CC BY
88
УДК 621.592
О.Н. Канева, М.В. Ильина
Омский государственный технический университет, г. Омск
МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
Введение
Инвестиционный портфель есть совокупность собранных воедино различных инвестиционных ценностей (акций, облигаций, залоговых свидетельств), служащих инструментом для достижения конкретной инвестиционной цели вкладчика. Основная задача портфельного инвестирования - улучшить условия инвестирования, придав совокупности ценных бумаг такие инвестиционные характеристики, которые недостижимы с позиции отдельно взятой ценной бумаги и возможны только при их комбинации [1].
Модели инвестиционного портфеля
Для начала расскажем о модели Марковица, на которой основываются все остальные модели оптимальных инвестиционных портфелей. Теория Марковица базируется на предположении, что инвесторы хотят получать высокий будущий доход при минимально возможном риске [2].
Для получения множества достижимых портфелей необходимо решить следующую задачу:
т □
□
□
□
Н □
т
Н Н
г
или □
□
n
(1.1)
r
p
и
p
w и
и
max
T
w
T
w
r
и
(12)
где
w вектор-столбец весов портфеля;
и2 дисперсия портфеля;
rp ожидаемая доходность портфеля;
и ковариационная матрица;
r вектор-столбец ожидаемых доходностей.
Найти оптимальный портфель можно при помощи следующей сокращенной формулы: w* и(ии)1 и
(13)
2
w
где
w оптимальный портфель по Марковицу;
□ вектор-столбец ожидаемых доходов;
□ параметр «неприятия» риска, устанавливаемый инвесторами.
После представления модели Марковица на ее основе было сформировано множество
других моделей, таких как модели Модильяни, Миллера, Блэка, Шоулса, Литтермана.
На данный момент одной из самых востребованных моделей является модель Блэка-Литтермана, поскольку она преодолевает некоторые недостатки модели Марковица [3], а также учитывает веса рыночной капитализации активов (включает модель CAPM). Главным достоинством модели является возможность для инвесторов выражать в модели свои
собственные представления относительно будущих доходностей активов, а не основываться только на исторических данных как в модели Марковица. Таким образом, модель Блэка -Литтермана использует также фундаментальный анализ, что делает ее более полезной в практических инвестиционных ситуациях [5].
Фундаментальная составляющая в модели - это «представления» или «views» [4]. Дело в том, что чаще всего инвестиционные менеджеры имеют свое мнение (свое представление) об ожидаемой доходности некоторых активов в портфеле, которое отличается от подразумеваемых равновесных доходностей. Модель Блэка-Литтермана позволяет представлениям инвестора быть выраженными относительно или абсолютно. Таким образом, устраняется «неинтуитивность» модели Марковица [4].
Логика модели Блэка-Литтермана заключается в следующем. Идеализированное рыночное равновесие устанавливается в качестве точки отсчета. После инвестор определяет количество рыночных представлений, и для каждого представления определяет ожидаемую доходность и уровень доверия к представлению. Представления объединяются с равновесными доходностями, и их комбинация составляет ожидаемую доходность в модели Блэка-Литтермана. А далее они оптимизируются так же, как это делается при среднедисперсионной оптимизации, после чего создается портфель, где ставки делаются на активы, насчет которых инвесторы имеют свое мнение об их ожидаемой доходности.
Размер ставок относительно весов равновесного портфеля зависит от уровня доверия, указанного пользователем, а также от параметра, определяющего вес собранных инвестором представлений относительно рыночного равновесия, «вес-на-представление».
Расчет идеального портфеля в модели Блэка-Литтермана
С вычислительной точки зрения Блэка-Литтермана отличается от модели Марковица только иным расчетом вектора ожидаемых доходов □. Формула получения □ представлена ниже:
□ □[(Ш)1 PT^1P]1[(nD)1(OOwM)PT^1q]
(1.4)
где
P матрица, содержащая активы, вовлеченные в представления инвестора о доходности
актива. Каждый ряд в матрице содержит веса активов одного вида. Максимальное число рядов равно числу активов в портфеле;
q вектор-столбец, содержащий оценку ожидаемых доходностей для каждого
представления;
□ диагональная ковариационная матрица, состоящая из Ц... □;
к количество представлений;
□■
уровень доверия к представлению i;
□ параметр, часто упоминающийся как «вес-на-представление» [4].
В итоге модель формирует портфели, значительно отличающиеся от портфелей, сгенерированных при помощи модели Марковица.
Модификация модели Блэка-Литтермана
Модель Блэка-Литтермана изначально была спроектирована как инструмент, который могут использовать и количественные, и качественные аналитики. В [6] Герольд пишет, что качественные аналитики, и не только они, сталкиваются с трудностью определения таких параметров модели как скаляр □ и матрица доверия к представлениям □.
Скаляр □ в литературе определяется по-разному, в [4] авторы пишут, что скаляр □ вводится как вспомогательный элемент, значение которого усиливает или уменьшает
44
влияние представлений инвестора на конечный результат. Нужно отметить, что матрица □ и скаляр □ являются самыми важными параметрами в рассматриваемой модели, так как именно от их значений зависит насколько сильно будет отличаться оптимальный портфель по модели Блэка-Литтермана от оптимального портфеля по модели CAPM.
Обычным методом расчета элементов диагональной матрицы □ есть вычисление дисперсии представления на основании исторических данных. Но Манкерт в [7] отмечает, что это не является единственным источником информации, влияющим на доверие инвесторов к представлению. Часто используются такие факторы как оценка аналитика и авторитет этого аналитика, разница между представлением и подразумеваемым рыночным равновесием и так далее.
Для устранения рассмотренных проблем предлагается следующий подход. По нашему мнению, для неколичественных аналитиков проще и понятнее определять диагональные элементы матрицы в процентах, то есть во время задания представления назначать ему предполагаемый уровень доверия, лежащий в пределах от 0 до 100. Например, если использовать в качестве доверия к представлению уверенность в аналитике, высказавшем это представление, то оценка этой величины может происходить довольно просто: нужно поделить количество сбывшихся прогнозов аналитика на все количество его прогнозов и умножить результат на сто процентов.
Все важные факторы, влияющие на доверие к представлению, должны быть объединены с дисперсией представления для получения наилучшей возможной оценки уровня доверия. Такие действия позволят модели Блэка-Литтермана получить максимум информации.
Поскольку доверие к представлению решено было выражать в процентах, а модель оценивает доверие количественно, потребовалось изменить алгоритм расчета модели. Для проверки адекватности модификации исходной модели Блэка-Литтермана написан программный продукт, реализующий модифицированную модель. В качестве элементов матрицы во время тестирования работы были использованы дисперсии представлений. Результаты работы продукта показывают, что разницы доходности и весов портфелей, сформированных модифицированной и не модифицированной моделями, нет, из чего сделан вывод, что модель адекватна.
Выводы
В результате проделанной работы была предложена модификация модели Блэка-Литтермана, упрощающая работу с ней, особенно для качественных аналитиков, и позволяющая учесть дополнительные факторы, влияющие на представления инвестора об ожидаемой доходности активов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 12-07-00326.
Библиографический список
1. Сергеев, И. В. Организация и финансирование инвестиций [ Текст ] : учеб. пособие для вузов / И. В. Сергеев, И. И. Веретенникова - М. : Финансы и статистика, 2001. - 271 с.
2. Markowitz, H. Portfolio Selection / Markowitz, H. // The Journal of Finance. - 1952. -
Vol. 7, № 1. - P. 77-91.
3. Satchell, S. A Demystification of the Black-Litterman Model : Managing Quantitative and Traditional Construction / Satchell, S., Scowcroft, A. // Journal of Asset Management. - 2000. -P.138-150.
4. Black, F. Global Portfolio Optimization / Black, F., Litterman, R. // Financial Analysts Journal. -1992. - September-October. - P. 28-43.
45
46
5. Litterman, R. Modern Investment Management- an equilibrium approach / Litterman, R. // New Jersey Wiley. - 2003. - September. - P. 76-88.
6. Herold, U. Portfolio Construction with Qualitative Forecasts / Herold, U. // Journal of Portfolio Management. - 2003. - P. 61-72.
7. Mankert, S. The Black-Litterman Model - mathematical and behavioral finance approaches towards its use in practice / Mankert, S. // Sweden: Stockholm. - 2006. - P. 111.
