CC BY
14
УДК 68.049+66.011:66.023
ПРОЦЕССЫ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА В АППАРАТАХ ПРОСТЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ
НАТАРЕЕВ С.В., СОЗИНОВ В.П., доктора техн. наук, НАТАРЕЕВ А.С., асп., ИВАНОВ В.Е., студ.
Предложено обобщенное математическое описание процессов тепло- и массообмена в дисперсных системах газ - твердое тело, жидкость - твердое тело, на основе которого разработаны математические модели вышеуказанных процессов в аппаратах простых геометрических форм.
Ключевые слова: тепло- и массообмен, математическая модель, адсорбер, уравнение теплового баланса.
HEAT-AND-MASS TRANSFER PROCESSES IN SIMPLE GEOMETRIC SHAPE APPARATUS
S.V. NATAREEV, Ph.D., V.P. SOZINOV, Ph.D., A.S. NATAREEV, postgraduate, V.E. IVANOV, student
The work represents the generalized mathematical description of heat-and-mass transfer processes in gas - solid body, liquid - solid body dispersions. Using this description, the authors have developed mathematical models of the processes mentioned above in simple geometric shape apparatus.
Key words: heat-and-mass transfer, mathematical model, adsorber, heat-balance equation.
Процессы тепло- и массобмена, протекающие в дисперсных системах газ-твердое тело, жидкость-твердое тело, составляют важнейший класс основных процессов химической технологии. К эти процессам относятся сушка, адсорбция, растворение, экстрагирование и др. Многообразие химических процессов между сплошной и дисперсной фазами обусловливает разнообразие конструкций аппаратов, в которых осуществляются эти процессы. Наибольшее распространение среди аппаратов химической технологии получили аппараты простых геометрических форм, например, в виде цилиндра или конуса. Такие аппараты, как правило, несложны при эксплуатации и просты в изготовлении. В аппаратах осуществляют непрерывные или периодические процессы. В аппаратах непрерывного действия взаимное направление движения фаз может быть прямоточным, противоточным или смешанного вида. Структура слоя дисперсной фазы может быть плотной или разреженной. Очевидно, что все вышеперечисленные случаи являются частными и целесообразно сформулировать некоторое обобщенное описание, позволяющее в обозримой форме проанализировать ситуацию, определить основные нерешенные проблемы и унифицировать существующие методы расчета процессов и аппаратов химической технологии.
Придерживаясь общности рассуждений и выводов, ограничимся рассмотрением двухмерных квазигомогенных потоков сплошной и дисперсной фаз. Считаем, что в аппарате имеет место противоточное движение фаз. Направление координатной оси 0х совпадает с направлением движения сплошной фазы. Дисперсная фаза состоит из однородных частиц правильной геометрической формы. Полагаем, что по-розность движущегося слоя (в), теплоемкости (с, с ), плотности (р, р ) сплошной и дисперсной фаз являются функциями внутренней координаты слоя, а коэффициенты диффузионного перемешивания сплошной (йх, й) и дисперсной (Ох,йг) фаз в продольном и радиальном направлениях имеют численно разные значения, но постоянны по всему объему слоя.
Обобщенное математическое описание нестационарных режимов тепло- и массообменных процес-
сов в аппарате простой геометрической формы может быть представлено следующей системой уравнений:
- уравнения теплового баланса для сплошной и дисперсной фаз:
д(есрt) + ( „деСрО й д2(еср^)
+ V ^ : - йх —2
дт
-а
дх
d2(ec pt) 1 d(ec pt)
дх 2
dR 2
R dR
(1)
= 0;
d[(1-6)Cpt ] d[(1-E)cpt ] _ d2[(1-s)Cpt ]
-, H + w Q- ^ - Jv - Dx- ^ -
дт dx v x
dx2
_ [d2[(1-6)Cpt ] 1 d[(1-6)Cpt ]] D •!-^——-^ H 1 = 0,
dR2
dR
(2)
- уравнения материального баланса для сплошной и дисперсной фаз:
д(еС) , ( й(вС) й д2(еО)
■ V ^—---¡ш - йх
дт
-Dr
дх
d2(eC) 1 d(eC)
х 2
дх2
dR 2
R dR
(3)
= 0;
д[(1 - s)Ccp ] Qd[(1 -8)Ccp ] д2 [(1 -8)Ccp ]
—-+ w Q—^-— ' n —--—
-Dr
дт ,2
дх
L-iv - ах
дх2
д2 [(1 -s)Ccp ] 1 d[(1 -s)Ccp ]
dR2
R
dR
= 0;
(4)
- уравнения, характеризующие источник (сток) теплоты, для сплошной и дисперсной фаз запишем в общем виде:
= ф(^,С,с, I, р,ц, а, ¿1,^2-..); (5)
^ =фТ,С, с, I, р, Ц^...); (6)
- уравнения, характеризующие источник (сток) вещества, для сплошной и дисперсной фаз запишем в общем виде:
¡V = у (С,й^ ,К, Ц, ¿2...); (7)
щ = ф (С, й, t, к, ¿1, ¿2-..); (8)
- уравнение изотермы: С = ^ (С),_ (9)
где С и С - концентрация вещества для сплошной и дисперсной фаз соответственно; си с - теплоемкость сплошной и дисперсной фаз; й и D - коэффициент диффузии для сплошной и дисперсной фаз; йх и йх - коэффициент продольного перемешивания для сплошной и дисперсной фаз соответственно; й и йг - коэффициент радиального перемешивания для сплошной и дисперсной фаз соответственно; V и !щ -мощность источника (стока) вещества для сплошной и дисперсной фаз соответственно; Jv и ^ - мощность источника (стока) теплоты для сплошной и дисперсной фаз соответственно; К и К - константа скорости химической реакции для сплошной и дисперсной фаз соответственно; ¿1 и ¿2 - геометрические параметры; И - радиальная координата аппарата; t и t - температура сплошной и дисперсной фаз; V и щ - скорость потока сплошной фазы на входе в слой зернистого материала и дисперсной фазы на выходе из слоя соответственно; х - текущая координата по высоте слоя; а - коэффициент теплоотдачи; X и X - коэффициент теплопроводности сплошной и дисперсной фаз; ц -динамический коэффициент вязкости сплошной фазы; р и р - плотность сплошной и дисперсной фаз; О -коэффициент формы аппарата; т - время; индекс «ср» - средний.
Система уравнений (1)-(9) должна быть дополнена начальными и граничными условиями.
Используя ряд физически обоснованных допущений, упростим систему уравнений (1)-(9) применительно к конкретным аппаратам простых геометрических форм.
Частный случай 1. Адсорбер периодического действия колонного типа цилиндрической формы. Коэффициент О = 1.
Полагаем, что скорость движения твердой фазы равна нулю. При расчете массовых потоков пренебрегаем переносом вещества под действием градиента температур вследствие незначительных тепловых эффектов процесса адсорбции. Изменение концентрации компонентов в твердой и газовой фазах не приводит к изменению их плотностей. Слой адсорбента является монодисперсным. Он состоит из зерен сферической формы, имеющих изотропную структуру. Движение газовой фазы является одномерным и зависит от координаты 0х. Изменение концентрации сорбируемого компонента в газовой фазе происходит за счет движения газа с некоторой средней по сечению аппарата скоростью, продольного перемешивания газовой фазы и за счет процесса адсорбции. Скорость процесса адсорбции лимитируется как внешней, так и внутренней диффузией. Равновесие процесса описывается уравнением линейной изотермы Генри.
С учетом принятых допущений составим математическое описание процесса. Математическая модель включает следующие уравнения:
- уравнение материального баланса
дС .. . дСср дС _ д2С е— + (1 - е)-- + V 8— = йх 8—;
дт дт дх х дх2
(10)
- уравнение кинетики диффузии для сферической частицы
50
дт
- д2 С 2 дС
= О —— +--
[дг2 г дг,
- уравнение изотермы адсорбции
С = ГС ; (12)
- уравнение связи между локальной концентрацией С( т, г, х) и средним её значением Сер (т, х)
г0
С ср (т, х) = — [ г 2С(т, г, х )Сг ; г0 0
- начальные и граничные условия: С( т, х )| ^=0 = С0;
дС(т, х)
vСвх + ейх
дС(т, х)
дх
х=0
х=0 '
дх
=0;
х=Н
С( т, г, х )| = Сер (т, х )|
1т=0 I
т=0
= С 0;
дС(т, х, г)
дг
дС(т, г, х)
г=г0
Свх - С(т, х, г
г=г0
дг
= 0,
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
г=0
где Г0 - радиус частицы; р - коэффициент массоотдачи в газовой фазе; Г - константа Генри; индексы: «вх» -входной, «0» - начальный,«ср» - средний.
Математическая модель (10)-(19) достаточно хорошо изучена [1-4].
Для практических расчетов процессов адсорбции также достаточно часто применяется математическая модель без учета продольного перемешивания сплошной фазы [1-4].
Частный случай 2. Адсорбер непрерывного действия колонного типа цилиндрической формы. Коэффициент О = 1.
Полагаем, что газовая фаза и дисперсная твердая фаза движутся в противоположных направлениях. Эффекты продольного и радиального перемешивания движущихся фаз малы, и ими можно пренебречь. Остальные упрощающие допущения примем аналогичными допущениям для частного случая 1.
Математическое описание процесса включает следующие уравнения [2, 3]:
- уравнение материального баланса по газовой
фазе
дС дСср
8V — - (1 -е)—ер = 0;
дх дт
(20)
фазе
- уравнение материального баланса по твердой
дСер дС,
щ-
ер
ер
0 ;
дх дт
- граничные условия:
= С ; х=0 вх '
= Св
(21)
(22) (23)
ср1 х=Н
- уравнения (11)-(14) и (17)-(19). Частный случай 3. Адсорбер е кольцевым неподвижным слоем адсорбента. Коэффициент О = И1/(И1-х).
В указанном аппарате исходный газ поступает в пространство между корпусом и внешней цилиндрической решеткой, проходит в горизонтальном направлении через кольцевой слой адсорбента, находящийся между внутренней и внешней цилиндрическими решетками, и выводится из аппарата через внутренний цилиндр (рис. 1).
О .С
I I
-Чг
ш
и»
р*
-Адсорбент
Рис. 1. Схема движения газовой фазы в кольцевом адсорбере: Свх - концентрация целевого компонента в газовой фазе на входе в аппарат; Свых - концентрация целевого компонента в газовой фазе на выходе из аппарата; И - радиус внешней цилиндрической решетки; И2 - радиус внутренней цилиндрической решетки; V - скорость движения газовой фазы на входе в слой адсорбента; Н - высота кольцевого слоя адсорбента
При построении математической модели в кольцевом адсорбере были использованы следующие допущения: начальное содержание целевого компонента в слое адсорбента является равномерным; равновесие адсорбции описывается уравнением линейной изотермы Генри; скорость процесса лимитируется смешанной диффузией; структура потока раствора сквозь слой адсорбента описывается моделью идеального вытеснения; направление движения очищаемого газа в слое совпадает с направлением координаты 0х.
Математическое описание процесса включает уравнение материального баланса
дС
= 0; 0 < х < И2. (24)
дС + ) дСер е--+ (1 - е)--
дт дт
И/
И1 - х дх
В математическое описание также входят уравнения (11)—(14), (17)-(19) и граничное условие
С(т, х)|х=0 = Свх . (25)
Аналитическое решение вышеуказанной задачи получено в следующем виде: Свх - С(т, х) =
Свх - С0
при 0 < Го <8
(26)
где
8 =
I Л,
1=1
[(И - х)
Ц2пГо
-I Лпе
-цП (Го-8)
при Го^ 8
п=1
2 - г021 й
2^
= 6Г(в|пЦп -цп соз цп)2 Лп ~ 3/ ■ \
Ц, (Цп - 5|П Цп сов Цп)
йт
Го =—2 - критерий Фурье; цп - корни характеристи-
ческого уравнения
, -Б/
tgц„ =-,
УНп Б1 -1
(27)
где Б1
йГ
■ критерий Био.
Уравнение (26) позволяет рассчитать распределение концентрации целевого компонента по ширине слоя адсорбента в любой момент времени.
Частный случай 4. Горизонтальный адсорбер е неподвижным слоем адсорбента. Коэффициент О = Я/(Я2 - х2)1/2.
В горизонтальном адсорбере (рис. 2), наполовину заполненном адсорбентом в виде зерен сферической формы, осуществляется очистка газа.
1
«.С» '-/-"
/
0 -Свых ///////////, ///Адсорбент ///, ¿/¿¿¿¿¿///А
Рис. 2. Схема движения газовой фазы в горизонтальном адсорбере: 1 - распределительное устройство; 2 - дренажное устройство; ¿ - длина аппарата; Н - высота слоя адсорбента; И - радиус аппарата
При построении математического описания процесса используем допущения, указанные для частного случая 3.
Математическое описание процесса включает уравнение материального баланса
дС .. чдСер И/ дС п п ,, е— + (1 - е)—ер + . — = 0; 0 < х < Н.
дт дт ^ 2 - х 2 дх
(28)
В математическое описание также входят уравнения (11)—(14), (17)-(19) и (25).
Вышеуказанную систему уравнений решали с применением однородных консервативных разностных схем.
Частный случай 5. Аппарат со сферическим днищем с неподвижным слоем адсорбента. Коэффициент формы сферической части аппарата О =
Ио2/(Ио2-х2).
Рассмотрим аппарат со сферическим днищем, в котором помещен слой зернистого адсорбента. Считаем, что изменение концентрации в жидкой фазе происходит за счет движения раствора с изменяющейся по сечению днища скоростью и за счет процесса адсорбции (рис. 3).
'Дренажное устройство
Рис. 3. Схема движения жидкой фазы в аппарате: Н - высота слоя адсорбента; Р - радиус сферического днища
Запишем уравнение материального баланса для сферического слоя адсорбента:
дС + ) дСер е--+ (1 - е)-—
дт дт
И 2/ дС
И2 - х2 дх
= 0; 0 < х < Н.
(29)
В математическое описание процесса также входят уравнение кинетики (,,), уравнение изотермы (,2), уравнение связи между локальной концентрацией вещества в частице и средним её значением (13), а также соответствующие условия однозначности.
Частный случай 6. Односекционная сушилка непрерывного действия конической формы с кипящим слоем (рис. 4). Коэффициент О = И12/(И + х tgy/2)2.
Влажный материал
Высушенный материал
I (увеличено)
5„ 5,.
Рис. 4. Схема движения фаз в сушилке
Рассмотрим процесс сушки в условиях малого размера слоя и примерно одинаковой его протяженности в различных направлениях. Полагаем, что перенос теплоты в частицах дисперсного материала сферической формы осуществляется теплопроводностью, а влаги - влагопроводностью. Структура потоков сушильного агента описывается моделью идеального вытеснения, а дисперсного материала - моделью идеального перемешивания [5]. Направление движения сушильного агента совпадает с направлением координаты 0х. Искомыми функциями являются профиль температуры сушильного агента ?(х,И) и средняя температура дисперсного материала на выходе из сушилки , а также профиль влагосодержа-ния сушильного агента и(х,И) и среднее влагосо-держание дисперсного материала на выходе из сушилки исрвых .
Математическое описание процесса сушки включает следующие уравнения:
- уравнение теплового баланса для сушильного
агента
всру-
И22
дt
и2+х^ 2
дх
- (1 -е)с рм
И2
д ?
ср
И2 + xtg 2
дх
-8 С рйг
дИ 2
2 _д! И дИ
\
= 0
и потока твердого сыпучего материала
Лр);
_ д?ср--
дт
(30)
(31)
- уравнение теплопроводности в сферических координатах
д.
дт
■ = а
дг 2
2 д?_
г дг
\
(32)
- уравнение для определения средней температуры в частице
?ср(т,х,И) = ^|г21(т,г,х,И)Сг ;
(33)
'0 0
- начальные и граничные условия для переноса теплоты
' " ' " (34)
(35)
(36)
?ср (т,х,И )| т=0 = t (т,г, x, И )| т=0 = to; t( x, И )| х=0 = ?вх; !Ср (т x, И)[#=п = Твых; дТор (х, И)
дИ
= 0;
И1=0 х=0
ЦИ=И1 ор.ср
4- I х =0
х=0
^ст + ^из
1ст 1из аобщ
дt (т, г, х, И)
д г
д? (т, г, х, И)
= 0
г=0
дг
= а21 ?вх - ? (т,г, х,И)|
г=г0
г=г0
(37)
(38)
(39)
(40)
- уравнение материального баланса для сушильного агента
8У-
И,2
ди
-8йг
И2 + х?д 2
( д2и 1 диЛ
дх
- (1 -
И,2
ди
ср
И2 + х?д 2
дх
дИ2 И дИ
= 0
и потока твердого сыпучего материала
У-
ди
ср
дт
= о(ивх- иср);
(41)
(42)
ди
— = к
дт
уравнение диффузии в сферических координатах
(43)
^д2 и 2 ди Л
дг2
г дг
- уравнение для определения среднего влаго-содержания в частице
__30 _
и ср (т, х, И) = -31 г 2и(т, г, х, И )Сг
(44)
00
начальные и граничные условия для переноса
влаги
'1х=0 ивх;
иСр(т, х, И)|т 0 = и (т, г, х, И)|т=0 = и0 ;
и( х,И )| х
иср (x, И )|,
и( х,И )| я1=0 = ив ди( х, И)
1х=0
= ив
«1=1 х=0
дК
ди (т, г, х,И)
= 0;
дг к
= 0;
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
г=0
ди( т, г, х,И)
дг
г=г0
= р(?вх -?(т, г, х, И)|г=г0), (51)
где а - коэффициент температуропроводности; И - радиус газораспределительной решетки; И -радиус сечения кипящего слоя в верхней его части; Иэ - радиус сечения аппарата в верхней его части; О - производительность аппарата по исходному зернистому материалу; к - коэффициент массопроводно-сти; и и и - влагопроводность сплошной и дисперсной фаз; аобщ - коэффициент теплоотдачи лучеиспусканием и конвекцией; индексы: «ст» - стенки; «из» -изоляции.
Для определения среднего влагосодержания в частицах на выходе из сушилки может быть использовано следующее уравнение [6]:
и вых = {ЖФсрт,
(52)
где &(т) - функция распределения времени пребывания частиц в аппарате; иср(т) - решение уравнения
влагопроводности (43).
Решение уравнения (52) с использованием модели идеального перемешивания и диффузионного механизма удаления влаги при граничных условиях первого рода можно найти в работе [6].
Для определения температуры материала на выходе из сушилки может быть использовано уравнение
t
■]цт%р (x)d т,
(53)
где ?ср(т) - решение уравнения теплопроводности (32).
Решение уравнения теплового баланса (30) совместно с уравнениями (32) и (33) и условиями однозначности (34)-(40) имеет вид
|2а | R1+xtg 2
tm -1(х^)
tвх - tокр.ср
3r02vtg I
= е
l^аR 1
3r02vtg \
- Де 2
R_ R0
+П=4(ап) (L +1)
(°nDrr0 R1+х?д2
3r^vR^tg 2
(54)
6(1 -e)c p(i cos i - sin |Xi)
где A. =-1-1-
1 i^ecp
L=
^ст + ^из
Хст Хиз a
общ
ческого уравнения Jq(ct)=0.
; an - корни характеристи-
(55)
Решение уравнения материального баланса (41) при соответствующих граничных условиях может быть найдено по аналогии с решением уравнения теплового баланса (30).
Рассмотрим в односекционной сушилке с кипящим слоем (рис. 4) зону разделения высушенного сыпучего материала и сушильного агента. Полагаем, что параметры потоков сушильного агента и сыпучего материала, поступающих в данную зону, равны параметрам соответствующих выходных потоков из зоны сушки. Процессы массо- и теплообмена между фазами в зоне разделения фаз практически полностью завершены. Потери теплоты в окружающую среду происходят только через изолированную стенку аппарата. В этом случае уравнение теплового баланса для сушильного агента может быть записано как
( I
EV-
R21
dt
R22
хtg 2
дх
- sDr
dR 2
1 Bt_ R dR
= 0.
(56)
В качестве граничных условий примем условие (35) и условия
dtcp (^ R)
dR
R2 = 0
х=0
= 0;
(57)
X1
вх
- t|R = R2
х = 0
f = R. х=0
2 -t
окр.ср
ст + из
1
(58)
"ст '"из общ Решение уравнения (56) при данных условиях имеет вид
tex -1(хД)
tвx - tокр.ср
==
iDrH,
n^r' 'сеп
R2
хg 2)
2R24vtg 2
П=1 ) (L + 1)
(59)
где Стп - корни характеристического уравнения (55).
Список литературы
1. Кельцев Н.В. Основы адсорбционной техники. - М.: Химия, 1984.
2. Романков П.Г., Фролов В.Ф. Массообменные процессы химической технологии (системы с дисперсной твердой фазой). - Л.: Химия, 1990.
3. Протодьяконов И.О., Люблинская Н.Е., Рыжков А.Е. Гидродинамика и массообмен в дисперсных системах жидкость - твердое тело. - Л.: Химия, 1987.
4. Протодьяконов И.О., Муратов О.В., Евлампиев И.И. Динамика процессов химической технологии: Учеб. пособие для вузов. - Л.: Химия, 1984.
5. Сажин Б.С., Сажин В.Б. Научные основы техники сушки. - М.: Наука, 1997.
6. Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1991.
Созинов Владимир Петрович,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой промышленной теплоэнергетики, телефон (4932) 26-97-24, e-mail: soz@pte.ispu.ru
J
1
Натареев Александр Сергеевич,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», аспирант кафедры промышленной теплоэнергетики, телефон (4932) 26-97-24, e-mail: nelli@pte.ispu.ru
Натареев Сергей Валентинович,
Ивановский государственный химико-технологический университет,
доктор технических наук кафедры машин и аппаратов химических производств,
e-mail: nelli@pte.ispu.ru
Иванов Виталий Евгеньевич,
Ивановский государственный химико-технологический университет, студент,
e-mail: nelli@pte.ispu.ru
