CC BY
54
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 3 (111), 2015
УДК 517.587:519.216 Дата подачи статьи: 23.03.15
DOI: 10.15827/0236-235X.111.113-118
ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ОЦЕНИВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ ПРИ ОГРАНИЧЕННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ РЕСУРСАХ
(Работа выполнена при государственной поддержке Минобрнауки РФ в рамках реализации мероприятий Программы повышения конкурентоспособности СГАУ среди ведущих мировых научно-образовательных центров на 2013-2020 гг.)
С.А. Прохоров, д.т.н., профессор, зав. кафедрой, sp.prokhorov@gmail.com; И.М. Куликовских, к.т.н., доцент, kulikovskikh.i@gmail.com (Самарский государственный аэрокосмический университет им. С.П. Королева (национальный исследовательский университет),
Московское ш., 34, г. Самара, 443086, Россия)
Научные исследования в различных областях науки и техники требуют значительных вычислительных затрат. Более трудоемкие задачи решаются с помощью суперкомпьютеров и вычислительных кластеров, которые позволяют обрабатывать большие массивы данных. С ростом вычислительной мощности мобильных устройств стало возможным их использование для решения указанной задачи, в частности, в качестве клиентов на платформах BOINC и Folding@home. Тем не менее, несмотря на аппаратные преимущества, для повышения эффективности обработки больших массивов данных необходимо адаптировать используемые для вычислений алгоритм: с учетом специфики мобильных устройств, которые накладывают ограничения на используемые ресурсы, такие как время отклика, размер используемой памяти и потребляемая мощность.
Целью данной работы является адаптация численно-аналитического метода оценки коэффициентов Фурье, реализованная с помощью нахождения коэффициентов связи между различными наборами функций в базисе Лагерра. Полученные аналитические соотношения в сравнении с рекуррентными соотношениями позволили снизить временные затраты и размеры используемой памяти на хранение промежуточных наборов значений. Для подтверждения эффективности предлагаемых алгоритмов была проведена серия вычислительных экспериментов в MATLAB Profiler. Адаптированные алгоритмы оценки коэффициентов разложения при ограниченных вычислительных ресурсах были положены в основу программной реализации на реальном мобильном устройстве, которая была протестирована при обработке больших массивов данных.
На основе проведенных тестов сделан анализ затрачиваемых временных ресурсов при варьировании объема исходных данных и количества членов разложения ряда Фурье.
Ключевые слова: ограниченные вычислительные ресурсы, мобильные устройства, численно-аналитические методы, коэффициенты Фурье, функции Лагерра, коэффициенты связи, большие массивы данных.
Современные достижения в области вычислительной техники дают возможность решать ресурсоемкие задачи в различных областях науки при построении моделей и обработке больших массивов данных прежде всего благодаря организации распределенных вычислений с помощью суперкомпьютеров и вычислительных кластеров. В последнее время к ним присоединились и мобильные устройства по причине нарастающей мощности и увеличения времени работы.
При решении ряда трудоемких задач портативные устройства используются не как инструмент для проведения научных вычислений, а скорее как средство взаимодействия с облаком через межплатформенное ПО [1-5]. С другой стороны, для менее затратных в смысле вычислительных ресурсов задач, в том числе при их разбиении [6], становится возможным непосредственное использование мобильного устройства [7-11]. Показателем целесообразности проведения научных вычислений на мобильных платформах является тот факт, что портативные устройства были включены в проекты для организации быстрых распределенных вычислений BOINC [2, 12] и Folding@home [13]. Тем не менее, даже при оптимальном распре-
делении задач [6] разработка мобильных приложений требует учета ограничений на использование вычислительных ресурсов, таких как время отклика, размер используемой памяти и потребляемая мощность [7-11, 14]. Следовательно, алгоритмы, реализуемые на устройстве, должны быть адаптированы согласно предъявляемым требованиям [11, 15, 16]. Таким образом, целью данной работы является адаптация алгоритма оценки коэффициентов Фурье в базисе, необходимых для построения аналитических моделей и проведения научных вычислений, в том числе при обработке больших массивов данных [9, 11].
Методы и алгоритмы
Введем ряд понятий, необходимых для математической постановки задачи. Обозначим Lk(x, у) ортогональную функцию Лагерра k-го порядка, для которой справедливо следующее рекуррентное соотношение: kLk(x, y)=(2k-1-x)Lk-1(x, у)--(k-1)Lk-2(x, у) в Гильбертовом пространстве xeR+ с параметром масштаба уеГ, где Ге{уеГ: у>0}, и с единичной весовой функцией.
113
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 3 (111), 2015
Принимая во внимание J f2 (г)dт < да, пред-
0
ставим оценку функции f (т) в виде конечного
m
ряда: f (т) = ZPkLk (т, у), где коэффициенты Фу-
рье могут быть определены как о (f (т), Lk(т, У))
‘ = ILk (У)||2 '
и llLk (у) = 1/У является нормой базисных функ-
(1)
k=0
ций.
Тогда представим коэффициенты Фурье (1) с помощью численно-аналитической квадратуры, позволяющей получить оценку с заранее заданной точностью [17]:
Р
k
1
ILk (у)||2
X
N-1
xZ
i=0
( т
a j
V т
т 1
Lk (т) dт + b I rLk (т) dт .
г i
(2)
где ah bi являются коэффициентами линейной интерполяции в соответствии с
N-1
f L) = Z( a + b т)81' (3)
/=0
St - индикатор состояния.
Вычислить квадратуру (2) с заданной погрешностью [17] можно при аналитическом определении интегралов JLk (т, у) dт и |тLk (т, у) dт, которые могут быть представлены рекуррентно:
k-1
J Lk (т, у)d т = -2Х| Lv(т, у)d т-
v=0
- - Lk (т, у) + C, у
(4)
{т Lkk у)d т = -(k+k Lk+i (т, у)d т+
+ (2k +1) j L (т, у) dт - k j L-j (т, у) dт + C.
Данные соотношения можно классифицировать как рекурсии второго порядка с экспоненциальным временем затрат. Как общее правило для решения рекурсий можно сохранять все значения в массив вместо выполнения рекурсивной программы, что, в свою очередь, приведет к существенному увеличению требуемой памяти. Таким образом, требуется разработать алгоритм для исключения упомянутых недостатков, а именно, снизить временные затраты и размер требуемой памяти, которые формируют описанные выше требования к разработке мобильного приложения.
Для решения поставленной задачи воспользуемся аппаратом определения коэффициентов связи между базисными функциями, описанным в работах [18-20].
Представим J Lt (т, у) dт как
да
J Lk (т, у) dт = Z Ck,vLv (т, у) + C
v=0
C*,v * = (Lv (т> у) , JLk (^ у) dт) =
где c*,v
2, если k = v;
\k+
4 (-1)+v, если k < v;
0 в противном случае,
(6)
(7)
где Ck v * = -
Ck ,v
ILv у2
Подставляя (7) в (6), получим
. k-1
JLk (т,у)dт = -4Z(-1)k+vLv (ту)- ,e4
v=0 (8)
-2Lk (т, у) + C.
При проведении вычислительных экспериментов опустим рассмотрение (5), так как данное соотношение не предполагает рекурсивных вызовов, а для оценки коэффициентов по формуле (2) при программной реализации алгоритм нахождения Jт Lk (т, у) dт будет зависеть от соответствующего
алгоритма J Lk (т, у) dт.
Вычислительные эксперименты
В рамках данного исследования была проведена серия вычислительных экспериментов с целью проверки адекватности представленных алгоритмов и их соответствия требованиям, предъявляемым к разработке ПО для мобильного устройства.
В таблице представлены результаты, полученные с помощью MATLAB Profiler при значениях k = {5, 10, 15, 20}' у = 1, N = 10 000, Дт = 0,001. Заметим, что N и Дт требуются для формирования матрицы значений при заданном аргументе тзад=10. Параметры, анализируемые при проведении экспериментов, - количество вызовов функции, затраты времени (CPU), размер выделяемой памяти. Эксперименты проводились на ЭВМ с характеристиками: 4GB DDR3, Intel Core i3 CPU 2.53 GHz, ОС Windows 7 (x64).
Для компактного формирования таблицы введем следующие обозначения: Lrec - функция, реализующая алгоритм вычисления L^, у) рекуррентно; intLrec - функция, реализующая алгоритм вычисления JLk (т,у) dт рекуррентно; Lcon,
intLcon - соответствующие функции для вычисления указанных характеристик с помощью коэффициентов связи и с сохранением значений.
Как видно из таблицы, алгоритмы с реализацией связанных коэффициентов позволяют существенно снизить затрачиваемые временные ресурсы за счет исключения рекурсии, однако повышают затраты памяти, но незначительно.
114
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 3 (111), 2015
Результаты вычислительных экспериментов
The results of the conducted computational experiments
Алгоритм Количество вызовов Затраты времени, с Затраты памяти, Кб
ar- il L/i
intLrec 32 0,011 0
Lrec 108 0,007 0
intLcon 1 0,012 184
Lcon 1 0,009 184
k = 10
intLrec 1024 0,436 192
Lrec 10458 0,388 192
intLcon 1 0,015 1212
Lcon 1 0,011 1212
k = 15
intLrec 32768 36,004 248
Lrec 908896 34,434 248
intLcon 1 0,019 2204
Lcon 1 0,015 2204
k = 20
intLrec 1048576 3004,766 584
Lrec 76179354 2967,342 584
intLcon 1 0,051 2236
Lcon 1 0,045 2236
При использовании интерполяционных формул (3) более высокого порядка необходимо создать алгоритм для вычисления коэффициентов
связи для общего случая cnk v * = (I XLk (т у) dх
Lv (т у)) > n eN, что является дальнейшим направлением данных исследований.
Таким образом, при создании и тестировании программной реализации на базе разработанных алгоритмов проводился анализ временных затрат как более критичного показателя на реальном мобильном устройстве при изменении параметров m и N.
Программная реализация
Созданные и проанализированные алгоритмы для вычисления функций Lrec, intLrec, Lcon, int-Lcon были представлены как фрагменты кода на языке Java для реализации на мобильном устройстве Nexus 7 с характеристиками: Nvidia Tegra 3, 1GB DDR, четырехъядерный CPU 1200 MHz, ОС Android v. 4.4.1.
# рекуррентные соотношения public static double recurrentFunctionLaggera (double point, double gamma, int k) { if (k == 0) {
return Math.exp(-gamma * point / 2);
}
if (k == 1) {
return Math.exp(-gamma * point / 2) * (1 - gamma
* point);
}
return (2 * k - 1 - gamma * point) * recurrentFunctionLaggera (point, gamma, k - 1) / k - (k -1) * recurrentFunctionLaggera (point, gamma, k - 2) / k;
}
public static double recurrentIntegral1 (double point, double gamma, int k) { if (m == 0) {
return -2 * Math.exp(-gamma * point / 2) / gamma;
}
double tmp = 0;
tmp += -2 * recurrentFunctionLaggeraPoint(point, gamma, k) / gamma;
for (int i = m - 1; i >= 0; i--) {
tmp += -2 * recurrentIntegral1(point, gamma, i);
}
return tmp
}
# соотношения с коэффициентами связи
public static double basicIntegral1(double point, double gamma, int k) {
double[] functionLaggera = basicFunctionLaggera(point, gamma, k); double result = 0;
for (int v = 0; v < functionLaggera.length; v++) { result += Math.pow(-1, k + v) * functionLaggera[v];
}
result *= -4 / gamma;
result -= -2 * functionLaggera[functionLaggera.length - 1] / gamma; return result;
}
public static double[] basicFunctionLaggera(double point, double gamma, int k) {
double[] result = new double[k + 1]; result[0] = Math.exp(-gamma * point / 2); if (k == 0) { return result;
}
result[1] = Math.exp(-gamma * point / 2) * (1 -gamma * point);
for (int i = 2; i < result.length; i++) {
result[i] = (2 * i - 1 - gamma * point) * result[i - 1]
/ i - (i - 1) * result[i - 2] / i;
}
return result;
}
Разработанная программная реализация в рамках пространственной схемы взаимодействия объектов [21] выполняет следующие задачи [22]:
- загрузка исходного набора данных;
- расчет коэффициентов Фурье (2) согласно каждому из анализируемых алгоритмов (4) и (7);
- сохранение результатов работы программы в файл;
- построение графических зависимостей с анализом временных затрат.
Следует заметить, что анализ погрешности находится за рамками проводимых в данной работе исследований, направленных, в первую очередь, на улучшение вычислительных возможностей ал-
115
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 3 (111), 2015
горитмов без потери точности. Таким образом, при проведении тестовых испытаний программной реализации будем варьировать объем исходных данных и количество членов разложения ряда Фурье при одинаковых условиях, имея в виду некоторую заданную этими параметрами погрешность.
Для удобства восприятия полученных результатов на рисунках 1 и 2 представлены фрагменты зависимостей, полученных на основе результатов тестирования программы при обработке больших
7000 6000 5000 с 4000 S 3000 2000 1000 0 2
1 Соотноше коэффици связи Рекурреш соотноше ния с
ентами / /
ные ия /
/
5 12 5 22 -5 32 5 42 5 N
а)
140 120 100 о 80 S +J' 60 40 20
1 _ Соотноше коэффици связи ния с
ентами А /
\
V
25 125 225 325 425 N
б)
Рис. 1. Фрагмент графической зависимости затрат времени от объема данных N (т = 10)
Fig. 1. The elapsed running time to process bits of big data sets varying the volume of data N (m = 10)
наборов данных. Следует отметить, что на каждом из рисунков график, расположенный ниже (б), является представлением зависимости временных затрат для соотношений с коэффициентами связи, которая слабо различима на графике, расположенном выше (а).
Анализ приведенных зависимостей показывает, что использование квадратуры, включающей соотношения с коэффициентами связи, при оценке коэффициентов разложения позволяет значительно снизить временные затраты на вычисление коэффициентов разложения, и при увеличении объема данных и числа членов ряда Фурье получаемое преимущество возрастает.
Таким образом, в результате проведенных исследований были созданы эффективные алгоритмы для оценки коэффициентов разложения Фурье в базисе Лагерра, основанные на определении коэффициентов связи между базисными функциями для представления неопределенных интегралов, которые в последующем использовались при вычислении квадратуры. Как показали результаты вычислительных экспериментов, созданный алгоритм intLcon позволяет снизить временные затраты за счет исключения рекурсии при k = 10,
25000 20000 15000 о S 10000 5000 0 1
1 1 Соотношения с коэффициентами связи Рекуррентные
/ / /
соотно шения /
/ /
3 5 7 9 11 m
а)
100 80 60 о S 40 20 0 1
1 1 1 Соотношения с
коэффи связи циентами
3 5 7 9 11 m
б) Рис. 2. Фрагмент графической зависимости затрат времени от числа коэффициентов m (N = 500) Fig. 2. The elapsed running time to process bits of big data sets varying the number of coefficients m (N = 500)
N = 10 000 в 29 раз, при k = 20, N = 10 000 в 1895 раз, и в дальнейшем при увеличении порядка данное преимущество возрастает по сравнению с использованием intLrec. Для проведения исследований в условиях ограниченных ресурсов была создана программная реализация на мобильной платформе и проведены тестовые испытания, которые выявили преимущества intLcon по временным затратам при m = 10, N = 500 в 46 раз. Таким образом, с учетом требований, предъявляемых к разработке мобильных приложений, алгоритм, реализованный через расчет коэффициентов связи, и его программная реализация целесообразны для анализа данных через оценку коэф-
116
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 3 (111), 2015
фициентов Фурье при ограниченных вычислительных ресурсах.
Литература
1. Fernando N., Loke S.W., Rahayu W. Mobile cloud computing: A survey. Future Generation Computer Systems, 2013, no. 1 (29), pp. 84-106.
2. Smaoui M., Garbey M. Improving volunteer computing scheduling for evolutionary algorithms. Future Generation Computer Systems, 2013, no. 1 (29), pp. 1 -14.
3. Shiraz M., Sookhak M., Gani A., Shah S.A.A. A study on the critical analysis of computational offloading frameworks for mobile cloud computing. J. of Network and computer applications, 2015, vol. 47, pp. 47-60.
4. Liu J., Ahmed E., Shiraz M., Gani A., Buyya R., Qureshi A. Application partitioning algorithms in mobile cloud computing: Taxonomy, review and future directions. J. of Network and computer applications, 2015, vol. 48, pp. 99-117.
5. Калабин А.Л., Артемов И.Ю. Программный комплекс автоматизации процедуры сбора данных // Программные продукты и системы. 2013. № 2. С. 137-141.
6. Киселев Е.А., Аладышев О.С. Алгоритм эффективного размещения программ на ресурсах многопроцессорных вычислительных систем // Программные продукты и системы. 2012. № 4. С. 18-25.
7. Nirjon S., Dickerson R., Stankovic J., Shen G., Jiang X. sMFCC: Exploiting Sparseness in Speech for Fast Acoustic Feature Extraction on Mobile Devices - a Feasibility Study. Proc. 14th Workshop on Mobile Computing Systems and Applications, NY, ACM, 2013, no. 15; doi: 10.1145/2444776.2444787.
8. Rifa-Pous H., Herrera-Joancomarti J. Computational and Energy Costs of Cryptographic Algorithms on Handheld Devices. Future Internet, 2011, no. 3, pp. 31-48.
9. Kargupta H., Park B.-H. A Fourier spectrum-based approach to represent decision trees for mining data streams in mobile environments. Knowledge and Data Engineering, IEEE Transactions on, 2004, no. 2 (16), pp. 216-229.
10. Haddad A.W., Huange S., Boutin M., Delp E.J. Detection of symmetric shapes on a mobile devices with applications to automatic sign interpretation. Proc. of SPIE, 2012, vol. 8304; doi: 10.1117/12.908815.
11. Kulikovskikh I.M., Prokhorov S.A. Some lightweight algorithms for scientific computing in mobile technologies. Proc. 8th International Conference on Applied Mathematics and Scientific Computing, Sibenik, Croatia, 2013, pp. 40-41.
12. BOINC on Android (2012). URL: http://boinc.berkeley. edu/trac/wiki/AndroidBoinc (дата обращения: 18.02.2015).
13. New mobile app from Stanford and Sony lets your phone
conduct research on breast cancer and Alzheimer's while it charges (2015). URL: http://news.stanford.edu/news/2015/january/sony-
app-pande-011215.html (дата обращения: 18.02.2015).
14. Окунев Б.В. Энергосберегающий алгоритм работы мобильных устройств с беспроводными самоорганизующимися wi-fi-сетями (ad-hoc) // Программные продукты и системы. 2013. № 2. С. 198-201.
15. Захаров В., Мостяев А. Особенности переноса приложений на мобильные платформы // Программные системы и инструменты. 2014. № 15. C. 16-24.
16. Vasin Yu.G., Zherzdev S.V., Egorov A.A. Mobile Geoinformation system // Pattern Recognition and Image Analysis. 2009, no. 2 (19), pp. 342-348.
17. Прохоров С.А., Куликовских И.М. Численно-аналитический подход к вычислению интегралов при построении ортогональных моделей // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та: Сер. Физ.-мат. науки. 2009. № 2 (19). С. 140-146.
18. Askey R. Orthogonal expansions with positive coefficients, Proc. Amer. Math. Soc., 1965, no. 16, pp. 1191-1194.
19. Ahmed H.M. Recurrence relations approach for expansion and connection coefficients in series of classical discrete orthogonal polynomials. Integral Transforms and Special Functions, 2009, no. 1 (20), pp. 23-34.
20. Doha E.H., Ahmed H.M. Efficient algorithms for construction of recurrence relations for the expansion and connection coefficients in series of quantum classical orthogonal polynomials. J. of Advanced Research, 2010, no. 1 (3), pp. 193-207.
21. Прохоров С.А., Куликовских И.М. Создание комплекса программ на основе пространственной схемы взаимодействия объектов // Программные продукты и системы. 2012. № 3. С. 5-8.
22. Куликовских И.М., Прохоров С.А., Целищев Д.В. Мобильное приложение для анализа коэффициентов разложения в условиях ограниченных вычислительных ресурсов. Свид. о гос. регистр. прогр. для ЭВМ от 08.09.14 г. Рег. № 2014619047.
DOI: 10.15827/0236-235X.111.113-118 Received 23.03.15
THE SOFTWARE IMPLEMENTATION OF FOURIER COEFFICIENTS ESTIMATION WITH LIMITED COMPUTATIONAL RESOURCES
(This work was supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation within the Program of increasing the competitiveness of SSAU among the world’s leading scientific and educational centers for 2013-2020) Prokhorov S.A., Dr.Sc. (Engineering), Professor, Head of Chair, sp.prokhorov@gmail.com;
Kulikovskikh I.M., Ph.D. (Engineering), Associate Professor, kulikovskikh.i@gmail.com (Samara State Aerospace University, Moskovskoe Highway 34, Samara, 443086, Russian Federation) Abstract. Carrying out a scientific research in different areas requires huge amounts of computing power. Moreover, computationally demanding tasks are assumed to have access to powerful servers and computing clusters and are expected to support handling big data sets. On the other hand, mobile devices have become increasingly powerful, that makes it possible to employ them in large-scale data processing, particularly, for volunteer computing like BOINC and Folding@home. Nevertheless, despite the advances in hardware, it is important to improve computational algorithms taking into account the following constraints which are determined by mobile devices characteristics: long response time, limited memory and battery life. The main purpose of this research is to create the algorithms to estimate Fourier coefficients according to these minimal requirements. To attain the aim, we employed connection coefficients method to work out specific relations for continuous Laguerre functions. In comparison with the corresponding recurrence relations, which entail an enormous computational cost, the proposed analytical relations require less computational resources to produce results (in particular, time and space). To support the theoretical results, we conducted a series of computational experiments using MATLAB Profiler. The findings of this research present the software implementation of Fourier coefficients estimation to operate with limited computational resources and the results of the mobile application tested on a device. Based on these tests, we analysed the elapsed running time to process big data sets varying the volume of data and the number of Fourier coefficients.
117
Программные продукты и системы /Software & Systems
№ 3 (111), 2015
Keywords: limited computational resources, mobile devices, analytical- numerical methods, Fourier coefficients, Laguerre functions, connection coefficients, big data sets.
References
1. Fernando N., Loke S.W., Rahayu W. Mobile cloud computing: A survey. Future Generation Computer Systems. 2013, no. 1 (29), pp. 84-106.
2. Smaoui M., Garbey M. Improving volunteer computing scheduling for evolutionary algorithms. Future Generation Computer Systems. 2013, no. 1 (29), pp. 1-14.
3. Shiraz M., Sookhak M., Gani A., Shah S.A.A. A study on the critical analysis of computational offloading frameworks for mobile cloud computing. J. of Network and computer applications. 2015, vol. 47, pp. 47-60.
4. Liu J., Ahmed E., Shiraz M., Gani A., Buyya R., Qureshi A. Application partitioning algorithms in mobile cloud computing: Taxonomy, review and future directions. J. of Network and computer applications. 2015, vol. 48, pp. 99-117.
5. Kalabin A.L., Artemov I.Yu. Automated software system of data collection procedures. Programmnye produkty i sistemy [Software & Systems]. 2013, no. 2, pp. 137-141 (in Russ.).
6. Kiselev E.A., Aladyshev O.S. An efficient application mapping algorithm for multiprocessor systems. Programmnye produkty i sistemy [Software & Systems]. 2012, no. 4, pp. 18-25 (in Russ.).
7. Nirjon S., Dickerson R., Stankovic J., Shen G., Jiang X. sMFCC: Exploiting Sparseness in Speech for Fast Acoustic Feature Extraction on Mobile Devices - a Feasibility Study. Proc. of the 14th Workshop on Mobile Computing Systems and Applications. NY, ACM Publ., 2013, no. 15.
8. Rifa-Pous H., Herrera-Joancomarti J. Computational and Energy Costs of Cryptographic Algorithms on Handheld Devices. Future Internet. 2011, no. 3, pp. 31-48.
9. Kargupta H., Park B.-H. A Fourier apectrum-based approach to represent decision trees for mining data streams in mobile environments. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering. 2004, no. 2 (16), pp. 216-229.
10. Haddad A.W., Huange S., Boutin M., Delp E.J. Detection of symmetric shapes on a mobile devices with applications to automatic sign interpretation. Proc. of SPIE. 2012, vol. 8304.
11. Kulikovskikh I.M., Prokhorov S.A. Some lightweight algorithms for scientific computing in mobile technologies. Proc. 8th Int. Conf. on Applied Mathematics and Scientific Computing. Sibenik, Croatia, 2013, pp. 40-41.
12. BOINC on Android. 2012. Available at: http://boinc.berkeley.edu/trac/wiki/AndroidBoinc (accessed February 18, 2015).
13. New mobile app from Stanford and Sony lets your phone conduct research on breast cancer and Alzheimer's while it charges. 2015. Available at: http://news.stanford.edu/news/2015/january/sony-app-pande-011215.html (accessed February 18, 2015).
14. Okunev B.V. Power saving algorithm for mobile devices with a wireless self-organizing android wi-fi networks (ad-hoc). Programmnye produkty i sistemy [Software & Systems]. 2013, no. 2, pp. 198-201 (in Russ.).
15. Zakharov V., Mostyaev A. Specific features of transferring applications to mobile platforms. Programmnye sistemy i instrumenty [Software Systems and Tools]. 2014, no. 15. pp. 16-24 (in Russ.).
16. Vasin Yu.G., Zherzdev S.V., Egorov A.A. Mobile Geoinformation system. Pattern Recognition and Image Analysis. 2009, no. 2 (19), pp. 342-348.
17. Prokhorov S.A., Kulikovskikh I.M. Numerical-analytical approach to integrals at construction of orthogonal models. Vestnik Samarskogo gos. tekhnich. univ. Ser. Fiziko-matematicheskie nauki [Journ. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.]. 2009, no. 2(19), pp. 140-146 (in Russ.).
18. Askey R. Orthogonal expansions with positive coefficients. Proc. Amer. Math. Soc. 1965, no. 16, pp. 1191-1194.
19. Ahmed H.M. Recurrence relations approach for expansion and connection coefficients in series of classical discrete orthogonal polynomials. Integral Transforms and Special Functions. 2009, no. 1 (20), pp. 23-34.
20. Doha E.H., Ahmed H.M. Efficient algorithms for construction of recurrence relations for the expansion and connection coefficients in series of quantum classical orthogonal polynomials. J. of Advanced Research. 2010, no. 1 (3), pp. 193-207.
21. Prokhorov S.A., Kulikovskikh I.M. Creation of software on the basis of spatial object interaction diagram. Programmnye produkty i sistemy [Software & Systems]. 2012, no. 3, pp. 5-8 (in Russ.).
22. Kulikovskikh I.M., Prokhorov S.A., Tselishchev D.V. Mobilnoe prilozhenie dlya analiza koeffitsientov razlozheniya v usloviyakh ogranichennykh vychislitelnykh resursov [A Mobile Application to analyse Fourier Coefficients in Demanding Computational Tasks]. Patent PF, no. 2014619047, 2014 (in Russ.).
118
