Процессы влагопереноса в пористых средах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

Н. М. Кащенко ПРОЦЕССЫ ВЛАГОПЕРЕНОСА В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

Проведен сравнительный анализ моделей влагопереноса в почвах на основе теории потенциала влаги и капиллярного описания.

An comparative analysis for models of soil transfer of moisture on theory of moisture potential and capillary description is carried out.

Ключевые слова: модель, потенциал влаги, влагоперенос, капилляр.

Key words: simulation, moisture potential, transfer of moisture, capillary.

Обычно для моделирования процессов фильтрации в насыщенной зоне используется квазилинейное уравнение Буссинеска

дН _д_ ^ dt дх

f K(z)dz ■дН +— f K(z)dz

" йл' Phi J

дх

д

дУ

У - V H0

дН

ду

+ 5-П (1)

где Н — уровень грунтовых вод; ц — коэффициент водоотдачи; К(х) — скорость фильтрации в зависимости от уровня х; Н0 — уровень водоупора; - п) — суммарный приток и отток.

Граничные условия заданы на границах области интегрирования в виде потоков дН / дп = Р, где п — координата, перпендикулярная к границе; Р — поток через границу.

Передвижение влаги в ненасыщенной зоне моделируется уравнением Букингема — Ричардса [1; 2], описывающем движение влаги в пористой среде. В общем виде при х, направленном вверх, оно имеет вид

д0 = У(О(0)-У0) + дк^ + £-О. (2)

дї дх

В терминах потенциала почвенной влаги уравнение (2) принимает вид

§=Vx.y (t(h )Vx,y m)+| (k(h) Vf+i ]]+^. (3)

В уравнениях (2 — 3) х, у — горизонтальные координатні; х — вертикальная (направлена вверх);

0 — влажность; Н — потенциал почвенной влаги; к(Н) — коэффициент влагопроводности

(диффузитивности); х0 — эффективная толщина распределения источников и потерь. Учитывая,

д0 й0(Н) дН дН . .

что — =-= С(Н)—, уравнение (3) можно записать в виде

дї йН дї дї

C (h) ддт = Vx, у (k(h )Vx ,y (h)) + ^ V k( h) i|z +1]] +—. (4)

Коэффициент влагопроводности нелинейно и неоднозначно зависит от потенциала (или влажности) и его градиента. Пример эмпирически выявленной зависимости коэффициента к от влажности 0:

к = ехр(18,6-0 - 11,5 - 2,3(ехр(3,00 - 51-0) - ехр(2,85—62-0))2). (5)

Альтернативной математической моделью влагопереноса в ненасыщенной зоне является капиллярная модель, в которой принимается гипотеза о слабом взаимодействии капилляров разных размеров:

п дН Н п дН _________

(Цо-Ё^)-дГ = У( I К(х)й2"УН) + ^-П-^Ціїі, ~Н~ = Ъ, * =1, n, (6)

1=1 дї Но і=1

Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2010. Вып. 10. С. 56-58.

где ц0 — коэффициент водоотдачи крупнопористой части почвы; й — диаметр капилляров; ц, Н¡, Уи, Ны — относительный объем, уровень воды, скорость и высота капиллярного подъема;

= уи (Ни + н - Н )/ни .

Для капилляра диаметром й для воды при t = 20 °С = 1,5 • 105й2; Нм = 3 • 10-5й^.

Приведем относительное капилляров в зависимости от почв (рис. 1).

В работе сравнивались мо-однородности среды по однородности начальной зонтальным направлениям.

Для решения уравнений конечно-разностный метод с равномерной сетки и неявной порядка точности по переменной и первого времени. Шаг по времени получения относительной

содержание Р

диаметра й для средних

дели (4) и (6) в условиях пространству и

влажности по гори-

(4, 6) применялся

использованием аппроксимации второго пространственной порядка точности по выбирался из условия погрешности

Рис. 1. Относительные спектры капилляров

аппроксимации менее 0,001. При моделировании фильтрации по модели (6) были получены результаты, показанные на рисунке 2. При этом использовался спектр рисунка 1, маркированный числом 55 (результаты моделирования показаны на рисунке 2, б), он же, пересчитанный для максимума при 16 мк (результаты моделирования показаны на рисунке 2, а) и пересчитанный для максимума при 64 мк (результаты моделирования показаны на рисунке 2, в). Маркерам 1, 2, 3 и 4 на этих рисунках соответствуют моменты времени 6, 12, 24 и 48 ч от начала процесса. Рассчитанный потенциал сравнивался с расчетами по модели (4).

Потенциал, м

а

Потенциал, м б

в

Рис. 2. Зависимость потенциала от 2 для разных моментов времени для спектра с максимумами при: 16 (я), 32 (б) и 64 (в) мк

Список литературы

1. Веригин Н. Н, Васильев С. В, Саркисян В. С, Шержуков Б. С. Гидродинамические и физико-химические свойства горных пород. М., 1997. С. 271.

2. Иксянов Р. Г. Задача Стефана о впитывании влаги в почву: сб. науч. тр. МГУП. М., 2004. С. 155 — 160.

Об авторе

Николай Михайлович Кащенко — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта, e-mail: [email protected].

Author

Dr Nikolay Kashchenko — assistant professor, IKSUR, e-mail:

[email protected].