CC BY
44
УДК 538.975
Д. В. Ковалевский, А. Е. Кучма
ПРОВОДИМОСТЬ МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПЛЁНКИ С ТОНКИМИ ШЕРОХОВАТЫМИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ПОКРЫТИЯМИ*
Введение. В работе авторов [1] была предложена простая модель для расчёта коэффициентов зеркального отражения и пропускания электронов проводимости через тонкую шероховатую диэлектрическую прослойку в слоистых квазидвумерных системах проводник-диэлектрик. Рассчитанные коэффициенты зависят от величины и направления квазиимпульса падающего на интерфейс электрона, а также от статитических характеристик шероховатости интерфейса. В настоящем сообщении развитая модель будет применена для расчёта классического размерного эффекта в статической проводимости тонкой плёнки с шероховатыми диэлектрическими покрытиями.
Постановка задачи. Рассмотрим проводящую плёнку средней толщины с тонкими шероховатыми диэлектрическими покрытиями средней толщины Ь0, отвечающей лишь нескольким монослоям (рис. 1а). Направим ось г перпендикулярно плёнке, тогда любой точке системы сопоставляется пара (гу ,г), где гу - радиус-вектор в плоскости плёнки. Пусть локальная толщина левого (правого) покрытия в точке г у равна Ьь,я(гу) = Ь0 + АЬь,я,(гу). Высота потенциального барьера в диэлектрике равна ив, а за диэлектрическими барьерами она составляет и* (рис. 1б), причём предполагается, что и ив, и и* существенно превышают фермиевскую энергию электрона в плёнке Ер = Н2кр/2т (кр - фермиевский волновой вектор, т - эффективная масса электрона в плёнке). Эффективную массу электрона в диэлектрике примем равной тр>, а за диэлектрическими барьерами - равной т*. Материал проводящей плёнки характеризуется длиной свободного пробега электронов I.
Рис. 1. Тонкая проводящая плёнка с шероховатыми диэлектричеекими покрытиями (а); схематическое изображение одномерного сечения модельного потенциала в некоторой точке Гу (б)
* Работа поддержана грантом Правительства Санкт-Петербурга для молодых кандидатов наук (проект PD-07-1.2-77) и выполнена совместно с Международным центром по окружающей среде и дистанционному зондированию имени Ф. Нансена.
© Д. В. Ковалевский, А. Е. Кучма, 2009
К системе приложено постоянное во времени однородное продольное электрическое поле. Требуется рассчитать поправку к проводимости по сравнению со случаем массивного проводника в условиях классического размерного эффекта.
Расчёт будет выполнен в два этапа: сначала будет получена формула для зависящего от угла падения коэффициента зеркальности, входящего в граничное условие на интерфейсе для функции распределения электронов; затем с помощью полученной формулы будет рассчитана проводимость системы.
Полное внутреннее отражение от шероховатого интерфейса. Следуя [1], введём среднюю эффективную мощность дельтаобразного потенциального барьера ио, моделирующего шероховатое диэлектрическое покрытие, по формуле ио = и в Ьо, а также зависящую от точки поверхности добавку к ней Ди (гу) = и в ДЬ(гу). Статистические характеристики неоднородностей толщины левого и правого покрытий будем считать одинаковыми. В цитируемой работе показано, что при выполнении ограничений
л/(Д[/2) Н2кг л/2тд[/ и
Щ < 1? 2тЩ < 1? Н 0<1 ^
коэффициент зеркального отражения может быть вычислен по формуле
Е
2Ur.fr 1^1 к-1 „ _ к?,?. К2 \ т т*
К2
(2)
где
тт _тт , 25 Г (А£/к||-дА£/д_кц)
е® 0 (2лН)2 У ^ гк1„{д) гк2г{д) _ 2Щ ^ '
'ГУ! I 'ГУ!
Р.2
тт
К2
- эффективная мощность дельтаобразного барьера, 5 - площадь плёнки, к\г (д) и к2г (д) - нормальная к интерфейсу компонента квазиволнового вектора в плёнке и за диэлектрическими покрытиями при продольной компоненте, равной д;
1
. __________^к11гМгц
5
(«)
Численные расчёты, выполненные в [1], выявили слабую зависимость коэффициента зеркального отражения от структуры входящей в (3) корреляционной функции шероховатости диэлектрической прослойки, поэтому ограничимся рассмотрением простейшего случая плавных шероховатостей, когда для указанной корреляционной функции в импульсном представлении можно использовать дельтаобразную модель, в рамках которой (3) приобретает вид
г/8 = и 4- 2 Ш
еВ ° + К2 ^1*(к||) , ^2,(кц) _ 2С/о • ^
т т* Ь2
Для расчёта проводимости при нулевой температуре интерес представляют электроны, характеризуемые фермиевским квазиволновым вектором кр. Пусть угол падения электрона на интерфейс равен д, тогда в (4)
= кр соэд, к2г = *к* = — \ 2то* ( £/*--------—1- сое2 '& ), к* > 0.
Н2к2р
2т
2
В дальнейшем будем предполагать выполненным ограничение
которое позволяет пренебречь в (2), (4) величиной гк2г/т* = — к*/то*; таким образом, параметры области за покрытиями перестают влиять на коэффициент зеркального отражения. Вводя, как и в [1], безразмерные параметры
которые, согласно (1), должны быть малыми, и раскладывая (2) в ряд по этим малым параметрам с учётом (4), приходим к следующему простому результату:
где у = ав - новый малый параметр. В силу условия у ^ 1 отражение от интерфейса в данном случае является «почти зеркальным».
Проводимость плёнки. Коэффициент зеркального отражения (5) может трактоваться как зависящий от угла падения коэффициент зеркальности р(еов ■&), входящий в граничное условие на интерфейсе для добавки 5/ к равновесной функции распределения, имеющее вид
Случай не зависящего от угла падения коэффициента зеркальности рассмотрен в классической теории проводимости тонких плёнок Фукса-Зондгеймера [2, 3]. Обобщение на случай р = р(еов ■&) выполнено Соффером в [4], где получена формула для проводимости в виде
где о и Оо - проводимость тонкой плёнки и массивного образца, соответственно, и = = cos ft, к = do /l - отношение средней толщины плёнки к длине свободного пробега электронов в массивном образце. Отметим, что, рассматривая другую физическую ситуацию, Соффер вывел и использовал иную зависимость p(cosft), нежели полученная нами.
Подставляя в (6), в соответствии с (5), p(u) = 1 — y2u2, приходим к результату
Для дальнейшего анализа удобно ввести новый безразмерный параметр задачи
а
^/Щр) р _ h2kp _ 2 Ер
Uq mUo крbo UD
R(cos Ф) = 1 — у2 cos2 Ф,
(5)
6/(кц ,кр cos Ф) = p(cos Ф)6/ (кц, —кр cos Ф).
1
(6)
o
1
o
Y
2
a
к
Рассмотрим различные предельные случаи выражения (7).
Толстая плёнка. При к ^ 1 дробь под знаком интеграла в (7) может быть заменена единицей при любом и из промежутка интегрирования, что немедленно приводит к ответу
2
^ = 1-^ = 1-“, к»1. (8)
а0 8к 8 у ;
Применение известной формулы теории Фукса-Зондгеймера с эффективным коэффициентом зеркальности peff, не зависящим от угла, приводит в этом предельном случае к результату
— = 1 - (1 ~Рев), к > 1. (9)
Оо 8к
Сравнивая (8) и (9), для эффективного коэффициента зеркальности получаем в данном случае выражение
У2
Л” = 1 “ У'
представляющее собой просто усреднение зависимости (5) по телесному углу, охватывающему полупространство.
В условиях малости параметра у формула (8) остаётся справедливой и при к < 1, если при этом выполнено условие к ^ у2 (а ^ 1). В этом легко убедиться следующим образом. Непосредственное дифференцирование входящей в (7) дроби показывает, что при любых значениях параметров она является монотонно убывающей функцией и.
Наибольшее её значение на промежутке интегрирования достигается при и = 0 и равно
единице, а наименьшее - при и =1 и равно
1— ехр(—к) к 1
----;----------;--- ~ ------77 = ---, К, у 1,
1 — (1 — у2) ехр(—к) к + у2 1 + а
что близко к единице при а ^ 1. Следовательно, и в этом случае можем применить к (7) вышеописанный приближённый приём интегрирования, вновь приводящий к (8).
Тонкая плёнка. В противоположном случае а ^ 1, у2 ^ 1 можно провести в дроби из (7) линеаризацию ехр(—к/и) ~ 1 — к/и, справедливую для всех и из промежутка интегрирования кроме малой области 0 < и ^ к, несущественной ввиду того, что в ней все подынтегральное выражение в любом случае близко к нулю. После процедуры линеаризации (7) принимает вид
1
о 3 [ и3(1 — и2)
— = 1----а -----------г—¿и. (10)
а0 2 У 1 + аи3 у 7
0
Тождественно перепишем подынтегральное выражение в (10) в виде разности двух членов
м3(1 — и?) 1 — и2 1 —и2
1 + аи3 а а(1 + аи3)
При подстановке (11) под знак интеграла в (10) и последующем интегрировании первый член даст вклад, тождественно сокращающийся с единицей в правой части (10), в результате чего формула для проводимости примет вид
1
о 3/1 — и2
— = - / --------¿м. (12)
о0 2 У 1 + аи3 у ’
о
Представляя далее подынтегральное выражение в (12) в виде разности
1 - и2
1
1 + аи3 1 + аи3 1 + аи3
и выполняя почленное интегрирование, замечаем, что при больших а первый из возникающих интегралов может быть подстановкой г = а1/3и приведён к виду
a1/3
du
dz
СЮ
1 dz
2п
7 1 + аи3 а1/3 7 1 + г3 а1/3 7 1 + г3 Зл/За1/3 ’
0 0 0
в то время как второй возникающий интеграл вычисляется точно при любых а при по-
3
мощи подстановки у = аи :
і
u2du
1
I 1 ч - О / = ^-ln(l +а).
У 1 + au3 3a J 1+ у 3а
о о
Окончательно, (12) принимает вид
(13)
Из (13) вытекает, что при а ^ ж будет о ~ а-1/3 ~ dg/3. Отметим, что с уменьшением толщины плёнки её проводимость стремится к нулю и в классической теории Фукса-Зондгеймера при любом отличном от единицы значении коэффициента зеркальности.
Заключение. В рамках построенной выше модели для зависящего от угла падения электрона коэффициента зеркальности рассеяние на шероховатом диэлектрическом покрытии оказывается «почти зеркальным» со слабой зависимостью от угла падения, выражаемой соотношением (5). Расчёт проводимости для рассматриваемой системы приводит к результатам, сходным с полученными в рамках классической теории Фук-са-Зондгеймера, при этом для не слишком тонких плёнок можно использовать известную формулу этой теории (9), подставляя в неё эффективный коэффициент зеркальности peff, получаемый осреднением (5) по углам.
2
u
і
1
а
Литература
1. Кучма А. Е., Ковалевский Д. В., Воронин Н. В. Коэффициенты зеркального отражения и пропускания электронов проводимости через шероховатую диэлектрическую прослойку // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2008. Вып. 4. С. 3-15.
2. Fuchs K. The conductivity of thin metallic films according to the electron theory of metals // Proc. Camb. Phil. Soc. 1938. Vol. 34. P. 100-126.
3. Sondheimer H. The mean free path of electrons in metals // Advan. Phys. 2001. Vol. 50. P. 499-537.
4. Soffer S. B. Statistical model for the size effect in electrical conduction // J. Appl. Phys. 1967. Vol. 38. P. 1710-1715.
Принято к публикации 1 июня 2009 г.
