Пространство в естественных языках и языках геометрии Текст научной статьи по специальности «Языкознание и литературоведение»

Лингвистика в кругу наук

Г.Е. Крейдлин, Г.Б. Шабат

Пространство в естественных языках и языках геометрии

Настоящая статья, написанная совместно лингвистом и математиком, открывает серию работ о языках геометрии в их письменной форме. В ней обсуждается центральное понятие научной и языковой картин мира — понятие пространства и описываются языки геометрии как науки, в которых пространство и его свойства являются основными предметами изучения. Особое внимание уделяется лексическим средствам описания пространственных структур в языках науки и в естественном языке.

Ключевые слова: естественные языки, языки геометрии, научная картина мира, языковая картина мира, лексические единицы

0. Введение

Наряду с повседневными или бытовыми, естественными языками, которыми пользуются их рядовые носители, лингвистика интересуется и другими языками, в частности языками различных наук. Те лингвисты, в сферу внимания которых входит язык какой-то науки, его строение и содержание, втайне надеются, что лингвистическое изучение этого языка может помочь и основным его пользователям. При этом, как и в случае бытовых языков, принято выделять два аспекта владения языком науки: понимание (анализ) письменных и устных текстов на этом языке и построение (синтез) таких текстов.

При лингвистическом изучении научных текстов центральное место занимают лексическая и грамматическая системы, а, например, фонетическая и фонологическая структуры остаются в стороне, что не удивительно, поскольку языки науки в основном связаны с письменной формой общения.

Настоящая статья открывает серию работ о языках геометрии в их письменной форме. Мы употребили здесь множественную форму

© Крейдлин Г.Е., Шабат Г.Б., 2015

слова язык неслучайно. Для описания науки, то есть для построения и анализа её понятийного и методологического аппарата, характеристики её инструментария, исследования основных текстов и достижений науки, казалось бы, вполне достаточно одного языка, и такой взгляд на науку и её язык бытует в лингвистической среде по сегодняшний день. Между тем, говоря о нескольких языках геометрии, мы хотим в дальнейшем показать, что представление об одном-единственном языке этой науки в общем случае неверно и что для адекватного описания геометрии — её положений и основных результатов — одного языка недостаточно.

Особенность геометрии состоит в том, что она изучается не только специалистами, но и людьми, в норме далёкими от математики, — школьниками, студентами и др. Это накладывает на геометрию и на традиционный стиль её изложения определённые ограничения и обязательства, которые вынуждены принять на себя авторы учебных текстов и учителя. Ядерные элементы геометрии и некоторые её тексты должны быть понятны не только математикам, но и более широкому кругу людей. Приходится принимать во внимание, что люди, изучающие и преподающие геометрию, обладают разными мыслительными и когнитивными способностями, что у каждого из них есть свои психологические особенности и свой жизненный опыт, а потому при написании геометрических текстов и их устном воспроизведении необходимо прямо или косвенно учитывать фактор адресата.

Адресаты языков геометрии — это люди разных социальных групп, существенно различающиеся по своей культуре, человеческим характеристикам и интересам. К ним относятся, прежде всего, профессиональные математики, причём, что важно, не обязательно занимающиеся геометрией. Кроме того, адресатами геометрических текстов являются преподаватели и ученики. К адресатам таких текстов можно отнести и специалистов в других областях знания, которым могут быть интересны и полезны геометрические идеи. Наконец, адресатами геометрических текстов могут быть любые люди, интересующиеся математикой.

Было бы, однако, ошибкой думать, что по мере развития геометрии и распространения геометрических знаний всякий раз учитывались разные характеристики всех адресатов. Фактор адресата, наряду с внутренними потребностями самой геометрии, и был одной из многих причин рождения различных языков геометрии. При этом возникли эти языки не одновременно, и каждый из них предназначался более чем одной группе адресатов.

Рассматривая языки геометрии, мы попытаемся реконструировать те комплексы идей, которые стояли за появлением каждого из них, и очертить тот круг лиц, для которых тот или иной язык может более или менее полезен и доступен. Таким образом, задачи, которые мы перед собой ставим в этой и последующих статьях, по-свящённых языкам геометрии и их соотношениям с естественными языками, состоят не только в том, чтобы описать языки геометрии, но и показать, что с каждым из них связаны свои особенности понимания людьми текстов на этих языках.

Настоящая статья является продолжением серии работ, написанных совместно математиком и лингвистом1. В центре внимания нашей совместной деятельности лежат природа и механизмы понимания текстов, прежде всего научных. При этом мы обычно рассматриваем тексты не только на естественном (обычно — русском) языке, но и на различных формальных языках.

В предыдущих работах мы охарактеризовали основные способы контроля и самоконтроля понимания научных текстов и описали некоторые когнитивные операции над определёнными их видами, а именно над формулировками теорем. Понимание смысла научных текстов и их отдельные структурные характеристики составляют центральное место и в настоящей статье. Сходные проблемы рассматривались ранее и в целом ряде других исследований2.

Структура данной статьи такова: после Введения следует раздел 1, в котором обсуждается понятие пространства, определяется место и роль в нём человека и описываются языки геометрии как науки, в которых пространство и его свойства являются основными предметами изучения. В разделе 2 речь идёт о геометрии трёхмерного пространства, а в разделе 3 - о расширении самого понятия трёхмерного пространства и о пространстве-времени. При этом формальная адекватность всех вводимых в этих разделах понятий подкрепляется рядом соображений относительно их содержательной адекватности. В Заключении отмечаются некоторые сходства и различия между представлениями о пространстве, закреплёнными в естественных языках и языках геометрии. Обрисовываются перспективы дальнейшей работы в этом направлении.

1. Языки математики

1.0. Языки геометрии среди языков математики. Прежде чем обратиться к языкам геометрии, скажем несколько слов о языках математики вообще.

Сначала уточним, что мы имеем в виду под языком математики. Считая понятия математика и математик первичными, отметим, что они релятивизованы относительно эпохи. Важно осознать, кого мы сегодня называем математиком и что мы сегодня относим к математике и к математическим текстам.

Говоря о языках математики, мы далее сосредоточимся в основном на современном языке и на современных математических текстах. При этом мы будем рассматривать только письменную форму таких текстов в их печатном или электронном виде, а под языком математики будем понимать язык математических текстов. В последующих статьях мы намереваемся рассмотреть несколько языков математики и несколько языков геометрии.

1.1. Геометрия как наука о пространстве и пространстве-времени. Когда и как люди научились говорить о пространстве? В настоящее время ответ на этот вопрос никому не известен, и вместе с тем он является лишь крошечной частью одного из основных вопросов лингвистики Когда и как люди научились говорить?

Представления о пространстве составляют важнейший концептуальный элемент самых древних из доступных нам текстов. Опуская очевидные библейские примеры, упомянем, что, по-видимому, старейшее из дошедших до нас литературных произведений — «Эпос о Гильгамеше» — начинается словами, которые имеют прямое отношение к пространству:

О том, кто всё видел до края Вселенной, Кто скрытое ведал, кто всё постиг, Испытывал судьбы Земли и Неба..?

Как мы видим, сказание о Гильгамеше начинается с (не очень явного) описания того, где происходят описываемые события: от края до края Вселенной, от Земли до Неба... Вспомним также, что огромное количество сказок и легенд начинается обозначающими пространство словами В некотором царстве, в тридевятом государстве и т.п.

Поскольку геометрия в современном представлении — это наука о пространстве, поставленный выше вопрос — не праздный. Обсуждая его, нам придётся договориться, что мы понимаем под пространством.

Словари и энциклопедии договориться об этом не помогут, что не случайно. Хотя выдающаяся современная лингвистка Анна Вежбицкая не включает 'пространство' в свой список семантических атомов, или примитивов4, тем не менее, как понятие «пространство», так и слово пространство следует, по-видимому, отнести к неопределяемым. «Определение» вроде Пространство - это всеобщая

форма существования материи, которое студенты нашего поколения вынуждены были зазубривать в эпоху господства «единственно верного» философского учения (диалектический материализм), пытается истолковать и объяснить не очень понятное с помощью уж совсем непонятного. Не лучше и современное деидеологизированное энциклопедическое описание Space is the boundless, three-dimensional extent in which objects and events occur and have relative position and direction5. Данное описание обладает тем же недостатком: оно малопонятно. К тому же оно старомодно утверждает без какого-либо обоснования, что пространство, в котором мы живём, обладает такими свойствами, как неограниченность и трёхмерность, то есть свойствами, о которых мы ещё собираемся поговорить в последующих статьях.6

В русском языке есть два слова с весьма близкими значениями: пространство и Вселенная. Каждое из них может служить синтаксически правильным и всеобъемлющим ответом на вопросы о местонахождении чего-либо, но при этом ответ может быть далеко не всегда семантически корректным. Дело в том, что слова пространство и Вселенная, во-первых, не полностью синонимичны, а во-вторых, обслуживают разные предметные области. Хотя оба слова часто встречаются в поэтических текстах, пространство как научный термин относится скорее к математике, а Вселенная — к физике. Наконец, поскольку в математике говорят о многих пространствах7, слово пространство, как правило, пишут со строчной буквы. Между тем Вселенная, согласно большинству современных физических и философских представлений, одна, а потому слово Вселенная всегда пишется с заглавной буквы: оно в физических текстах играет роль имени собственного.

Отметим попутно ещё один лингвистический факт, касающийся слова Вселенная. В современном научном языке оно и его английский эквивалент Universe являются абсолютно точными переводами друг друга, но происхождение у этих слов разное.

Согласно данным электронной энциклопедии «Википедия», русское слово Вселенная произошло от старославянского въселена, которое является калькой с древнегреческого ойкумена 'oÎKOupèvq'. Последнее, в свою очередь, образовано от глагола oÎkè« 'населять, обитать'. Между тем английское слово Universe восходит к латинскому Universum8, в котором часть uni происходит от unus 'один', а часть versum 'vorsum' связана со словом vertere 'вращаться'. Таким образом, Вселенная — это место, где живут люди, а Universum — объект, который вращается как нечто единое, цельное и целостное (главный образ здесь, конечно, ночной небосвод).

О Вселенной говорят и пишут поэты и учёные, однако учёные, особенно в последние десятилетия, озабочены вопросом о существовании вселенных, альтернативных нашей. Этим же вопросом интересовались и поэты, но, конечно, по другим причинам: поэтов занимали вопросы взаимоотношения Вселенной и людей.

Физики стали рассуждать о разных вселенных, в том числе о тех, в которых мы не живём, и даже рассматривать вопрос о количестве таких вселенных9. Это обстоятельство отразилось и на правописании слова вселенная: оно сегодня всё чаще пишется с маленькой буквы. В английском языке, точнее, в англоязычной физической и философской литературе, более века назад появилось парадоксальное, на первый взгляд, слово multiverse, имеющее как своих сторонников, так и противников.

Вопросы о существовании и количестве альтернативных вселенных отнюдь не являются праздными. Согласно воззрениям современной физики, нашу Вселенную через миллиарды лет ожидает печальный конец, несколько напоминающий её начало. Мы имеем здесь в виду Большой Взрыв, но, как говорят физики, с обращённым временем. Существует несколько сценариев конца Вселенной, но ни один не оставляет надежд на вечное пристанище для наших потомков, так что очень хотелось бы знать: а не найдётся ли для них других вселенных?

Перейдём теперь от языка физики к языку математики и от Вселенной/вселенных к Пространству/ пространству.

Замечание. В последнее время появилось несколько работ, по-свящённых значению и употреблению русских слов, обозначающих разные виды пространств. Укажем, например, на работу И.Б. Левон-тиной «Черта местности»10. В ней отмечен следующий важный факт: слова, обозначающие 'пространство', выделяют (акцентируют) в них те или иные смысловые компоненты, связанные с человеком, такие, как 'обжитость', 'близость к человеку' или 'удалённость от человека' и др.

Отказавшись в данной статье от попыток определить, что такое пространство, отметим лишь, что пространство — это не просто место, а место, где нечто происходит, то есть оно связано с определёнными событиями.

В разных разделах профессиональной математики изучаются многочисленные и разнообразные виды пространств, и этим, в частности, профессиональная математика отличается от школьной. В школьную программу входит такая дисциплина, как стереометрия, во введении к которой обычно отмечается, что стереометрия является наукой о «нашем» Пространстве, о пространстве, в котором

мы, якобы, живём. По традиции, восходящей к древнегреческой математике, это пространство объявляется трёхмерным и евклидовым, то есть пространством, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии.

В современной математике общего понятия «пространство» нет. К пространствам в языках математики обычно относят множества, элементы которых принято называть точками.

Прежде чем говорить о языках геометрии, необходимо уточнить понимание трёх хорошо известных со школьной скамьи слов геометрия, планиметрия и стереометрия. Если не вдумываться в их этимологию, то данные термины и стоящие за ними понятия кажутся ясными: (школьная) геометрия состоит из двух частей — планиметрии, науки, изучающей фигуры на плоскости (то есть двумерном пространстве), и стереометрии, науки, изучающей тела в (трёхмерном) пространстве. Если всё же обратиться к этимологии обсуждаемых слов, то мы сталкиваемся с абсурдной ситуацией: название более общей науки, геометрии, этимологически родственной географии и геологии, связано с изучением поверхности Земли, а потому она уже много веков как должна была бы быть сферической геометрией. Последнее, однако, противоречит тому, что основные подразделы геометрии — планиметрия и стереометрия — изучают абстрактные понятия, связанные отнюдь не только с Землёй. Они едва ли вообще имеют какой-то физический смысл — с точки зрения современных представлений о Вселенной. В дальнейшем мы будем использовать названия геометрических дисциплин лишь в привычном со школы смысле.

Так, при обсуждении маршрутов и их описаний мы обычно рассматриваем перемещение людей по Земле, то есть остаёмся в рамках планиметрии. Сферичность Земли в повседневной жизни проявляется редко; естественный язык, как мы хорошо знаем, весьма эффективен в описании плоскости и перемещений по ней, но значительно хуже приспособлен к рассказам о сфере и о сферических маршрутах.

Между тем люди не только ходят по земле, но и летают над ней, и это обстоятельство для естественных языков отнюдь не является помехой. Мы прекрасно справляемся с третьим измерением — с точностью до одной тонкости, о которой мы ещё поговорим попозже.

Рассмотрим пару языковых примеров:

• За рекой, за лесом солнышко садится (начало песни на слова В. Застрожного, популярной в прошлом веке).

• И под божественной улыбкой, // Уничтожаясь на лету, // Ты полетишь, как камень зыбкий //В сияющую пустоту... (А. Блок, «Демон»).

На естественном языке легко выражаются такие понятия, как «ближе/дальше», «выше/ниже», «отвесно вниз» (как падающий камень). Используемые для этого языковые средства, главным образом, лексические, известны каждому с детства, причём обычный человек, даже не лингвист, легко понимает их, специально не анализируя.

Вышеупомянутая тонкость связана с описанием того, что происходит в видимой части пространства. Мы зрительно воспринимаем то, что происходит на Земле и выше, то есть над Землёй, и хорошо умеем описывать только то, что видим. Иными словами, естественные языки пригодны скорее для описания полупространства, чем пространства.

Высказанное только что положение может кому-то показаться спорным — ведь мы умеем говорить и о пещерах, и о шахтах, и о станциях метро. Однако, если это положение несколько уточнить и сформулировать его на более научном языке, то, оно, как кажется, едва ли вызовет возражения.

Прежде чем перейти к понятию «полупространство», сделаем несколько предварительных замечаний.

Как известно из курса стереометрии, в пространстве выделяются два основных класса подмножеств: прямые и плоскости. На множестве прямых принято вводить отношение параллельности; при этом совпадающие прямые считаются параллельными. Отношение параллельности является отношением эквивалентности, которое разбивает множество прямых на классы эквивалентности, называемые направлениями.

Трёхмерное пространство, рассматриваемое в стереометрии, обладает свойством изотропности, то есть все направления в нём равноправны. Равноправность направлений означает, что существуют движения (то есть преобразования пространства, сохраняющие все возможные расстояния между точками), которые переводят любое направление в любое (в том числе само в себя). Между тем в пространстве, в котором, как принято думать, мы живём и о котором мы обычно говорим на естественном языке, есть по крайней мере одно выделенное направление, а именно вертикальное.

Дело в том, что все «наземные» направления, то есть горизонтальные и саггитальные (направления «вперёд» — «назад»), являются субъективными, поскольку привязаны к конкретным людям. Вертикальное же направление единственно11 и потому субъективно в гораздо меньшей степени (то, что основным пространственным направлением является вертикальное, связано и с тем, что естественное положение человеческого тела — вертикальное12. Свидетельством

этому является наличие в языке слов вертикальное и его дериватов, слов верх и низ, а также слов, обозначающих движение в вертикальном направлении, — вверх и вниз. Последние две языковые единицы говорят о том, что есть что-то в этом мире, что находится или происходит выше (меня, наблюдателя!), а что-то — ниже.

Понятия «выше» и «ниже» разбивают пространство на два трёхмерных полупространства; границу между этими полупространствами в отрыве от субъективного наблюдателя часто называют уровнем моря, отмеряя от неё, скажем, высоты гор или глубины морей.

Теперь мы можем сформулировать предварительный ответ на вопрос «Где мы живём?».

Фрагмент естественного языка, удобный для описания наблюдаемых пространственных явлений, сформировался в давние времена и базировался на распространённых тогда представлениях о том, что мы живём в трёхмерном полупространстве (выше уровня моря) .

В дальнейшем сформулированный ответ будет уточнён и дополнен. Его уточнение будет касаться свойств полупространства, о котором идёт речь.

Замечание. Представителей всех мировых культур с незапамятных времён больше всего привлекал, так сказать, верхний край этого полупространства, а именно небесная полусфера. Предметом особо тщательных наблюдений, представлений и фантазий эта полусфера становилась по ночам: ночное небо служило неиссякаемым источников не только мифов, но и точных описаний и гипотез.

Одной из наиболее полных сводок древних знаний и верований является поэма «Явления», написанная греческим поэтом Аратом, жившем в III веке до нашей эры13. Эта поэма во время её написания была явным «бестселлером», но постепенно утратила широкую известность. Многие объясняют это тем, что примерно тогда же стали появляться гораздо более научные описания ночного небосвода. Однако для гуманитариев поэма Арата остаётся замечательным и полным ответом, на вопрос Где мы живём?, данным более двух тысяч лет (!) назад, а потому мы настоятельно рекомендуем всем, кто хоть немного интересуется этой проблемой, прочитать поэму Арата.

Для уточнения ответа на вопрос Где (и когда) мы живём? нам потребуется ввести два важных понятия — «ориентация трёхмерного пространства» и «время». Эти понятия позволяют придать точный смысл членам оппозиций левое/правое и раньше/позже.

Понятия «левое» и «правое» (применительно к объектам трёхмерного пространства) определяются при помощи понятия «ориентация трёхмерного пространства». Сначала мы дадим определение «базиса в трёхмерном пространстве», опираясь при этом на известное из школьной геометрии понятие луча и его начала. Затем введём понятия упорядоченного базиса в трёхмерном пространстве, непрерывного перевода одного упорядоченного базиса в другой, согласованных упорядоченных базисов, которые мы будем называть одинаково ориентированными. На основе этих понятий и будет определено понятие ориентации.

Базисом в трёхмерном пространстве мы будем называть три луча в этом пространстве, имеющие общее начало и не лежащие — все втроём! — в общей плоскости14.

Замечание. Для тех читателей, кто привык к понятию системы координат в пространстве, проще всего считать базисом положительные направления традиционных координатных осей {х,у,г}.

Упорядоченный базис в трёхмерном пространстве — это базис с выбранным порядком лучей — договариваемся, какой луч считать первым, какой — вторым, какой — третьим.

Далее рассматривается свойство «непрерывная переводимость одного упорядоченного базиса в трёхмерном пространстве в другой». Два упорядоченных базиса в трёхмерном пространстве называются согласованными, если один из них можно непрерывно перевести в другой так, чтобы ни в какой момент лучи этих базисов не оказались в общей плоскости. Согласованные упорядоченные базисы также называют одинаково ориентированными. Согласованность упорядоченных базисов является отношением эквивалентности на множестве упорядоченных базисов, а потому задаёт разбиение этого множества на классы эквивалентности. Можно показать, что таких классов упорядоченных базисов в трёхмерном пространстве ровно два. Элементы одного класса называют положительно ориентированными базисами, а элементы другого — отрицательно ориентированными базисами.

Замечание. В случае трёхмерного пространства, в котором введена традиционная система координат, положительно ориентированными обычно считаются единственный лексикографически упорядоченный базис (х,у,г)15 и упорядоченные базисы (у,г,х) и (г,х,у), получаемые из базиса (х,у,г) последовательными циклическими перестановками. Отрицательно ориентированными будут базисы (у,х,г), (х,г,у) и (г,у,х)16.

Далее определяется понятие «выбор ориентации трёхмерного пространства». Под ним имеется в виду выбор одного из двух классов упорядоченных базисов. Сделанный выбор и объявляется ориентацией трёхмерного пространства.

Отметим одно важное обстоятельство. Такой выбор осуществляется абсолютно произвольным образом: структура трёхмерного пространства не содержит в себе ничего, что бы его предопределяло. Выбранный класс принято называть при этом классом положительно ориентированных базисов.

Поясним введённое понятие ориентации трёхмерного пространства неформально.

Предположим, что мы стоим на поверхности Земли, то есть понятия «прямо» и «вверх« для нас определены (это — лучи, причём направление луча «прямо» определёно взглядом, а направление «вверх» — от головы к небу). Тогда плоскость, порождённая направлениями прямо и вверх, рассекает пространство на два полупространства. Выбор ориентации состоит в том, что одно из этих полупространств считается левым, а другое - правым. В европейской культуре принято считать положительным базис «вправо, вперёд, вверх». «Левое» определяется как противоположное правому.

Подчеркнём, что речь идёт именно о выборе: сама по себе структура пространства (заданная, например, метрикой, то есть функцией, ставящей любой паре точек пространства число, равное расстоянию между ними) ориентации не определяет. Если мы выбрали ориентацию в нашем трёхмерном пространстве, то в Зазеркалье естественно будет выбрана противоположная ориентация.

Замечания: (а) Более подробный анализ понятия ориентации, специально предназначенный для гуманитариев, можно найти в книге В.А. Успенского «Апология математики»17; (б) выше мы сознательно оставили неформализованным кажущееся интуитивно ясным понятие непрерывности. Непрерывность как некоторое свойство отображений определяется через основные понятия топологии и топологического пространства18.

Перейдём к понятию времени. Время связано с вопросом когда? так же, как пространство — с вопросом где?. Мы понимаем, что каждое событие происходит где-то и когда-то, а потому событию сопоставляется пара: точка пространства и момент времени19.

Далее мы будем говорить о множестве событий. Его в математике и физике называют пространством (событий), или пространством-временем. Если бы пространство как множество точек и время как множество моментов никак не были связаны между

собой, или, иначе, если бы где-вопрос и когда-вопрос, относящиеся к одному и тому же событию, не были связаны по смыслу друг с другом, то переход от пространства к пространству-времени выглядел бы ненужным и искусственным.

В классической картине мира пространство и время рассматривались по отдельности: пространство представлялось вечным и неизменным, а время — текущим независимо от него, от бесконечно далёкого прошлого до бесконечно далёкого будущего. Такая картина мира лежала в основе ньютоновой механики.

Даже в наиболее старых из известных нам сегодня картин мира взаимоотношения между пространством и временем не столь тривиальны: в большинстве из них, например, религиозных или фольклорных, в том или ином виде фигурирует акт творения. Признание существования этого акта устанавливает взаимозависимость пространства и времени. Так, если вопрос Что было на Красной площади до сотворения Мира? бессмыслен, то вопрос Что было на Красной площади до реформ Петра? вполне осмыслен.

В двадцатом веке наука тоже пришла к признанию существования «акта творения»: были обнаружены несомненные последствия Большого Взрыва.20 Тем самым наука пришла к пониманию неразрывности времени и пространства. Ещё одной причиной не рассматривать пространство и время по отдельности явилось осознание неполноты классической научной картины мира. Появилась теория относительности, в которой пространство и время выступают в неразрывном геометрическом единстве.

И всё же снова: Где мы «на самом деле» живём? Наиболее точный, краткий и честный ответ звучит просто: Не знаем. Однако мы знаем, что существует более развёрнутый и содержательный ответ на поставленный вопрос. Правда, сам вопрос следует предварительно уточнить.

Обратим внимание на слова на самом деле и на то, что они в поставленном вопросе взяты в кавычки. Дело в том, что исчерпывающее описание пространства или пространства-времени, которое вмещало бы все наблюдаемые явления, современной науке неизвестно. Существование так называемой объективной реальности (наукообразного варианта более понятного словосочетания на самом деле), которую описывать наука якобы призвана, является не более чем гипотезой, причём, на наш взгляд, мало обоснованной.

Мы понимаем задачу описания пространства-времени как значительно более скромную, чем задача построения полной, непротиворечивой и окончательной картины геометрии мира.

2. Заключение

На протяжении статьи мы не раз ставили вопрос «Где мы живём?» и обсуждали разные способы уточнения этого важного вопроса. Ответ на него занимает умы не только математиков, но и представителей многих других наук. Проблема уточнения этого вопроса заботит и лингвистов, однако пути уточнения у лингвистов и математиков, вообще говоря, разные.

Главное, что интересует лингвистов, — это способы языковой и, шире, семиотической, концептуализации пространства. Наряду с понятием и словом пространство как ядерным элементом соответствующего семантического поля, ими анализируются такие понятия, слова и словосочетания, как место, местонахождение, местопребывания, место жительства, территория, а также более конкретные виды и обозначения пространств — страна, город, улица, дом и др. Исследуются также связанные с пространством и его концептуализацией сущности, как направление, ориентация, верх, низ, правый, левый, передний, задний и др.

При рассмотрении всех этих понятий и при изучении лингвистических свойств этих слов (морфологического строения, значения, сочетаемости и под.) основное внимание исследователей обращено на соотношение всех этих понятий и слов с человеком — говорящим, слушающим, наблюдателем. Поэтому лингвисты и представители некоторых других гуманитарных наук говорят об антропоморфности пространства и о психофизиологической нагруженности пространственных понятий и категорий. Точкой отсчёта, относительно которой устанавливаются значения рассматриваемых категорий, чаще всего бывает человек (хотя и независимые точки отсчёта тоже встречаются — географические, астрономические и др.).

В современных геометрических и физических теориях места человеку не находится21. Все понятия, часть из которых мы обсуждали в данной статье, абсолютизированы, то есть не релятивизованы относительно человека. Мы, однако, выражаем надежду на то, что в будущем основным действующим лицом геометрии и физики станет триада «пространство-время-человек». Некоторые основания для этой надежды у нас есть, и связаны они, прежде всего, с результатами, полученным в математической логике ХХ века. Мы имеем в виду, в частности, теорему Гёделя о неполноте (В любой непротиворечивой теории имеется формула, которая одновременно и недоказуема, и неопровержима)22.

Таким образом, ответ на вопрос «Где мы живём?» представители естественных и гуманитарных наук сегодня дают разный, и

взаимопонимание предполагает его разные возможные уточнения. За минувшие тысячелетия было построено несколько моделей пространства-времени, каждая из которых описывает лишь некоторую часть наблюдаемых явлений и потому даёт свой неполный ответ на поставленный вопрос. Такие модели мы собираемся последовательно обсудить в дальнейших статьях на данную тему, сознавая, что по мере приближения к современности их сложность растёт, а потому по необходимость наш рассказ о них будет всё менее детальным. Иными словами, постепенное усложнение моделей — это путь ко всё более точному ответу на вопрос Где мы живём?

Примечания

1

Крейдлин Г.Е., Шабат Г.Б. Теорема как вид текста I. Понятность // Вестник РГГУ. Серия Языкознание/МЛЖ. 2007, № 8. С. 102 - 112.; Крейдлин Г.Е., Шабат Г.Б. Теорема как вид текста II. Когнитивные операции над формулировками теорем // Вестник РГГУ. Серия Языкознание/МЛЖ. 2011, № 11. С. 241-270.; Крейдлин Г.Е., Шабат Г.Б. Когнитивные операции на пути к пониманию текста // Präsens: сборник научных трудов / Под общ. ред. Е.И. Пивовара. М.: ОЛМА Медиа Групп, 2012, С. 251-265.

Гладкий А.В., Мельчук И.А. Элементы математической лингвистики. М.: Наука, 1969.; Звонкин А.К. Малыши и математика: Домашний кружок для дошкольников. М.: МЦНМО, МИОО, 2012.; Корельская Т.Д., Падучева Е.В. Обратная теорема (алгоритмические и эвристические процессы мышления). М.: Знание, 1978 (Новое в жизни, науке, технике: Математика, кибернетика).; Крейдлин Г.Е., Шмелёв А.Д. Математика помогает лингвистике. М.: Просвещение, 1994.; Манин Ю.И. Математика как метафора. М.: МЦНМО, 2008.; Успенский В.А. Труды по НЕматематике. М.: ОГИ, 2002. Гумилев Н.С. Гильгамеш. Пг.: Изд. Гржебина, 1919. (Перевод-переложение с французского). «Эпос о Гильгамеше», или поэма «О всё видавшем» (аккад. sa nagba imuru), — одно из старейших сохранившихся литературных произведений в мире, являющееся огромным художественным достижением. Эпос создавался на аккадском языке на основании шумерских сказаний на протяжении полутора тысяч лет, начиная с XVIII— XVII века до н. э. (см. Википедия: Эпос о Гильгамешел [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org/ wiki/).

Вежбицкая А. Язык. Культура. Познание. М. :Русские словари, 1996. Britannica Online Encyclopedia (www.britannica.com).

Мы употребили здесь слово старомодно по следующей причине: в современной теоретической физике принято рассматривать более сложные модели физического пространства, которые, как правило, многомерны и ограничены. Например, математик может начать лекцию словами Сегодня мы поговорим о топологических пространствах конечной гомологической размерности... Впервые это слово было употреблено Лукрецием в поэме «О природе вещей».

2

3

4

5

6

7

Хокинг С. Краткая история времени от большого взрыва до чёрных дыр. М. : Амфора, 2010.

Левонтина И. Черта местности // Троицкий вариант: Общественно-политическая газета. 2012, № 112, 11 сентября.

Мы отвлекаемся здесь от таких сравнительно редких ситуаций, как подъём в гору, скалолазание или саггитальное направление лежащего человека, когда перёд означает 'верх'.

Кравченко А.В. Язык и восприятие: когнитивные аспекты языковой категоризации. Иркутск: изд.-во Иркутского университета, 1996. С. 30. Арат. Явления / Пер. с древнегреч. и коммент. К.А.Богданов. Спб.: Алетейя, 2000.

Данное определение не является в математике общепринятым, но равносильно ему (см., например, «Википедия»).

Отметим, что фигурные скобки { } используются для обозначения неупорядоченного множества, а обычные скобки ( ) — для обозначения упорядоченного множества.

Определение знака базиса будет особенно хорошо понятно тем, кто знает, что такое перестановка и её знак ...

Успенский В.А. Апология математики. М.: Амфора, 2011.

Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы.

М.: Наука, 1977.

Ср. с известным понятием хронотоп в книге Бахтина: Бахтин М.М. Формы времени и хронотопа в романе. Очерки по исторической поэтик // Бахтин М.М. Вопросы литературы и эстетики. М.: Худож. лит., 1975. С. 234—407. Согласно современным астрофизическим представлениям нашей Вселенной около 14 миллиардов лет.

См., однако, статью: Никулов А. Зачем создавать квантовую теорию без наблюдателя // Троицкий вариант: Общественно-политическая газета. 2013, № 127. 23 апреля.

Под недоказуемостью формулы понимается принципиальная невозможность вывести её по фиксированным в данной теории правилам и из фиксированной в данной теории совокупности аксиом, а под неопровержимостью формулы — недоказуемость её отрицания (в математике постулируется возможность отрицания любой формулы). Подробный разбор этой теоремы с широких общекультурных позиций можно найти в книге: Манин Ю.И. Математика как метафора. М., :МЦНМО, 2008.

9

10

11

12

13

14

15

16

19

20

21

22