CC BY
11
Р. С. Рогулин, В. О. Жандармов, Е. С. Пугачёва, В. В. Матвеев
ПРОИЗВОДСТВЕННО-КОМБИНАТОРНАЯ МОДЕЛЬ ПО ПОИСКУ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРАТЕГИИ ДЛЯ ВЫХОДА НА НОВЫЕ РЫНКИ ЛЕСА И ПИЛОМАТЕРИАЛОВ
Аннотация
В статье предложено комплексное решение трех задач линейного программирования: производственная задача (классическая постановка), задача размещения центров, задача максимального потока. Подобные задачи в предложенной комплексной постановке часто возникают на предприятиях в процессе производства и реализации продукции. Рассмотрены основные алгоритмы поиска оптимального решения, сформулирована комплексная задача, построена модель и реализован алгоритм решения, проведено сравнение существующего метода и авторского. Предложенная модель может быть использована на любом предприятии, где необходимо найти оптимальный комбинаторный вариант для производства с целью минимизации производственных издержек и затрат на транспортировку готовой продукции, а также получения максимальной прибыли. Задача в точности подходит к экономической ситуации, когда предприятию еще предстоит выйти на рынок, и оно осуществляет попытки по определению, во-первых, мест производства из списка, во-вторых, объема производства, в-третьих, способ отправки (как можно больше товара), чтобы занять свою нишу на рынке. Задача, которую мы решаем, впервые появилась на предприятии лесоперерабатывающей направленности. Такая проблема носит характер нетривиально комбинаторный.
Ключевые слова
Математическое моделирование, линейное программирование, максимальный поток, размещение центров, производство.
R. S. Rogulin, V. O. Zhandarmov, E. S. Pugachiova, V. V. Matveev
PRODUCTION AND COMBINATORIAL MODEL TO FIND THE OPTIMAL STRATEGY FOR ENTERING NEW MARKETS OF FOREST AND TIMBER
Annotation
Article proposes a complex solution of three linear programming problems: production problem (classical formulation), problem of location of centers, problem of maximum flow. Such problems in proposed complex formulation often arise in enterprises in process of production and sales. The main algorithms for finding the optimal solution are considered, complex problem is formulated, model is constructed and solution algorithm is implemented, comparison of existing method and author's one is made. Proposed model can be used at any enterprise where it is necessary to find the optimal combinatorial option for production in order to minimize production costs and transportation costs of finished products, as well as to maximize profits. Such a task is exactly suited to economic situation when company has yet to enter the market, and it attempts to determine, first, places of production from the list, secondly, volume of production, thirdly, method of sending (as much as possible goods) to occupy its niche in market. Problem that we solve, for the first time appeared at enterprise of timber processing orientation. This problem is non-trivial combinatorial in nature.
Keywords
Mathematical modeling, linear programming, maximum flow, location of centers, production.
Введение
Каждое предприятие в ходе хозяйственной деятельности определяет свою политику таким образом, чтобы достичь максимума прибыли при ограничениях на ресурсы. При всем многообразии методов оптимизации процессов управления ресурсами предприятий в научной литературе недостаточно представлены единые алгоритмы и модели для нахождения оптимального решения комплексных проблем хозяйственной деятельности предприятия. На любом предприятии существуют следующие основные задачи предприятий: задача производства (оптимальный выпуск продукции), транспортная задача (определение пути и объема перевозок по двудольным графам), задача максимального потока (нахождение максимального по объему перевозок пути на графе), задача минимизации времени, задача о размещении центров сбыта (обслуживания), задача распределения людских ресурсов при производстве. В нашей статье мы рассмотрим только три из них: задача производства (оптимальный выпуск продукции), задачу размещения центров, задача учета времени, как единую комплексную задачу.
При имеющихся запасах ресурсов и заданных рынком ценах необходимо найти оптимальный объем при дополнительном условии наличия норм затрат ресурсов на производство единицы продукции. Такая задача получила распространение в литературе — Производственная задача [1]. Существует помимо этой задачи и другая не менее сложная с точки зрения трудозатрат на ее решения: задача о размещении центров [2] — в ней ставятся вопросы об определении мест производства из заранее определенных к рассмотрению районов. Ограничения описаны в [4].
Стоит отметить еще одну проблему — задачу максимального потока. Максимизируются начальные входные на граф потоки, а ограничением выступает равенство потоков входящих выходящим и максимальная пропускная способность графа. Рассмотрим ряд методов и моделей, которые решают данные задачи. Для решения каждой из вышеперечисленных задач существуют отдельные модели [9, 10, 11], но мы предлагаем комплексное решение трех вышеописанных отдельных задач. Под комплексным решением будем понимать единую линейную модель смеша-но-целочисленного программирования для трех вышеуказанных проблем лесоперерабатывающего комплекса.
Сформулируем обобщенную постановку задачи: каков объем производства продукции при заданных объемах ресурсов на складе, данных о максимальном потоке каждой дуги графа — дороги, данных о стоимости открытия пункта производства из заранее отобранных возможных районов расположения. Цель: максимизировать доход от продажи, объем перевозок по графу и минимизировать издержки в процессе открытия производства (*). Такая модель может быть полезна для компаний в период захода на рынок. Организация должна себя зарекомендовать на рынке, как хорошего продавца.
Данная работа посвящена построению модели, выбору метода и алгоритма для поиска решения этой задачи. Все вышеперечисленные задачи сводятся к линейным моделям, что значительно упрощает нахождения оптимального решения, отдельно модели известны в литературе [12, 13, 14]. Для решения вышеперечисленных задач используются алгоритмы поиска оптимального решения — метод отсечения (Гомори) [15].
Таблица 1 — Методы и модели решения поставленной задачи
Методы и модели/факторы Описание стратегии
Линейное программирование (ЛП) [5] Каждая подзадача составляется и решается, как отдельная задача ЛП, кроме задачи учета времени — она является дополнением к ограничениям
Квадратическое программирование (КП) [б] Составляется отдельная квадратическая модель, после работы стандартных алгоритмов КП, представляется ответ к задаче в виде одномерного массива
Supply Chain Management (SCM) [7] Управленческая концепция и организационная стратегия, заключающаяся в интегрированном подходе к планированию и управлению всем потоком информации о сырье, материалах, продуктах, услугах, возникающих и преобразующихся в логистических и производственных процессах предприятия, нацеленном на измеримый совокупный экономический эффект (снижение издержек, удовлетворение спроса на конечную продукцию). Концепция основана на генетическом алгоритме
Генетический алгоритм [S] Эвристический алгоритм поиска, который используется для поиска решения задач оптимизации и моделирования. Стратегия заключается в случайном подборе, комбинирования и вариаций изначальных параметров с использованием механизмов, аналогичных естественному отбору в природе. Является разновидностью эволюционных вычислений, с помощью которых решаются оптимизационные задачи с использованием методов естественной эволюции, таких как наследование, мутации, отбор и кроссинговер. Отличительной особенностью генетического алгоритма является акцент на использование оператора «скрещивания», который производит операцию рекомбинации решений-кандидатов, роль которой аналогична роли скрещивания в живой природе
Математическая модель
Пусть существует сетка трудозатрат производства для производства каждого вида товара из исходного вида сырья. Обозначим сетку как
А = [А¿у), / = 1 : щ,) = 1 : т 1, ( 1) где — это элемент, соответствующий норме использования ресурса 1 для производства ] товара. Пусть также существует граф дорог (матрица смежности) с ее пропускной способностью. Обозначим матрицу дорог, как
° = [ й* 1Л),* 1 = 1 :п'к = 1: п■(2 ) Определим вектор цен реализации товара], как
Р = [ру),] = 1: т 1 (3 ) Пусть известны затраты на открытие склада. Обозначим их, как / = [/;),) = 1: т 1,(4) Определим вместимость складов:
1 = [ 1]),} = 1: т 1 ,( 5 )
Для полноты набора данных остается определить количество запасов сырья, обозначим их, как
Ъ = { Ъ ¿},/ = 1 :п 1 ( 6)
Зададим параметр как параметр, отвечающий за максимальное количество открытых складов. Пусть есть количество товара, перевозимое из пункта / 1 в пункт ]1 , ку — произведенное количество ] товара, гу — ] пункт производства. — разновидность ресурсов, — разновидность товара, — вершин в графе.
Математическая модель задач: максимального потока описана в [1, 2, 3], производственной описана в [1, 2, 3], размещения центров описана в [1, 2, 3].
Объединим три вышеописанные математические модели.
Производство не может произвести больше, чем у него есть на то ресурсов, обозначим следующим ограничением:
т-1
I А 1}к} <Ъи1 = 1 :п! ( 7 )
У=1
Количество открытых пунктов не должно превышать Q, запишем ограничение в виде:
т1
I
У=1
2,- < ( ( 8)
где 2,- е * 0 ; 1+.
Вместимость пунктов производства не должно превышать L, тогда запишем ограничение ниже:
к, < /у,) = 1 :т! ( 9) Объем вывоза не должен превышать объем производства в каждом пункте, обозначим это, как:
п
I Ху71 < ку-,у = 1 : т ! ( 1 0)
Л=1
Объем входящий в вершину должен быть равным объему, выходящему из этой же вершины, запишем это ниже:
п п
Xх I 1 ,1 = Xх I 1 Л' ¿ 1 ,А = 1 :п ( 1 1 )
¿1=1 А=1
Объем, проходящий по дуге, не должен превышать ее пропускную способность, обозначим, как:
0 < х ^ < й 1 1, 1; / 1 ,Д = 1 : п ( 1 2 ) Запишем (*) в виде целевой функции, как:
п п
11 х 1 ,1
А = 1'1 = 1 7 = 1 7 = 1
Объединяя (7-13) в единую систему получаем задачу линейного целочисленного программирования (смешанно-целочисленного).
Задача , решена с помощью пакета Matlab. Ответ получим в виде одномерных массивов Х. Размерность
т-1
т-1
+ 1 ку Ру -1 2 /, ^ тах ( 1 3 )
X = 2 г + п 2. Первые г элементов отвечают за количество произведенного товара. Следующие п2 переменных — объем перевезенной продукции по каждой дуге. Последние элементов отвечают за значения вспомогательных переменных . Рассмотрим ее подробнее.
В нашем примере количество пунктов производства г=16. Пусть M — число вершин графа, тогда м-г есть число остальных вершин (перекрестки, склады, перевалочные пункты, пункты потребления и т. д.)
Пример
Пусть даны матрицы норм затрат
А =
(1 26245671262456 7\ 269453262694532 5452171554521715 89832455452171 5У
пропускной способности графа , затраты на открытие матрицы цен Р, запасов ресурсов , вместимость складов ¿. Все данные представлены в [3]. На рисунке 1 можно увидеть произвольную визуализацию . Номера вершин — пункты производства, промежуточные пункты, пункты потребления. Веса дуг матрицы — есть максимальное число единиц продукции, которое можно провезти по каждой дуге.
Обсуждение
На рисунке 2 отчетливо видно, что сумма весов инцидентных любой вершине дуг на графе равна сумме весов инцидентных этой же вершине дуг входящих. Это является следствием ограничения (11). Также, как нетрудно заметить, объем производимой продукции из таблицы 3 равен объему исходящих дуг из каждой вершины, которая представляет собой район производства. Это является следствием ограничения (10).
Ниже в таблице 3 представлены выходные данные программных реализаций [3].
Рисунок 1 — Произвольная визуализация матрицы Б
Рисунок 2 — Визуализация графа перевозок при решении комплексной задачи
Таблица 3 — Выходные данные работы алгоритма в разработанной авторской модели
Параметр/метод Комплексно
Объем произведенной продукции (вектор), шт. (0, 8, 7, 9, 10, 0, 0, 0, 0, 10, 10, 7, 10, 8, 0)
Остатки сырья (вектор), шт. (36, 175, 385,615)
Прибыль, у. е. 7.0850 * 1012
Выводы
В статье была рассмотрена одна из возможных постановок задачи, которая обобщает ранее известные 3 классические задачи линейного программирования. Было показано, что такую задачу возможно сформулировать в рамках задачи линейного программирования. Решен пример на 38 вершинах с 16 пунктами входа, 3 пунктами выхода. Показано, что такую задачу возможно решать и визуализировать средствами пакета Matlab. Рассмотрен ряд возможных добавлений ограничений в модель. Такая постановка задачи и модель могут быть использованы на любом предприятии, где необходимо найти оптимальный комбинаторный вариант для получения максимальной прибыли и оптимальную стратегию выхода на новые рынки сбыта.
Библиографический список
1. Семериков, А. В. Решение транспортных задач. — Ухта, 2013.
2. Рутковская, Д., Пилиньский, М., Рутковский, Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. — 2-е изд. — М., 2008.
3. https://pastebin.com/iDMddCYW.
4. Писарук, Н. Н. Исследование операций. — Минск, 2015.
5. Алексеева, Е. В. Построение математических моделей целочисленного линейного программирования. Примеры и задачи : учеб. пособие. — Новосибирск, 2012.
6. Lee, J., Wiegele, A. Another pedagogy for mixed-integer // EURO Journal on Computational Optimization. — 2017. — № 5 (4). — Р. 455-466.
7. Xiaoping Jiang, Ruibin Bai, Jason Atkin, Graham Kendall. Scheme for determining vehicle routes based on Arc-based service network design // Information Systems and Operational Research. — 2017. — № 55. — Р. 16-37.
8. Morrison, D. R., Sewell, E. C., Ja-cobson, S. H. Application of branch, bound,
and remember algorithm to new simple assembly line balancing dataset // European Journal of Operational Research. — 2014. — № 236 (2). — P. 403-409.
9. Chu, W. S., Torre, F., Cohn, J. F., Messinger, D. S. Branch-and-Bound Framework for Unsupervised Common Event Discovery // International Journal of Computer Vision. — 2017. — P. 1-20.
10. Siew Mooi Lim, Abu Bakar Md. Sultan, Md. Nasir Sulaiman, Aida Mustapha, Leong, K. Y. Crossover and Mutation Operators of Genetic Algorithms // International Journal of Machine Learning and Computing. — 2017. — № 1. — Vol. 7. — P. 9-12.
11. Sumathi, P. New approach to solve linear programming problem with intercept values // Journal of Information and Optimization Sciences. — 2016. — № 37. — P. 495-510.
12. Daganzo, C. F., Smilowitz, K. R. Bounds and approximations for transportation problem of linear programming and other scalable network problems // Transportation Science. — 2004. — № 38 (3). — P. 343-356.
13. Hadi Heidari Gharehbolagh, Ashkan Hafezalkotob, Ahmad Makui, Sedigh Raissi. Cooperative game approach to uncertain decentralized logistic systems subject to network reliability considerations // Kybernetes. — 2017. — № 8. — Vol. 46. — P. 1452-1468.
14. Maysara Sayed, Hendry, L. C., Zorzini Bell, M. Institutional complexity and sustainable supply chain management practices // Supply Chain Management. — 2017. — Vol. 22. — Issue 6. — P. 542-563.
Bibliographic list
1. Semerikov, A. V. Solution of transport problems. — Ukhta, 2013.
2. Rutkowskiy, D., Pilinskiy, M., Rut-kovskiy, L. Neural networks, genetic algorithms and fuzzy systems. — 2 ed. — M., 2008.
3. https://pastebin.com/iDMddCYW.
4. Pisaruk, N. N. Operations research. — Minsk, 2015.
5. Alekseeva E. V. Construction of mathematical models of integer linear programming. Examples and tasks. — Novosibirsk, 2012.
6. Lee, J., Wiegele, A. Another pedagogy for mixed-integer // EURO Journal on Computational Optimization. — 2017. — № 5 (4). — P. 455-466.
7. Xiaoping Jiang, Ruibin Bai, Jason Atkin, Graham Kendall. Scheme for determining vehicle routes based on Arc-based service network design // Information Systems and Operational Research. — 2017. — № 55. — P. 16-37.
8. Morrison, D. R., Sewell, E. C., Jacobson, S. H. Application of branch, bound, and remember algorithm to new simple assembly line balancing dataset // European Journal of Operational Research. — 2014. — № 236 (2). — P. 403-409.
9. Chu, W. S., de la Torre, F., Cohn, J. F., Messinger, D. S. Branch-and-Bound Framework for Unsupervised Common Event Discovery // International Journal of Computer Vision. — 2017. — P. 1-20.
10. Siew Mooi Lim, Abu Bakar Md. Sultan, Md. Nasir Sulaiman, Aida Mustapha, Leong, K. Y. Crossover and Muta-
tion Operators of Genetic Algorithms // International Journal of Machine Learning and Computing. — 2017. — № 1. — Vol. 7. — P. 9-12.
11. Sumathi, P. New approach to solve linear programming problem with intercept values // Journal of Information and Optimization Sciences. — 2016. — № 37. — P. 495-510.
12. Daganzo, C. F., Smilowitz, K. R. Bounds and approximations for transportation problem of linear programming and other scalable network problems // Transportation Science. — 2004. — № 38 (3). — P. 343-356.
13. Hadi Heidari Gharehbolagh, Ashkan Hafezalkotob, Ahmad Makui, Sedigh Raissi. Cooperative game approach to uncertain decentralized logistic systems subject to network reliability considerations // Kybernetes. — 2017. — № 8. — Vol. 46. — P. 1452-1468.
14. Maysara Sayed, Hendry, L. C., Zorzini Bell M. Institutional complexity and sustainable supply chain management practices // Supply Chain Management. — 2017. — Vol. 22. — Issue 6. — P.542-563.
А. А. Сопченко, А. А. Яралиев
БЮДЖЕТНАЯ ПОЛИТИКА КАК ИНСТРУМЕНТ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО И ИННОВАЦИОННОГО РАЗВИТИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Аннотация
В работе анализируется состояние бюджетной политики Российской Федерации, основные результаты введения новой конструкции «бюджетных правил», тенденции формирования доходной и расходной частей федерального бюджета на ближайшие несколько лет. Автором предложен комплекс мероприятий, способствующих развитию планирования расходов федерального бюджета, а также по реформированию межбюджетных отношений.
Ключевые слова
Бюджетная политика, бюджетные правила, федеральный бюджет, нефтегазовые доходы, ненефтегазовые доходы, программные расходы, межбюджетные отношения.
