Производственная функция с учетом ограничения производственных мощностей по возрасту Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.86

Н.Н. Оленёв1'2'3

1 Вычислительный центр им. А. А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН 2Московский физико-технический институт (государственный университет) 3Российский университет дружбы народов

Производственная функция с учетом ограничения производственных мощностей по возрасту

Изучается эндогенная производственная функция, представимая распределением производственных мощностей по технологиям. Технология выбирается в момент создания мощности. На режиме сбалансированного роста и на переходном режиме получено аналитическое выражение для производственной функции при учете трех экзогенных механизмов технологического прогресса: 1) рост производительности труда на новых мощностях, 2) снижение коэффициента фондоемкости при создании новых мощностей, 3) ограничение максимального возраста использования мощностей. Найдена оценка параметров производственной функции по данным российской экономики.

Ключевые слова: эндогенная производственная функция, динамика производственных мощностей, максимальный возраст мощностей, коэффициент фондоемкости, режим сбалансированного роста, переходный режим.

N.N. Olenev1'2'3

1Dorodnicyn Computing Centre, FRC CSC RAS 2Moscow Institute of Physics and Technology (State University) 3Peoples' Friendship University of Russia (RUDN University)

Production function with the age limit for production

capacities

An endogenous production function given by the distribution of production capacities in technologies is studied. Technology is selected at the time of capacity creation. An analytical expression for the production function is obtained on the balanced growth path and on a transition path with account taken of three exogenous mechanisms of technological progress: 1) growth of labor productivity with new capacities, 2) a decrease in the capital output ratio in creation of new production capacities, and 3) the maximum age limit of capacity utilization. The estimation of parameters of the production function according to the data of Russian economy is found.

Key words: endogenous production function, production capacity dynamics, maximum age of capacities, capital — output ratio, balanced growth path, transition path.

1. Введение

Для учета переходных процессов в математическом моделировании эколого-экономических систем важно уметь описывать структурные изменения в производстве, например, за счет агрегирования микроописания динамики производственных мощностей. Описание производственных функций, представимых распределением производственных мощностей по технологиям. возникло из практических нужд при анализе конкретных отраслей экономики [1—2]. Производственная функция такого типа для одной переменной

© Оленёв Н.Н., 2017

© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2017

используется в [3] при макроописании экономики. Математическое исследование такого рода производственных функций для многих переменных произведено в [4-5], при этом доказана взаимная однозначность производственных функций и функций прибыли.

Новый класс производственных функций, представимых распределением производственных мощностей по технологиям, получен в [6] на основе исходного микроописания. Получено параметрическое выражение для производственной функции в случае, когда микроописание производственной единицы основано на гипотезе о фиксированном с момента создания числе рабочих мест и падающей с постоянным темпом мощности. Аналитическое выражение для производственной функции в случае, когда мощности не ограничены по возрасту, получено в [6] на режиме сбалансированного роста.

Если в каждый текущий момент времени Ь обозначить выпуск (объем произведенной продукции или валовой внутренний продукт) через У(Ь), число рабочих мест (число занятых в экономике) — через Ь(Ь), а суммарную мощность — через М(Ь), У(Ь) < М(Ь), то производственная функция задает зависимость выпуска У(Ь) от производственных факторов м(ь), ь(г):

У (Ь) = м (Ь,х), (1)

где х = Ь(Ь)/М(Ь) — средняя трудоемкость имеющихся мощностей, а f (Ь,х) — загрузка суммарной мощности (удельная производственная функция).

В [6] рассмотрен режим сбалансированного роста с темпом 7 в замкнутой экономике, в которой выпуск У (Ь) делится на потребление С (Ь) и накопление Ь1 (Ь):

У (Ь) = С (Ь) + Ь1 (Ь),

(2)

где Ь > 0 — коэффициент приростной фондоемкости, а I(Ь) — объем вновь созданных производственных мощностей. На режиме сбалансированного роста все объемные показатели продуктового баланса (выпуск У(Ь), суммарная мощность М(Ь), потребление С(Ь) и накопление Ь1 (Ь)) растут с одним и тем же темпом 7.

В случае мощностей, не ограниченных по возрасту, для функции загрузки суммарной мощности в [6] получено выражение

f (Ь,х) = 1 —

1 — (1 — е — л/о)

х

\/(\-е-^/а)

(3)

где л — темп падения мощностей вследствие износа, о = I(Ь)/М(Ь) — доля новых мощностей в суммарной мощности, о = 7 — л, р(Ь) — наименьшая трудоемкость, динамика которой определяется темпом научно-технического прогресса е [6]:

¿V (Ь) ОЬ

= —еои (Ь).

(4)

В соответствии с (1) - (4) этот режим сбалансированного роста с темпом 7 = о + л при наличии научно-технического прогресса (0 < е < 1, ^ > ¡(2 — е)/(1 — е)) характеризуется темпом изменения числа занятых в экономике Л = 7 — ео и темпом роста £ = ео > 0 среднего потребления. При отсутствии НТП (е = 0) функция (3) f (х) обладает свойствами классической производственной функции и, кроме того, содержит среди параметров темп роста. Это делает рассмотрение «золотого правила роста» интереснее [6].

В [7] численно построенная эндогенная производственная функция с учетом ограничения мощностей по возрасту использовалась в оценке реального сектора экономики. Численные эксперименты [7], связанные с идентификацией параметров, показали два существенных факта. Во-первых, практические расчеты ведут с ограниченным возрастом мощностей. При этом достаточно рассматривать фиксированный максимальный возраст мощностей. Во-вторых, при рассмотрении динамики экономики на интервале в несколько десятилетий нужно учитывать изменение (как правило, снижение) коэффициента приростной фондоемкости.

В настоящей работе построим производственную функцию на режиме сбалансированного роста для мощностей, ограниченных по возрасту. Учет ограничения мощностей по возрасту дает не только дополнительное управление экономической системой [6], но и позволит определить параметры этой производственной функции при ее численном построении на основе статистических данных. Рассмотрим также переходный режим роста с уменьшающимся коэффициентом приростной фондоемкости. Идентифицированную производственную функцию можно использовать на практике для анализа конкретных экономических систем и для сценарных прогнозов.

2. Описание процесса изменения производственных мощностей с учетом ограничения по возрасту

Для микроописания динамики производственной мощности воспользуемся предложенной в [6] гипотезой об ее уменьшении вследствие старения и фиксированном с момента создания этой мощности числе рабочих мест на ней, то есть здесь мы не учитываем рост производственной мощности за счет обучения во время работы [8].

Гипотеза 0. Число рабочих мест на производственной единице остается неизменным с момента ее создания т ^ t, а производственная мощность m(t, т) падает с постоянным темпом ц > 0.

Поскольку начальная мощность m(t, t) = I (t) для каждого момента времени t, то в силу гипотезы 0 в дальнейшем мощность падает: m(t, т) = I(т) exp(-^,(t — т)). Это падение мощности для сохранения числа рабочих мест требует соответствующего роста трудоемкости: X(t, т) = V(т) exp(/j,(t — т)), где v(т) — трудоемкость на производственной единице в момент ее создания т. Напомним [6], что инвесторы в каждый момент времени выбирают наилучшую из существующих технологий, то есть технологию с наименьшей трудоемкостью V(t), а эта наименьшая трудоемкость со временем уменьшается в силу научно-технического прогресса с постоянным темпом ea(t) > 0 в соответствии c уравнением (4).

Если максимальный возраст мощностей, допускаемых к эксплуатации, обозначить A(t). то суммарная мощность равна

M (t) = f I (т)в-^-г)йт. (5)

Jt-A(t)

Динамика мощностей в силу (5) описывается дифференциально-разностным уравнением

M1 = I (t) — цМ (t) — (1 — Ai ) I (t — A(t)) е-*«, (6)

где dA/dt ^ 1. Последнее условие означает, что мощности, однажды превысившие A(t), демонтируются и в производство не возвращаются, а A(t) является дополнительным управлением.

В соответствии с [3-6] считаем, что используемые трудовые ресурсы L(t) загружаются оптимальным образом, начиная с только что созданных мощностей нулевого возраста с наилучшей технологией (наименьшей трудоемкостью) до мощностей возраста 9(t, L(t)) ^ A(t). так что система уравнений для выпуска Y (t) и труда L(t) определяет выражение для производственной функции:

Y (t) = Î I (т )е-^-т \1т, (7)

Jt-e(t,L(t))

L(t) = Г v (т )I (т )dт. (8)

Jt-e(t,L(t))

Для перехода к интенсивным переменным в выражении для производственной функции (7) - (8) воспользуемся уже введенными обозначениями для доли новых мощностей: a(t) = I(t)/M(t), для средней трудоемкости: x = L(t)/M(t) и для загрузки мощностей:

f (t,x) = Y(t)/M(t). В силу (4) имеем v(т) = v(t)exp(e ¡\ a(s)ds^j. Тогда из (7) - (8) получим параметрическое выражение для производственной функции:

1 pt

f (t,x) = -ГШ M (т )e-«t-T ) dT, (9) M (t) J t-6(t,x)

щ = rnL,x)M (T )a(T )e iT °",d'dT- (10)

Дифференциально-разностное уравнение (6) для суммарной мощности M (t) в интенсивных переменных выглядит следующим образом:

1 Ml = a(t) - д - (l - 'Ш) a (t - At)) M i - m e-M

M(t) dt dt M(t)

Как уже говорилось во введении, численные эксперименты по определению параметров численного представления производственной функции (9) - (10) для ряда стран (см., в частности, [7]) показали, что наибольший возраст мощностей A(t) на интервале времени в несколько десятилетий можно считать фиксированным для каждой страны на своем исторически сложившемся уровне, связанном с международным разделением труда. Поэтому дальнейшие выкладки будут производиться в предположении, что A(t) = A = const.

Тогда дифференциально-разностное уравнение для мощностей с фиксированным максимальным возрастом примет вид

dM(t) = (a(t) - д) M (t) - a(t - A) M (t - A)e-^A (11)

с начальным условием M (t) = ф(t) при -A ^ t ^ 0.

3. Эндогенная производственная функция на режиме

сбалансированного роста с постоянной фондоемкостью

Рассмотрим режим сбалансированного роста с темпом y, в котором коэффициент приростной фондоемкости не меняется: b(t) = b = const.

M (t) = MoeYt, Y (t) = YQeYt, I(t) = IoeYt, C(t) = CoeYt. (12)

Тогда условие a(t) = a = const и (11) дает связь темпа роста 7 с параметрами a, д, A:

Y + Д = a (1 - , (13)

а соотношения (9), (10) дают выражение для производственной функции:

(Y - sa) x

f (t-x) = ТГД 11 -

1

a v(t)

(14)

где темп сбалансированного роста 7 = о, д, А) — неявная функция параметров о, д, А, определяемая в силу (13). Из соотношений (13), (14) непосредственно следует

Утверждение 1. Новая производственная функция на сбалансированном росте (14) с учетом ограничения мощностей по максимальному возрасту А и с фиксированным коэффициентом фондоемкости Ь при А дает производственную функцию с неограниченными по возрасту мощностями (3), полученную в работе [6].

Справедливо также

Утверждение 2. На сбалансированном росте с фиксированным коэффициентом фондоемкости Ь число занятых в экономике трудящихся Ь(Ь) за счет научно-технического

прогресса растет с темпом п = Y — ea, а средний уровень потребления .занятых с темпом С = ea.

Доказательство. Действительно, на режиме сбалансированного роста загрузка суммарных мощностей не меняется, f (t,x) = const, поскольку выпуск Y(t) и суммарные мощности M(t) связаны равенством (1) и в силу (12) растут с одинаковым темпом y. Из (14) следует, что x/v(t) = const. В силу (4) v(t) = v0 exp(—eat). По определению x = L(t)/M(t), поэтому труд L(t) растет медленнее, чем выпуск Y(t):

L(t) = L0e(Y-£a)t. (15)

Из (15), (12) вытекает, что средний уровень потребления

c(t) = C (t)/L(t) = coe£at. (16)

Соотношения (15), (16) есть то, что и требовалось доказать.

Из (13), (14) можно исключить a = (y + №)/ (1 — exp(—(y + jj)A)), представив производственную функцию в виде

1 —

f (t,x) =

1 — ((1 — e-(Y+^) ^ — e) Vfc'

1 — e-(i+v)A

Это выражение для производственной функции в явном виде содержит темп роста y и может быть использовано в анализе «золотого правила накопления» Э. Фелпса.

4. Переходный режим с уменьшающейся фондоемкостью

В вычислительных экспериментах, связанных с идентификацией параметров численного представления производственной функции для ряда стран мира [7, 9], был обнаружен характерный режим роста, в котором мощности и выпуск растут с постоянным темпом, доля новых мощностей не меняется, а коэффициент фондоемкости падает. В этом режиме рост не сбалансирован, доля суммарного потребления растет, а доля накопления падает. Это не привычная магистраль, рассмотренная в предыдущем параграфе, а некоторый переходный режим, видимо, ограниченный по времени.

Рассмотрим этот переходный режим роста, в котором под влиянием научно-технического и социального прогресса коэффициент приростной фондоемкости со временем падает:

b(t) = boe-et, (17)

где в > 0 — темп падения, а b0 — начальное значение коэффициента приростной фондоемкости. При этом суммарная мощность и суммарный выпуск растут с одинаковым постоянным темпом y:

M(t) = MoeYt, Y(t) = YoeYt, (18)

а доля новых мощностей и максимальный возраст мощностей остаются постоянными:

a = = const, A = const. (19)

M(t) ' v ;

Для переходного режима эндогенного роста (17) - (19) справедливо следующее Утверждение 3. Пусть на переходном режиме в замкнутой экономике коэффициент фондоемкости b(t) падает с постоянным темпом в в соответствии с (17), выпуск Y(t) и суммарные мощности M(t) растут с постоянным темпом y в соответствии с (18), доля новых мощностей a и максимальный возраст мощностей A не меняются, кроме того, действует научно-технический прогресс (4). Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Темп роста определяется соотношением y = ф(а, A — д, где ф(а, A) есть единственное решение трансцендентного уравнения 1 — ф/а = exp>(—^A) на интервале ф G (0,а) при естественном условии существования решения A > 1/а.

2. Производственная функция на переходном режиме имеет вид (14), отношение средней трудоемкости к наименьшей: x/v(t) = const, темп роста числа трудящихся, занятых в экономике: п = Y — еа.

3. Доля потребления в выпуске C(t)/Y(t) увеличивается, доля накопления b(t)I(t)/Y(t) уменьшается, а среднее потребление c(t) = C(t)/L(t) растет с темпом, превышающим еа.

Доказательство. Действительно, темп роста y в соответствии с (18), (19) и (11) определяется соотношением (13). Обозначив ф = y + д, из (13) сразу же получим уравнение 1 — ф/а = ехр(-фА), которое имеет единственное положительное решение, если производная левой части этого уравнения больше производной правой части при ф = 0, что дает условие A > 1/а.

Второй пункт утверждения 3 следует из подстановки (18), (19) в параметрическое выражение для производственной функции (9), (10). В результате получим соотношение (14). что позволяет воспользоваться выражением (15) и утверждением 2.

Для доказательства третьего пункта заметим, что из первого равенства в (19) следует, что темп роста новых мощностей I (t) совпадает с темпом роста суммарной мощности M (t), а в силу (17), (18) доля накопления в выпуске падает: b(t)I(t)/Y(t) = (b0I0/Y0) ex.p(—f3t), соответственно, доля потребления C (t)/Y(t) = 1 — b(t)I(t)/Y(t) растет. Среднее потребление на переходном режиме в силу второго пункта определяется соотношением

= f (x/v (t)) — а^в-в ^ ( ) vox/v(t) '

то есть среднее потребление на переходном режиме (при x/v(t) = const) растет быстрее, чем на режиме сбалансированного роста (16). Что и требовалось доказать.

5. Оценка параметров производственной функции по данным российской экономики

Идентификация параметров численного представления производственной функции в реальных условиях была проведена по данным российской экономики [9]. Предполагая, что загружены все мощности до возраста, определяемого реальным выпуском, находился максимальный возраст из загруженных рабочей силой мощностей. Соответствующий объем рабочей силы подсчитывался и сравнивался со статистикой. Параметры выбирались так, чтобы отклонение расчета от статистики было минимальным. При этом для ускорения расчета использовались параллельные вычисления в интерфейсе MPI. Приведем здесь только предварительные результаты идентификации параметров по данным экономики России 1970-2014 гг.: bo = 5.625, в = 0.04025, vo = 0.004725, е = 0.2550, д = 0.03125, A = 25.

Рис. 1. Динамика доли а(Ь) новых мощностей в сравнении с темпом российской экономики

падения мощностей д для

Реальный сектор российской экономики в 1970-2014 гг., как показали численные эксперименты, близок к аналитически исследованному выше переходному режиму с долей новых мощностей a & 0.11 (рис. 1) на интервалах 1970-1990, 2007-2014 гг.

Кроме того, из рис. 1 видно, что доля новых мощностей a(t) на интервале 1991-2006 гг. испытывает падение до «дна», определяемого темпом выбытия мощностей вследствие износа f, а затем рост до «потолка», определяемого некоторым естественным уровнем загрузки мощностей. Подробный анализ соответствующих численных экспериментов и полученных результатов будет представлен в отдельной публикации.

6. Заключение

Идентификация классических производственных функций по данным конкретной экономики в 60-е годы XX в. показала, что рост объемов используемых факторов производства в них не объясняет рост экономики [10]. В результате для объяснения экономического роста стали использовать экзогенные величины или рассматривать двухсекторную модель с секторами производства и образования, учитывающую роль человеческого капитала [10].

В настоящей работе рассмотрена еще одна возможность объяснения экономического роста за счет учета трех экзогенных механизмов технологического прогресса: 1) рост производительности труда на новых мощностях, 2) ограничение возраста использования мощностей, 3) снижение фондоемкости создания новых производственных фондов.

Получено аналитическое выражение для производственной функции на режиме сбалансированного роста и на переходном режиме роста при фиксированном максимальном возрасте мощностей A.

Предложенный в настоящей работе новый переходной режим роста исследован аналитически и численно. На этом режиме коэффициент приростной фондоемкости b(t) уменьшается с постоянным темпом, а доля потребления в выпуске c(t) растет. Уменьшение коэффициента приростной фондоемкости b(t), обнаруженное в численных экспериментах при идентификации параметров производственной функции по данным разных стран, может быть обусловлено разными причинами: 1) научно-технический прогресс, 2) снижение уровня коррупции, 3) увеличение доступности к финансовым ресурсам, 4) структурные изменения в реальном секторе. Это требует дальнейших исследований.

Представлены предварительные результаты идентификации параметров производственной функции для экономики России.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (код проекта № 14-11-00432).

Литература

1. Johansen L. Production functions and the concept of capacity // Recherches recentes sur la fonction de production, Collection. Economie mathematique et econometrie. 1968. V. 2. P. 49-72.

2. Johansen L. Production functions: An integration of micro and macro, short run and long run aspects. Amsterdam: North-Holland publ. co., 1972.

3. Петров А.А., Поспелов И.Г. Системный анализ развивающейся экономики: к теории производственных функций // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1979. № 2. С. 18-27.

4. Shananin A.A. Investigation of a class of production functions arising in the macro description of economic systems. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1984. V. 24, N 6. С. 127-134.

5. Shananin A. A. Study of a class of profit functions arising in a macro description of economic systems. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1985. V. 25, N 1. P. 34-42.

6. Оленев Н.Н., Петров А.А., Поспелов И.Г. Модель процесса изменения мощности и производственная функция отрасли хозяйства // Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических и экологических системах. М.: Наука, 1986. С. 46-60.

7. Olenev N. Economy of Greece: An evaluation of real sector // Bulletin of political economy. 2016. V. 10, N 1. P. 25-37.

8. Макарова М.А., Оленев Н.Н. К модели инвестиционной политики фирм c учетом обучения персонала // VII Московская межд. конф. по исследованию операций (0RM2013). Труды. М.: ВЦ РАН, 2013. Т. 2. C. 83-86.

9. Оленев Н.Н. Эндогенная производственная функция в оценке реального сектора экономики // VIII Московская межд. конф. по исследованию операций (0RM2016), 17-22 октября 2016. Труды. М.: ФИЦ ИУ РАН, 2016. Т. 2. С. 99-100.

10. Барро Р.Дж., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.

References

1. Johansen L. Production functions and the concept of capacity. Recherches recentes sur la fonction de production, Collection. Economie mathematique et econometrie. 1968. V. 2. P. 49-72.

2. Johansen L. Production functions: An integration of micro and macro, short run and long run aspects. Amsterdam: North-Holland publ. co., 1972.

3. Petrov A.A., Pospelov I.G. System analysis of the developing economy: to the theory of production functions. Izvestia of the USSR Academy of Sciences. Techn. Cybern. 1979. N 2. P. 18-27.

4. Shananin A.A. Investigation of a class of production functions arising in the macro description of economic systems. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1984. V. 24, N 6. С. 127-134.

5. Shananin A. A. Study of a class of profit functions arising in a macro description of economic systems. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1985. V. 25, N 1. P. 34-42.

6. Olenev N.N., Petrov A.A., Pospelov I.G. Model of Change Processes of Production Capacity and Production Function of Industry. Mathematical Modelling: Processes in Complex Economic and Ecologic Systems. Ed. A.A. Samarsky, N.N.Moiseev, A.A.Petrov. Moscow: Nauka, 1986. P. 46-60. (in Russian)

7. Olenev N. Economy of Greece: An evaluation of real sector. Bulletin of political economy. 2016. V. 10, N 1. P. 25-37.

8. Makarova M.A., Olenev N.N. To the model of investment policy of firms taking into account the training of personnel. VII Moscow Int. Conf. on operations research (0RM2013). Proceedings. Moscow: Dorodnicyn computing Centre, 2013. V. 2. P. 83-86. (in Russian).

9. Olenev N.N. An endogenous production function in estimation of the real sector of the economy. VIIIth Moscow International conference on operations research (0RM2016). Proceedings. Moscow: FRC CSC RAS, 2016. V. 2. P. 99-100. (in Russian).

10. Barro R.J., Sala-i-Martin X.I. Economic growth, Second Edition. Cambridge, Mass.: The MIT Press, 2003.

Поступила в редакцию 05.07.2017