Пространство ретракций квадрата Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 3, 1996

УДК 513.83

ПРОСТРАНСТВО РЕТРАКЦИЙ КВАДРАТА

Н. С. Стреколовская

В работе доказано, что пространство ретракций двумерного квадрата гомеоморфно гильбертовому пространству ¿2-

В пространстве С(Х) непрерывных отображений компакта в себя, наделенном компактно-открытой топологией, выделим подпространство Д(Х), состоящее из отображений, удовлетворяющих функциональному уравнению f о f = f. Пространство Я(Х) называется пространством ретракций компакта X.

Для компактного ^-многообразия X локальное строение топологического пространства И(Х) полностью исследовано. Сакаи доказал, что К(Х) есть ^-многообразие.

Хорошо известно, что проблема группы гомеоморфизмов решена полностью для одномерных, двумерных и бесконечномерных компактных многообразий. Вопрос о строении пространства И(Х) возник как аналог упомянутой проблемы. Гомеоморфно ли гильбертову пространству 12 пространство ^(/п), где 1п обозначает п-мерный куб [2]?

В. Н. Басманов и А. Г. Савченко дали положительный ответ на этот вопрос при п = 1.В настоящей заметке этот результат доказан для п = 2.

Теорема 1. Пространство Я(12) гомеоморфно 12-

Доказательство. Обозначим через Н пространство гомеоморфизмов квадрата 12 в себя в компакктно-открытой топологии. На множестве непрерывных отображений квадрата в себя введем отношение эквивалентности, полагая / ~ д, если существует гомеоморфизм

© Н. С. Стреколовская, 1996

Н Е Н такой, что / = /г-1 о д о Н. Следовательно, существует подмножество Со множества непрерывных отображений квадрата I2 в себя такое, что отображение Р : Со х Н —>■ С является гомеоморфизмом. Отображение Р определяется формулой

Р(с0, Ъ) = /г-1 о со о /г

для отображний со Е Со, Н Е Н.

Положим

Р={5:5еД(/2),<?е(7о}.

Определим отображение Л : Р х Нд —>• Я{12) следующим образом:

Л(р, /г) = /г-1 о р о Н

для ретракций р Е Р . Отображение Л определено корректно, то есть А(р, К) является ретракцией.

Определим отображение ¡1 : Я(12) —> Р х Н таким образом.Для г Е ^(/2) пусть Р_1(г) = (с0,/г), где с0 Е Со,/г Е Н

Легко видеть, что отображение со является ретракцией квадрата, откуда следует корректность определения отображения ¡л. Проверим, что отображения А и ¡1 являются взаимно обратными гомеоморфизмами соответствующих пространств. Пусть г Е Щ12)— произвольная ретракция, /¿(г) = (со,/г), где со Е Со,/г Е Я, (со,/г) = Р_1(г). Тогда А (/¿(г)) = А(со, /г) = /г-1 о со о Н = г. Следовательно, А о ¡л есть тождественное отображение пространства Д(/2).

Покажем, что пространство ^(/2) локально 12- стабильно, то есть у каждой точки г существует окрестноть С С Щ12), для которой

С X ь ~ С.

Пусть /¿(г) = (со,/г), гдесо Е Р, Н Е Н. Поскольку пространство Н гомеоморфизмов квадрата 12 в себя является 12- многообразием ([3], с. 152), у точки Н есть окрестность О в Я, гомеоморфная 12. Возьмем С = А(0 х Р). Имеем

С~РхО~Рх12~Рх12х12~Сх12.

Локальная ^-стабильность 11{12) установлена.

Лемма 1. ЩР) Е А/УД.

Доказательство. Из работы [2] дословно переносится на случай пространства Я(12). □

Легко проверить, что R(I2) является замкнутым подмножеством топологически полного сепарабельного пространства С. Следовательно, R(I2) топологически полно и сепарабельно. Из леммы 1 и из соотношения R(I2) — Р х Н имеем, что пространство Р является ЛА/^-пространством ([5]). Наконец, пространство G принадлежит классу ANR как произведение ЛА/^-пространств Р и 12.

Применим к произведению пространств G xl2 — G теорему Торун-чика о том, что произведение топологически полного сепарабельного ANR- пространства на 12 является 12- многобразием. Ввиду произвольности точки г Е R(12), пространство R(I2) является 12- многообразием. Из результатов Борсука [1] следует, что R(I2) стягиваемо. А поскольку по теореме Хендерсона [4] 12- многообразие определяется своим гомотопическим типом, то R{I2) — Ь- Теорема доказана. □

Resume

It is proved that Hilbert space l2 is a space of retractions of the disk. Литература

[1] Borsuk K. Concerning the set of retractions//Colloq.Math. 1967. V.18. P.197-201.

[2] B.H. Басманов, А.Г. Савченко. Гильбертово пространство как пространство ретракций отрезка// Мат.заметки. Т.42. 1987. С.94-99.

[3] Чепмэн Т. Лекции о Q-многообразиях. М.: Мир. 1981.

[4] Henderson D. W. Infinit-dimensional manifoids are open subsets of Hilbert spaces//Topology. 1970. V.9. Nol. P.25-34.

[5] Борсук К. Теория ретрактов. М.: Мир. 1971.