Программирование рекурсий разных видов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3

В. П. Гладков

Пермский государственный технический университет

ПРОГРАММИРОВАНИЕ РЕКУРСИЙ РАЗНЫХ ВИДОВ

Рассматриваются вопросы программирования рекурсивных алгоритмов. Устанавливаются правила их построения.

Рекурсия - это такой способ организации вспомогательного алгоритма (подпрограммы: процедуры или функции), при котором он обращается сам к себе. Вообще, рекурсивным определением объекта называется определение, которое содержит ссылку на определяемый объект. Рекурсивно определенный объект называется рекурсивным. В рекурсивном определении должно присутствовать ограничение, граничное условие, при выходе на которое дальнейшая инициация рекурсивных обращений прекращается. Для реализации рекурсии используется стек.

Типичная конструкция рекурсивной процедуры имеет вид: procedure REC(t : integer);

begin {действия на входе в рекурсию. "Рекур-

сивный спуск"}

if {граничное условие} then

REC(t+1);

{действия на выходе из рекурсии. "Рекурсивный подъем"} end;

Классическим примером рекурсивного алгоритма является вычисление факториала в соответствии с определением:

( |1, при n = 0 или n = 1,

[ (n - 1)! n, при n > 1.

Получаем следующую рекурсивную функцию: function fact1(n : longint) : longint; begin if n = 1 then factl := 1 else fact(n-1)*n;

Операция умножения, используемая в функции, является коммутативной и ассоциативной, поэтому при вычислении, например 5! (вызов fact1(5)), имеем:

5! = 4!*5

= (3! * 4)*5 = ((2! * 3)*4)*5 = (((1! * 2)*3)*4)*5 = (((1 * 2)*3)*4)*5 (*)

= ((3 * 3)*4)*5 = (6 * 4)*5 = 24 * 5 = 120.

Из приведенных преобразований видно, что вычисления проводятся на рекурсивном подъеме, а рекурсивный спуск используется для отсчета нужного количества вызовов функции. Параметр n играет роль счетчика. Если в строке, отмеченной звездочкой, воспользоваться свойством ассоциативности, то получим формулу нахождения факториала как произведения натуральных чисел от 1 до 5, что позволит легко перейти к итерационному алгоритму.

Для перехода к итерационному циклу заметим, что можно сохранять значения переменной n (однако в данном простом случае это необязательно) для того, чтобы во время подъема можно было бы использовать их для вычислений. С этой целью используется стек, а переменная n играет роль счетчика. Получаем следующую программу: var st : array[1..100]of integer; {моделирует

стек}

yk {указатель вершины стека}, ^исходное

число}, р{факториал} : integer; begin n := 5;

{ моделируем рекурсивный спуск}

yk := 0;

while n <> 1 do

begin inc(yk); st[yk] := n; dec(n); end;

{ моделируем рекурсивный подъем и вычисления} p:=1;

while yk>0 do

begin p:=p* st[yk];

dec(yk);

end;

write(p);

Запишем рекурсивную функцию вычисления факториала на рекурсивном спуске:

function fact2(n, s : longint) : longint; begin if n = 1 then fact2 := s else begin s := s*n;

fact2 := fact2(n-1,s);

end;

или равносильный вариант:

function fact2(n, s : longint) : longint; begin if n = 1 then fact2 := s

else fact2 := fact2(n-1, s*n);

end;

Вызов fact2 (5, 1) приводит к вычислениям: fact2(5,1) = fact2(4, 1*5)

= fact2(3, 1*5*4)

= fact2(2, 1*5*4*3)

= fact2(1, 1*5*4*3*2)

= fact2 = 120 = 120 = 120 = 120 = 120.

Из приведенных функций видно, что если требуется передать глубже по рекурсии значения, полученные на рекурсивном спуске, то необходимо создать специальный параметр.

Рассмотренные варианты легко приводятся к равносильной итерационной программе: s:=1;

for i := 1 to n do s := s*i;

Рассмотрим задачу вычисления суммы элементов арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия определяется тремя параметрами: первым элементом (a1 = a), разностью между соседними элементами (d) и количеством членов прогрессии (n). Очередной элемент

прогрессии вычисляется из предыдущего прибавлением разности -a := a + d.

Его можно вычислить и по формуле an = aj + (n -1) • d.

Для вычисления суммы можно воспользоваться выражением (пример для n = 4): S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = a + a + d + a + 2d + a + 3d = (((0 + a) + a + d) + a + 2d) + a + 3d = S3 + a + 3d = (S2 + a + 2d) + a +3d = ((S1 + a + d) + a + 2d) + a + 3d = (((So + a) + a + d) + a + 2d) + a + 3d.

Полученная запись позволяет написать рекурсивную программу, в которой рекурсия используется для отсчета вычислений (равносильна циклу), а сами вычисления выполняются на рекурсивном подъеме,

function sa1(n : integer) : integer; begin if n > 0

then sa1 := a + (n-1)*d + sa1(n-1) else sa1 := 0;

end;

Приведенная рекурсивная программа эквивалентна следующей итерационной программе: s := 0;

for i := 1 to n do s := s + a+(i-1)*d;

Другой подход к построению формулы позволяет получить рекурсивную программу, в которой члены ряда вычисляются на рекурсивном спуске, а сумма считается на рекурсивном подъеме. Эта функция имеет два параметра: первый - количество слагаемых в сумме, второй - само слагаемое.

S(4, a) = a+S(3, a+d) = a+(a+d+S(2, a+2d)) = a+(a+d+(a+2d+S(1, a+3d))) =

a+(a+d+(a+2d+(a+3d+S(0, a+4d)))) = a+(a+d+(a+2d+(0+a+3d))) = a+a+d+a+2d+a+3d.

Программируя по этой формуле, получаем программу: function sa2(n, a : integer) : integer; begin if n > 0

then sa2 := a + sa2(n-1, a+d) else sa2 := 0;

Приведенная рекурсивная программа эквивалентна следующей итерационной программе:

S := 0; a := a - d;

for i := 1 to n do begin a := a + d; S := s + a; end;

Наконец, можно предложить программу, которая вычисляет результат только во время рекурсивного спуска. В этом случае рекурсивная программа имеет три параметра: первый предназначен для отсчета количества вычислений, второй вычисляет очередное слагаемое, а третий - сумму.

£(4, а, 0) = S(3, a + d, 0 + a) = S(2, a + 2d, 0 + a + a + d) = =S( 1, a + 3d, 0 + a + a + d + a + 2d) = S(0, a + 4d, 0 + a + a + d + a + 2d + +a + 3d) = =0 + a + a + d + a + 2d + a + 3d.

Эта формула приводит к программе:

function sa3(n, a, s : integer) : integer;

begin if n > 0

then begin s := s + a;

a := a + d;

sa3 : = sa3 (n-1, a, s)

end

else sa3 := s;

end;

Программа может быть переписана:

function sa31(n, a, s : integer) : integer;

begin if n > 0

then sa31 := sa31(n-1, a+d, s+a) else sa31 := s;

end;

Приведенные рекурсивные программы эквивалентны следующей итерационной программе:

s := 0;

for i := 1 to n do begin s := s + a; a := a + d; end;

Обобщим способы организации рекурсии на примере решения

задачи. Вычислить s = vn + д/n -1 + Vn - 2 + к + Vl .

Вначале построим итерационный процесс. Заметим, что под каждым корнем значение изменяется, возрастая от 1 до п, поэтому его можно обозначить переменной I.

Начнем построение итерационного процесса от самого вложенного корня (просматриваем выражение справа налево).

При п = 1 51 = л/Г. При п = 2 52 = V2 + л/Т или, подставляя предыдущее выражение, 52 = ^2 + . При п = 3 аналогично имеем

S3 = у 3 + д/2 + л/Т = д/3 + S2 . Обобщая, приходим к рекуррентной формуле S =ф + Si_1 . Из формулы видно, что переменная i играет

двойную роль: 1) счетчик вычислений - об этом свидетельствует ее вхождение в формулу в качестве индекса; 2) слагаемое в подкоренном выражении. Об этом нужно помнить при программировании.

На основании установленного получаем следующий итерационный алгоритм:

function iter(n : integer) : real; var i : integer; s : real; begin s := 0;

for i := 1 to n do s := sqrt(i + s); iter := s;

end;

Теперь установим рекурсию с вычислением на рекурсивном подъеме. Рассуждая аналогично предыдущему, только рассматривая исходное выражение слева направо, получаем рекуррентную формулу

Sn = л]п + Sn_1 или S(n) = *Jn + S (n _ 1) и S (1) = Vl. На основе полученной формулы строим рекурсию.

function f1(n : integer) : real; begin if n = 1 then f1 := sqrt(1)

else f1 := sqrt(n + f1(n - 1))

end;

Для получения рекурсии, работающей на рекурсивном спуске, необходимо организовать рекурсивное изменение счетчика.

function f2(n ,i : integer; s : real) : real; begin if n = 1 then f2 := sqrt(i + s)

else f2 := f2(n - 1, i + 1, sqrt(i + s))

Здесь n - рекурсивный счетчик, i - слагаемое, s - вычисляемая величина.

Вычисление на рекурсивном спуске и подъеме может быть осуществлено следующим образом:

function f3(n : integer; i : integer) : real;

begin if n = 1 then f3 := sqrt(1)

else f3 := sqrt(i + f3(n - 1, i - 1))

end;

Таким образом, для работы рекурсии на спуске достаточно поместить вычисляемые значения в параметры рекурсивной функции. Для работы рекурсии на подъеме достаточно записать вычисляемое значение явно и заставить рекурсию отсчитывать количество повторений. Для работы рекурсии и на спуске, и на подъеме достаточно использовать параметр рекурсивной функции в выражении, вычисляющем нужное значение.

Установленные закономерности облегчат программирование рекурсии и уменьшат количество ошибок в программе.

Получено 08.07.2009