Matrix analogue of the gholder and Minkovski inequalties Текст научной статьи по специальности «Математика»

Section 5. Mathematics

Su = S1 + S2, где Su — площадь многоугольника M12, объединяющего площади M, и M2. Найдём площади всех трёх многоугольников.

S = Г1 + 2B1 - 2, S2 = Г2 + 2B2 - 2, отсюда

S1,2 = Г1 + Г2 + 2 ((1 + В2 ) - 4 .

Так как объединённые многоугольники имеют общую сторону, то значит, они имеют и общие узлы. Обозначим количество общих узлов O и найдём соответствующие значения Г12 и B12. Количество граничных узлов при объединении многоугольников можно сложить, не забыв, что общие узлы при этом будут подсчитаны дважды и к тому же теперь они станут внутренними, кроме двух узлов вершин. Таким образом, Г1,2 = Г1 + Г2 - 20 + 2 . Количество же узлов внутри пополнится узлами, о которых мы упомянули, то есть B12 = B1 + B2 + (O - 2) . Имеем,

S12 = Г1 + Г2 -20 + 2 + 2( + B2 +(O-2))-2 =

= (Г! + Г2) + 2 ( + B2)-4

Как видим, формулы совпали, что и требовалось доказать. Остаётся только заключить, что число Г + 2B - 2 для любого треугольника, полученного в результате деления параллелограмма диагональю, будет равно половине соответствующей суммы для параллелограмма и, следовательно, ввиду справедливости утверждения для параллелограммов, будет выражать площадь треугольника. Но любой многоугольник с вершинами в узлах треугольной решётки можно получить, объединив, а затем удалив несколько таких треугольников. Поэтому наше утверждение верно для любого многоугольника с вершинами в узлах треугольной решётки.

Организация и сам ход подобного рода маленьких исследований для учащихся — интересная работа, при этом ещё полезная и важная. Ведь сам процесс даёт возможность не только больше узнать, чему-то научиться, но и дарит ученикам ощущение сопричастности, сопереживания и радости открытия.

Список литературы:

1. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп: Пер. с польского. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

Ruzimboy Madrahimov Masharipovich, Urgench State university, PhDs, chairs of department of theory of functions Sobirov Usmon Matyoqubovich, Urgench State university, Assistant-teacher, department of theory of functions Yusupov Baxtiyor Bakhramovich, Urgench State university, Student, Physical and mathematical faculty Abdikarimov Fakhriddin Bakhramovich, Urgench State university, Master, Physical and mathematical faculty E-mail: [email protected]

Matrix analogue of the gholder and minkovski inequalties

Abstract: In this article, the inequalities with dimensional matrix type variables of the order n are studied. Moreover, the matrix analogue of Holder and Minkowski inequalities are obtained. Besides in this article we will present the matrix analogue of some classic inequalities in the class of space matrices.

Keywords: dimensional matrix, vector, Minkowski inequality, arbitrary number.

It is known that matrix theory is considered the arithmetic of higher mathematics. In corresponding references it has been considered only two dimensional matrices. Matrices with higher dimension has been started to be studied in the second half the XVIII century.

In this article we present the matrix analogue of some classic inequalities in the class of space matrices.

All systems A consisting of n2 elements, where i, j are Decart coordinates, is called two dimensional matrix

of the order n. Where Ajj, (i, j = 1,2,...,n) are square matrices of the order n .

Example: If n = 2, then i, j = 1,2 and the matrix has a form:

If n = 3, then i, j = 1,2,3 and the matrix with n2 = 9 elements is as below:

40

Секция 5. Математика

4i A12 ЛзЛ

AAA

^21 ^22 **23

AAA

V131 ^32 ^33 )

Definition-1. Cubic matrix of the order n is refereed to all Ajjk matrices made of n3 elements in the field P,

where i,j,k are situated Decart coordinates [1].

Example: In the case i, j ,k = 1,2. We consider the

3

system Ajk with 2 = 8 elements. The system forms the

following matrix:

( a A A A ^111 **112 ^121

A A A A

^211 ^212 -^221^222 J

We denote by A^ all Aijk elements higher dimensional matrix of the order n .

(,j,k = 1,2,...,n)

Definition-2. The system A^ consisting of np elements in the field P with i1, i2, ..., ipcoordinates situated in the space p dimensional is called p dimensional matrix of the order n and it is denoted by A =

1,2,...,и).

Let C[mxmxmx...xm] = C[mk] be a space of m

4-------v--------'

ktimes

order, k dimensional matrices.

If Z e C[mk ], then by detk,m (Z) the determinant of Z matrix.

Theorem-1. Let Ai,Bi eC[mk]. Then the following inequalities hold:

If (3) holds, then it follows that

E|detkmAk detkmBk\ ^ 1. (4)

It is known that for positive c and d it holds Yung inequality

^ dq p q

In this inequality insted of c and d taking respectively I det k >mAk| and (det* >mBk|, summing up from 1 to n in k, by (2) and (3) we obtain

y|det. A, det. B.I < 1

k ,m k k ,m k\ ♦

So, above inequality yields that inequality (1) holds. Theorem proved.

In (1) if we take p = 2, it follows the analogue of Caushy-Bunyakovskiy inequality below:

3 detk m (A,B, )| ^

where

3det. A. I

k ,m г

3detk B.l

k ,m г

(1)

(2)

Eldetkm (AiBi )| ^

3det. A. I

k ,m i

3|detk B.l

k ,m i

p > 1, q > 1, I +1 = 1 • ([3])

p q

Prove. (1) is an homogenious. If it holds for the vectors

A = (detkm A1 ,detkm A2..... detkm An ) and

B = (detk mBi,detk mB2>...,detk mBn ) , the so does for A A, juB, where А, л arbitrary numbers. Therefore to prove (1) it is enough to show that

E|det * mAJ =E|detk ,mBk\P = 1 . (3)

The following theorem gives the analogue of Minkowskiy inequality [3].

Theorem-2. Let Ai,Bi eC[mk]. Then for q > 1 it holds the inequality below:

У|det, A. + det. B.P I <| У|det. A

k ,m j k ,m j| k ,m j

'^ 1 У (5)

+(У| detk ,B,|' j'

Prove. In (c| + |d|)=(c| + |d|) |c| + (c| + |d|) |d|

1

\q

i=i

(=1

k=l

41

Section 5. Mathematics

substituring c and d with detkAk and detkm Bk and summing up from 1 to n, we get:

У (Idet A,] + |det B, |Y=y(|det, A,| + |det B, I) x

/-<4 k,m k| | k,m *1; ' J\\ k,m k| | k,m k\J

x|detk Ak| + y(|det Ak| +

k ,m k \ k ,m k

k=l V

det B,

q-i,

detk BA

k ,m k

If it holds that (q - l)p = q in two sums of the right side of the above equality, then applying (1) to it, we find that

1

У ((m Л I + |detkm Bk I) -)(|detk,m Ak I + |detkm Bk I)) X

1 ( % iq V 1

У detk,mAk\ 1 + У detk,mBk | Vk=i )

Vk= )

If we divide the above inequality by

1

У((( Ak I + |detk,m Bk I) ),itfollows that

1

Z(|det,,A,| + |det,,B,\)') <l!fldet,,A,|) ) +

1

\q \q

1

m \q

+ (^Edlet,,m Bk I )

So, this shows that (5) holds. Theorem proved.

If £ |detк,mA\q <да , then by the above inequlity

к=1 « «

and assuming that the series У |detfcm Ak\q, У |detfc,m Bk{

k=l

are convergent in n ^ да, we obtain that

it и

У det A. + det. B.\ | <1 У det. A

^^1 km ) к ,m n к ,m .

i= ' ) V 1=

1 It }q

+ 1 УI detk,mBi

1

|t У

X

References:

1. Соколов Н. П. Пространственные матрицы и их приложения. Государственное издательство Физико-математической литературы Москва 1960

2. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. Изд: «Мир» Москва 1965

3. Колмогоров. А.Н, Фомин. С.В Элементы теории функций функционального анализа. М. Наука, 1976.

42