CC BY
14
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Узунов В.Г., Дьяченко А.А., Спорыхин М.А., Белов И.А.
УДК 681
ПРОГНОЗНЫЙ ПОДХОД В ОЦЕНКЕ НАХОЖДЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ТЕКУЩЕМ СОСТОЯНИИ_
В работе [1] авторами был рассмотрен вероятностный подход определения среднего времени нахождения транспортной системы (ТС) в текущем состоянии. Этот подход требует знания функции распределения этого времени с точностью до значений ее параметров, что на практике весьма сложно реализовать. Определённые возможности в этом плане имеют прогнозные подходы. Будем предполагать, что по выбранным параметрам состояний нами накоплены статистические данные в виде временных рядов.
Прогнозирование времени нахождения ТС в текущем состоянии с использованием временных рядов, называемых еще предысторией, обладает хорошими прогностическими свойствами при соблюдении основных условий:
а) прогнозная модель является адекватной по некоторому критерию относительно исходных экспериментальных данных;
б) тенденции в будущем соответствуют тенденциям предыстории.
Если эти условия выполняются, то, как правило, используются экстраполяционные модели на основе регрессионных функций [11, 13, 20]
у( I) = ¥( I, а,р,...) + е( Ц, (1)
где ¥(t,аД...) - выбранная нами функция с неизвестными параметрами аД...; е(() - нормальный стационарный процесс с нулевым средним, описывающим помеху; б( () ^ N(0, ст2). Таким образом, делается предположение и о нормальности ошибки, и об однородности дисперсии во времени. Имея временные ряды (t¡,у. . =1,...,М), М - число измерений, по методу наименьших квадратов оцениваются коэффициенты уравнения регрессии (тренда)
уЩ = ^,аД...). (2)
Рассмотрим в качестве примера полиноминальную функцию
где R — степень полинома, а0,а1,...ак — параметры функции.
Выбор модели (2.37) определяется несколькими причинами, основными из которых являются следующие.
1. Анализ программных средств, содержащих прогнозирование реальных показателей, показывает, что на практике используются самые простые модели, часто уравнение прямой или параболы.
2. Мониторинг безопасности ТС находится в начальной стадии развития, а опыт накопления длинных временных рядов пока незначителен.
3. Модель, высокие аппроксимационные свойства которой получены за счет увеличения ее сложности, зачастую имеет неудовлетворительные экстраполяционные свойства.
Остаточное время предлагается оценивать тремя показателями: а) ожидаемое остаточное время; б) гарантированное остаточное время; в) межконтрольный интервал.. Ожидаемое остаточное время определяется как
10 = tK — ^ М , (4)
где tM — время последнего контроля; tK - корень уравнения
У^) = хп, (5)
здесь хп - предельное значение параметра состояния для текущего состояния ТС.
Гарантированное остаточное время можно принять в виде
= К р - , (6)
где 1 определяется из уравнения
У^) + Ц тБ, у )• 8-V Т? (ТТТ )-? =
(7)
у^) = а0 + а1 •t + а2 •t2 +...+ал
(3)
Здесь у^) — расчетное значение показателя в момент времени 1; 1(шБ,у) — квантиль 1-распределения при шБ степенях свободы и доверительной вероятности у; 8 — оценкасред-неквадратического значения ошибки; Т — матрица (Мхр) значений параметров безопас-
ности; p = R+1 — число коэффициентов в модели; Т — строка матрицы значений параметров безопасности, в которой вычисляется прогул Т
гнозное значение показателя; Т означает операцию транспонирования. Межконтрольный интервал
к = Ь ■ гг, (8)
где коэффициент Ь=1, если прогнозная модель адекватна, и 0<Ь<1, если модель не адекватна; ^ — гарантированное остаточное время.
Показатель (4) оценивает среднее время нахождения ТС в текущем состоянии; показатель (6) оценивает минимальное время нахождения ТС в текущем состоянии; показатель (8) определяет необходимый интервал контроля параметра безопасности по которому ведется оценка времени нахождения ТС в текущем состоянии.
Так как сформулированные выше условия на практике не всегда выполнимы, в работе рассматривается два метода оценки этих параметров:
1) прогнозирование по однородной информации, когда используется только информация временных рядов по параметрам безопасности;
2) прогнозирование по разнородной информации, когда помимо временных рядов используется информация экспертов о поведении ТС в будущем.
I. Прогнозирование времени нахождения транспортной системы в текущем состоянии по однородной информации. Надежность оценки трех показателей остаточного времени нахождения ТС в текущем состоянии зависит от качества прогнозной модели, которая, в свою очередь, зависит от взаимодействия двух факторов: а) адекватности модели; б) статистически значимой степени полинома среди неадекватных моделей. Таким образом необходимо получить адекватную модель или выбрать среди неадекватных моделей ту, которая имеет статистически значимую степень полинома. В связи с этим возникает задача определения степени полинома.
Используем метод целесообразности включения члена ^ [6], уменьшая степень полинома от максимального значения R= по следующей схеме:
а) назначим R= Иш;
б) определим значение статистики
~ м
где SR= В^'Х); 5* = £(х-))2, а
BR - матрица коэффициентов полинома степени R, вычисленных по методу наименьших квадратов, при этом
51 * = 5, -( £х, )2
I = м1
т
Если Fp> Fкр^■F(1, mS, а), то включать член ^ целесообразно и полином степени R используется для определения показателей остаточного времени. Далее определяются доверительные интервалы коэффициентов полинома. Если Fp< Fкр^■F(1, шS, а), то включать член ^ нецелесообразно.
II. Прогнозирование времени нахождения транспортной системы в текущем состоянии по разнородной информации. Предлагаемый в работе [1]. подход имеет, как преимущества, так и недостатки. В качестве последних отметим следующие.
1. Необходимость значительного объема статистической информации по контролю параметров безопасности.
2. Жесткие требования к главной предпосылке надежного прогнозирования — процесс в будущем должен статистически совпадать с предысторией.
В мониторинге часты случаи, когда сведения о значениях показателя в прошлом ограничены, особенно в период начального накопления данных. Поэтому и первое, но особенно второе требование, не всегда выполняются. В связи с этим, предлагается новый подход для прогнозирования остаточного времени, когда помимо статистической информации дополнительно используются экспертные суждения. В практике такие случаи встречаются, когда используется и статистическая информация, и информация экспертов, что называется прогнозированием по разнородной информации [5,9].
Постановка задачи оценки показателей остаточного времени по разнородной информации. При таком подходе для прогнозирования используется не только статистическая, но и экспертная информация, при этом не требуется наличия большого объема информации. Для оценки коэффициентов модели (3) и выбора наиболее адекватной модели применяется метод линейного программирования. Он заключается в решении для каждой из сравниваемых моделей задачи минимизации критерия соответствия статистическим данным при ограничениях, полученных из экспертных суждений. В результате решения задачи линейного программирования находится
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
наилучшая из сравниваемых моделей различных степеней. Оценка остаточного времени, включающая расчет ожидаемого и гарантированного остаточного времени, межконтрольного интервала, выполняется аналогично классическому подходу (4, 6, 8). отметим, что прогнозирование по разнородной информации предполагает наличие статистической информации по интересующим нас показателям и экспертных суждений о поведении показателей в будущем.
Статистическая информация по интересующему нас показателю может быть представлена в виде
х = (х{ л = 1,...,М), (9)
гдех1 — значение показателя в 1-ом измерении, М — число измерений.
Что касается экспертных суждений, то они могут быть могут быть представлены в различной форме. Эксперт может высказывать следующие суждения о значении показателя в будущем:
а) о верхней или нижней границах возможных значений показателя;
б) о связи будущих значений с прошлыми;
в) о монотонном возрастании или убывании значений показателя.
Рассмотрим суждения о верхней или нижней границах возможных значений показателя. Каждое такое суждение может быть представлено в виде
РУ^) >Ру(1), (10)
где момент времени 1 и величина г задаются экспертом, 1>1М. Параметр в зависит от варианта установки границы: Р = 1, если задается нижняя граница значения показателя ( у^)>у); Р = -1, если задается верхняя граница значения показателя (у^) < у или --у^) > -у). В результате можно получить систему неравенств, составленную из всех экспертных суждений
РfУ(tf)>Р,у, (/ =1.....Р), (11)
где F — число экспертных суждений. Будем считать, что экспертные суждения непротиворечивы, то есть существует хотя бы один вектор параметров модели, для которого выполняются все ограничения экспертов.
Если мы точно не можем задать вид прогнозной модели, то необходимо выбрать несколько альтернативных моделей. В качестве прогнозной модели рассмотрим полиномиальную функцию (3) предполагая решить две задачи: задачу оценки коэффициентов полино-
миальной функции и задачу выбора наиболее адекватной модели.
Для определения наиболее адекватной модели необходимо выбрать критерий адекватности. При выборе этого критерия можно основываться как на статистической, так и экспертной информации. Если оценку адекватности модели проводить только на основе статистических данных, то критерием адекватности будет степень соответствия наблюдаемых и вычисленных по модели значений. Учитывая, что число измерений М невелико, такой критерий не будет в полной мере отражать адекватность модели.
Дополнительное использование в критерии согласованности модели с экспертными суждениями позволяет выбрать наиболее точную (адекватную) модель, так как экспертные суждения относятся к периоду упреждения. Чем больше модель соответствует этим суждениям о поведении показателя в будущем, тем она точнее описывает этот показатель (при условии, что эксперт верно оценивает тенденции в будущем). Таким образом, критерий адекватности должен учитывать в большей степени соответствие модели экспертным суждениям, чем результатам наблюдений. В конечном итоге задача сводится к выбору из R моделей (3), удовлетворяющих максимально возможному числу экспертных суждений (11) и минимальному отклонению значений по модели от результатов наблюдений (9).
Альтернативные модели должны, в первую очередь, соответствовать экспертным ограничениям, а затем уже и статистическим данным. Поэтому критерием адекватности может служить функция
Р М
z,a) = Х+ СXX -у& )|, (12)
Г=1 г =1
гдеz=(z1,...,zF) — вектор булевых переменных, а — вектор параметров модели, С - некоторая малая величина. Переменная zf = 0, если модель удовлетворяет высказыванию f и zf = 1, если не удовлетворяет. Множитель С используется для того, чтобы модели сравнивались сначала на соответствие экспертным суждениям, а потом на соответствие статистическим данным. Изменяя этот множитель, можно увеличивать или уменьшать роль экспертной информации и статистических данных в этом критерии. Для каждой модели нужно решить задачу минимизации (12) (используется метод минимальных модулей, а не метод наименьших квадратов) при ограничениях
Р,^, ) + ^Р, У, , (13)
2,е{0,1}г Р, (14)
где К — некоторое достаточно большое число.
Если модель удовлетворяет ^му суждению, то переменная zf = 0. В этом случае будет выполнено неравенство (14) и минимизирован вклад переменной zf в величину критерия (12). Если модель не удовлетворяет ^му суждению, то для выполнения неравенства (13) необходимо прибавить к его правой части достаточно большое число К, т. к. переменная zf=1.
После решения для каждой из моделей (3) задачи минимизации (12) при ограничениях (13) и (14), можно выбрать модель, имеющую наименьшее значение критерия (12).
Для решения вышеизложенной задачи, ее необходимо привести к задаче частично целочисленного линейного программирования. Введем вспомогательные переменные
[х,. -Щ ),х. > у( г,. ),
(Ох <у(г,), ¡Щ ) -х, ,у(г, ) >х,,
г. =
(15)
я. =
о,У(г, ) < х,
(16)
I = 1,____м.
Тогда задача минимизации (12) сводится к задаче минимизации
шт
, а,, Г, ,8.
Г м
^г, + С£(Г + я,.), (17)
/ = 1 ! =1
при ограничениях (13), (14) и дополнительных ограничениях
у( г ) + г1 - = х1,: =1.....м. (18)
г.8 >о,:=1,...,м.
(19)
Решив задачу (17) при ограничениях (13), (14, (18), (19) для каждой модели (3), имеем векторы параметров а=(а1, 1 = 0,...Д) и значения критерия J (17). Модель, имеющая минимальное значение этого критерия, может использоваться для прогнозирования ожидаемого остаточного времени.
Как уже отмечалось, прогнозирование остаточного времени выполняется так же, как и для однородной информации: сначала определяется ожидаемое остаточное время по формуле (4), затем гарантированное остаточное время по формуле (6) и межконтрольный интервал по формуле (8).
III, Алгоритм определения остаточного времени по разнородной информации. Данный алгоритм состоит из следующих этапов:
1) определение набора альтернативных прогнозных моделей;
2) составление и решение задачи частично целочисленного линейного программирования для каждой модели;
3) выбор наиболее адекватной из рассматриваемых моделей;
4) определение трех показателей остаточного времени.
1. Определение набора альтернативных прогнозных моделей. Возьмем полиномиальные функции (3) с первой по четвертую степень:
У(г) = ао + а1 ^
у(г)=о.о + а-г+о>2-г2,
У(г)=а0 + а -г+а2-г2 + а3-гЗг
у(г) = а0 + а1 -г + а2 -г2 + а3-г3 + а4 -г4.
Практика показывает, что выбор максимальной 4-й степени вполне оправдано.
2. Составление и решение задачи частично целочисленного линейного программирования. Возьмем первую модель (полином первой степени) и реализуем следующие операции:
а.) Используя экспертные ограничения, составляем систему неравенств (13).
б.) Используя статистические данные, составляем систему уравнений (18).
в.) Составляем систему неравенств для вспомогательных переменных (14), (19):
г,8 >о,:=1,...,м,
г ' г ' ' ' '
г, е {0,1}, , = 1,____Г.
г.) Решаем задачу (17) при ограничениях (13), (14), (18), (19), составленных в п. а,Ь,с .
В результате находим вектор параметров а=(а1, 1 = 0,...Д) и значение критерия J (17) для модели (3). Пункты а,Ь,с^ выполняем для каждой модели из п. 1.
3. Выбор наиболее адекватной из рассматриваемых моделей. Выбираем модель, имеющую минимальное значение критерия J (2.46). Эта модель, принимаемая за наиболее адекватную среди рассматриваемых моделей, и будет использоваться для прогнозирования показателей остаточного времени.
4. Определение остаточного времени. Остаточное время оценивается тремя показателями: ожидаемое остаточное время (4), гарантированное остаточное время (4) и межконтрольный интервал (8).
IV. Апробациця разработанного математического обеспечения. Первичная апробация
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
созданного математического обеспечения была проведена на машинах роторного типа по виброданным. Подобный тип машин используется в транспортных системах, например, в системах ветиляции тоннелей, в депо, локомотивах и т.д. Для иллюстрации приведем результаты прогнозирования агрегата «Воздушный компрессор ЦК 135/8». В результате сбора данных в период с 01.10.02 по 01.03.03 были получены значения среднеквадратического значения (СКЗ) виброскорости сигналов, представленные в таблице 1 (число измерений М=17). Общее СКЗ рассчитано по всему вибросигналу, а СКЗ частей по «коротким» сигналам, полученным разделением во времени исходных вибросигналов на 8 частей.
Прогнозирование остаточного времени по однородной информации. При прогнозировании только по однородной информации, были получены результаты, приведенные на рис. 1 и рис. 2.
На рис. 1 представлено:
1) гипотеза об однородности дисперсий по критерию Кохрена подтвердилась;
2) в качестве прогнозной модели выбран полином второй степени
~(?) = 2,64997 -0,03212? + 0,00026?2, (20)
со значимыми по 1-критерию коэффициентами, но гипотеза об адекватности этой модели по F-критерию не подтвердилась;
3) ожидаемое остаточное время (4) относительно даты 01.03.03 равно 55 дней. На дату 01.03.03 текущее состояние агрегата — допустимо, предельное значение СКЗ равно 7,1 мм/с;
4) гарантированное остаточное время (6) равно 44 дня;
5) межконтрольный интервал (8) равен 35 дней (коэффициент неадекватности выбран 0,8);
Таблица 1
Среднеквадратические значения виброскорости сигналов
Дата Номер дня СКЗ общее СКЗ 1 части СКЗ 2 части СКЗ 3 части СКЗ 4 части СКЗ 5 части СКЗ 6 части СКЗ 7 части СКЗ 8 части
01.10.02 1 2,511 2,522 2,480 2,376 2,547 2,665 2,334 2,422 2,720
08.10.02 8 2,267 2,096 2,592 2,292 2,077 2,272 2,260 2,061 2,436
18.10.02 18 2,577 2,203 2,274 2,815 2,663 2,658 2,312 2,865 2,729
28.10.02 28 1,908 2,195 1,883 1,493 1,846 1,952 1,564 2,020 2,185
04.11.02 35 2,067 2,410 2,132 2,706 1,412 1,905 2,079 1,765 1,860
10.11.02 41 1,562 1,817 1,740 1,356 1,367 1,612 1,661 1,415 1,457
25.11.02 56 1,950 1,874 2,018 1,656 1,834 1,863 1,873 2,432 1,959
01.12.02 62 1,259 1,044 0,904 1,613 1,483 1,367 0,837 1,234 1,368
11.12.02 72 1,701 1,379 1,989 2,054 1,674 1,875 1,291 1,653 1,536
21.12.02 82 1,515 1,057 1,178 1,621 1,926 1,692 1,410 1,354 1,682
02.01.03 94 2,302 2,326 2,473 2,011 2,233 2,150 2,017 2,468 2,658
14.01.03 106 2,008 2,025 1,881 1,933 2,155 2,053 1,999 2,115 1,887
30.01.03 122 2,611 2,291 2,770 2,424 2,705 2,499 3,137 2,376 2,589
02.02.03 125 2,859 2,650 2,824 3,104 2,853 2,896 2,689 3,121 2,699
11.02.03 134 2,884 2,656 3,044 3,100 2,655 3,109 2,641 2,928 2,886
21.02.03 144 3,218 3,641 3,131 3,040 3,038 3,492 3,125 3,288 2,919
01.03.03 152 3,808 3,607 3,977 3,625 4,129 3,706 3,446 4,232 3,665
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ ПОДХОДЫ В ИССЛЕДОВАНИЯХ
Рис. 1. Результаты прогнозирования
Рис. 2. Графическая иллюстрация
6) время следующей диагностики рекомендуется 05.04.03.
На рис. 2 представлена графическая иллюстрация расчетов. Кроме просмотра графиков, в этом окне существует возможность уточнения значения функции и аргумента. Если ввести значение даты, то можно получить среднее и максимально возможное значения СКЗ виброскорости, соответствующие введенной дате (на 26.03.03 эти значения равны 5,03 и 5,58). Если ввести предельное значение СКЗ виброскорости, то можно увидеть ожидаемое и гарантированное остаточное время (для СКЗ = 5,8 мм/с ООР = 37 дней, а ГОР = 27 дней).
Прогнозирование остаточного ресурса по разнородной информации. В случае однородной информации гипотеза об адекватности модели (20) не подтвердилась, что явилось основанием для приглашения экспертов. Благодаря экспертам стало возможным построить новую прогнозную модель с учетом их мнений. Такой подход может быть назван «прогнозирование по разнородной информации».
Практический интерес представляет рассмотрение двух случаев: 1) эксперты установили ограничение по значению СКЗ на одну дату времени; 2) эксперты установили ограничения на две даты времени.
Случай 1. Эксперты, анализируя исходные данные и учитывая условия работы агрегата в будущем, предположили, что вероятен рост значений СКЗ виброскорости. В качестве контрольной даты выбрана 26.03.03 (177 дней от даты первой диагностики 01.10.02). Ограни-
чение на СКЗ они выбрано - (5,5;6), прогнозное значение по модели (2.49) составляет 5,03 мм/с, что не соответствует суждению экспертов о поведении СКЗ на данный период. Следовательно, необходимо изменить прогнозную модель с учетом их суждения.
Из рассматриваемых полиномиальных функций, выберем полином второй степени, обоснованном на первом этапе. Для разнородной информации при оценке коэффициентов модели необходимо решить задачу частично целочисленного линейного программирования. Решив эту задачу с учетом выбранных ограничений, была получена прогнозную модель
у( г) = 2,54344 -0,03559г + 0,00029г2, (21)
из которой следует, что:
1) ожидаемое остаточное время (4) равно 46 дней;
2) гарантированное остаточное время (6) равно 34 дня;
3) межконтрольный интервал (8) равен 27 дней;
4) рекомендуемая дата следующего измерения 28.03.03 (на 8 дней раньше, чем при однородной информации).
Графическая иллюстрация данного расчета приведена на рис. 3. В нижней части этого окна приведены дополнительные расчеты СКЗ по дате (26.03.03) и остаточного времени по значению СКЗ = 5,8 мм/с.
Случай 2. В этом расчете сохранено ограничение первого случая, но дополнительно было использовано второе для даты 06.04.03 (188 дней от даты первого измерения). Для второго ограничения значение СКЗ должно
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Рис. 3. Графическая иллюстрация, случай 1
находиться в интервале (6,5;7). Решая задачу частично целочисленного линейного программирования с учетом выбранных ограничений, была получена модель
~(?) = 2,59583 -0,03832? + 0,00031?2, (22)
из которой определяются:
1) ожидаемое остаточное время равно 43
дня;
2) гарантированное остаточное время равно 32 дня;
3) межконтрольный интервал равен 25 дней;
4) рекомендуемая дата следующего измерения 26.03.03 (на 2 дня раньше, чем для первого случая).
Данное исследование показывает, что введение разнородной информации позволяет обосновано изменять сроки ближайшего измерения агрегатов, когда прогнозная модель, полученная по однородной информации нас не совсем устраивает. Определение межконтрольных интервалов весьма важно при проведении мониторинга, когда релизуется стратегия обслуживания оборудования по фактическому состоянию.
1. Таким образом, транспортная система, рассматриваемая как сложная системы, пред-ставимая в виде упорядоченной пары: множество подсистем и элементов и множества отношений, позволяет предложить ее формализацию в виде иерархической структуры, содержащей подсистемы, компоненты и базовые элементы. Данная формализация, в свою очередь, позволяет ввести параметры безопасности ТС, которые можно рассчитывать по адди-
тивной или мультипликативной моделям. Последнее достаточно подробно представлено в работе авторов [22], в которой рассмотрен вероятностный подход определения показателей текущего состояния ТС. Поскольку этот подход требует знания функции распределения времени нахождения ТС в текущем состоянии с точностью до значений ее параметров, что не всегда удаётся, то авторами предлагается методика расчета показателей безопасности экспертным методом. Для определения весовых коэффициентов показателей безопасности предложен метод анализа иерархий, который ориентирован на информацию экспертов с возможностью проверки на непротиворечивость посредством отношения согласованности при высокой строгости дальнейшей математической обработки, базирующейся на методе собственного значения и принципе иерархической композиции. Для получения значений показателей безопасности рассмотрены точечные и интервальные оценки. Интервальные оценки описываются бета-распределением, рассмотрено три варианта создания интервальной оценки в зависимости от информации, которой владеет эксперт.
2. Разработан алгоритм прогнозирования показателей остаточного времени нахождения ТС в текущем состоянии. Остаточное время оценивается тремя показателями: ожидаемое остаточное время (4), гарантированное остаточное время (6) и межконтрольный интервал (8). Показатель (8) оценивает среднее время нахождения ТС в текущем состоянии; показатель (6) оценивает минимальное время нахождения ТС в текущем состоянии; показатель (8) определяет необходимый интервал контроля параметра безопасности по которому ведется оценка времени нахождения ТС в текущем состоянии. Алгоритм прогнозирования показателей остаточного времени нахождения ТС в текущем состоянии создан в двух вариантах:
а) с использованием однородной информации (только статистические данные по предыстории) и метод наименьших квадратов для определения параметров прогнозной модели;
б) с использованием разнородной информации, когда помимо предыстории используется экспертная информация о поведении ТС в будущем; при определении параметров прогнозной модели решается задача частично целочисленного линейного программирования.
3. Разработанный математический аппарат позволяет решать задачу мониторинга транспортных систем и их объектов для обеспечения безопасности функциональной деятельности и оценивать класс текущего состояния ТС, а также выбрать необходимые организационно-технические мероприятия по обеспечению безопасности.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Бешелев С.Д., Гурвич Ф.Г. Математи-ко-статистические методы экспертных оценок. М.: Статистика, 1980. 263 с.
2. Буртаев Ю.Ф., Острейковский В.А. Статистический анализ надежности объектов по ограниченной информации. М.: Энергоа-томиздат, 1995. 240 с.
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1988. 208 с.
4. Галкин А.Г., Ефимов А.В. Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог. М.: УМК МПС России, 2000. 512 с.
5. Головченко В.Б. Прогнозирование временных рядов по разнородной информации. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1999. 88 с.
6. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Статистика, 1973. 392 с.
7. Закс Л. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976. 598 с.
8. Краковский Ю.М., Карнаухова В.К. Методы анализа и обработки данных для мониторинга регионального рынка образовательных услуг. М.: Издательский центр МарТ, 2007. 240 с.
9. Краковский Ю.М. Математические и программные средства оценки технического состояния оборудования. Новосибирск: Наука, 2006. 228 с.
10. Краковский Ю.М., Эльхутов С.Н. Комплексная вибродиагностика оборудования роторного типа // Контроль. Диагностика. 2003, № 8. С. 18-23.
11. Краковский Ю.М., Ситчихина М.В. Прогнозирование остаточного ресурса машин по разнородной информации // Контроль. Диагностика: 2003, № 10. С. 4-8.
12. Краковский Ю.М., Симонов С.В. Программный комплекс гибкого мониторинга роторных машин по виброданным // Контроль. Диагностика. 2002, № 12. С. 51-55.
13. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. М.: Статистика, 1979. 254 с.
14. Мониторинг здоровья населения: Теоретико-методологические аспекты / Я.А. Ле-щенко. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. 207 с.
15. Носков С.И., Удилов В.П. Управление системой обеспечения пожарной безопасности на региональном уровне. Иркутск: ИрГУПС, ВСИМВД России, 2003. 151 с.
16. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993. 320 с.
17. Статистический словарь. М. Финансы и статистика, 1989.
18. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. М.: Финансы и статистика, 1995. 384 с.
19. Холлендер М., Вульф Д. Непараметрические методы статистики. М.: Финансы и статистика, 1983. 518 с.
20. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М.: Статистика, 1975. 183 с.
21. Явленский К.Н., Явленский А.К. Вибродиагностика и прогнозирование качества механических систем. Л.: Машиностроение, 1983. 239 с.
