Простой метод определения теплопроводности ограниченной пластины Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК

МГСУ-

2/2014

СТРОИТЕЛЬНОЕ МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ

УДК 691

А.С. Евдокимов, В.М. Козинцев*, О.Э. Мельник**, А.Л. Попов*, С.В. Стоянов***, Д.А. Челюбеев*

ООО «Т-НАНО», *ИПМех РАН, **ФГБОУ ВПО «МГУ», ***ЗАО «Т-Сервисы»

ПРОСТОЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНЫ

Представлен метод определения теплофизических характеристик образца в форме прямоугольной пластины, позволяющий обойтись одной термопарой, приводящий к простейшему аналитическому выражению для коэффициента температуропроводности. Описанный метод обеспечивает высокоточное определение коэффициента температуропроводности тела небольших размеров и с достаточной для практики точностью коэффициента теплопроводности. Исключением являются материалы-теплоизоляторы, определение теплопроводности которых данным методом может привести к большим погрешностям.

Ключевые слова: теплопроводность, температуропроводность, удельная теплоемкость, прямоугольная пластина, одномерное температурное поле.

К настоящему времени существует много способов определения тепло- и температуропроводности твердых тел. Технологию их реализации и критический анализ можно найти в [1—4] и описаниях некоторых изобретений по этой тематике [5].

Схемы реализации известных способов экспериментального определения коэффициента теплопроводности, использующих нестационарные методы, включают обычно нагреватель и холодильник, между которыми помещают образец. При этом измеряют абсолютную температуру и перепад температур с помощью нескольких термопар. Ниже представлена методика определения теплофизических характеристик образца в форме прямоугольной пластины, позволяющая обойтись одной термопарой и приводящая к простейшему аналитическому выражению для коэффициента температуропроводности.

Измерение теплопроводности образца в форме пластины, изготовленной из неизвестного пластика, включало несколько этапов. Первым из них было измерение температуропроводности пластины.

Измерение температуропроводности пластиковой пластины. Представленная на испытания пластиковая пластина имела форму квадрата со стороной l при толщине h. Рассмотрим широко используемую математическую модель одномерного (по координате х) (рис. 1) распространения тепла в пластине [1, 6, 7], которую относительно просто можно реализовать в эксперименте. Начало координат поместим в середине одного из краев пластины.

Рис. 1

В качестве начального условия для температурного поля Т (х, t) в пластине примем постоянную температуру Т0 > 0:

Т (х, 0) = То. (1)

По краям х = 0 и х = I зададим однородные граничные условия:

Т (0, t) = Т (I, t) = 0. (2)

При таких условиях температурное поле в пластине может быть описано одномерным уравнением теплопроводности:

дТ д2Т — = a—•

dt дх2 '

(3)

в которое входит искомый коэффициент температуропроводности пластины а.

Следуя [1], представим решение задачи (1)—(3) в виде ряда, удовлетворяющего однородным граничным условиям:

т ( X, t ) = * C

at . nnx sin-

l

(4)

коэффициенты которого определяются из разложения в тригонометрический ряд Фурье начальной функции (1):

2 г nnx 2Т0

Cn = — IТ0 sin-dx =—-(1 - cos nn).

l { l nn

Производя вычисления функции Т (х, t) с найденными так коэффициентами Сп в центре пластины (при х = I/2), получим следующее выражение:

Т11, 11=Т * (-1)1,i1

12 ) п t0,2k +1

-(2k+1) I at

(5)

Сопоставляя выражение (5) с экспериментальной зависимостью снижения температуры от времени в этой точке, получим неявное уравнение для определения коэффициента температуропроводности а.

Экспериментальное определение коэффициента температуропроводности проводилось параллельно для пластикового образца и образца-свидетеля из алюминиевого сплава, имевшего примерно те же габариты, что и пластиковый образец. На рис. 2 приведены фотографии образцов.

ВЕСТНИК

МГСУ-

2/2014

Рис. 2

Предположительно, материал образца обладал достаточно высокой теплопроводностью. Поэтому края образца, для которых в математической модели принимались условия нулевой температуры, выбирались из условия максимальной удаленности друг от друга. В качестве таких краев были взяты вертикальные грани образца, изображенного на рис. 2. Нулевая температура по этим граням создавалась приложением к ним тающего льда.

Для обеспечения одномерности температурного поля и отсутствия теплообмена с окружающей средой остальные грани пластины были теплоизолированы с помощью пенопластовой муфты.

На рис. 3 показан пластиковый образец в пенопластовой муфте с продетым сквозь нее до контакта с образцом точечным температурным зондом контактного термометра ТК-5.09 (класс точности В). Для улучшения температурного контакта с наконечником зонда в теле образца была высверлена лунка и в эту лунку заложена теплопроводная паста КПТ-8.

Рис. 3

Эксперименты проводились в летнее время при различных комнатных температурах — от 25 до 33 °С, при которых предварительно выдерживался образец. На индикаторе термометра (см. рис. 3) видна одна из исходных комнатных температур образца: Т0 = 27,7° С.

После приложения тающего льда к неизолированным торцам образца снижение температуры в контрольной точке в центре образца происходило со ско-

ростью, достигавшей 1-2° в секунду. Регистрация показаний датчика температуры в этом процессе производилась с помощью видеозаписи с последующей покадровой расшифровкой.

На рис. 4 представлены типичные временные зависимости температуры для испытываемого пластикового образца (а) и образца-свидетеля (б).

25 20

I

LIS'

t

; 10 5 0

—J v 1 1.

___

1

—,—.—,—,—p—,—,—.—.— 1

Время, с

T(t) = c*exp(-bt)+d Experiment

30'

,20-

I

s

t— ID-

Рис. 4

ID 20

Время, с

- T(t) - c'expl-bij+d Experiment

б

30

40

Зелеными кружками показаны экспериментальные данные, красными сплошными линиями — их аппроксимации экспоненциальными зависимостями с использованием метода наименьших квадратов.

По результатам экспериментов с различными начальными температурами было отмечено, что набор полученных в каждом опыте экспериментальных данных вполне описывается одной экспонентой. Следовательно, при сопоставлении с теоретической моделью (5) можно ограничиться одночленным приближением. Для определения коэффициента температуропроводности выводится простое соотношение

a = Ы -п

(6)

где Ь — показатель аппроксимирующей экспоненты.

а

ВЕСТНИК о/ОП-1/1

2/2014

Найденное по результатам нескольких экспериментов значение коэффициента температуропроводности для образца-свидетеля составило

-5 м2

а = 8,36 • 10 —, что незначительно отличается от табличных данных [8]. с

Значение коэффициента температуропроводности для пластикового образца

-5 м2

оказалось существенно ниже и составило а = 1,25 • 10 —, что примерно в

с

6 раз меньше, чем у алюминиевого.

Для нахождения коэффициента теплопроводности материала пластикового образца дополнительно определялись его плотность и удельная теплоемкость.

Определение удельной теплоемкости и плотности материала образца. Для определения удельной теплоемкости пластикового образца производилось его предварительное взвешивание. Масса образца, измеренная на лабораторных весах, составила т = 15,5 г. Затем было произведено охлаждение образца до температуры Тх— -5 °С. После этого образец был помещен в жидкостной калориметр, содержащий воду сосуд с теплоизолированными стенками, изготовленный из пенопласта. Масса воды в сосуде т2 = 80 г была подобрана для регистрации значимого отклонения ее температуры при помещении в воду образца: исходная температура воды была на уровне комнатной — Т2 = 27 °С. После помещения в воду образца регистрировалось снижение температуры воды. Через некоторое время снижение температуры воды прекратилось и она составила ТК = 25,5 °С . Используя эти данные и зная удельную теплоемкость

воды с2 = 4, , из уравнения теплового баланса

кг • К

сщ (Тк - Тх ) = с2щ (Т2 - Тк ) (7)

было определено искомое значение удельной теплоемкости материала образ-Дж

ца: с1 =1066 -. Аналогичные измерения, проделанные с образцом-свиде-

кг • К

телем, дали значение удельной теплоемкости, равное 925 Дж . Это значение

кг • К

Дж

близко к табличному значению для алюминия — 930 - [8].

кг К

Объем пластикового образца, необходимый для определения плотности, был вычислен после измерения линейных размеров ( I = 0,05 м, И = 0,005 м) и составил V = 12,5• 10-6 м3.

Зная массу образца, получаем для плотности значение р = 1240 ^^ Далее

м

с использованием формулы Х = ас1р находилась величина коэффициента те-

Вт

плопроводности материала пластикового образца: X = 16,5-.

м • К

Несмотря на то, что измеренное значение коэффициента теплопроводности материала пластикового образца сильно уступало аналогичному коэффициенту для алюминия, оно оказалось намного выше, чем у большинства пластмасс и сравнимо с теплопроводностью высоколегированной стали.

Оценки погрешностей метода. Изложенный метод определения теплопроводности тела небольших размеров из материала с достаточно высокой теплопроводностью, насколько известно авторам из литературных источников, является простейшим по математической модели и используемым аппаратным ресурсам. Естественно, возникает вопрос о погрешностях в определении искомых величин при его реализации. Частичным ответом на этот вопрос является испытание метода на образце-свидетеле из алюминия — материале с известными теплофизическими свойствами. Однако имеется и ряд принципиальных моментов, опущенных в изложении ради «простоты» метода.

1. Погрешности при моделировании граничных условий. Уравнение теплового баланса (7) было записано в пренебрежении дополнительным нагревом воды в калориметре от его стенок при помещении в воду холодного образца. Определим величину погрешности такого пренебрежения.

Приток теплоты к жидкости от стенок и дна сосуда за время эксперимента происходит в основном за счет теплоемкости теплоизоляционного материала. Этот приток к моменту измерения температуры Тк в приближении линейной зависимости температуры по толщине стенки сосуда составляет

Щ « 2 СоРо1о^ (тк - Т2 ),

где с0 и р0 — удельная теплоемкость и плотность теплоизоляционного материала; S0 — площадь смоченной внутренней поверхности сосуда; 10 — толщина его стенки и дна.

Учтем влияние дополнительного теплового потока в уравнении теплового баланса:

ст (Тк - Т ) - 2 СоРо 10^ (Т2 - Тк ) = С2т2 (Т2 - Тк ) .

кдж кг

При характеристиках пенопласта с0 « 0,34 -, р0 «100 — [8] и гео-

кг • К м

метрических параметрах эксперимента: « 100 см2, 10 = 15 мм, уточненное Дж

значение с1 = 1074- отличается от найденного из уравнения (7) без учета

кг • К

теплоемкости стенок сосуда калориметра на 0,7 %, что указывает на несущественное влияние стенок изготовленного в данном методе сосуда с теплоизолированными стенками на измеряемую величину удельной теплоемкости материала образца. В то же время необходимо отметить, что при теплопроводности образца близкой к теплопроводности материала стенок сосуда, например, для теплоизоляционных материалов, измерение удельной теплоемкости образца данным методом может привести к большим погрешностям.

Аналогичным образом были рассмотрены потери теплоты через четыре грани пластины, закрытые тепловой изоляцией, при определении коэффициента температуропроводности. Приток теплоты к образцу через тепловую изоляцию за время эксперимента складывается из двух частей — притока теплоты AQ1 из пенопластовой муфты за счет теплоемкости теплоизоляционного материала и притока теплоты AQ2 из окружающей среды за счет теплопроводности пенопласта. Эти притоки приближенно составляют

ВЕСТНИК о/ОП-1/1

мгвд 2/2014

А01 <Х£^-Т0^ А, Аб2 -с0р0/^[-Т0

где X — коэффициент теплопроводности теплоизоляционного материала; £ — площадь поверхности образца, покрытой тепловой изоляцией; I — толщина слоя тепловой изоляции; At — время проведения эксперимента; Тт1П — температура в центре образца в момент окончания эксперимента; Т0 — начальная температура образца и неменяющаяся в продолжении эксперимента температура окружающей среды.

Полная потеря теплоты образцом в эксперименте составляет приближенно

0> - Щ ^ - То ],

где с1 — удельная теплоемкость материала образца; т — масса образца. В этом случае отношение

=А (ХА,+1 с'7 V

Аб сщУ I 2 р п будет характеризовать совершенство применяемой тепловой изоляции. При

Вт

коэффициенте теплопроводности пенопласта X ~ 0,04- [8], геометриче-

м • К

ских параметрах эксперимента £ « 34 см2, I = 15 мм и времени проведения эксперимента А = 200 с это отношение приближенно равно 0,05.

Отсюда истинная температура в центре образца в момент окончания эксперимента составит

С А ^ . А ^ \

V.

71

Д& +А62

Т я 0 95Т

■■ши

&

что означает, по данным эксперимента, отображенным на рис. 4, а, вместо температуры 17,1 °С значение 16,2 °С. Это значение практически попадает на аппроксимирующую кривую рис. 4, а.

2. Погрешности определения коэффициента температуропроводности. При определении коэффициента температуропроводности а было сделано допущение о возможности его оценки по одному первому члену ряда (5). Действительно, этот ряд является исключительно быстросходящимся при

Ъ = > 1, что следует из сумм числовых рядов (5.3.2.11-12) [9]:

м е-(2к+1)2 м

п„ = ип, ио = 0,3680, Ц = 0,3679, £(-1)ке~(2к+1)2 = 0,3678, (5)

к=о (2к +1) к=0

практически не отличающихся от постоянной 1/е = 0,3679. Исходя из найден-

-5 М2

ного значения а = 1,25 -10 — и I = 5 см — длины стороны квадратного об-

с

разца, нетрудно определить время, начиная с которого выполняется неравенство > 1. Расчет показывает, что это время начинается с 20-й секунды, т.е. распространяется практически на весь значимый для аппроксимации интервал времени эксперимента, что подтверждает возможность оценки коэффициента температуропроводности по одному первому члену ряда (5).

В соответствии с формулой (6) погрешность определения коэффициента температуропроводности а зависит от погрешности определения показателя Ь аппроксимирующей экспоненты и от погрешности измерения стороны / квад-

_ Аа ДЬ . А/

ратного в плане образца: — «--+ 2—. В свою очередь, погрешность опре-

а Ь /

деления показателя Ь зависит от погрешности определения температуры АТ в процессе эксперимента. Так как измерения температуры выполнялись точечным температурным зондом контактного термометра ТК-5.09, имеющего паспортную погрешность АГ = ±0,5 0С , то измеренное поле экспериментальных точек Ti, 7 = 1, 2,...,27 заключено в коридоре Ti ±АТ. Для оценки наибольшего и наименьшего значения Ь в пределах этого коридора проводились две аппроксимирующие экспоненты, одна из которых аппроксимировала поле точек верхней границы коридора (Ti + АТ) на первой половине экспериментальных точек 7 = 1, 2,...13,и нижней (Т -АТ) — на второй (7 = 14,15,...,27), а другая — наоборот, аппроксимировала поле точек нижней границы коридора (Т — АТ) на первой половине экспериментальных точек 1 = 1, 2,...13, а верхней (Ti — АТ) — на второй (7 = 14,15,..., 27). В результате значения Ь оказались в интервале Ь = (0,0035 ± 0,00002)с4 .

Погрешность А/ измерения штангенциркулем стороны / квадрата составляет 0,1 мм. Аа

Таким образом, относительная погрешность — определения коэффици-

а

ента температуропроводности а не превысила 1 %.

3. Погрешность определения теплопроводности. Не останавливаясь отдельно на расчете погрешности удельной теплоемкости, определим сразу погрешность определения коэффициента теплопроводности. Формула для определения относительной погрешности коэффициента теплопроводности в соответствии с (6) и (7) следует из формулы для определения его значения:

. Ьс2т2 Т2 — ТК

к = —-— и имеет вид

пЧ ТК — Т

АХ АЬ Ас2 Ат2 АИ АТ0 АТ АТ

— « — + —1 +-1 + — +-— +-+-. (9)

X Ь с2 т2 И Т2 - Тк Т Тк

Здесь учтено, что измерение понижения Т2 — ТК температуры воды при определении удельной теплоемкости производилось относительным способом, во внимание принималась только величина изменения температуры, а не ее исходное или конечное значение. Погрешность АТ0 измерения небольшой разности температур в этом случае практически равна разрешающей способности термометра ТК-5.09 и составляет АТ0 = ±0,1 °С.

Остальные погрешности, входящие в формулу (9), принимаются равными:

Ас2 =±1 кДж , Аш2 =± 0,01 г, АН = ± 0,1 мм. Первая из них получена исходя кг • К

из значений удельной теплоемкости воды при начальной и конечной температурах эксперимента по определению удельной теплоемкости [10]. Вторая — это погрешность взвешивания на лабораторных весах с помощью разновесов 4-го класса. Последняя погрешность соответствует измерению толщины образца с помощью штангенциркуля.

ВЕСТНИК о/ОП^/1

2/2014

Расчет погрешности определения коэффициента теплопроводности об

разца с использованием этих значений дал величину — = 12,6 %. Такое по-

X

вышенное значение погрешности коэффициента теплопроводности по сравнению с погрешностью коэффициента температуропроводности объясняется значительной погрешностью в измерении малой разности температур в опыте с калориметром.

Таким образом, описанный метод обеспечивает высокоточное определение коэффициента температуропроводности тела небольших размеров и с достаточной для практики точностью — коэффициента теплопроводности. При этом метод использует простейшую математическую модель и минимальные, в сравнении с другими, аппаратные ресурсы. Исключением являются материа-лы-теплоизоляторы, определение теплопроводности которых данным методом может привести к большим погрешностям.

Библиографический список

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1972. 735 с.

2. Методы определения теплопроводности и температуропроводности / под ред. А.В. Лыкова. М. : Энергия, 1973. 336 с.

3. Измерения в промышленности : Справочник. Т. 2. М. : Металлургия, 1990. 384 с.

4. Vishu Shah. Handbook of plastics testing and failure analysis. Hoboken, Wiley, 2007, 648 p.

5. Патенты RU2075068 C1, SU445892 A1, RU2456582, RU2024013 C1, SU1822958 A1, RU2179718.

6. Lam T.T., Yeung W.K. Inverse Determination of Thermal Conductivity for One-Dimensional Problems // Journal of Thermophysics and Heat Transfer. 1995, vol. 9, no. 2, pp. 335—344. DOI: 10.2514/3.665.

7. Lin J.H., Cheng T.F. Numerical Estimation of Thermal Conductivity from Boundary Temperature Measurements // Numer. Heat Transfer Part A.32., 1997, pp. 187—203.

8. Физические величины. Справочник. М. : Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

9. Прудников А.П., БрычковЮ.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М. : Физматлит, 2002. 632 с.

10. Ривкин С.Л., Александров А.А. Теплофизические свойства воды и водяного пара. М. : Энергия, 1980. 424 с.

Поступила в редакцию в августе 2013 г.

Об авторах: Евдокимов Андрей Сергеевич — генеральный директор, ООО «Т-НАНО», 127006, г. Москва, ул. Долгоруковская, д. 9, стр. 3, Andrey.evdokimov@t-nano.com;

Козинцев Виктор Михайлович — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии наук (ИПМех РАН), 119526, г. Москва, просп. Вернадского, д. 101, корп. 1, kozincev@mail.ru;

Мельник Олег Эдуардович — доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАН, заведующий лабораторией, научно-исследовательский институт механики Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова (ФГБОУ ВПО «МГУ»), 119192, г. Москва, Мичуринский проспект, д. 1, melnik@imec.msu.ru;

Попов Александр Леонидович — доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии наук (ИПМех РАН), 119526, г. Москва, просп. Вернадского, д. 101, корп. 1, popov@ipmnet.ru;

Стоянов Сергей Викторович — директор по развитию, ЗАО «Т-Сервисы», 117198, г. Москва, Ленинский пр-т, д. 113/1, sergey.stoyanov@t-services.ru;

Челюбеев Дмитрий Анатольевич — младший научный сотрудник, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии наук (ИПМех РАН), 119526, г. Москва, просп. Вернадского, д. 101, корп. 1, da--ch@yandex.ru.

Для цитирования: Простой метод определения теплопроводности ограниченной пластины / А.С. Евдокимов, В.М. Козинцев, О.Э. Мельник, А.Л. Попов, С.В. Стоянов, Д.А. Челюбеев // Вестник МГСУ 2014. № 2. С. 114—124.

A.S. Evdokimov, V.M. Kozintsev, O.E. Mel'nik, A.L. Popov, S.V. Stoyanov, D.A. Chelyubeev

A SIMPLE METHOD TO DEFINE THE HEAT CONDUCTIVITY OF A LIMITED PLATE

To the present moment there are a lot of ways to define heat conductivity and thermal diffusivity of solid bodies. The schemes of determining heat conductivity, which use transient methods, usually include a heater and a cooler. The sample is placed in between them. The temperature and temperature differential is determined using several thermocouples.

The authors present a method of determining the thermal characteristics of a sample in the form of a rectangular plate, allowing to apply only one thermocouple, which leads to a simple analytical expression for thermal diffusivity. The described method provides high-precision determination of thermal diffusivity of the body of small size and with the accuracy sufficient for practice — conductivity coefficient. The method uses a simple mathematical model and minimal hardware resources compared to other methods. The exception is the heat-insulating materials. The determination of their thermal conductivity using this method can lead to poor accuracy.

Key words: heat conductivity, thermal diffusivity, specific heat, rectangular plate, one-dimensional temperature field.

References

1. Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1972, 735 p.

2. Lykov A.V., editor. Metody opredeleniya teploprovodnosti i temperaturoprovodnosti [Methods of Determining Thermal Conductivity and Diffusivity]. Moscow, Energiya Publ., 1973, 336 p.

3. Izmereniya v promyshlennosti: Spravochnik [Measurements in Manufacturing Industry: Reference Book]. Moscow, Metallurgiya Publ., 1990, vol. 2, 384 p.

4. Vishu Shah. Handbook of Plastics Testing and Failure Analysis. Hoboken, Wiley, 2007, 648 p.

5. Patent of the Russian Federation RU2075068 C1, SU445892 A1, RU2456582, RU2024013 C1, SU1822958 A1, RU2179718.

6. Lam T.T., Yeung W.K. Inverse Determination of Thermal Conductivity for One-Dimensional Problems. Journal of Thermophysics and Heat Transfer. 1995, vol. 9, no. 2, pp. 335— 344. DOI: 10.2514/3.665.

7. Lin J.H., Cheng T.F. Numerical Estimation of Thermal Conductivity from Boundary Temperature Measurements. Numer. Heat Transfer Part A.32., 1997, pp. 187—203.

8. Fizicheskie velichiny. Spravochnik [Physical Quantities. Reference Book]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1991, 1232 p.

ВЕСТНИК о/ОП^/1

2/2014

9. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integraly i ryady. Elementarnye funktsii [Integrals and Series. Elementary functions]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2002, 632 p.

10. Rivkin S.L., Aleksandrov A.A. Teplofizicheskie svoystva vodyi vodyanogo para [Thermal Properties of Water and Water Steam]. Moscow, Energiya Publ., 1980, 424 p.

About the authors: Evdokimov Andrey Sergeevich — Chief Executive Officer, "T-NANO" LLC, 9 bld 3 Dolgorukovskaya str., Moscow, 127006, Russian Federation; andrey. evdokimov@t-nano.com;

Kozintsev Viktor Mikhaylovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, senior research worker, Institute for Problems in Mechanics RAS (IPMekh RAN), 101-1 Prospekt Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation; kozincev@mail.ru;

Mel'nik Oleg Eduardovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Correspondent Member of the RAS, Head of the laboratory, Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University (MGU), 1 Michurinskiy prospekt, 119192, Moscow, Russian Federation; melnik@imec.msu.ru;

Popov Aleksandr Leonidovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, leading research worker, Institute for Problems in Mechanics RAS (IPMekh RAN), 101-1 Prospekt Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation; popov@ipmnet.ru;

Stoyanov Sergey Viktorovich — Development director, "T-Services" CJSC, 113/1 Leninskiy Prospekt, Moscow, 117198, Russian Federation; sergey.stoyanov@t-services.ru;

Chelyubeev Dmitriy Anatol'evich — junior research worker, Institute for Problems in Mechanics RAS (IPMekh RAN), 101-1 Prospekt Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation; da--ch@yandex.ru.

For citation: Evdokimov A.S., Kozintsev V.M., Mel'nik O.E., Popov A.L., Stoyanov S.V., Chelyubeev D.A. Prostoy metod opredeleniya teploprovodnosti ogranichennoy plastiny [A Simple Method to Define the Heat Conductivity of a Limited Plate]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 2, pp. 114—124.