CC BY
73
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2008, том 51, №6________________________________
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
УДК 624.042
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, И.Каландарбеков, А.А.Ходжибоев, О.А.Ходжибоев ПРОСТРАНСТВЕННАЯ МОДЕЛЬ МНОГОЭТАЖНЫХ ЗДАНИЙ С УЧЕТОМ ЖЕСТКОСТИ РЕАЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ
Моделирование сооружений при сейсмических воздействиях упрощенными расчетными схемами дает ориентировочную оценку напряженно-деформированного состояния объекта. Развитие техники и проектирование конструкций зданий и сооружений тесно связаны с разработкой и совершенствованием моделей строительной механики, созданием эффективных численных методов. Возможности современной вычислительной техники позволяют решать сложные задачи на основе дискретного моделирования. Наиболее общей является пространственная расчетная модель, где учитывается конечная жесткость элементов и связей между ними. В работе излагается решение пространственной системы методом сосредоточенных деформаций (МСД) с учетом жесткости реальных связей.
Рассмотрим пространственную систему, которая состоит из пластинок, соединенных между собой связями. Реальные связи, созданные при помощи шпонок, выпусков арматуры или закладных деталей, моделируются как невесомый элемент с соответствующими жестко-стными характеристиками при растяжении и сжатии, изгибе, сдвиге и кручении. Разбивая трехмерную систему на прямоугольные конечные элементы МСД, получим дискретную модель. Особенность этой модели, в отличие от модели метода конечных элементов (МКЭ), состоит в том, что деформации элементов сосредотачиваются на их торцевых гранях. В результате этого поле перемещений в пределах каждого элемента может иметь разрывы по линиям локальных координат по смежным граням между соседними элементами, а поле деформаций в пределах каждого элемента предполагается переменным по линейному закону.
Возможны различные варианты реализации реальных связей между элементами в модели МСД: 1) реальная связь между двумя элементами, находящимися в одной плоскости; 2) реальная связь между двумя элементами, находящимися во взаимно перпендикулярных плоскостях; 3) реальная связь между тремя элементами; 4) реальная связь между четырьмя элементами.
Погонные жесткости реальных связей при растяжении (сжатии) определяются исходя из соотношения гх = А х / 50х, где А х - удлинение элемента реальной связи, 50х - расстояние между элементами (ширина шва). Исходя из этого,
А х = £х^0 х =Чх50 х / Е0 К0 ,
где К0 - толщина шва, которую можно принять равной толщине элемента, Е0 - модуль упругости материала шва, дх - погонное усилие растяжения (сжатия) шва по всей его высоте. Следовательно, погонную жесткость реальной связи можно выразить так:
4х = К0 Е0/$0х = Чх / А х •
Умножив величину погонной жесткости на длину шва , получим сосредоточенную жесткость реальной связи
4 х = Е0 ^/^ х,
где Е0 = £0К - площадь сечения шва.
Далее рассмотрим растяжение элемента е;, в котором сосредоточенные деформации растяжения-сжатия смоделированы упругоподатливыми элементами (пружинами), от действия силы N. Удлинения левого или правого торца элемента можно выразить следующей зависимостью Ах /2 = N /4, где 4 - жесткость пружин. Учитывая, что удлинение элемента с учетом поперечного расширения можно представить в виде
А х = Ка (1 -д?)/ Е ъ, получим следующее выражения жесткости:
4 = ?ЕЛ / а (1 -д2),
где ^ - площадь сечения левой торцевой грани элемента е;. Таким образом, на стыке двух
элементов е; и е^ где сосредотачиваются их деформации, а также деформации реальной связи, выражение для жесткости при растяжении (сжатии) записывается в следующем виде:
4 =4-1 + й‘ + 4-11"1, (1)
где 4 = 2Е]Е]г / а} (1 - Д? ) > 4 = 2Е,Еу / а , (1 - Д? ) •
В результате деформации сдвига линейное перемещение элемента е; с учетом полного угла сдвига у = 8^ /можно записать так:
Ау = 8хуаг / 40 ,Ец , Ау = 8ху /Лху > Лху = 40 гЕу / а , •
Следовательно, жесткость реальной связи при сдвиге между двумя элементами определяется выражением
Vу = Ьху1,у + V-,,г + Ло]ху \1 > (2)
где Лху,і = ^і / а}, = 40^^ / аг, т?0 ху = 4О0 / Я0х.
Жесткостные характеристики реальных связей при повороте элементов определяются исходя из соотношения между изгибающим моментом и погонной жесткостью при растяжении (сжатии)
М = 2 /о 1Лу = 4х012; о =4/0/12 = Е0/0/г0,,
0
где 4* - погонная жесткость реального шва при растяжении-сжатии, /0 = К^3 /12 - момент инерции элемента шва. Собственные деформации изгиба элементов характеризуются жесткостью сох1 = 2Е1 / а. На стыке двух элементов, где сосредотачиваются их деформации изгиба и учитывается реальная связь, жесткость на изгиб определяется выражением
°у = \°-а + °уг1 + °0х]" • (3)
На основе (1)-(3) можно сформировать матрицу внутренней жесткости, когда пространственная модель состоит из плосконапряженных элементов.
В зависимости от внешнего воздействия элементы могут также деформироваться как в своей плоскости, так и из плоскости. В этом случае на гранях элементов, кроме мембранных усилий - N, М0,8 , будут действовать изгибающие, крутящие моменты и поперечные силы - М], Н, . Тогда жесткости комплексных связей по линиям сосредоточенных де-
формаций между элементами е; и е] можно представить в общей форме [1]
c j =\c- + cX, + co1 1. (4)
где коэффициенты с ., в зависимости от вида деформации, могут быть представлены в виде
^ = 2EJIJ, I aj . cxj = bjhjGj I3aj . ^ = 5Gjbjhj I3aj
что соответственно относится к деформациям изгиба, кручения и сдвига, I .t = bjhj /12 - момент инерции поперечного сечения элемента толщиной h •
Следует отметить, что погонные жесткости реальных связей определяются обычно экспериментальным путем. Приведем некоторые результаты экспериментальных исследований, которые могут быть использованы в численных экспериментах. В работе [2] на модели однопролетного диска перекрытия получены данные жесткостей реальных и фиктивных связей при растяжении (сжатии), сдвиге и изгибе:
£0х = 162843.14 Н/см2; ^ = 1653.2 Н/см2; со0x = 19476706 .34 Н.см;
£ = 59760.85 Н/см2; = 43265.91 Н/см2; оо = 7141189.8 Н.см.
^ х} 1 • хУ '-у
Из этих данных следует, что отношения между соответствующими жесткостями реальных и фиктивных связей равняются:
Ю х/£х} = 2.7; Ло,ху/лХу = 0.04; о х/ о = 2.7 •
Далее рассмотрим расчетную модель пространственной системы, которая состоит из плосконапряженных элементов. Формулы (1)-(4) соответствуют первому варианту реализации реальных связей, когда выполняются условия
N 1Г = N}Г, М 1Г = М}Г, 8гг = 8}Г, (5)
где индекс г указывает на наличие реальной связи между элементами е; и е^ При отсутствии реальной связи условия (5) записываются в виде
N = N]I, =М,, 8} = •
В случае второго варианта, что имеет место в горизонтальных и вертикальных ребрах, из рассмотрения реального шва, как отдельного невесомого элемента, получим
8гп = 8т, N, = N,1, = 0, Мт = Бт А 0х , М гП = 8г„А0у, (6)
где А0х =^0х /2 , А0у =$0у /2 •
Учитывая, что величины 50х и 60 значительно меньше линейных размеров элементов,
значения изгибающих моментов в реальных связях можно принять равными нулю. Тогда, как следует из (5), в угловых соединениях возникают только сдвигающие усилия. Следовательно, жесткость реальной связи второго варианта реализации можно определить по формуле (2).
В третьем варианте реализации соединяются три элемента, где элементы е] и ек находятся в одной плоскости, а элемент е; лежит в перпендикулярной к ним плоскости, из условия статического равновесия элемента реальной связи получим:
NJг = ^ , М]г = Мг , Nlг = 0 , М,г = 0 ,
8}г 8^г 8, г = 0 • (7)
В четвертом варианте реальная связь создается между четырьмя элементами, находящимися попарно во взаимно перпендикулярных плоскостях. В этом случае из условия равновесия элемента реальной связи получим:
N = N , N = N , М. = М , М = М ,
пг тг? }г гг ’ гг }^ пг тг ’
= 0.
(8)
Таким образом, полученные условия (5)-(7) позволяют сформировать матрицу внутренней жесткости системы с выделением главных факторов, влияющих на напряженно-деформированное состояние (НДС) системы. После того как сформирована матрица внутренней жесткости [К], можно приступить к формированию матрицы внешней жесткости
[Я] = [А][К][А]т , где [А] - матрица коэффициентов уравнений равновесия элементов относительно локальных систем координат. Из решения матричного уравнения [^]{и} = {Р} определяется вектор искомых перемещений {и}, а затем вычисляется вектор деформаций {Я} = -[А]т {и}. На последнем этапе расчета определяется вектор внутренних усилий {8} = [К]{Я} •
На основе разработанного алгоритма проведены численные эксперименты и получены результаты расчета пространственной модели с учетом податливости реальных связей на сдвиг. В табл. 1 приведены перемещения и усилия в пятиэлементной модели из плосконапряженных элементов от действия горизонтальной нагрузки Р = 10 т (рис. 1) . Как следует из полученных результатов, с увеличением жесткости реальной связи сдвигающее усилие в вертикальных ребрах увеличивается, а в горизонтальных ребрах оно имеет постоянное значение. При этом изгибающий момент в опорной части уменьшается. Что касается линейных перемещений, то горизонтальные перемещения и и Щ, соответствующие элементам 1 и 5,
уменьшаются, а вертикальное перемещение второго элемента увеличивается. Эти данные получены в предположении, что в ребрах системы, где расположены реальные связи, возникает только сдвигающее усилие.
Рис. 1. Пятиэлементная система из плосконапряженных элементов.
Сравнение результатов показывает, что увеличение относительной жесткости реальных связей оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние системы до определенного значения параметра ц . Горизонтальные и вертикальные опорные реакции совместно с опорными моментами удовлетворяют уравнению равновесия сил в направлении оси у и моментов относительно оси X, что подтверждает достоверность полученных результатов.
Таблица1
Перемещения и усилия в пятиэлементной системе при различных значениях жесткости
6 2
реальной связи на сдвиг при Е = 2 -10 т/м , ц = 0.2
Л щ ■ 104, м у2 -104,м щ -104,м 1*Т Б3, т/м М2 ,тм/м
0.01 0.2902 -0.04826 0.9206 -0.6703 -1.666 2.9893
0.04 0.2489 -0.06205 0.6390 -0.8616 -1.666 2.4150
0.1 0.2376 -0.06581 0.5767 -0.9140 -1.666 2.2583
0.2 0.2335 -0.06716 0.5553 -0.9326 -1.666 2.2016
0.5 0.2310 -0.06800 0.5423 -0.9443 -1.666 2.1666
1.0 0.2302 -0.06829 0.5380 -0.9483 -1.666 2.1546
В табл. 2 и 3 представлены результаты численного решения пространственной системы, полученной из задачи первого примера (см. рис. 1), где каждый суперэлемент разбивается на 9 конечных элементов МСД, и при этом центральные элементы являются проемами (рис. 2).
Таблица 2
Горизонтальные перемещения в средних элементах первой и пятой граней при различных
опорных закреплениях ( сх = с = с = 2 -1010 т/м ).
Л и2 ■104,м У29 -104 ,м и2б ■ 104 ,м и38 ■ 104, м и41 ■ 104, м и44 ■ 104 , м
0.04 0.04832 -0.09728 0.8224 1.092 1.154 1.154
0.1 0.04723 -0.09979 0.8054 1.060 1.122 1.060
0.2 0.04684 -0.1007 0.7994 1.049 1.111 1.049
Таблица 3
Сдвигающие усилия в вертикальном и горизонтальном ребрах системы
при различных опорных закреплениях ( сх = С = ^ = 2 -1010 т/м ).
Л ^, т/м £37, т/м /м т/ 1^ Б62,т/м Б64 ,т/м ,т/м
0.04 -0.8677 -1.978 -0.7669 -1.225 -2.477 -1.354
0.1 -0.9184 -2.062 -0.7414 -1.192 -2.543 -1.338
0.2 -0.9371 -2.092 -0.7311 -1.179 -2.567 -1.332
Перемещения (табл. 3) и усилия (табл. 4) сохраняют такую же закономерность изменения в зависимости от жесткости реальных связей, как в примере с суперэлементами.
■Г * -Г * I
Зм
/Зм
$62 <43) 95> 44) 9Ф 45 7Ю а
-
064 40 91$ (41) 93Р Щ 7ф а
обб <37 8&> (38) 8&> 39) 74$
&
~§Г
~§*г
-ж
*
£ 1 и X* £
?4 ?6 ^
@ 75? 32)77) ©79$
52
-о-
§ь
1г
810 @ 830
58
-су-
62 64 66
о61 <25) 63) <26) 6# 0) 67ї
40
° &
68
&
70
69$ 29) 7$
46
-су-
72
73Ь
$47 @49$
-Ж
~8~
Ф.53 <21) 55г
Гб
619
18г
$59 @ 37$
941 15 43V
45$
51$!
) 57$
^--------9
$1 (7) 4> (2) 7$ (|) 1^ —ё І ё-
-ГГ (4) 13}
М-
-ІГ
©
Л-
$1---------------------А
~ЗТ
зЪ
15 ® 1в$
-М-
0 229 ® 2Я (9) 2&
Л° % Ц-
31$ II 34$
1$
Ж-
Ж-
Л-
Рис. 2. Пространственная система с проемами.
Полученные результаты и анализ особенностей метода сосредоточенных деформаций показали его некоторые преимущества перед МКЭ, а именно: снижение числа неизвестных при той же степени дискретизации, упрощение матрицы внутренней жесткости при учете податливости реальных связей.
Институт сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан
Поступило 28.03.2008 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Додонов М.И. Строительная механика и расчет сооружений. - 1986, №2, с.22-25.
2. Каландарбеков И. - Железобетонные диски перекрытий многоэтажных каркасных зданий из плит безопалубочного формования.- Дисс. канд. техн. наук. - М.: МИСИ им. В.В. Куйбышева, 1985, 209 с.
Ч,.Н.Низомов, ИДаландарбеков, A.A.X,o^6oeB, ОАДочибоев МОДЕЛИ ФАЗОГИИ HMOPAT^O БО ДAРНAЗAРДОШТИ БA^ИСОБГИРИИ СAХТИИ AЛО^A^ОИ ВОЦЕИ
Даp мак;олаи мазкyp хдлли масъалах,ои фазогй, ки бо методи чамъкунии дефоpматсияx,о ва бо даpназаpдошти сахтии алок;ах,ои во^еи хдллу фасл гаpдидаанд, мавpиди мyx,окима к;аpоp гиpифтаанд.
J.N.Nizomov, I.Kalandarbekov, A.A.Hojiboev. O.A.Hojiboev THREE-DIMENSION MODEL BILDING CONSIDERING THE STIFFNESS OF REAL COMPRESSION BRACES
Solution of a spatial problem based on the method of concentrated deformations considering the suppleness of real compression braces is given in current contribution.
