ПРОЦЕСС СТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В СТЕРЖНЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНЕГО ТЕПЛООБМЕНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.12

ПРОЦЕСС СТАЦИОНАРНОЙ теплопроводности в стержне при наличии

ВНЕШНЕГО ТЕПЛООБМЕНА

Канарейкин Александр Иванович

Кандидат технических наук Доцент кафедры общей физики Москва, Россия

THE PROCESS OF STATIONARY THERMAL CONDUCTIVITY IN THE ROD IN THE PRESENCE

OF EXTERNAL HEAT EXCHANGE

Аннотация: в статье приводится решение задачи теплопроводности для стержня с малым поперечным сечением с учётом внешней теплоотдачи. При этом граничные условия заданы краевыми условиями. Решение приведено в декартовой системе координат с использованием гиперболических функций.

Abstract: the article provides a solution to the problem of thermal conductivity for a rod with a small cross-section, taking into account external heat transfer. In this case, the boundary conditions are set by the boundary conditions. The solution is given in a Cartesian coordinate system using hyperbolic functions.

Ключевые слова: теплопередача, теплопроводность, гиперболические функции, температурное поле, теплообмен.

Key words: heat transfer, thermal conductivity, hyperbolic functions, temperature field, heat exchange.

Уравнение переноса тепла в криволинейном стержне в случае стационарного обмена за счёт теплопроводности имеет вид [1, с. 42]

где X - коэффициент теплопроводности, Те - некоторая средняя внешняя температура, х ~ коэффициент внешнего теплообмена.

Так как стержень прямолинейный, то дифференцировать будем по х. Если разделим выражение на то получим:

Kanareykin Aleksandr Ivanovich

Ph.D. of Engineering Sciences Associate Professor of the Department of General Physics Sergo Ordzhonikidze Russian State University for Geological Prospecting

Moscow, Russia

- ■-"-- - " = :(1)

--- = :(2)

Обозначим f- через a1, тогда уравнение (2) принимает вид: + а2 (7^ — Т) = 0(3)

Преобразуем уравнение (3):

— - .-.-Г = -.-.--(5)

Решение данного дифференциального уравнения будем искать в виде

где Т(х) - решение однородного уравнения

d т

А Т0 - решение неоднородного уравнения

d2T„ di-

azT0 =

-л:"(8)

Решение неоднородного уравнения (8):

= ~т(9)

Решение однородного дифференциального уравнения (7) будем искать в виде [2, с. 175, 3, с. 300]

= _ ."'.л ■. - . '.л '.(10) —. сИх =-- гиперболические синус и косинус.

где вНх = :—-—, сИх = —

Значения констант Сг найдем, устанавливая следующие краевые условия. Пусть существует поток тепла через стержень и заданы температуры на краях стержня. Рассмотрим прямолинейный стержень длиной I (рис. 1)

Рис. 1. Прямолинейный стержень.

где / = ^ - .

Пусть в точке х: задана температура Ть Требуется найти температуру Т вдоль рассматриваемого теплоносителя, если задана внешняя температура окружающей среды Те. Краевые условия:

Определим значения констант для функции Т = С^Иах + С,г/?сс_г в этом случае.

При .г = 0 имеем 7\ = С;.

При .г = í имеем Т2 = СгхЬа1 + Т^сНа!. Откуда

: = — - " --(12) L ¡Aal 1 Aal у '

Искомая функция (решение однородного уравнения), после ряда преобразований примет вид:

sr.si - suai -

Учитывая, что I- = х- — .tL. а х L = 0, получим решение дифференциального уравнения (3) для случая задания краевых условий (11):

Таким образом в настоящей работе приведено решение распределения температурного поля стержня при заданных значениях температуры на концах и характера внешнего теплообмена. Как видим, полученное выражение имеет интересную структуру.

Библиографический список:

1. Канарейкин А. И. Уравнение переноса тепла в криволинейном стержне // Матрица научного познания, 2021. №4-1 - С.42-45.

2. Канарейкин А. И. Применение математического аппарата Берса к решению задачи теплопроводности // Научные труды Калужского государственного университета имени К.Э. Циолковского Сер. "Естественные науки" Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского, 2018. - С. 175-178.

3. Михеев М. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи. Изд. 2-е, стереотип. М., «Энергия», 1977. - 344 с.