CC BY
77
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 254-264
ФизикА
УДК 51-74
Программный комплекс по расчету статики и динамики комбинированного нанодвигателя на основе кинезина
А. Б. Вахрушев, И. А. Шестаков, Л. Ю. Федотов, Л. А. Шушков
Аннотация. Разработана математическая модель динамики комбинированного двигателя и биологического нанодвигателя кинезина, на основе данной модели удалось решить задачи нахождения основных энергетических параметров комбинированных нанодвигателей, нахождения коэффициента демпфирования биологического нанодвигателя кинезина и определения нагрузки, соответствующей потере устойчивости статора комбинированного нанодвигателя.
Ключевые слова: комбинированный нанодвигатель, кинезин, микротрубочка.
Нанодвигатели окажут значительное влияние на создание принципиально новых наномашин и наномеханизмов, а также и микромашин. Это связано с тем, что нанодвигатели могут быть приводом различных видов наномашин. Перечислим их: переключатели, насосы, инжекторы, конвейеры, генераторы электрического тока, транспортные машины в жидкости, транспортные машины на поверхности твердого тела [17]. Комбинированный нанодвигатель представляет собой ротор, статор и биологическую пару кинезин-микротрубочка, причем кинезины связаны со статором, а микротрубочка закреплена на роторе (рис. 1). Устройство и работа комбинированного нанодвигателя и биологического нанодвигателя кинезина представлены в работах [2, 3]. По данной работе получено три патента [4, 10, 11]. Для изучения динамики разработанного комбинированного нанодвигателя используется математическое моделирование.
Главные задачи в технологии изготовления - закрепление биологических нанодвигателей в комбинированных нанодвигателях, интеграция комбинированных нанодвигателей в наномашины и наноприборы.
Рис. 1. Комбинированный нанодвигатель на кинезинах
Программный комплекс «Combined Nano Engine» и математическая модель статики и динамики комбинированного нанодвигателя
Сформулирована математическая модель комбинированного нанодвигателя. При расчете статики и динамики разработан программный комплекс «Combined Nano Engine».
Программный комплекс «Combined Nano Engine», реализующий математическую модель задачи, представлен на рис. 2 и состоит из блока подготовки, вычислительного модуля массово-габаритных и энергетических параметров, вычислительного модуля перемещений и деформаций — метод молекулярной динамики, блока согласования.
Блок подготовки:
1) Расчет начальных условий (массово-габаритные параметры);
2) Расчет геометрической структуры ротора (углеродная нанотрубка); 3) Установление констант взаимодействий;
4) Формирование расчетных файлов для вычислительного модуля
МАМБ+УМБ '
Вычислительный модуль энергетических параметров и динамики нанодвигателя: программа МаЙіСАБ.
Вычислительный модуль перемещений и деформаций, метод молекулярной динамики: программа ЫЛМО+УМЭ
Блок согласования
Блок обработки результатов:
1) Создание массивов данных о координатах и скоростях атомов;
2) Создание массивов данных о перемещениях атомов;
3) Анализ напряженно-деформированного состояния статора
Рис. 2. Структура программного комплекса «Combined Nano Engine»
Блок подготовки. Подготовка начальных данных необходима как для дальнейшего расчета энергетических параметров, так и для расчета на деформации и устойчивость. Блок подготовки включает в себя определение массово-габаритных параметров комбинированного нанодвигателя, нахождение параметров атомов и их свойств в системе углеродной нанотрубки. На основе состава атомов определяется структура молекул системы: количество атомов в углеродной нанотрубке, типы связи, значение углов и двугранных углов.
Вычислительный модуль энергетических параметров и динамики нанодвигателя. Для реализации данного модуля используется программа MathCAD для расчета энергетических параметров и визуализации следующих графиков: мощность; удельная мощность; расход топлива по массе, числу молекул и объему АТФ. Динамика кинезина рассматривается с учетом демпфирующей силы, вследствие которой шаг равен 8,3 нм [14].
В первом приближении система, описывающая силу кинезина в зависимости от времени выглядит следующим образом:
кі, і = 0... 0, 005с 10-2к - кі, і = 0, 005... 0, 01с
р(і)Ч-,0-2, ,_г; , (1)
где £ — время; с, к — коэффициент пропорциональности, Н/с.
Определим коэффициент пропорциональности, зная максимальную силу кинезина Ртах = 6 • 10-12Н в момент времени £ = 0, 005 с,
к = ^. (2)
При такой функции силы кинезина, мы получаем энергию,
выделяющуюся при реакции АТФ.
Решим задачу для случая, когда в системе действует демпфирующая сила. Составим дифференциальное уравнение движения
тх = Ы — ах, (3)
где а — коэффициент демпфирования, Нс/м, или кг/с.
В результате решения этого уравнения, получим перемещение, скорость и ускорение
т / - £2 е- т* 1 \
*(*) = аг( -Г — £ — V" + 1Г) , (4)
—2 \ т т /
к
*(*) = - (т‘ — 1 — е-т ‘) ■ (5)
—2
к
х(£) = — (1 — е- т0 . (6)
т
Далее необходимо определить коэффициент демпфирования а в соответствии с перемещением, массой груза и временем движения.
Зададимся значениями перемещения, массы и времени движения груза, и определим а. В соответствии с формулой (4) определим график перемещения кинезина в начальный момент времени (рис. 3). В дальнейшем происходит остановка кинезина. Это первая фаза.
Таким образом, процесс движения кинезина в этом случае протекает в три этапа.
В первой фазе происходит, главным образом, шаг кинезина и перемещение груза на 8,3 нм (рис. 3).
Во второй фазе происходит нарастание силы до максимального значения 6 пН, но вся энергия поглощается демпфирующим элементом. В системе возникают колебания.
В третьей фазе происходит снижение скорости до нуля, и проявляются остаточные колебания, связанные с температурой и броуновским движением.
1
Л' 10 . м чу/
МОЛ с
і 0 2 0 4 0 6 0 а 1 і
Рис. 3. Перемещение кинезина в зависимости от времени при линейном законе изменения движущей силы кинезина
Вычислительный модуль перемещений и деформаций, метод молекулярной динамики. Вычислительный модуль КЛМБ+УМБ используется для расчета конструкции статора на перемещения атомов и деформации. В своих расчетах КЛМБ использует метод молекулярной динамики (формулы 7-10), как наиболее подходящий для данной задачи. Расчетная схема статора представлена в следующем виде: углеродная нанотрубка диаметром 5 нм закреплена вдоль оси с одной стороны, а с другой на нее действует сила от кинезина, распределенная по 96 атомам углеродной нанотрубки (рис. 4-6). Таким образом, на один атом углерода действует сила = 0, 0625 пН.
Основа данного метода — решение дифференциального уравнения движения Ньютона для каждого атома. Здесь моделируемая система — совокупность атомов.
Если система состоит из N атомов, то имеем систему из N векторных уравнений с начальными условиями. Уравнения (7) и (8) — независимые, но необходимо их совместное решение [1, 6, 13]
т = ^,Г(1)), і = 1,2,...,^ (7)
где N — число атомов системы; ті — масса і-го атома; т(Ь)і — текущий радиус-вектор і-го атома; Рі{Ь, г(Ь)) — суммарная сила, действующая на і-ьій атом со стороны других атомов.
Начальные условия
¿о = 0, Ті(і о) = Гіо, ^і(0 = ^і(їо) = ^¿0, і = 1,2,..., N, (8)
Рис. 4. Расчетная схема статора (вид спереди)
Рис. 5. Расчетная схема статора (вид сверху) с приложенной номинальной силой, действующей со стороны кинезина Е = 6 пН
Рис. 6. Сосредоточенные силы, действующие на атомы углерода
где гі0 — начальный радиус-вектор і-го атома; Т/^0, У^і)
начальная и
текущая скорости г-го атома.
Функция Ег(Ь,г(1)) в уравнении (7) — градиент потенциальной энергии
где и(т(1)) — величина потенциальной энергии; г(1) = {г1(£), г2(^),..., (I)}
— потенциальная энергия зависит от взаимного положения всех атомов.
Потенциальная энергия взаимодействия атомов в молекулярной динамике — сумма различных видов взаимодействий [15]
где и — потенциальная энергия химических связей; и — потенциальная энергия валентных углов; !1ф — потенциальная энергия торсионных углов и плоских групп; иьс[,т — потенциальная энергия Ван-дер-ваальсовых сил; ия
— потенциальная энергия электростатического взаимодействия.
Несмотря на то, что существует проблема определения параметров силового поля, метод молекулярной динамики эффективно используется при моделировании наносистем [5, 7, 8, 9, 12, 16]. Преимущества этого метода в следующем: метод относительно прост, удовлетворительная точность результатов при верном выборе параметров поля, прослеживание характеристик каждого атома с течением времени.
Расчет углеродной нанотрубки, нагруженной силой от действия кинезина, методом молекулярной динамики выполнялся для трех случаев расчетной нагрузки.
В первом случае расчетная сила, действующая на атомы углеродной нанотрубки, в 5 раз больше номинальной. Углеродная нанотрубка устойчива, перемещения атомов не превышают 0,3 нм. Во втором случае расчетная сила, действующая на атомы углеродной нанотрубки, в 100 раз больше номинальной. Начинают проявляться заметные перемещения атомов углеродной нанотрубки, но потеря устойчивости не происходит, через 250 пкс форма возвращается в прежний вид и является стабильной. В третьем случае расчетная сила, действующая на атомы углеродной нанотрубки, в 500 раз больше номинальной (рис. 7). Проявляются значительные перемещения атомов до 30 нм, деформации превышают допустимые и происходит потеря устойчивости.
В табл. 1 приведены минимальные, средние и максимальные значения перемещений атомов углеродной нанотрубки, нагруженной соответствующей расчетной нагрузкой, где х — перемещение атома вдоль оси х, у — перемещение атома вдоль оси у, г — перемещение атома вдоль оси г, т — абсолютное перемещение атома.
Блок согласования необходим для обмена данными между вычислительным модулем МаШСАБ и вычислительным модулем КАМБ+УМБ: энергетические параметры влияют на характер деформаций углеродной
(9)
и (т = иь + иь + иф + + ия,
(10)
Рис. 7. Углеродная нанотрубка, нагруженная силой, в 500 раз превышающей номинальную, время 100 пкс
Таблица 1
Средние и максимальные перемещения атомов для 5, 100 и 500 кратного увеличения номинальной силы
Сила, 10-12 Н Бг х Бг у Бг г Бг г Мах х Мах у Мах г Мах г
30 1,269 1,448 0,350 1,502 2,538 2,896 0,699 3,003
600 4,078 5,469 1,515 6,473 8,155 10,937 3,029 12,946
3000 5,936 13,722 4,566 14,004 11,871 27,444 9,132 28,007
нанотрубки (чем больше удельная мощность, тем большие нагрузки воздействуют на углеродную нанотрубку, чем меньше размеры и масса углеродных нанотрубок, тем больше они подвержены деформацию и потере устойчивости).
Блок обработки результатов включает в себя создание массивов данных о координатах и скоростях атомов, массивов данных о перемещениях атомов.
Выводы
Разработана комплексная математическая модель задачи для расчета массово-габаритных и энергетических характеристик комбинированных нанодвигателей и динамики кинезина — биологического нанодвигателя.
Математическая модель динамики кинезина при составлении дифференциального уравнения движения в первом приближении учитывает силу кинезина, меняющуюся линейно и силу торможения, благодаря которой обеспечивается шаг 8,3 нм.
Построена математическая модель задачи — определение перемещений атомов статора под действием расчетной нагрузки со стороны кинезина. Разработан программный комплекс, реализующий математическую модель задачи: блок подготовки, вычислительный модуль MathCAD, вычислительный модуль NAMD + VMD, блок согласования.
Из решения задачи видно, что углеродная трубка может выдерживать нагрузки без потери устойчивости, которые в 100 раз больше номинальных. Таким образом, теоретически двигатель, собранный из углеродных нанотрубок, может надежно работать при удельной мощности 100000 Вт/кг. При 500 кратном увеличении нагрузки углеродная нанотрубка теряет устойчивость, что соответствует экспериментальным данным.
Список литературы
1. Берлин А.А., Балабаев Н.К. Имитация свойств твердых тел и жидкостей методами компьютерного моделирования // Соросовский образовательный журнал. 1997. №11. С.85-92.
2. Вахрушев А.В., Липанов А.М., Шестаков И.А. Комбинированный нанодвигатель на основе кинезина // Химическая физика и мезоскопия. 2008. Т.10, №32. С.237-243.
3. Вахрушев А.В., Шестаков И.А. Исследование и оптимизация молекулярного двигателя / Институт прикладной механики УрО РАН. Ижевск, 2007. 34 с. Деп. в ВИНИТИ 11.01.07, №14-В2007.
4. Вахрушев А.В., Липанов А.М., Шестаков И.А. Нанонасосная система // Патент России №2304001. 2007, Бюл. №22.
5. Морозов А.И. Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Учебное пособие. М.: МИРЭА, 2006. 151 с.
6. Романова Т.А., Краснов П.О., Качин С.В. Теория и практика компьютерного моделирования нанообъектов. Справочное пособие. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2002. 223 с.
7. Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в статистической физике. М.: Наука, 1990. 176 с.
8. Шайтан К.В. Молекулярная динамика белков и пептидов. Учебно- метод. пособие. М.: Ойкос, 2004. 103 с.
9. Шайтан К.В. Конформационная подвижность белка с точки зрения физики // Соросовский Образовательный журнал. 1999. №5. С.8-13.
10. Шестаков И.А., Вахрушев А.В. Молекулярный двигатель // Патент России №22766744. 2006, Бюл. №14.
11. Шестаков И.А., Ва,хрушев А.В. Молекулярный двигатель // Патент России №2312250. 2005, Бюл. №34.
12. Эткинс П. Физическая химия. В 3-х томах, т. 1. М.: Мир, 1980. 584 с.
13. Cagin T., Che J., Qi Y. Computational materials chemistry at the nanoscale // Journal of Nanoparticle Research. 1999. №1. P.51-69.
14. Charles L. Asbury, Adrian N. Fehr, Steven N. Block. Kinesin Moves by an Asymmetric Hand-Over-Hand Mechanism // Science. (2003) V.302. P.2130-2134.
15. Phillips J.C., Braun R., Wang W. Scalable molecular dynamics with NAMD //
Journal of Computational Chemistry. 2005. V.26, №16. P.1781-1802.
16. Rahman A. Correlations in the motion of atoms in liquid argon // Phys. Rev. 1964.
V.136, №2. P.405-411.
17. Wesley R.B., Feringa B.L. Making molecular machines work. Nature Nanotechnology. 2006. V.1, №1. P.25-35.
Вахрушев Александр Васильевич ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, зав. отделом, отдел механики и физико-химии гетерогенных сред, Институт прикладной механики УрО РАН, Ижевск.
Шестаков Игорь Александрович ([email protected]), младший научный сотрудник, отдел механики и физико-химии гетерогенных сред, Институт прикладной механики УрО РАН, Ижевск.
Федотов Алексей Юрьевич ([email protected]), к.ф.-м.н., научный сотрудник, отдел механики и физико-химии гетерогенных сред, Институт прикладной механики УрО РАН, Ижевск.
Шушков Андрей Александрович ([email protected]), к.т.н., научный сотрудник, отдел механики и физико-химии гетерогенных сред, Институт прикладной механики УрО РАН, Ижевск.
Software for calculation of statics and dynamics combined nanomotor based on kinesin
A.V. Vakhrouchev, I. A. Shestakov, A. Yu. Fedotov, A. A. Shushkov
Abstract. A mathematical model of the dynamics of the combined engine and biological nanomotor kinesin, on the basis of this model could solve the problem of finding the key energy parameters for combined nanomotor, finding the damping coefficient of biological nanomotor kinesin and to determine the load corresponding to buckling of composite stator nanomotor.
Keywords: combined nanomotor, kinesin, microtubule.
Vakhrouchev Alexander ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of a department, department of mechanics and physics and chemistry of heterogeneous circles, Institute of Applied Mechanics UB RAS, Izhevsk.
Shestakov Igor ([email protected]), research assistant, department of mechanics and physics and chemistry of heterogeneous circles, Institute of Applied Mechanics UB RAS, Izhevsk.
Fedotov Aleksey ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, research assistant, department of mechanics and physics and chemistry of heterogeneous circles, Institute of Applied Mechanics UB RAS, Izhevsk.
Shushkov Audrey ([email protected]), candidate of technical sciences, research assistant, department of mechanics and physics and chemistry of heterogeneous circles, Institute of Applied Mechanics UB RAS, Izhevsk.
Поступила 21.10.2010
