Программная реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в мелководных акваториях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Программная реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в мелководных акваториях

Е.Е. Дегтярева, Е.А. Проценко, А.Е. Чистяков

Целью работы является моделирование механизмов формирования поля

концентрации взвесей и его пространственно-временной изменчивости на основе

натурных данных и численного моделирования; построение и исследование математических моделей, способных адекватно описывать процессы подъема, переноса и осаждения, а также построение эффективных алгоритмов для описания изменения

концентрации взвесей и транспорта наносов; реализация эффективных численных

методов и алгоритмов в виде проблемно-ориентированного программного комплекса для проведения вычислительного эксперимента.

Исходными уравнениями модели являются:

- уравнение движения водной среды[1-3]:

= - — () + &\{р ) + gi, &у¥ = 0,

р

- уравнение транспорта взвешенных частиц[4-6]:

дС

----+ (V + w0, gradC) = (Б gradC) + ^,

dt

- уравнение транспорта наносов[7-8]:

dH ( Т ^

(l-S-+ div(кть ) = divI к—^^gradH

dt i sin (p0

+ w0C.

где к = rk\P~- h(A тbc) т = Ть —gradH, тъ = aVV.

sin ф0

Здесь C - концентрация взвешенных частиц, V - скорость движения водной среды, w0 - скорость осаждения, Н - глубина водоема, т - напряжение на дне, тЬс - критическое напряжение, D - коэффициент турбулентного обмена, р - плотность водной среды, P -давление, s - пористость грунта, r¡,a - экспериментальные коэффициенты, g - внешняя сила, <р0 - критический угол при котором начинается транспорт наносов, h (x) - функция

Хэвисайда, F - функция, описывающая распределение и мощность источников примесей.

Для аппроксимации модели движения водной среды по временной переменной использовался метод поправки к давлению, применены аддитивные двумерно -одномерные разностные схемы, устойчивость которых исследовалась на основе сеточного принципа максимума. Исходная непрерывная задача была преобразована в систему линейных алгебраических уравнений, которая была решена при помощи построенного проблемно - ориентированного программного комплекса. Для решения сеточных уравнений использован адаптивный попеременно-треугольный итерационный метод [910]. На рис. 1представлены результаты численного моделирования распределения концентрации взвешенного вещества на расчетном интервале 24 ч и 150ч.

Рис.1 - Значение концентрации взвешенного вещества в центральной части расчетной области на расчетном интервале через 24 ч и 150ч

На рис. 3 представлены значения глубины в расчетном интервале 100 ч.

Рис. 2- Значение глубины в расчетном интервале 100 ч

Результаты эксперимента позволяют проанализировать динамику изменения геометрии дна, функции возвышения уровня, образования структур и наносов. Данная математическая модель и разработанный комплекс программ позволяют предсказать динамику изменения рельефа дна, появление морских гряд и кос, их рост и трансформацию, а также прогнозировать изменение поля концентрации в случае выброса от источника.

Выводы. Разработана трехмерная математическая модель для расчета транспорта взвешенного материала применительно к мелководным акваториям, которая в отличие от известных моделей учитывает наиболее полно процессы диффузии-конвекции, подъема, переноса и осаждения взвеси, транспорта наносов, движения водной среды, с учетом турбулентного обмена по вертикальному направлению, а также сложную геометрию дна и береговой линии.

На основе построенных математических моделей и адаптированных к объединенной дискретной модели гидродинамики и транспорта взвесей численных алгоритмов разработан и реализован комплекс программ, обладающий проблемноориентированным интерфейсом и средствами визуализации для численного решения задач транспорта взвешенного материала на языке С++ и проведены на его основе численные эксперименты, результаты которых согласуются с реальными физическими процессами.

Литература

1. Алексеенко Е.В., Сидоренко Б.В., Колгунова О.В., Чистяков А.Е. Сравнительный анализ классических и неклассичнских моделей гидродинамики водоемов с турбулентным обменом// Известия ЮФУ. Технические науки. -2009. №8 (97). - С 6-18.

2. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе// Вычислительные методы и программирование: Новые вычислительные технологии. -2012. - Т.13, №1 - С. 290-297.

3. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Тимофеева Е.Ф., Шишеня А.В. Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов// Математическое моделирование. - 2012. - Т.24, №8, - С. 32-44.

4. Дегтярева Е.Е., Чистяков А.Е. Моделирование транспорта наносов по данным экспериментальных исследований в Азовском море// Известия ЮФУ. Технические науки. -2012. №2 (127). - С 112-118.

5. Сухинов А.И., Дегтярева Е.Е., Чистяков А.Е. Математическое моделирование транспорта донных отложений с учетом гидродинамических процессов// Известия ЮФУ. Технические науки. -2012. №6 (131). - С 57-62.

6. Чистяков А.Е. Трехмерная модель движения водной среды в Азовском море с учетом транспорта солей и тепла// Известия ЮФУ. Технические науки -2009. №8 (97). -С 75-82.

7. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов// Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. №8 (121). - С 32-44.

8. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Двумерная гидродинамическая модель, учитывающая динамическое перестроение геометрии дна мелководных водоемов// Известия ЮФУ. Технические науки. -2011. №8(121). - С 159-167.

9. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Адаптивный модифицированный попеременнотреугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором// Математическое моделирование. - 2012. - Т.24, №1, -С. 3-20.

10. Никитина А.В., Чистяков А.Е., Н.А.Фоменко Н.А. Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды// Инженерный вестник Дона. - 2012, - Т.20, №2, - С. 335-339.