Программная реализация и особенности модели Блэка-Литтермана для управления портфелем инвестора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информационные технологии Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачемского, 2010, 3(1), с. 200-206

УДК 519.863:336.714

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИ БЛЭКА-ЛИТТЕРМАНА ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ИНВЕСТОРА

© 2010 г. И.Б. Мееров, А.С. Никонов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского itlab.fma@cs .vmk.unn.ru

Поступила в редакцию 10.03.2010

Рассматривается перспективная модель Блэка-Литтермана, применяемая для определения оптимальной стратегии поведения инвестора на финансовых рынках. На конкретных примерах демонстрируются достоинства и недостатки модели. Основным результатом авторов является эффективная программная реализация на современных многоядерных вычислительных архитектурах.

Ключевые слова: финансовая математика, финансовые рынки, оптимизация, управление портфелем инвестора, модель Блэка-Литтермана, высокопроизводительные вычисления.

Введение

В настоящей работе рассматривается одна из актуальных задач финансовой математики -управление портфелем инвестора. Широко применяемая при решении данной задачи модель Марковица [1] имеет ряд недостатков. В частности, в литературе отмечается ее нестабильность, вызванная большими отклонениями результатов расчетов при небольших изменениях входных параметров [2]. Основываясь на модели Марковица, Ф. Блэк и Р. Литтерман в 90-х годах ХХ века разработали новую модель [3], учитывающую гипотезу рыночной эффективности и модель САРМ, которая позволяет описать взаимосвязь между риском и ожидаемой доходностью актива [4-6]. Основным плюсом модели Блэка-Литтермана является возможность учета экспертных оценок. Ведущими финансовыми учреждениями модель признается важным инструментом в процессе управления портфелем инвестора [7]. Вместе с тем некоторые исследователи, в частности П. Дуст (Р. Doust), указывают на определенные недостатки оригинальной модели и предлагают методы ее улучшения [8-10]. В настоящей работе проводится анализ модели и ее применимости, предпринимается попытка воспроизвести результаты экспериментов П. Дуста на других исходных данных. Основной целью работы является эффективная программная реализация основных этапов процесса моделирования для расчета на современных многоядерных процессорах.

Модель Марковица

Рассмотрим модель Марковица [1] для решения задачи оптимизации портфеля активов. Инвестор выбирает портфель, состоящий из n рисковых активов. Выбор заключается в определении

вектора весов w = (Wj,...,wn) , где каждый вес

wi представляет долю актива i в портфеле, причем

N

^ Wj = 1. Предположим, что случайный вектор

1=1

доходностей R = (Rln) имеет математическое ожидание ^ = (^,...,^n) и матрицу ковариаций Z = (оу) є R nxn , а у = E (( Rj - ^ г-) x x (Rj -ц j)). Тогда ожидаемая доходность

T 2 Т

портфеля ц = w ц, а ст = w Zw - мера риска. Сформулируем оптимизационную задачу с целью максимизации ожидаемой доходности и

минимизации риска, положив e = (1,...,1) :

T T

min(-p, w + 5- w Ew)

w

T

w Є = 1.

Эта модель позволяет найти компромисс между риском и доходностью, минимизируя функцию полезности, где параметром является рыночная премия за риск (risk premium) - S. На практике для заранее выбранного рынка применяется калибровка S на основе исторических данных [11].

Модель Блэка-Литтермана

Для более адекватной оценки доходности активов может быть применена модель Блэка-Литтермана [3]. Сначала для этого оценивается равновесная доходность активов в соответствии с моделью САРМ [11], которая отражает уровень капитализации каждого актива:

П =

\Т

1Ж п = (П1п„ )

Z - матрица ковариаций, а 5 =

mkt ’

равновесная доходность, E(RM ) - R f

2

aM

премия за риск, wmUt - рыночный портфель1, т

М) = ^ - доходность рыночного

портфеля, вычисленная для средней исторической доходности активов ц, о2м - дисперсия рыночного портфеля, Я/ - величина безрисковой процентной ставки. Величины ц и Е имеют тот же смысл, что и в модели Марковица. Величина 5 калибруется на основе исторических данных для конкретного рынка. Все величины приведены к годовым значениям.

Далее значение истинной доходности цБь предполагается неизвестным, но принимается следующая оценка [11]:

П = ИБЬ + е П ’ е П ~ N(°т^),

д = Рцвь + гч, гч ~ N(0,0), Р е Якхп,

Пе Я к хк,

-1

Q T — + PT,Pt

[q - РП ].

Здесь т - эвристический параметр, Р - матрица экспертных оценок (взгляды инвестора; каждая строка матрицы Р определяет состав некоторого подпортфеля2), # - прогнозируемая доходность портфелей из Р, матрица О определяет уровень доверия к взглядам инвестора. Для задания матрицы О применим подход, часто используемый на практике. В соответствии с принципами средне-дисперсионного анализа Марковица,

т

искомые дисперсии будут равны рЕрг- , где

р - г-я строка матрицы Р, тогда П = diag(рЕргг). Далее строится следующая оптимизационная задача [12]:

шт(- ™ + $'М>Т^)

w

Т 1

ж е = 1 ,

Л'ш > Ь.

Матрица A и вектор b задают ограничения на структуру портфеля.

Модель Блэка-Литтермана, описанная выше, позволяет построить оптимальный портфель, который отражает взгляды инвестора.

Численная оптимизация

При использовании модели Блэка-Литтермана для решения задачи управления портфелем инвестора необходимо найти минимум функционала, представляющего собой квадратичную функцию. Рассмотрим следующую постановку задачи [12]:

т 1 t mm c x + — x Qx ,

X 2

Ax > b.

Будем использовать метод внутренней точки [12, 13] для ее решения.

Заметим, что в исходной задаче матрица Q симметрична (матрица ковариаций).

Избавимся от ограничений-неравенств за счет введения дополнительных переменных, переходя к следующей задаче:

min cTx +1 xTQx - log Wj,

X,W 2 j

Ax - w = b.

Рассмотрим функцию Лагранжа:

f (x, w, y) = cT x + — x T Qx-ц^ logwi +

2 i

T

+ y (b - Ax + w).

Запишем условия оптимальности первого порядка для функции Лагранжа. После всех преобразований получим редуцированную систему Каруша-Куна-Такера (Reduced KKT System) [12, 13] для нахождения шага метода:

- Q

A

A1 Y-1W

ГДх ^

1АУ у

f T ^

c - A y + Qx b - Ax + ^Y _1 e

Вычислительная схема

Для выполнения эксперимента необходима историческая информация (цены закрытия и рыночная капитализация активов за выбранный промежуток времени [0, 7], где Т - момент формирования портфеля). Эксперимент включает в себя следующие действия:

1. Выбор активов, которые следует включить в портфель. Производится на основе опыта инвестора.

2. Вычисление средней доходности выбранных активов ц и матрицы ковариаций Z по историческим данным на промежутке времени [0, 7]

3. Задание экспертных оценок и ограничений на структуру портфеля. Вычисление пара*

метров модели Блэка-Литтермана ц tL ,8 .

4. Решение оптимизационной задачи для нахождения оптимального в некотором смысле портфеля.

Результатом решения задачи является вектор весов w, в соответствии с которым формируется портфель.

Метод М онте-Карло для повышения «надежности» выбора портфеля

М одель Блэка-Литтермана оперирует реальными историческими данными, поэтому при оценивании входной информации с неизбежностью возникают статистические ошибки. С целью уменьшения этих ошибок в отношении задачи управления портфелем инвестора используются различные техники [11]. Рассмотрим, в частности, метод Монте-Карло.

В соответствии с описанной выше вычислительной схемой определяется оптимальный в некотором смысле портфель W . Далее применяется метод Монте-Карло:

1. М оделирование K значений ожидаемой доходности активов по многомерной функции

распределения R ~N(^, тЕ), т << 1, i = 1...K. Получение новых ковариационных матриц и векторов усредненных доходностей ^'.

2. Пересчет входных параметров модели

Блэка-Литтермана на основе ц и , полученных на предыдущем шаге.

3. Решение K оптимизационных задач с целью нахождения множества оптимальных в некотором смысле портфелей w', 1 = 1 ...K.

4. Н ахождение усредненного портфеля:

1 к

W =-----^ w .

K +110

Параллельная реализация в системах с общей памятью

Программная реализация выполнена на языке C++ с использованием математической библиотеки Intel MKL 10.0 и компилятора Intel C/C++ Compiler for Windows 11.0. Использование метода М онте-Карло обусловило применение «внешней» схемы распараллеливания - решаемые оптимизационные задачи запускаются

на отдельных ядрах по мере их освобождения. Эксперименты на вычислительной системе, со-держапей 8 ядер (2х Ше1 Хеоп Е5520 - 4 ядра, 2.27 ГГц), показали масштабируемость, близкую к линейной.

,1---------------------------------г

2 4 8

Числоядер

Рис. 1. Программная реализация модели Блэка-Литтермана с использованием метода Монте-Карло

Недостатки модели Блэка-Литтермана

Модель Блэка-Литтермана активно исследуется по всему миру. В процессе задействованы не только академические, но и коммерческие организации (Банк России, Королевский банк Ш отландии - RBS и др.). В частности, специалистами RBS (Р. Doust) сформулированы и обнаружены недостатки модели, а также методы их устранения, подкрепленные некоторыми экспериментальными данными. В настоящей работе мы проверили предложенные в RBS методы на других данных. В совокупности с экспериментами RBS наши тесты показывают, что предложения RBS существенно улучшают модель, приближая ее к практическому применению. Рассмотрим вопрос подробнее.

Наиболее абстрактными и сложными для понимания параметрами модели являются т -эвристический масштабирующий параметр и матрица £, задающая уровень доверия к взглядам инвестора. Вокруг них сосредоточены основные проблемы, которые заключаются в следующем [8-10]:

1. Вообще говоря, параметр т задается произвольно, а его выбор заметно влияет на перераспределение активов.

2. Как и обычная модель Марковица, модель Блэка-Литтермана обладает потенциальной нестабильностью из-за необходимости об-

Q т

ращения матрицы-------+ РЪР . Нестабильность

т

возникает, т.к. результат цвь становится очень

чувствительным к входным данным, а также к изменению вектора q - РП.

3. При совпадении прогнозируемой доходности одного из подпортфелей, представленных в P, с равновесной рыночной доходностью (3i е{1,..., n}/qt = РПt) модель дает различные результаты при включении, а также при исключении данного взгляда из матрицы P.

4. Включение или исключение взглядов инвестора на поведение определенных активов влияет не только на перераспределение весов этих активов, но и на изменение весов во всем портфеле. Это негативная особенность, в частности, из-за увеличения транзакционных издержек при работе на реальных рынках.

Способ решения этих проблем основан на Q T

замене матрицы--------ьРЕР на подходящую

Т

диагональную матрицу 0. Тем самым мы избавляемся от влияния взглядов инвестора друг на друга, а также обеспечиваем численную устойчивость операции обращения матрицы. Тогда результирующая формула принимает следующий вид:

fibl =П + ЪРТ©-1[q - РП],

где 0 - диагональная матрица дисперсий каждого подпортфеля из Р, 0 = diag( p^Lpf),

i = 1,...,n . При использовании полученной формулы остается открытым вопрос - насколько близок получаемый портфель к портфелям, лежащим на эффективной границе Марковица. Ответ на этот вопрос дает коэффициент Шарпа, который определяется по следующей формуле для любого портфеля w:

и т w

Sharpe ratio = , - .

VwT Ew

В окружении, где инвестор может брать денежные средства в долг в количестве, определяемом только его склонностью к риску, эффективная граница Марковица - прямая, нормаль к которой дает максимально возможный коэффициент Шарпа, поэтому расстояние между полученным решением и границей Марковица определяется разностью между коэффициентом Шарпа решения и максимально возможным значением этого коэффициента.

Экспериментальная часть

Основная цель эксперимента - рассмотреть процесс применения модели Блэка-Литтермана

на практике, вывить недостатки, описанные выше, а также найти решение задачи, получаемое при введении новой формулы.

Для составления портфеля были выбраны наиболее значимые мировые индексы, отражающие динамику развития экономики в различных регионах - Америке, Европе и Азии - за период 1 декабря 2005 г. - 1 ноября 2009 г.

В табл. 1, представленной ниже, ишКт отражает значение рыночной капитализации за весь период. Стандартное отклонение а приведено к среднегодовым значениям с помощью умножения на V250 . Матрица Е вычислена по значениям дневных доходностей индексов и также приведена к среднегодовому значению. Следовательно, равновесная рыночная доходность П = 5Е"№ также является среднегодовой.

Таблица 1

Индекс Wmkt, % CT, % П, %

DAX 0.10 26.42 1.12

CAC40 1.26 27.18 5.41

FTSE100 12.45 25.01 11.59

SSE Shanghai 33.54 34.55 46.35

JKSE Jakarta 8.28 28.34 15.69

AORD 8.15 22.44 7.08

IBOVESPA Sao Paolo 0.23 35.85 4.07

IPC Mexico 1.25 27.79 -2.59

S&P500 Index 34.75 26.91 31.97

Для определения премии за риск для данного рынка используется формула

Е (Км ) — К /■ т

5 =-------г-----. Матрица О = diag(pг■Epг■ ) -

а м

на главной диагонали - дисперсии подпорт-фелей, представленных в Р. Будем менять значение т для иллюстрации существенной зависимости получаемого портфеля от этого произвольного параметра.

Для выявления проблем модели, описанных выше, рассмотрим следующий пример. Предположим, инвестор имеет 2 взгляда на поведение рыночных индексов:

1. Взгляд, определяющий разность доходностей индекса S&P500 и САС40 (подпортфель 1).

2. Взгляд, определяющий суммарную доходность рынка, представленного ишК (под-портфель 2).

Тогда матрица Р представлена в табл. 2.

По матрице Р может быть вычислена ожидаемая рыночная доходность этих подпортфелей:

Таблица 2

DAX CAC40 FTSE100 SSE Shanghai JKSE Jakarta AORD IBOVESPA Sao Paolo IPC Mexico S&P500 Index

0 -1 0 0 0 0 0 0 1

0.10% 1.26% 12.45% 33.54% 8.28% 8.15% 0.23% 1.25% 34.75%

РП

26.56%

30.02%

4 =

С портфелями Р рассмотрим следующие варианты взглядов инвестора:

1. Взгляд инвестора на среднюю доходность подпортфеля 1 совпадает с рыночной равновесной доходностью, также инвестор ожидает, что на рынках присутствует «бычий» тренд и совокупная доходность подпортфеля 2 превысит равновесную и составит 50%. Тогда

'26.56% Л ч 50%

2. Средняя доходность подпортфеля 1 окажется меньше равновесной на 10%, а прогноз на поведение рынка в целом останется таким же,

^16.56% ^ ч 50%

Следующие результаты получены по формуле Блэка-Литтермана при различных значениях параметра т, при помощи новой формулы с диагональной матрицей ©, а также с помощью применения техники Монте-Карло-моделирования (табл. 3 и 4).

как и в случае 1. Тогда q

По результатам эксперимента наблюдается существенная зависимость выходных данных от значения параметра т, выбираемого произвольно. Также очевидно, что при использовании формулы Блэка-Литтермана изменение хотя бы одного взгляда инвестора влечет за собой изменение всей структуры портфеля. Использование подходящей диагональной матрицы в в формуле Блэка-Литтермана позволяет избавиться от этого эффекта - изменение конкретного взгляда инвестора влечет за собой изменение в структуре лишь той части портфеля, к которой относится этот взгляд. Также по коэффициенту Шарпа мы видим, что в-формула позволяет найти портфель, который ближе к эффективной границе Марковица, чем большинство портфелей, полученных с помощью стандартной формулы Блэка-Литтермана. Исключение составляют портфели, полученные при больших т. Однако при таких значениях т формула Блэка-Литтермана теряет практических смысл -в этом случае степень влияния взглядов инвестора стремится к нулю.

Для завершения описания вычислительной схемы эксперимента приведем обычную схему

Таблица З

Случай 1 Рыночный портфель, % т = 0.5, % т = 1, % т ^<ю, % ©-формула, % Монте-Карло, %

DAX 0.10 -2.78 -4.31 -9.81 -8.41 -8.17

CAC40 1.26 0.56 1.09 6.99 -4.30 -4.17

FTSE100 12.45 12.21 12.09 11.64 11.76 11.69

SSE Shanghai 33.54 39.30 42.35 53.34 50.54 50.50

JKSE Jakarta 8.28 8.05 7.94 7.51 7.62 7.55

AORD 8.15 6.93 6.28 3.95 4.54 4.43

IBOVESPA Sao Paolo 0.23 -1.20 -1.96 -4.70 -4.00 -4.07

IPC Mexico 1.25 -1.65 -3.18 -8.71 -7.30 -7.33

S&P500 Index 34.75 38.58 39.70 39.78 49.54 49.57

Коэффициент Шарпа 0.911780 0.662504 0.717052 0.892600 0.888022 0.885360

Таблица 4

Случай 2 Рыночный портфель, % т = 0.5, % т = 1, % т ^<ю, % ©-формула, % Монте-Карло, %

DAX 0.10 -2.86 -4.49 -10.59 -8.41 -8.17

CAC40 1.26 2.51 4.04 13.34 1.61 1.66

FTSE100 12.45 12.21 12.08 11.58 11.76 11.69

SSE Shanghai 33.54 39.45 42.70 54.91 50.54 50.50

JKSE Jakarta 8.28 8.05 7.92 7.45 7.62 7.55

AORD 8.15 6.90 6.21 3.62 4.54 4.43

IBOVESPA Sao Paolo 0.23 -1.24 -2.05 -5.09 -4.00 -4.07

IPC Mexico 1.25 -1.72 -3.36 -9.49 -7.30 -7.33

S&P500 Index 34.75 36.71 36.95 34.28 43.64 43.74

Коэффициент Шарпа 0.911780 0.656821 0.711717 0.904792 0.861957 0.860844

верификации полученных результатов моделирования:

1. Выбор периода [0, Т + А!], на котором известны котировки выбранных активов и их рыночная капитализация.

2. Реализация описанной выше вычислительной схемы на интервале времени [0, Т].

3. Вычисление доходности рассчитанного портфеля на основе имеющейся исторической информации на интервале времени [Т, Т + АТ].

Напомним, что для проведения эксперимента были выбраны некоторые мировые индексы Америки, Европы и Азии. На основании данных за период 1 декабря 2005 г. - 1 ноября 2009 г. были составлены портфели индексов по различным моделям. На основании исторических данных за период 1 ноября 2009 г. - 1 декабря 2009 г. была определена доходность полученных портфелей (для случая 2). Исходя из практических интересов, определено время работы программы по нахождению оптимального портфеля. Результаты обоих экспериментов представлены на рис. 2 и 3.

L 3 5 7 9 11 13 ]5 17 19

-----Монте-Ка зло-техника

-----Рыночным портфель

-----Разноззвешенньй портоель

Рис. 2. Доходность портфелей

ij

10

Время, сек

Рис. 3. Время работы программы на 1 ядре, М онте-Карло-моделирование

Х отя доходности полученных портфелей являются отрицательными, как видно из рис. 3, доходность портфеля, полученного с помощью

6 -формулы и Монте-Карло-моделирования, оказалась лучше всего. Сднако в данном случае не идет речи о закономерности - результат, главным образом, определяется правильным выбором активов для включения в портфель, а так» е наличием компетентных прогнозов о поведении этих активов в будущем.

Как видно из рис. 4, время работы программы линейно зависит от числа траекторий Монте-Карло. Несмотря на то, что время несущественно для однократного запуска программы, его величина может стать существенной в других приложениях модели.

Заключение

Разработанное программное обеспечение решает задачу квадратичного программирования для определения оптимального портфеля на основе имеющейся исторической информации и экспертных оценок о дальнейшем поведении рынка. По результатам экспериментов на различных исходных данных воспроизведены недостатки модели Блэка-Литтермана, а также методы их преодоления, упоминавшиеся ранее в англоязычной литературе. Результаты полученных экспериментов не исключают возможности применения модели в практических целях. Использование Монте-Карло-моделирова-ния позволяет нивелировать статистические погрешности при обработке входной информации, а также снизить меру риска портфеля за счет лучшей диверсификации. При этом существенно повышается трудоемкость расчетов, но эффективная программная реализация для архитектур с общей памятью позволяет получить близкое к линейному ускорение времени выполнения в зависимости от количества доступных вычислительных устройств. Целью дальнейших исследований является развитие модели для применения в более сложных случаях, в частности при перераспределении активов в течение анализируемого периода.

Примечания

1. Рыночный портфель - портфель, состоящий из всех активов, доступных инвестору. При этом количество каждого из активов пропорционально его рыночной стоимости относительно суммарной рыночной стоимости всех активов портф еля.

2. Г одпортфель - портфель, составленный из части активов основного портфеля.

3. Использованы данные о котировках finance. yahoo.com.

Список литературы

1. Markowitz H.M. Portfolio Selection // J. of Finance. 1952. V. 7. № 1 P. 77-91.

2. Black F., Litterman R. Asset Allocation: Combining Investor Views with Market Equilibrium // Goldman, Sachs & Co., Fixed Income Research. 1990. September.

3. Black F., Litterman R. Global Portfolio Optimization // Financial Analysts J. 1992. September. P. 28-43.

4. Mossin J. Equilibrium in a Capital Asset Market // Econometrica. 1966. V. 34. № 4. P. 768-783.

5. Linter J. The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolio and Capital Budgets // Review of Economics and Statistics. 1965. V. 47. P. 13-37.

6. Campbell J.Y., Lettau M., Malkiel B.G., Xu Y. Have Individual Stocks Become More Volatile? An Empirical Exploration of Idiosyncratic Risk // J. of Finance. 2001. V. 56. №1. P. 1-43.

7. Mankert C. The Black-Litterman Model. Royal Institute of Technology. Sweden, 2007.

8. Rebonato R., Doust P., Chen J. Stable Asset Allocation via Bayesian blending. The Royal Bank of Scotland preprint. 2006, November 6.

9. Doust P. Improving Black-Litterman asset allocations. The Royal Bank of Scotland preprint. 2007. January 2.

10. Doust P. Geometric mean variance // Risk Magazine. 2008, February.

11. Fabozzi F.J., Kolm P.N., Pachamanova D.A., Fo-cardi S.M. Robust Portfolio Optimization and Management. John Wiley & Sons, Inc., 2007.

12. Vanderbei R.J. Linear Programming: Foundation and Extension. Princeton University, 2001.

13. Haws J.C., Meyer C.D. Preconditioning KKT Systems // Numerical Linear Algebra with Applications J. 2001.

14. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. Киев: Вища школа, 1983. 512 c.

15. Ковалев М.М. Современная финансовая теория и финансовое образование // Сборник научных статей / Под общей редакцией М.М. Ковалева. Минск: БГУ, 2003. 359 c.

16. Таможников В.В. Возможности и ограничения применения портфельных теорий Г. Марковица, Ф. Блэка и Р. Литтермана для управления государственными международными резервами // Деньги и кредит. 2009. № 6. C. 45-50.

SOFTWARE IMPLEMENTATION AND PECULIARITIES OF THE BLACK-LITTERMAN MODEL FOR PORTFOLIO MANAGEMENT

I.B. Meyerov, A.S. Nikonov

The popular Black-Litterman model, which is used to find optimal strategy of the investor behavior in financial markets, is considered. The advantages and disadvantages of the model are illustrated by concrete examples. The authors’ main result is an effective implementation of the model on modern computers with multi-core architecture.

Keywords: financial mathematics, financial markets, optimization, portfolio management, Black-Litterman model, high performance computing.