CC BY
278УДК 330.43
ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ: ОБ ИСТОРИИ, СВОЙСТВАХ, ПРОБЛЕМАХ И ВОЗМОЖНОСТЯХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В РЕГИОНАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ*
с. в. баранов,
кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник E-mail: bars. vl@gmail. com Институт экономических проблем имени Г. П. Лузина Кольского научного центра Российской академии наук
В работе рассматривается история развития производственных функций. Приводятся их свойства и фундаментальные утверждения. Обсуждаются некоторые особенности обучения экономике. Анализируются возможности и проблемы применения производственных функций к исследованию региональных процессов. Приводится авторская модификация производственной функции Кобба - Дугласа, позволяющая снять основные ограничения их использования в региональных исследованиях.
Ключевые слова: производственные функции, региональная экономика, модель.
Одними из наиболее широко известных статических макромоделей являются производственные функции - регрессионные модели, демонстрирующие зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства (трудом, капиталом и т. п.). В последние годы интерес к использованию их в научных исследованиях несколько ослаб. Причины этого достаточно трудно объяснить, поскольку эвристическая ценность производственных функций для описания и познания как микро-, так и макропроцессов не вызывает
* Исследование выполнено при поддержке правительства Мурманской области по долгосрочной целевой программе «Развитие образования Мурманской области» на 2011-2015 годы» и РГНФ (проект № 12-12-51002).
сомнений у специалистов. Закономерным подтверждением этого утверждения является следующее. Во-первых, они являлись предметом обсуждения ученых-экономистов в течение достаточно длительного временного периода, более столетия. Во-вторых, плодотворно применялись в экономической практике как капиталистических, так и социалистических стран. Возможно, частично недостаточный интерес к производственным функциям объясняется требованием комплексности описания экономических процессов с позиций устойчивости (см., например, работу [7]). Однако далеко не всегда требование комплексности целесообразно в применении к исследованию в условиях недостаточности информации о функциональной зависимости между управляемыми и неуправляемыми параметрами модели, в условиях лишь относительного соответствия математической, а то и перенесения методом аналогий модели устойчивости механического движения на экономическую реальность.
В связи с этим выглядит обоснованным обращение к историческим аспектам развития производственных функций, изложению их свойств и возможностей использования в современных исследованиях, в частности в исследованиях региональных проблем.
История развития производственных функций. На взгляд автора, блестящее критическое изложение динамики развития производственных
функций приведено в фундаментальном труде Марка Блауга «Экономическая мысль в ретроспективе». В частности, здесь обсуждается квадратичная производственная функция рикардовской системы [3, с. 95-98]. Затем приводятся бесплодные попытки доказательства Ф. Уикстидом («Очерк о согласовании законов распределения»), что совокупный продукт в точности сводится к возмещению издержек каждого из производственных факторов в соответствии с их предельной производительностью, и доказательство этого утверждения Флаксом [3, с. 408-409].
Несомненный интерес для познания сущности производственных функций представляет обсуждение обозначенной Флаксом связи проблемы исчерпанности продукта с теоремой Эйлера об однородных функциях [3, с. 409-410]. А затем, когда читатель уже уверует в утверждение о том, что производственная функция имеет линейно-однородный вид, что более высокая или низкая степень однородности не имеют экономического смысла, приводятся формальные свойства подобных функций с одновременной фиксацией серии предостережений относительно ряда экономических показателей [3, с. 411-419].
Как обобщение формальных свойств приводятся аргументированные фундаментальные утверждения.
Во-первых, предельный продукт какого-либо фактора варьирует только при изменении относительных количеств применяемых факторов.
Во-вторых, эти факторы обладают комплемен-тарностью, т. е. увеличение количества переменного фактора снижает его предельную производительность, но увеличивает предельную производительность фиксированного производственного фактора.
В-третьих, совокупный продукт в точности складывается из выплат используемым производственным факторам в соответствии с их предельной производительностью.
Но все эти утверждения справедливы только для производственных функций типа Кобба - Дугласа. Из этого следует важный методологический вывод: если показатели эластичности оцениваются исходя из относительных долей производственных факторов, которые в сумме составляют совокупный доход, то предполагается, что такая производственная функция имеет вид функции Кобба - Дугласа.
Что касается экономического смысла линейно однородных производственных функций, то справедлив тезис: только когда производственная
функция линейно однородна, выплаты производственным факторам в соответствии с предельной производительностью полностью исчерпают продукт. Но далее формулируется вопрос: если производственная функция не является однородной первой степени? В принципе подразумевается, что конкуренция на рынках факторов производства обеспечивает оплату производственных факторов в размере их предельной ценности или предельного продукта в денежном выражении вне зависимости от типа производственной функции. Но если производственная функция не является линейно однородной первой степени, то совокупный продукт будет больше или меньше суммы долей при распределении. Очевидно, что в случае отрицательного эффекта масштаба сумма факторных выплат, определенных характером рыночного механизма, будет меньше ценности выпущенной продукции, а остатки присваиваются некоторым «фиксированным» факторам. В случае положительного эффекта масштаба совокупный продукт оказывается недостаточным для оплаты вклада всех факторов в соответствии с их предельной производительностью. То есть какой-то фактор должен получить меньше, чем его предельная производительность.
Эти утверждения объясняются связью между предельными и средними издержками. Линейно однородная производственная функция образует горизонтальную долгосрочную кривую средних издержек. В случае возрастающей отдачи или снижающихся издержек в долгосрочном периоде кривая предельных издержек лежит ниже долгосрочной кривой средних издержек. В этом случае фирма начинает нести убытки, поскольку оплата фактора согласно его предельному продукту есть результат действия механизма ценообразования, основанного на предельных издержках. Эти рассуждения служат основой тезиса Хотеллинга - Лернера: ценообразование на основе предельных издержек во всех отраслях экономики потребовало бы субсидий для любой отрасли со снижающейся ценой предложения. При этом, как справедливо подчеркивается, «положительный эффект масштаба уничтожает конкуренцию и, следовательно, основу для оплаты факторов в соответствии с их предельной производительностью. Подобным образом цена, покрывающая долгосрочные предельные издержки в случае, когда последние превышают долгосрочные средние издержки, обязательно приведет к образованию остатка» [3, с. 419].
Такой подход к рассуждениям о сущностных основаниях производственных функций позволяет затрагивать важнейшие смежные сферы экономических знаний, тем самым позволяя комплексно освещать экономические процессы. Этот аспект чрезвычайно важен для процесса обучения экономике студентов, направленного на формирование у них метода познания экономических проблем, нередко, к сожалению, подменяемого формальным заучиванием значительного количества фактов, теорий, без структурного взаимопроникновения знаний1.
Дальнейше развитие методологии производственных функций связывается с работами В. В. Леонтьева. Производственная функция Леонтьева, построенная в рамках модели «затраты -выпуск», задает пропорции, в которых осуществляется потребление затрат факторов производства для осуществления выпуска одной единицы продукции [10].
К сожалению, в большинстве учебников по экономической теории, по истории экономических учений и т. д. производственные функции если и обсуждаются, то крайне скупо. Наиболее четко производственные функции проявляются в учебниках по дисциплинам, использующим математический аппарат - математической экономике, эконометрике, математическим методам и моделям в экономике и т. п. Следует отметить, что в отличие от того же Бла-уга, в учебниках по этим дисциплинам теория производственных функций изложена математически более корректно (см., например, работы [5, с. 14-26; 6, с. 124-128]). Но при этом отсутствует сопряжение с рядом базисных понятий экономической теории. Исключением является монография Клейнера [4], в которой четко изложены математическая и экономическая стороны. Однако последняя касается в основном плановой экономики.
Конечно, с одной стороны, это закономерно, поскольку учебники носят достаточно узкодисциплинарный характер. С другой стороны, опыт работы автора над реальными экономическими задачами методами математического моделирования указывает на проблемы избыточного применения упрощающих предпосылок, влекущих выхолащивание смысла экономических категорий, или увлечения математической стороной описания в ущерб задаче реалистичности представления экономического объекта (процесса) [9].
1 Подробнее о проблемах преподавания экономических дисциплин см. работу [8].
Исследование региональных процессов с помощью производственных функций: проблемы и решения. Актуальность развития эконометрики для региональных исследований, в частности поиск возможностей применения производственных функций, диктуется явной недостаточностью использования эконометрических моделей на практике. Вместе с тем плодотворное использование эконометрических моделей позволяет на основе формализации факторов, выделенных как основные, наглядно демонстрировать общее и особенное, что составляет необходимую ступень познания сущности и направленности региональных движений субъектов РФ.
Рассмотрим возможности применения производственных функций к региональным процессам. Классической подход к моделированию производственных процессов с помощью производственных функций состоит в использовании динамических рядов исследуемой экономической системы, характеризующих выпуск продукции в виде объемов производства за определенные промежутки времени и используемые для этого ресурсы (труд и капитал), для оценивания параметров производственной функции. Сама производственная функция выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. Показательная производственная функция имеет вид:
XЦ) = A х K^)р L(tУ, (1)
где X 0 - выпуск продукции за год ^
- капитал (стоимость основных фондов) за год Г;
L(t) - труд (количество занятых в исследуемой системе) за год t.
Остальные переменные (Л, р и д) являются оцениваемыми параметрами и при логарифмировании соотношения (1) могут быть определены методом наименьших квадратов. При этом А всегда больше нуля и называется коэффициентом нейтрального технического прогресса (при постоянных р и д выпуск в точке (К, Ь) тем больше, чем больше A), р-эластичностью2 по фондам, д-эластичностью по труду. Имея достаточные по длине динамические ряды, можно с помощью соотношения (1) связать выпуск продукции, капитал и труд.
При моделировании региональных производственных процессов в качестве экономической сис-
2 Экономический смысл эластичности заключается в том, что при увеличении соответствующего фактора на 1 % результат увеличится на количество процентов, равных значению эластичности.
темы рассматривается регион. За годовой выпуск принимается ВРП, за капитал - стоимость основных фондов сфер экономики региона, а за труд - среднегодовая численность занятых в экономике. Однако фиксируется проблема, которая уже обсуждалась автором в предшествующих исследованиях по производству ВРП [1]. В России ВРП субъектов считается только с 1994 г., а по автономным округам - с 2000 г. Задержка в опубликовании данных по ВРП Федеральной службой государственной статистики составляет два года. То есть в 2012 г. в распоряжении исследователя имеются данные о ВРП субъектов Федерации (без выделения автономных округов) лишь за 16 лет. А при необходимости диагностики специфики производства ВРП в автономных округах - за 10 лет3. Таким образом, в настоящее время оценка параметров производственной функции (1) для субъектов Федерации является сомнительной, а применительно к автономным округам - невозможной.
Для преодоления указанных ограничений предлагается оценивать параметры производственной функции (1) не по динамическим рядам данных, а по региональным: за выпуск принимается ВРП регионов, за капитал - стоимость основных фондов сфер экономики регионов, за труд - среднегодовая численность занятых в экономике по регионам. Тогда производственная функция (1) принимает вид
X (г) = А х К (г)р L(r У, (2)
где г - регион.
Остальные переменные имеют такой же смысл, как и в формуле (1).
Производственная функция (2) уже описывает не поведение изучаемой системы в разные моменты времени, а поведение набора систем (регионов) в один и тот же момент времени. Число регионов в РФ достаточно для оценки параметров (2) методом наименьших квадратов. Впервые этот подход был позиционирован и апробирован на реальных данных в работе [1].
Разумеется, для применения производственной функции (2) необходимо сделать упрощающие предпосылки и выдвинуть гипотезы.
Будем считать, что экономика всех субъектов Российской Федерации функционирует в одном правовом поле и по одним и тем же принципам.
3 Необходимость выделения автономных округов диктуется, например, при моделировании производственных процессов в регионах Севера. Подробнее о проблеме выделения зоны Севера для межрегиональных сопоставлений см., например, работу [2, с. 36].
Будем считать, что с точки зрения производства ВРП экономики регионов внутри одной региональной группы отличаются лишь количествами основных фондов и труда.
Последняя гипотеза проверяется при оценивании параметров производственной функции (2). При этом возможны три случая, приводящие к различной интерпретации.
Первый случай. При оценивании параметров производственной функции (2) получилось следующее: малое значение коэффициента детерминации, большая ошибка аппроксимации и условия ^-критерия не выполнены. Это означает, что модель производства ВРП в виде производственной функции (2) не соответствует данным региональной статистики и гипотеза о том, что ВРП регионов внутри региональной группы зависит лишь от труда и капитала, не верна.
Второй случай. Производственная функция (2) достаточно хорошо согласуется с региональными данными и оцененные значения параметров лежат в допустимых пределах, т. е. 0 < р, д < 1. В этом случае производственная функция (2) является неоклассической [5, с. 15] и производство ВРП в изучаемой региональной группе удовлетворяет следующим условиям:
- с ростом ресурсов выпуск растет
дХ X Л дХ X Л
-= р— > 0, -= а— > 0;
дК К дЬ Ь
- с ростом затрат ресурса предельная отдача (частная производная выпуска по ресурсу) падает, т. е. при увеличении количества вовлекаемого в производство ресурса скорость роста выпуска уменьшается;
- если р > д, рост выпуска ВРП является трудосберегающим (интенсивным), если р < а, то фондосберегающим (экстенсивным);
- при р + д > 1 ВРП растет быстрее, чем в среднем растут капитал и труд, т. е. производственная функция описывает растущую экономику, в противном случае - стагнирующую; значение этой суммы является количественной характеристикой экономического роста.
Третий случай. Производственная функция (2) достаточно хорошо согласуется с региональными данными, но оцененные значения параметров выходят за допустимые пределы.
Либо р < 0, либо д < 0 - с ростом либо капитала, либо труда выпуск ВРП падает. Это означает, что в региональной группе имеет место тенденция, когда меньшие ресурсы приводят к большему выпуску
ВРП. Это свойство характерно для экономик регионов с меньшим количеством населения, которые производят больший ВРП (в удельном исчислении). Экономика зоны Севера обладает такой особенностью, обусловленной наличием добывающих регионов, которые обладают меньшим населением, но производят больший ВРП.
Либо р > 1, либо д > 1 - с ростом затрат либо капитала, либо труда предельная отдача растет (при увеличении количества вовлекаемого в производство ресурса скорость роста выпуска увеличивается). Автор затрудняется дать интерпретацию этому случаю. Скорее всего, это свойство характеризует неустановившуюся (переходную) экономику или экономику, выходящую из кризиса.
При соответствии модели реальным данным оценить влияние труда и капитала на производство ВРП можно, рассчитав удельные веса соответствующих эластичностей р 100 % / (р + д), д 100 % / (р + д).
Из двух региональных групп более интенсивную (более экстенсивную) экономику имеет та из них, у которой удельный вес эластичности по капиталу больше (меньше).
Таким образом, оценив параметры производственной функции (2) за различные годы, можно охарактеризовать динамику производства ВРП в РФ зависимости от основных фондов и количества занятых в экономике.
Производственные функции являются моделями, исследование которых многократно показывало целесообразность их использования в экономических исследованиях. Представленная авторская трактовка производственной функции позволяет использовать ее методологический потенциал в региональных исследованиях. При этом регионы рассматриваются как целостные, неструктурированные единицы, на вход поступают ресурсы, а на выходе
получается результат функционирования экономики в виде валового регионального продукта.
Список литературы
1. Баранов С. В., Скуфьина Т.П. Моделирование производства валового регионального продукта в регионах зоны Севера и несеверной части РФ // Вопросы статистики. 2007. № 2.
2. Баранов С. В., Скуфьина Т.П. Статистический анализ дифференциации регионов зоны Севера в общероссийском контексте // Вопросы статистики. 2005.№ 11.
3. Блауг М. Экономическая мысль в ретроспективе: пер. с англ., 4-е изд. М.: Дело Лтд, 1994.
4. Клейнер Г. Б. Производственные функции: теория, методы, применение. М.: Финансы и статистика, 1986.
5. Колемаев В. А. Математическая экономика: учебник для вузов. 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.
6. Кремер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика: учебник для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.
7. Любушин Н. П., Бабичева Н.Э., Галушкина А. И., Козлова Л. В. Анализ методов и моделей оценки финансовой устойчивости организаций // Экономический анализ: теория и практика. 2010. № 1.
8. Скуфьина Т.П. Размышление о проблемах социального развития, инновациях и преподавании экономических дисциплин // Экономические и социальные перемены: факты, тенденции, прогноз. 2011. № 6.
9. Скуфьина Т.П., Баранов С. В. Социально-экономическое прогнозирование: проблемы науки и преподавания // Вопросы экономики. 2005. № 3.
10. Leontief W. Input-Output Economics. Oxford University Press, 1986.
