CC BY
11УДК 614.838.44:536.3
DOI 10.37657/vniipo.2020.4.2.003
А.С. БАРАНОВСКИЙ, нач. сектора; П.А. ЛЕОНЧУК, нач. сектора; С.А. ЗУЕВ, вед. науч. сотр., канд. техн. наук; В.Г. ШАМОНИН, вед. науч. сотр., канд. физ.-мат. наук (ФГБУ ВНИИПО МЧС России)
ПРОТИВОПОЖАРНЫЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ОБЪЕКТАМИ РАЗЛИЧНОГО НАЗНАЧЕНИЯ. ПОЖАР В ПОМЕЩЕНИИ СКЛАДСКОГО ТИПА. СЕРИЯ РАСЧЕТОВ
Проведена серия расчетов по оценке температуры в помещении при пожаре в режиме, регулируемом вентиляцией, поскольку при этом достигается максимальное значение температуры. Рассматривается предельный случай теплообмена со стенами помещения - изотермический. Проанализирован случай пожара в зданиях типа складских и стоянок автомобилей.
Ключевые слова: радиационный поток, пожар, регулируемый вентиляцией, адиабатическая температура, теплообмен со стенами
Введение
В данной статье авторы продолжают рассматривать проблему, сформулированную в работе [1], а также в статьях [2-5].
Анализируется квазистационарная стадия пожара в помещении, регулируемого вентиляцией. При этом рассматривается пожар в здании складского типа. В этом случае имеем тонкие ограждающие стены и высокую теплопроводность, например, стали или чугуна.
1. Входные данные для расчета Рассматривается пожар в помещении на первом этаже (оси 1-3, рис. прил. 1 [5]) трехэтажного здания класса Ф5.2. На рис. прил. 2 [5] изображен фрагмент плана здания. Входные данные идентичны таковым в [5] за исключением теплопроводности и толщины ограждающих стен.
Согласно табличным данным [6, табл. 6] для характерной температуры 600 °С для углеродистой стали возьмем Xsteel = 3 • 10-2 кВт/(м • К). Как видно из уравнения (3) [5], решение (ИЗ) зависит от отношения X/d, а не от этих величии порознь. Характерное значение толщины металлической стены склада dsteel « 5 мм. Для простоты, чтобы не менять толщину 5 ограждающих стен (в том же помещении) введем виртуальный коэффициент теплопроводности Xvirt, удовлетворяющий соотношению \Jdl = \tJdsteel, где dx = 0,5 м. Отсюда \м = 3 кВт/ (м • К), что почти на 4 порядка превосходит взятое в [5] значение X = 0,7 • 10-3 кВт/(м • К).
Система безразмерных «почти» алгебраических балансных равнений относительно неизвестных xt = Twi/Tmax,i = 1,5; х6 = TG/Tmax; х7 = Qw/Qc представлена в [5]:
FtOO — хб xi + С151 ocw
;
;
F7(X) = С7Хр • (.Xi - ToJ/di - х7 = 0.
(1)
i=1
Здесь все константы, геометрические и теплофизические параметры обозначены в [5], также как и коэффициент теплопроводности внутреннего покрытия поверхности ограждения: X f = 0,7 • 10-3 кВт/(м • К) и коэффициент конвек-
p,reJ
тивнои теплоотдачи awref = 10-2 кВт/(м2 • К).
Для данной серии расчетов было принято epsfun = epsroot = epsfr = 10-3 и, как и в [5] T = 2000 К и intermax = 100.
L J max
Порядок расчета - идентичен таковому в [5]:
- определение адиабатической температуры xgd: (F6(x) = 0 для x7 = 0);
- начальная температура газа х^ = кТд • xgd;
- решение оставшихся уравнений (1) дает начальные значения неизвестно) (0) ■ Т"F
ным и .
2. Метод Зейделя
Было принято, что критерием окончания работы алгоритма являлось не только близость значений температур TG (т. е. x6) на двух смежных итерациях (как указано в [3], но и теплопотерь Qw (x7).
Подстановка значения \м вместо Xp = 0,7 • 10-3 кВт/(м • К) при неизменных значениях остальных параметров (и kTg = 1) привел к следующему результату.
На 1-й же итерации произошла аварийная остановка программы в силу выполнения соотношения: теплоотдача в ограждения помещения превысила тепловыделение в нем (x7 = 2,508 > 1, т. е. Qw = 114 296,49 кВт > mair • AHair = 45 572,32 кВт).
Чтобы убедиться в том, что начальное (адиабатическое, кТд = 1) приближение лежит вне области «притяжения» корня системы (1), была проведена серия расчетов с уменьшенными значениями температурного мультипликатора кТд = 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; 0,5 и 0,4. Результат - тот же досрочное завершение работы алгоритма в силу неравенства (x7 > 1). Следовательно, сам метод Зейделя не «работает» из-за «аномально» высокого значения Xvirt. Простейший пример, фигурирующий во всех учебниках по численным методам ([11,12]): метод «простых» итераций решения скалярного уравнения x = 9(x) не сходится, если в окрестности корня \dqldx\ > 1. В любом случае, либо искать причину в усовершенствовании метода Зейделя, либо использовать другие методы, отмеченные в [5].
Последующая серия расчетов была проведена с целью нахождения граничного значения такого, что для <7^ алгоритм Зейделя сходится, а при больших значениях Xp - нет. Ясно, что это граничное значение зависит от заданных геометрических и теплофизических параметров, фигурирующих в системе (1), а также от выбранных уровней погрешности epsfun и epsroot.
Последовательным уменьшением Xp от значения \irt = 3 кВт/(м • К) варьированием было получено:
= 0,03375; iterTg = 13; xr7inal = 0,339; F6(x) = 9,91 • 10-4; (т. е. = 1496,8 К, индекс final означает конечное состояние.
Таким образом, в данном случае (с X^ = 3 кВт/(м • К) метод Зейделя задачу не решает.
3. Метод Стеффенсена
Для решения системы (1) был опробован метод Стеффенсена, изложенный в статье [7] (вместе с подпрограммой на АЛГОЛе и простым отладочным примером).
Решение системы /(*) = 0, где f = (Д, /2 •••/„), х = (х1гх2 -хп) с задан-
10-4; = 0,74838
ным начальным приближением реализуется итерационной
схемой
= xk-A~i(xk^f(<xk),
rk+l
(2) (3)
где к - номер итерации, а A - матрица с элементами
,
где
Итерации (3) продолжаются до тех пор, пока выполняется одно из двух неравенств [7]:
или ,
£=1 i=1 где einv << 1 - заданный уровень точности.
Проверка работоспособности метода Стеффенсена была проведена на отладочном примере [7]:
(4xf + х2 + 2хгх2 — х2 — 2 = О
I 2x1 + х2 + Зхгх2 — 3 = 0 с начальным приближением = 0,4; х2 = 0,9 и sinv = 10-4. За 4 итерации был
получен точный результат: x = 0,5 и x2 = 0,9. При этом программа обращения
матриц Ortho2 была позаимствована из [8, с. 121].
Проверка Ortho2 была проведена для двух «отладочных» матриц (4 х 4): сегмента матрицы Гильберта [9, с. 79, 94] Иу. = 1/(i + j - 1) и Вильсона [10, с. 34,35]. Умножение расчетной матрицы на исходную дало «почти» единичную с максимальным отличием от 1 для диагональных элементов 1,9 • 10-7, для остальных - 3,7 • 10-9 для матрицы Гильберта. Для матрицы Вильсона эти отличия составили 0,7 • 10-10 и 2,6 • 10-10 соответственно.
Однако, прогон программы с прежним значением Xp = 0,7 • 10-3 кВт/(м • К) привел к АВОСТу (Error 207) вследствие «неопределенности» операции 0/0 в процедуре Ortho2. Более подробно, распечатка элементов матрицы (4) 7*7 показала, что она вырождена (ее определитель равен 0). Поэтому метод Стеффенсена для нашей задачи неприемлем.
4. Метод Ньютона
Стандартный метод Ньютона для системы f(x) = 0, где ,
х = (xltx2 ••• хп) с заданным начальным приближением имеет
вид:
х
fc+i = . ^fc),
где верхний индекс означает номер итерации, а 3 - матрицу Якоби [11, 12].
В данном случае она «почти» диагональна, отличные от 0 элементы имеют вид:
; 7Й = 4х! + С151 ос^ (х£,х6);
; 1 = !;5; кв = С61 • (а^ - Ьд^Т. + 2Ь™лх6) + 4С62х36; (4)
«I
3 = 1; 3 = -1
67 1 ' ^77 ' ■
В этих формулах для элементов 3 .. и 36 (1 = 1,5) представлены приближенные формулы, не учитывающие зависимость коэффициентов конвективной теплоотдачи ос^ от температур газовой смеси Та и внутренних поверхностей ограждений помещения Тк при дифференцировании левых частей ^(х) по этим переменным. Мы считаем, что эта зависимость существенно более «слабая», чем линейная, и в инженерных расчетах не учитывается. Кроме того, такой учет привел бы к существенному усложнению формул для 3.. и 36 (см. выражения для а , Яа и Ш в [3]) при дифференцировании левых частей ^(х). Последую-
щие расчеты подтвердили правильность указанного упрощения (aw ~ awref).
Критерием окончания работы алгоритма, как и ранее, было условие близости значений неизвестных на двух соседних итерациях:
p(n+D < einv, (5)
где - заданный малый параметр, и используется кубическая норма в N-мерном линейном нормированном пространстве
(6)
1<1<JV
в соответствии с определением [13].
Прежде всего «работоспособность» метода Ньютона была проверена результатах, полученных методом Зейделя (толстые ограждающие стены помещения, низкая теплопроводность, ИЗ).
Серия расчетов была проведена при Xp = 0,7 • 10-3 кВт/(м • К) и intermax = 100, einv = 10-4, а также с остальными входными данными [5].
Для кТд = 0,9 было получено: х^ = 0,815361 и далее монотонное снижение температуры газовой смеси до значения a^100^ = 0,296096.
Для кТд = 1 итерации выявили противоположную картину: монотонный рост температуры от х^ = 0,905957 до л^100-1 = 0,9568, т. е. последняя цифра свидетельствует о превышении текущей температуры ее адиабатического значения (xf° 0)Tmax = 1913,6 К > Tgd = 1811,9141 K), что явно не физично. В обоих случаях окончание работы программы произошло по исчерпанию предела итераций, а не по заданному критерию их окончания; в обеих сериях число обусловленности матрицы Якоби не превышало 100.
Ясно, что область «притяжения» корня = 0 содержится в «узком» интервале 0,9 < кТд < 1,0. Варьирование температурного мультипликатора в этом диапазоне позволило получить быструю сходимость при кТд = 0,995 было получено: iterNewton = 1 (первая итерация) и = 1802,833 К, что почти совпадает с конечной температурой, полученной методом Зейделя (см. таблицу в статье [5], равной 1803,555 К).
Критерием правильности расчета, очевидно, является быстрая сходимость и близость результатов, полученных при малых, но отличных друг от друга значений einv.
Наконец, была проведена серия расчетов для искомого помещения складского типа, т. е. с Xvirt = 3 кВт/(м • К) и остальными входными вышеуказанными данными. В этой серии на каждой итерации рассчитывалось значение числа обусловленности матрицы Якоби (как возможного источника вычислительных погрешностей) по формуле [13]:
COND(J) = lir'lliHI/lli, (7)
где нормы матриц согласованы с нормой вектора (6):
N
. (8)
1<1<N / ' J ' j=1
Вначале расчеты проводились с постоянным коэффициентом теплоотдачи awref = 0,01 кВт/(м2 • К).
Проведенная серия расчетов в диапазоне 0,5 < кТд < 1,0 с интервалом АкТд = 0,1, а затем в диапазоне 0,7 < кТд < 0,8 с интервалами АкТд = 0,05 и менее с учетом очевидных ограничений [5]
Т^ < xt < х6 < х6таХ1 i = 1^5; 0 < х7 < 1, (9)
где x6max = TJTmx - безразмерная адиабатическая температура, выявила следующее. Отбрасывались варианты с долгим числом итераций (iterNewton =
100), при этом имело место нарушение неравенств (9), число обусловленности матрицы Якоби варьировалось в пределах ~340 < COND(J) < 365, что свидетельствует о том, что итерационный процесс Ньютона вряд ли является плохо обусловленным [13].
Наконец, было установлено, что удачное начальное приближение кТд* должно находиться между границами монотонного роста и монотонного убывания x6, при этом должно оказаться малое количество итераций. Был найден интервал 0,71< кТд* < 0,725.
Расчет с = 0,72 показал, что: х£0) = 0,652289, iterNewton = 1, х^ = 0,652162, откуда
т final = 1304,324 К (einr = 10-4). (101)
Короткая контрольная серия расчетов с улучшенной точностью elnv = 10-5 привела к результату: кТд = 0,7215, = 0,653648, iterNewton = 1, х^ = 0,653674, т. е. TGfinal = 1307,295К. (102)
Процентное отличие |(101)/(102) - 1|*100 % = 0,228 % - очень хорошее, поэтому дальнейшее уточнение конечной температуры не имеет смысла.
Следующая серия проводилась с учетом непостоянства xw (по формулам, представленным в статье [3]) и аналогичным варьированием (Einv = 10-4). Поведение x6 при этом оказалось подобным в предыдущей серии, и для ло получено: х= 0,656819, iterNewton = 1, zjp = 0,6566, откуда
(103)
Отличие «конечных» температур (101) и (103) составляет всего 0,74 %, что свидетельствует о незначительном влиянии коэффициента конвективной теплоотдачи для (ИЗ).
5. Метод Бройдена
Алгоритм Бройдена решения системы нелинейных (алгебраических) уравнений [14] заключается в реализации следующей последовательности вычислительных операций.
Рассматривается система уравнений = 0, где ; начальное
приближение хо е RN и матрица дк g rn*n; верхний индекс k означает номер итерации. Последовательность операций следующая:
- задаются начальные значения и A0 (в качестве A0 авторы [7] рекомендуют J - матрицу Якоби начального приближения );
- для k = 0, 1, 2... выполняются операции:
- решается уравнение относительно ;
- новое приближение для корня;
- итерация матрицы A.
Здесь индекс T означает транспонирование; а (х) диадное прозведение векторов.
* = 0,725 было получено: = 1313,99 К.
- скалярное,
Итерации продолжаются до тех пор, пока (задан-
ному малому параметру) и счетчик числа итераций не превосходит заданного целочисленного значения (interBroyden < intermax = 100, как и ранее) во избежание зацикливания.
Расчеты по (ИЗ) методом Бройдена
«Толстые» стены и низкая теплопроводность Хр = 0,7 • 10-3 кВт/(м • К).
Расчет при значении кТд = 1,0 потребовал 7 итераций (interBroyden = 7), но при этом имело место слабое уменьшение Т на каждой итерации. В конечном счете = 1803,22 К, что на 0,0186 % меньше аналогичной величины, полу-
ченной методом Зейделя (см. таблицу в [5]).
Расчет с кТд = 0,9 выявил слабые колебания Т на каждой итерации, конечное значение температуры (при ШетВтоуйеп = 7) т£1па1 = 1804,302 К, а для кТд = 0,8 было получено МетВтоуёеп = 10 и тЦЫа1 = 1805,455 К.
Таким образом, имеет место некоторая чувствительность к начальному приближению, но быстрый счет.
Тонкое металлическое ограждение помещения = 3 кВт/(м К), = 10-4.
Расчеты с начальными приближениями кТд = 1,0 и 0,9 привели к быстрому останову работы программы из-за нарушения условия (9) в [6], т. е. х7 < 1 (теплопотери в ограждающие стены оказались больше тепловыделения в помещении).
Серия расчетов с последовательным уменьшения значения температурного мультипликатора кТд выявила быструю сходимость (МетВтоуёеп = 5-10), слабые колебания Т на каждой итерации и для кТд = 0,8; 0,7; 0,6; 0,5 и 0,4 соответствующие значения конечной температуры = 948,97 К; 1382,52 К; 1596,11 К; 1708,95 К и 1767,75 К.
Таким образом, метод Бройдена в данном случае (тонкие металлические ограждения помещений) неприменим, объяснений такому сильному разбросу значений для различных начальных приближений кТд мы не находим.
Непрерывный аналог метода Ньютона
Проведение многочисленных расчетов (ИЗ) не представило собой обременительной проблемы, поскольку время «прогона» одного варианта (трансляция (компиляция) + процессорное время) составило ~1 с.
Возникает вопрос о более обоснованном выборе начального приближения, чем варьирование кТд. Однако, критерий сходимости метода Ньютона для операторных уравнений общего типа в банаховом пространстве представлен в учебнике [15] при заданном начальном приближении, но он очень сложен для реализации в нашем случае. Представляет интерес для наших целей непрерывный аналог метода Ньютона (НАМН) [16, 17], ^ йх —>
с последующей дискретизацией по схеме Эйлера. Подробности НАМН будут нами представлены в последующей публикации.
6. Расчеты по (ИЗ) НАМН
«Толстые» стены и низкая теплопроводность Хр = 0,7 • 10-3 кВт/(м • К).
Серия расчетов с варьированием кТд позволила выявить узкую область сходимости: для кТд = 0,99; 0,995 и 0,998 было получено iterNewton = 1, = 1793,56 К, iterNewton = 0, тЦЫа1 = 1802,85 К и iterNewton = 0, т£Ыа1 = 1808,35 К соответственно.
Тонкие металлические ограждения помещения Х^ = 3 кВт/(м • К).
Аналогично расчетам по классическому методу Ньютона варьированием кТд была найдена узкая область сходимости между границами монотонного роста и монотонного убывания х6, для кТд = 0,72 было получено: iterNewton = 7, = 1303,655 К, что на 0,051 % отличается от значения (101) при той же величине кТд.
Заключительные замечания
Вопрос о целесообразности применения НАМН в нашем случае требует отдельного исследования (особенно для КЗ).
Исходная система нелинейных (квазиалгебраических) уравнений (1) до-
вольно сложна, нелинейность порождает не единственность. Возникает вопрос, сколько имеется решений у системы (1) кроме найденного. Вопрос остается открытым, найденное удовлетворяет условиям (9), остальные, если существуют, то нет.
Вычисленное значение = 1303,65 К является заниженным в силу отмеченного ранее неравенства Т (ИЗ) < Т (КЗ) < Т ? (АЗ). Уточнение за счет учета конвективного охлаждения наружных поверхностей по формулам [3]
Tw Tout
— U-outijout, Т0) ' (Tout ~Tq)
расширяет пространство конфигураций за счет пяти температур внешних поверхностей ограждений помещения, т. е. система (1) превращается в нелинейную систему из 12 уравнений с 12 неизвестными.
Выводы
Представленный варианты расчетов позволяет сделать предварительный вывод, что вышеописанные методики (классический Ньютон и НАМН) нижней оценки температуры газовой смеси в помещении при пожаре в режиме, контролируемом вентиляцией, правомерны для складских объектов или гаражей. Полученное значение температуры следует использовать далее для расчета плотности радиационного потока от всех оконных проемов на область лицевой поверхности соседнего объекта, где, предположительно, возможно загорание. Если указанный поток превосходит допустимый q*, то проектный противопожарный разрыв следует увеличить. В этом смысл решения ИЗ. Более точная оценка связана с решением конвективной задачи.
Список литературы
1. Барановский А. С., Леончук П.А., Зуев С.А., Шамонин В.Г. Оценка противопожарных расстояний между объектами различного назначения. I. Подходы к проблеме. Полевое моделирование // Пожарная безопасность. 2019. № 2. С. 95-99.
2. Барановский А. С., Леончук П.А., Зуев С.А., Шамонин В.Г. Оценка противопожарных расстояний между объектами различного назначения. II. Фасадный факел // Пожарная безопасность. 2019. № 3. С. 108-111.
3. Барановский А. С., Леончук П.А., Зуев С.А., Шамонин В.Г. Оценка противопожарных расстояний между объектами различного назначения. III. Пожар в помещении. Оценка температуры // Пожарная безопасность. 2019. № 3. С. 112-118.
4. Барановский А. С., Леончук П.А., Зуев С.А., Шамонин В.Г. Противопожарные расстояния между объектами различного назначения. Оценка радиационных потоков // Актуальные вопросы пожарной безопасности. 2019. № 2 (2). С. 42-47.
5. Барановский А. С., Леончук П.А., Зуев С.А., Шамонин В.Г. Противопожарные расстояния между объектами различного назначения. Пожар в помещении жилых и общественных зданий. Пример расчета // Актуальные вопросы пожарной безопасности. 2020. № 1 (3). С. 63-68.
6. Краснощеков Е.А., Сукомел А.С. Задачник по теплопередаче. 4-е изд., пе-рераб. М.: ЭКОЛИТ, 2011. 288 с.
7. Майергоз М.Д., Хазанкина С.П. Уточнение решений системы нелинейных алгебраических уравнений обобщенным методом Стеффенсена // Алгоритмы и алгоритмические языки. Вып. 4. С. 48-51. М.: ВЦ АН СССР, 1969. 116 с.
8. Уилкинсон Дж.Х. и др. Сборник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. 392 с.
9. Агеев М.И. и др. Алгоритмы (1-50). М.: ВЦ АН СССР, 1966. 108 с.
10. Агеев М.И. и др. Библиотека алгоритмов 51 б-100б. М.: Советское радио, 1976. 136 с.
11. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы: учеб. пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 600 с.
12. Зайцев В.В. Численные методы для физиков. Нелинейные уравнения и оптимизация: учебное пособие. Самара: Самарский государственный университет, 2005. 86 с.
13. Петров И.Б. и др. Лекции по вычислительной математике. М.: Интернет-Университет Информационных технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 523 с.
14. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. 440 с.
15. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. ГРФМЛ, 1980. 496 с.
16. Ермаков В.В. и др. Методы решения линейных и нелинейных алгебраических уравнений. Препринт № 169 ИПМ АН СССР. М., 1979. 24 с.
17. Ермаков В.В. и др. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона // ЖВМВФ. 1981. Т. 21, № 2. С. 491.
Материал поступил в редакцию 09.01.2020 г.
Барановский Алексей Сергеевич - начальник сектора. Тел. (495) 524-8137. E-mail: [email protected]; Леончук Петр Алексеевич - начальник сектора. Тел. (495) 524-82-09. E-mail: [email protected]; Зуев Станислав Анатольевич - ведущий научный сотрудник, кандидат технических наук. Тел. (495) 524-83-45. E-mail: [email protected]; Шамонин Валерий Геннадьевич - ведущий научный сотрудник, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник. Тел. (495) 524-82-57. E-mail: [email protected] (Всероссийский ордена «Знак Почета» научно-исследовательский институт противопожарной обороны Министерства Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий (ФГБУ ВНИИПО МЧС России)), г. Балашиха, Московская область, Россия.
A.S. Baranovsky, P.A. Leonchuk, S.A. Zuev, V.G. Shamonin FIRE PROTECTION DISTANCES BETWEEN CONSTRUCTIONS OF DIFFERENT PURPOSE. A FIRE IN A WAREHOUSE-TYPE PREMISE.
SERIES OF CALCULATIONS
There is performed the series of calculations to estimate the temperature in premise during a fire in ventilation-controlled mode, because the maximum temperature achieves in this case. There is considered the extreme case of heat exchange with the walls of the room - isothermal case. The case of fire in buildings such as warehouses and car parking is examined.
Keywords: radiative flow, ventilation-controlled fire, adiabatic temperature, heat exchange with walls
Alexey S. Baranovsky - Head of Sector. Phone: (495) 524-81-37; Peter A. Leonchuk - Head of Sector. Phone: (495) 524-82-09; Stanislav A. Zuev -Candidate of Technical Sciences, Leading Researcher. Phone: (495) 524-83-45; Valery G. Shamonin - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher, Senior Researcher. Phone: (495) 524-82-57.
All-Russian Research Institute for Fire Protection (VNIIPO), the Ministry of the Russian Federation for Civil Defense, Emergencies and Elimination of Consequences of Natural Disasters (EMERCOM of Russia), Balashikha, Moscow region, Russia.
