути физических явлений, так и для организации процесса преподавания. Тем самым продолжается идейная линия, начатая в работах [1-3]. Статья носит практи-ко-теоретический характер, поскольку общие положения выводятся из практических рекомендаций по изучению темы «Пружина» из курса физики.
1. Проблемный эксперимент и организация работы учащихся
Опишем ту основу, на которой базируется изучение пружины студентами-первокурсниками или членами физического кружка в 11-м классе. Как правило, ею служат представления о силе упругости и законе Гука, которые формируются в начале 10-го класса.
В учебнике [4. С. 101] рассматривается горизонтально расположенная пружина длины 10, прикрепленная одним концом к стене, а другим к тележке. Если на
нее действует сила F, вызвавшая перемещение Ах ее подвижного конца, то возникает уравновешивающая ее сила упругости Fупр, которая направлена в противоположную строну и пропорциональна перемещению: Fупр = -кАх. Коэффициент
пропорциональности к называется жесткостью пружины, а модуль перемещения
| Ах |= А1 =| I -10 | - удлинением.
Переходя к модулям векторных величин, мы получаем закон Гука: модуль силы упругости Fупр, возникающей при
деформации тела, пропорционален его удлинению:
^пр = кА1. (1)
Сформулируем простую задачу, которая покажет, что описанные выше знания о пружине не объясняют некоторые физические явления и, следовательно, нуждаются в уточнении.
Задача 1. Определите жесткость данной конкретной пружины.
Предварительное обсуждение задачи обнаруживает недостаточность предшествующих знаний о пружине. Так, согласно формуле (1), достаточно измерить изменение длины пружины под действием известной силы и поделить эту силу на изменение длины. Эксперимент с конкретной пружиной длины 10 = 9,5 см показал, что под действием силы в 1 Н длина пружины стала равна 11 = 11 см. Следовательно, с точностью до десятых
к =-----1-----= 66,7(Н/м).
0,11 - 0,095 1
В то же время, приложение удвоенной силы дало 12 = 13,5 см, следовательно,
к = -
2
0,135 - 0,095
= 25(Н/м).
Столь большая разница вряд ли может быть объяснена неточностью физического эксперимента, следовательно, закон Гука нуждается в уточнении. Ниже оно будет сделано.
Дальнейшая работа организована таким образом, чтобы студенты самостоятельно проводили все необходимые рассуждения при минимально достаточной помощи преподавателя. Последнее озна-
чает, что преподаватель оказывает помощь, но пытается сделать ее как можно меньшей, стремясь в идеале к полной самостоятельности студентов. В то же время оказываемая им помощь достаточна для того, чтобы группа студентов продвигалась в изучении физических явлений и достигла поставленной преподавателем цели.
2. Обсуждение задачи об определении жесткости
Согласно закону Гука, сила упругости F является линейной функцией ее удлинения. Сохраняя предположение о линейной зависимости F от А/, получим выражение этой зависимости на основе тех экспериментальных данных, которые были получены в разделе 1. Запишем их в таблицу, выражая при этом длины в мет-
/0 /1 /2 А/1 —/1/0 А/2—/2-/0 ¥1 ¥2
0,095 0,11 0,135 0,015 0,04 1 2
В силу нашего предположения, ¥ (А/) = кА/ + Ь. Подставив в эту формулу значения А/; и соответствующие им значения ¥;, получим систему линейных уравнений
Г1 = 0,015к + Ь,
[ 2 = 0,04к + Ь.
Отсюда легко найдем, что к = 40 и Ь = 0,4. Таким образом,
¥(А/) =40А/ + 0,4. (2)
С одной стороны, формула (2) дает нам решение поставленной задачи, то есть значение жесткости пружины к = 40 Н/м, которое существенно отличается от каждого из двух значений жесткости, полученных в результате предварительного обсуждения задачи. С другой стороны, она является неожиданной, поскольку показывает, что график зависимости ¥ от А/ не проходит через начало координат, как требует того закон Гука. Возникают два альтернативных предположения: во-
первых, возможно, что наши рассуждения вновь оказались неверными; во-вторых, возможно, что мы обнаружили новое фи-
зическое явление, то есть новую характеристику пружины.
Несколько соображений говорят в пользу второго предположения. Во-первых, эксперименты с силами 3 Н и 4 Н вновь дают нам формулу (2). Во-вторых,
*7 F - 0,4
выразим А/ из формулы (2): А/ = ———.
Очевидно, А/ > 0 тогда и только тогда, когда числитель дроби больше нуля, то есть при F > 0,4. Говоря физическим языком, пружина начнет удлиняться под действием приложенной к ней силы только тогда, когда величина силы превысит некоторое определенное значение, в нашем случае 0,4 Н. В такой формулировке рассуждение представляется вполне естественным.
Действительно, невозможно обнаружить сжатие или растяжение пружинной рессоры железнодорожного вагона под действием силы в несколько килограммов. Для обнаружения реакции рессоры требуются существенно большие силы. В-третьих, эксперименты с разными пружинами приводят к линейной зависимости вида
F(А/) = к А/ + Ь, (3)
где Ь Ф 0. (Можно изначально разбить студентов первой подгруппы на микрогруппы и поручить им измерение жесткости различных пружин. Каждая из микрогрупп обнаружит несовершенство формулы (1), так что сравнение результатов приведет к формуле(3)).
Итак, группой студентов обнаружена новая, не встречавшаяся ранее характеристика пружины. Естественная задача физико-лингвистического характера состоит в том, чтобы дать этой характеристике адекватное название, отражающее ее физическую сущность. Студенты имеют основание для целого ряда предложений: порог чувствительности пружины, нижний предел упругости пружины, предварительное натяжение пружины и т. д.
В дальнейшем мы будем пользоваться термином поджатость пружины, понимая под ней то пороговое значение приложенной силы, ниже которого не происходит удлинения пружины. Математиче-
ски поджатость Ь выражается из формулы
(3):
Ь = F(0). (4)
Обнаружение поджатости пружины по-новому ставит вопрос о физическом определении понятия жесткости. Под жесткостью пружины теперь естественно понимать отношение приращения силы, приложенной к пружине, к вызванному ею изменению удлинения пружины:
к = АА—. (5)
А(А/)
Заметим, что новая трактовка (5) полностью согласуется со старой трактовкой (1).
Обнаружение поджатости пружины по-новому ставит вопрос о границах применимости закона Гука. В учебнике [4. С. 101-102] говорится о том, что закон Гука справедлив лишь при малом удлинении. Другими словами, закон Гука неверен, если силы, действующие на пружину, слишком велики и превышают предел упругости пружины. Формула (3) показывает, что закон Гука неверен, если силы, действующие на пружину, слишком малы и не достигают поджатости пружины.
Рассмотрим описанные выше этапы изучения пружины с общенаучных позиций.
Работа группы студентов началась с эксперимента, поставленного для решения задачи 1. Попытка использовать его результаты выявила несовершенство известной на тот момент теоретической базы -формулы (1). В более общих предположениях было получено усовершенствование теоретической базы, а именно, получена формула (2). Затем в процессе сравнения результатов, полученных несколькими группами экспериментаторов, было получено ее обобщение - формула (3). Она представляет собой некое новое знание, которое существенно обогащает представления студентов о силах упругости, поскольку заставляет вводить в рассмотрение новую характеристику пружины -поджатость (формула (4)), новое определение жесткости пружины (формула (5)),
новое представление о границах применимости закона Гука. Тем самым процесс изучения пружины выявил одно из важнейших свойств физики - ее деятельностно-продуктивный дуализм. Последнее означает, что понятие физики включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и продукт этой деятельности - сумму полученных к данному моменту физических знаний.
Работа группы студентов выявила также индуктивно-дедуктивный дуализм физики, под которым понимается равноправие индукции и дедукции в физических умозаключениях, неизбежность каждого из этих типов умозаключений, недостаточность каждого из них в отдельности. Действительно, интерпретация результатов эксперимента, которая приводит студентов от таблицы к формуле (2), носит явно дедуктивный характер. В то же время переход от отдельных формул типа (2), применимых к нескольким конкретным пружинам, к общей формуле (3) является переходом от частного к общему, то есть индуктивным. Наконец, хотя введение новых определений не может быть отнесено ни к индукции, ни к дедукции в чистом виде, новые понятия поджатости и жесткости фактически выведены из уточненного закона Гука - формулы (3).
Работа группы студентов выявила еще одно свойство физики - ее личностно-социальный дуализм. Действительно, формулы типа (2) были получены отдельными микрогруппами, которые при желании преподавателя могли состоять из одного человека. Затем произошел обмен самостоятельно полученной информацией, в результате которого группа в целом получила общую формулу (3) и вытекающие из нее физические следствия. Таким образом, группа студентов усвоила новые знания тем самым образом, каким формируются новые научные представления: личное получение результата, обмен информацией, экспертная оценка, признание или непризнание результата научным сообществом в целом.
Итак, мы можем сделать следующий предварительный вывод: процесс преподавания физики позволяет выявить по крайней мере три из четырех дуалистических свойств науки, рассмотренных в работе [1] применительно к математике и в работе [2] применительно к психологии.
3. Жесткость и поджатость системы пружин
Как большинство естественных, правильно поставленных вопросов, задача 1 порождает новые вопросы, которые мы обсудим в данном разделе.
Задача 2. Какие физические объекты можно создать из двух различных пружин? Какие физические характеристики новых объектов следует изучать?
Ответ очевиден: две пружины
можно соединить параллельно или последовательно, и в каждом случае следует изучить жесткость и поджатость системы двух пружин. Таким образом, задача 2 представляет собой абстрактное упражнение качественного характера, не требующее вычислений или измерений. Тем не менее, авторы не считают его бесполезным, особенно в свете последующих вопросов.
Задача 3. Зная жесткость и поджа-тость каждой из двух пружин, найдите жесткость и поджатость системы, состоящей из этих пружин, соединенных последовательно (параллельно).
Даже не приступая к решению этой задачи, нетрудно понять, что она позволяет еще раз ярко проиллюстрировать личностно-социальный дуализм науки. Действительно, сама формулировка предполагает получение ответов на четыре вопроса, каждый из которых может рассматриваться как теоретически, так и экспериментально. Таким образом, несколько микрогрупп студентов (до восьми) могут решать тесно связанные между собой задачи с целью последующего обмена самостоятельно полученной информацией.
Найдем жесткость системы пружин при их последовательном соединении, пользуясь формулами (3) и (5). Пусть к; и
Ь; - жесткость и поджатость соответственно пружины с номером г = 1, 2. Рассмотрим две различные приложенные силы ¥ и ¥ , которые не превосходят наименьшего предела упругости наших пружин и удовлетворяют неравенству
тах{Ь2, Ь2} < ¥ < ¥ .
Обозначим вызванные ими удлинения пружины с номером г через А/г и А/
соответственно.
Для каждой из пружин и каждой из сил запишем по формуле (3) соответствующее равенство:
¥ = к1А/1 + Ь1,
¥ = к1А/1 + Ь1,
¥ = к2 А/2 + Ь2,
¥ = к2 А/2 + Ь2.
Вычитая из второго равенства этой системы первое, получим, что
А¥
А¥ = к1 А(А/1), откуда А(А/1) =----. По-
к1
ступая аналогично с четвертым и третьим равенством системы, получим, что
А¥
А(А/2) =----. Поскольку изменение удли-
к 2
нения системы равно сумме изменений удлинений отдельных пружин, получим по формуле (5), что
А¥ А¥
к = •
А(А/) А(А/1) + А(А/2) А¥
А¥ А¥
• + ■
к1к 2
к1 + к 2
к =
к1 + к 2
к1 к2
получаем, или в равносильной форме
12 Окончательно к1к 2
1 = — + к к1 к
1
что
(6)
Если ввести в рассмотрение понятие 1
эластичности пружины —, то последнее
к
равенство можно трактовать следующим образом: эластичность системы последо-
вательно соединенных пружин равна сумме эластичностей отдельных пружин.
Для системы параллельно соединенных пружин дадим ответ
к = к1 + к 2, (7)
оставляя доказательство читателю.
Вопрос о поджатости системы пружин не столь прост. Если две последовательно соединенные пружины обладают
различными жесткостями и различными поджатостями, то взаимосвязь между приложенной силой и удлинением выглядит так, как показано на рис. 1. Здесь тонкими линиями показана взаимосвязь между силой и удлинением для каждой из пружин, а жирной линией - взаимосвязь между силой, действующей на систему, и удлинением.
В этих условиях студенты могут назвать поджатостью системы по крайней мере две характеристики, причем с равным основанием. Во-первых, поджато-стью системы можно считать величину Ь1, поскольку она является тем пороговым значением, начиная с которого система начинает реагировать на приложенную силу, то есть удлиняться. Во-вторых, под-жатостью системы можно считать величину Ь2, поскольку она является тем пороговым значением, начиная с которого система пружин приобретает эластичность, вычисляемую по формуле (6). Оставляем открытым вопрос о том, целесообразно ли в данном случае вводить точное определение поджатости. Вопрос о поджатости параллельно соединенных пружин оставляем читателю.
Задача 3 весьма поучительна с точки зрения теории систем. Одно из важнейших свойств системы любой природы состоит в том, что система в целом обладает такими свойствами, которыми не обладает ни один из ее элементов. В нашем простом и даже примитивном примере с двумя пружинами мы видим яркое проявление этого свойства. Во-первых, жесткость системы отличается от жесткостей отдельных пружин. Для последовательно соединенных пружин она меньше, чем жесткость каждой из отдельных пружин (формула (6)), а для параллельно соединенных пружин больше (формула (7)). Во-вторых, хотя явление типа поджатости имеет место, его структура существенно сложнее, чем для каждой пружины в отдельности. В-третьих, границы применимости формулы (6) или (7) отличаются от границ приме-
нимости закона Гука для каждой из пружин.
Задачи 1, 2 и 3 интересно обсудить с точки зрения соотношения теории и эксперимента в физике. Теоретическое решение задачи 3, основная часть которого приведена выше, гораздо легче, чем ее экспериментальное решение. Тем не менее, это отнюдь не означает, что теоретический метод «лучше» экспериментального. Действительно, без эксперимента, поставленного при решении задачи 1, не был бы обнаружен ни закон Гука в его уточненной формулировке, ни явление поджа-тости пружины, так что дальнейшие рассуждения просто не могли бы возникнуть. С другой стороны, интерпретация экспериментальных данных задачи 1 базировалась на чисто теоретическом предположении о линейной зависимости ¥ от А/, а также на использовании математического аппарата, пусть и очень простого - систем линейных уравнений. Здесь мы сталкиваемся с важным свойством физики как науки - взаимопроникновением теории и эксперимента, их влиянием друг на друга. Обобщенно говоря, весь цикл рассмотренных задач выявляет эмпирико-теоретический дуализм физики. Последнее означает, что в физике существуют два типа движущих идей: идеи, возникшие в процессе наблюдений и экспериментов, и идеи теоретического, в частности, математического происхождения.
Отметим, что применительно к математике эмпирико-теоретический дуализм обсуждался в работе [1], а применительно к психологии - в работе [2].
Задача 4. Можно ли обобщить формулы (6) и (7) на систему из п последовательно (параллельно) соединенных пружин?
С точки зрения физики задача носит достаточно умозрительный характер, поскольку невозможно соединить в единую систему 1 млн. или 1 млрд. пружин. В этой связи при изучении пружины задачу 4 можно просто пропустить. Мы рассматриваем ее по другой причине, а именно
потому, что на ее примере отчетливо проявляется индуктивно-дедуктивный дуализм науки. Действительно, при переходе от доказанной формулы (7) для двух параллельно соединенных пружин к гипотезе к = к1 + к2 +—кп для п пружин мы делаем индуктивное умозаключение, которое какое-то время остается необоснованным. Обоснование осуществляется дедуктивным методом, который называется (внимание!) методом математической индукции. Применение метода математической индукции при изучении физики является отнюдь не частым, так что естественно попытаться использовать его в педагогических целях.
4. Заключение
Сформулируем некоторые общие соображения, которые возникают на основе проведенного анализа цикла физических задач.
Мы выявили весьма общие свойства физики, анализируя очень простой материал, базирующийся на школьных знаниях. Сама возможность такого анализа подсказывает две взаимосвязанные педагогические задачи: 1) использовать общие
свойства физики как науки с целью создания форм и методов изучения конкретных тем курса физики; 2) использовать научнопедагогический анализ процесса преподавания физики с целью выявления фундаментальных свойств физики как науки и воспитания научного мировоззрения студентов.
Дуалистические свойства физики выражают ее существенные свойства, которые, именно в силу их важности, должны быть осознаны в процессе ее изучения. Для этого преподаватель должен располагать большим набором задач по многим (или всем) темам изучаемых курсов, которые формируют у студентов представление о дуалистических свойствах физики. Вопрос об их оптимальном использовании следует решать в экспериментальном порядке.
Сравнивая вышесказанное с содержанием работы [1, 2], мы видим, что не-
скольким различным областям науки, какими являются математика, психология и физика, присущи общие черты, которые относятся к числу имманентных свойств каждой из них: деятельностно-продук-
тивный дуализм, личностно-социальный дуализм, индуктивно-дедуктивный дуализм, теоретико-эмпирический характер источников их развития. Можно предположить, что этими же свойствами обладают и другие области знания. Было бы це-
лесообразно выявить специфику отражения этих свойств в процессе преподавания ряда научных дисциплин другой природы.
Авторы убеждены, что иллюстрация дуалистических свойств науки в преподавании других дисциплин не окажется чрезмерно трудной, а также в том, что она будет весьма полезной как для создания эффективных методов изучения конкретных тем, так и для формирования научного мировоззрения студентов.
Библиографический список
1. Ястребов А.В. Дуалистические свойства математики и их отражение в процессе преподавания // Ярославский педагогический вестник. 2001. № 1. С. 48-53.
2. Корнеева Е.Н., Ястребов А.В. Инвариантные свойства психологии и их отражение в процессе ее преподавания // Ярославский психологический вестник. 2004. Вып. 12. С. 124-134.
3. Ястребов А.В. Междисциплинарный подход к преподаванию математики // Ярославский педагогический вестник. 2004. № 3. С. 5-15.
4. Касьянов В.А. Физика. 10 кл.: Учебн. для общеобразоват. учеб. заведений. М.: Дрофа, 2002.
О.П. Шарова
Сюжетные задачи в обучении математике
Необходимая терминология
Существуют различные подходы к определению самой задачи. Остановимся на точке зрения Л.М. Фридмана: «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче» [3]. Таким образом, задача состоит из условия и требования.
Задача, в которой зависимость между условием и требованием сформулирована словами, называется текстовой. При этом главным отличием задачи от примера является не только наличие текста, а наличие части условия или требования, выраженного на естественном (нематематическом) языке, которая требует в процессе решения перевода на математический язык. Например, задание «уменьшить сумму чисел 18 и 11 на 9» является текстовой задачей, а задание
«вычислить ((267-219)+33):3» является примером.
Если в текстовой задаче речь идет о реальных объектах, процессах, связях и отношениях, то она называется сюжетной. Реальные процессы - это движение, работа, покупки, смеси, сплавы и т. д. Поэтому среди сюжетных задач обычно выделяют задачи на разностные и кратные отношения, на движение, совместную работу, смеси, сплавы и концентрации. Такая типология традиционна, хотя и несколько условна. Говорят также о типологии задач по методам решения: арифметический (по действиям или составлением выражения), алгебраический (составление уравнения, системы уравнений, неравенств), геометрический (использование подобия, площадей фигур и т. п.). Однако, по нашему мнению, здесь было бы правильным говорить не о типологии
