CC BY
102
Секция 5. Математика
Section 5. Mathematics Секция 5. Математика
Mandrazhy Oksana Anatolyevna, Kharkiv National Agrarian University named after V. V. Dokuchayev, a senior lecturer of the chair of Higher Mathematics E-mail: [email protected] Mikhaylichenko Igor Vladimirovich, Kupyansk secondary school #1, an eleventh former E-mail: [email protected]
Simple and elegant Formula
Abstract: The article considers the question of finding the area of polygons with vertices at the nodes of a triangular lattice, similar to how to calculate the area of polygons with vertices at the nodes of squared paper by Pick’s Theorem.
Keywords: the triangular lattice, the area of a polygon, the analogue of Pick’s Theorem.
Мандражи Оксана Анатольевна, Харьковский национальный аграрный университет им. В. В. Докучаева, ст. преподаватель, кафедра высшей математики E-mail: [email protected] Михайличенко Игорь Владимирович Купянская общеобразовательная школа I-III ступеней № 1,
ученик 11 класса E-mail: [email protected]
Простая и элегантная формула
Аннотация: В статье рассматривается вопрос нахождения площади многоугольников с вершинами в узлах треугольной решётки аналогично тому, как вычисляется площадь многоугольников с вершинами в узлах клетчатой бумаги по формуле Пика.
Ключевые слова: треугольная решётка, площадь многоугольника, аналог формулы Пика.
С целью выявления и поддержки одарённых учеников, привлечения их к научно-исследовательской и экспериментальной работе, в Украине функционирует Малая академия наук (МАН), при которой действуют разные по своим направлениям кружки. Математический кружок — это всегда особенная атмосфера, неповторимый мир, культура, где господствуют размышления, сомнения, рассуждения, осмысленность, уважение к мысли. Простая и элегантная формула математика Георга Александра Пика увлекла Игоря Михайличенко, одного из уче-ников-членов МАН, и поэтому захотелось уделить ей больше внимания, найти необычные приложения
или интересное развитие при новых условиях. Тем более, что описанная и доказанная ещё в 1899 году Георгом Пиком формула, сейчас становится всё более популярна среди украинских школьников, так как помогает легко и быстро решать задачи внешнего независимого тестирования и многочисленных математических конкурсов, турниров, состязаний, которые проводятся в Украине. Известность формула Пика приобрела у нас после публикации прекрасной книги Гуго Штейнгауза “Математический калейдоскоп" [1, 56-57] и заключается в следующем. Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах квадратной решётки, т. е. точках, где
37
Section 5. Mathematics
пересекаются прямые заданной сети. Площадь таких многоугольников можно найти:
Г
S = B +----1,
2
где B — количество узлов внутри многоугольника, а
Например, для многоугольника, изображённого на рис. 1
B = 60, Г = 16 и
S = 60 +16 -1 = 67.
2
Посчитать площадь изображённой на рис. 1 фигуры обычными способами намного сложнее и дольше.
Работая с листочком в клеточку и восхищаясь тем, как за полминуты можно найти площадь самого замысловатого многоугольника, стало интересно, а можно ли вывести аналогичную формулу для многоугольников, расположенных на листе в треугольник. С этого момента и начинается увлекательное исследование. Итак, у нас есть листочек в треугольник (рис. 2) или, для чёткости в дальнейших рассуждениях, пусть нам дана треугольная решётка, точки пересечения которой, как и писалось выше, назовём узлами. За единицу измерения площади выберем площадь минимального треугольника решётки. Будем располагать многоугольники на данной решётке таким образом, чтобы их вершины всегда были узлами решётки, экспериментируя с разными фигурами (рис. 3).
т- * к * '■ } .
\ : . .
. ' f 'г г
i Ч- ч * ■ *
Рис. 2
Чтобы вывести формулу, составим таблицу, в которой будем фиксировать площадь фигуры S, подсчитанную по количеству треугольников входящих в неё, количество узлов внутри фигуры B и количество узлов на её границе Г. При этом договоримся фигуры, которые состоят из минимального количества треугольников, называть простейшими.
S B Г
a 1 0 3
b 4 0 6
c 9 1 9
d 16 3 12
e 3 0 5
f 4 0 6
g 6 1 6
h 24 7 12
i 28 4 22
a — простейший треугольник b — треугольник со стороной 2 единицы измер. с — треугольник со стороной 3 единицы измер. d — треугольник со стороной 4 единицы измер. e — простейшая трапеция f — параллелограмм (рис. 3) g — простейший шестиугольник h — шестиугольник со стороной 2 единицы i — многоугольник (рис. 3)
Внимательно всмотревшись в полученные результаты, можно предположить, что формула, которая позволит найти площадь многоугольника, нарисованного на треугольной решётке, имеет вид:
S = Г + 2B - 2 (1)
где B — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на его границе.
38
Секция 5. Математика
Появляется радостное ощущение подъёма и, конечно же, с замиранием сердца происходит проверка правильности формулы для многоугольников
— не выпуклых,
— без узлов внутри и на сторонах,
— без узлов внутри, но уже с узлами на сторонах и наоборот,
— со сторонами, которые не лежат на прямых заданной треугольной решётки (рис. 4), однако формула всякий раз себя оправдывает.
Рис. 4
Получение формулы — очень приятный момент, но теперь важно подумать над тем, как её доказать.
Сначала рассмотрим параллелограммы, все стороны которых лежат на прямых заданной решётки (рис. 5, слева). Их площадь в треугольных единицах очень легко находится обычным подсчётом количества треугольников, из которых они состоят. Предположим, что нам дан параллелограмм с длиной сторон равной m и n. Тогда количество треугольников, которые составляют длину стороны m, будет на 1 меньше числа m.
Договоримся расположенные вдоль одной прямой решётки простейшие параллелограммы называть рядом. Тогда при стороне m, кроме ( m -1) треугольников, данный ряд дополняется ещё таким же их количеством. По стороне n таких рядов будет (п -1), потому что ряд при стороне m уже посчитали. Таким образом, получим S = 2(m - l)(n -1). Посчитаем теперь площадь по формуле, которую доказываем. Итак, если дано параллелограмм со сторонами m и п, то количество узлов на его границе Г будет равно m + m да ещё плюс количество узлов на двух других сторо-
нах, но уже без узлов вершин, которые входят в m, то есть Г = 2т + 2(п — 2) = 2m + 2n — 4 . Количество узлов внутри параллелограмма B = (m - 2 )(n - 2) = mn - 2m - 2n + 4.
По формуле (1) получим:
S = Г + 2B — 2 = 2m + 2n — 4 + 2 (mn — 2m — 2n + 4)- 2 =
= 2m + 2n - 4 + 2mn - 4m - 4n + 8 - 2 = 2mn - 2m - 2n + 2.
С другой стороны, находя площадь в треугольных единицах, мы получили:
S = 2 (m - l)(n -1) = 2 (mn - m - n +1) = 2mn - 2m - 2n + 2.
Для данных параллелограммов формула доказана. Если же у параллелограмма две противоположные стороны не лежат на прямых решётки (рис. 5, справа), то мы всегда легко из такой фигуры можем получить параллелограмм той же площади, но уже все стороны которого будут являться частями линий решётки, выполнив действие, показанное на рисунке 6. В случае, если все стороны параллелограмма не лежат на решётке, то описанное действие следует выполнить дважды: сначала для одной пары противолежащих сторон, затем для другой.
Далее для доказательства воспользуемся тем, что сумма площадей двух многоугольников равна площади их объединения, и заметим, что из двух многоугольников, имеющих одну общую сторону, всегда можно сделать один, если удалить эту сторону. Докажем, что при данной процедуре число Г + 2B - 2 для полученного многоугольника будет суммой соответствующих чисел для исходных многоугольников. Пусть мы имеем два многоугольника Мх и М2 (рис. 7), для которых количество узлов на их границе соответственно равны Г1 и Г2, а количество узлов внутри — Bj и В2. Тогда, по свойству площади,
39
Section 5. Mathematics
Su = S1 + S2, где Su — площадь многоугольника M12, объединяющего площади M, и M2. Найдём площади всех трёх многоугольников.
S = Г1 + 2B1 - 2, S2 = Г2 + 2B2 - 2, отсюда
S1,2 = Г1 + Г2 + 2 ((1 + В2 ) - 4 .
Так как объединённые многоугольники имеют общую сторону, то значит, они имеют и общие узлы. Обозначим количество общих узлов O и найдём соответствующие значения Г12 и B12. Количество граничных узлов при объединении многоугольников можно сложить, не забыв, что общие узлы при этом будут подсчитаны дважды и к тому же теперь они станут внутренними, кроме двух узлов вершин. Таким образом, Г1,2 = Г1 + Г2 - 20 + 2 . Количество же узлов внутри пополнится узлами, о которых мы упомянули, то есть B12 = B1 + B2 + (O - 2) . Имеем,
S12 = Г1 + Г2 -20 + 2 + 2( + B2 +(O-2))-2 =
= (Г! + Г2) + 2 ( + B2)-4
Как видим, формулы совпали, что и требовалось доказать. Остаётся только заключить, что число Г + 2B - 2 для любого треугольника, полученного в результате деления параллелограмма диагональю, будет равно половине соответствующей суммы для параллелограмма и, следовательно, ввиду справедливости утверждения для параллелограммов, будет выражать площадь треугольника. Но любой многоугольник с вершинами в узлах треугольной решётки можно получить, объединив, а затем удалив несколько таких треугольников. Поэтому наше утверждение верно для любого многоугольника с вершинами в узлах треугольной решётки.
Организация и сам ход подобного рода маленьких исследований для учащихся — интересная работа, при этом ещё полезная и важная. Ведь сам процесс даёт возможность не только больше узнать, чему-то научиться, но и дарит ученикам ощущение сопричастности, сопереживания и радости открытия.
Список литературы:
1. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп: Пер. с польского. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
Ruzimboy Madrahimov Masharipovich, Urgench State university, PhDs, chairs of department of theory of functions Sobirov Usmon Matyoqubovich, Urgench State university, Assistant-teacher, department of theory of functions Yusupov Baxtiyor Bakhramovich, Urgench State university, Student, Physical and mathematical faculty Abdikarimov Fakhriddin Bakhramovich, Urgench State university, Master, Physical and mathematical faculty E-mail: [email protected]
Matrix analogue of the gholder and minkovski inequalties
Abstract: In this article, the inequalities with dimensional matrix type variables of the order n are studied. Moreover, the matrix analogue of Holder and Minkowski inequalities are obtained. Besides in this article we will present the matrix analogue of some classic inequalities in the class of space matrices.
Keywords: dimensional matrix, vector, Minkowski inequality, arbitrary number.
It is known that matrix theory is considered the arithmetic of higher mathematics. In corresponding references it has been considered only two dimensional matrices. Matrices with higher dimension has been started to be studied in the second half the XVIII century.
In this article we present the matrix analogue of some classic inequalities in the class of space matrices.
All systems A. consisting of n2 elements, where i, j are Decart coordinates, is called two dimensional matrix
of the order n. Where Ajj, (i, j = 1,2,...,n) are square matrices of the order n .
Example: If n = 2, then i, j = 1,2 and the matrix has a form:
If n = 3, then i, j = 1,2,3 and the matrix with n2 = 9 elements is as below:
40
