Прогнозирующее управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.В. Домбровский, Д. В. Домбровский, Е.А. Ляшенко

ПРОГНОЗИРУЮЩЕЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ ШУМАМИ

Рассматривается задача управления дискретными системами со случайными параметрами, возмущенными аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений. Синтезированы стратегии прогнозирующего управления, позволяющие учесть ограничения на управляющие воздействия.

Одним из эффективных подходов к синтезу систем управления, получившим широкое признание и применение в практике управления сложными технологическими процессами является метод управления с прогнозирующей моделью (прогнозирующее управление) [1]. Идея этого метода, по-видимому, впервые была предложена А.И. Пропоем в работе [2] и состоит в следующем.

Пусть эволюция динамической системы описывается моделью в дискретном времени и зависит от выбора управлений п(к). На каждом шаге к при некотором заданном горизонте прогнозирования р вычисляется последовательность прогнозирующих управлений и(к/к), и(к+1/к), ..., и(к+р-1/к), зависящих от состояния системы в текущий момент времени к, которая оптимизирует выбранный критерий на горизонте прогноза. В качестве управления и(к) в момент к полагают и(к) = и(к/к), тем самым получая управление как функцию текущего состояния, т.е. управление с обратной связью. Чтобы получить управление на следующем шаге, процедура повторяется для текущего момента к+1, при этом горизонт управления сдвигается на один шаг. Сходная идея, принадлежащая Н.Н. Моисееву, описана в [3].

Привлекательной чертой этого подхода является возможность достаточно просто учитывать явные ограничения на переменные состояния и управления. При этом получается стратегия управления с обратной связью, но удается избежать так называемого проклятия размерности, которое препятствует синтезу управлений с обратной связью при ограничениях, если применять традиционные подходы с использованием метода динамического программирования. При учете ограничений синтез прогнозирующих стратегий управления обычно сводится (в зависимости от выбора критерия) к решению задач линейного [2, 4] или квадратичного [5] программирования, для решения которых существуют эффективные методы [6].

В данной работе рассматривается задача синтеза стратегий управления с прогнозирующей моделью для дискретных систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений. Проблема синтеза регуляторов для таких систем при различных предположениях о характере изменения случайных параметров без учета явных ограничений на управления рассматривалась в ряде работ [7-10]. В частности, в [7] получены уравнения синтеза линейноквадратичных регуляторов для систем с мультипликативными шумами и случайными параметрами, представляющими собой последовательность независимых случайных величин, для которых известны только первый и второй моменты распределения.

В данной работе для таких систем получены уравнения синтеза оптимальных стратегий управления с прогнозирующей моделью, которые позволяют учитывать явные ограничения на управляющие переменные.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть объект управления описывается уравнениями

х(к +1) = | А0 [ (к), к] + £ Аі [ (к), к] у, (к) |х(к) +

+ ^[0(к) к ]Чк), (1)

где х(к) - пх-мерный вектор состояния, и(к) - пи-мерный вектор управления, у(к) и ^(к) - векторы белых шумов размерностей т и пК с нулевыми средними и единичными матрицами ковариаций, причем м{(к)ут(5)}= 0 для любых к и 5; 0(к) - последовательность независимых д-мерных случайных векторов с известными первым и вторым моментами: м{б(к)}= 0(к), м{б(к)т0(к)}=©(к) и м{б(к)^т(5)}= 0, м{0(к)ут(5)}= 0 для любых к и 5;

АД0(к), к], ВД0(к), к] и -О[0(к), к] (] = 0,т ) - матрицы

соответствующих размерностей, зависящие от 0(к) линейно; у(к) -}-я компонента вектора у(к); м - оператор математического ожидания, символ Т означает транспонирование.

На управляющие воздействия наложены следующие ограничения

Мшт(к) < 5(к) и (к) < итах(к). (2)

Необходимо определить закон управления системой (1) при ограничениях (2) из условия минимума критерия со скользящим горизонтом управления

J (к + р/к) = м<! ^ хТ (к + г) К1(к + г) х(к + г) +

р-1

+ £ит(к + і/к)Я2(к + і)и(к + і/к) х(к)

(3)

Во [0 (к) к ] + £ Ві [0 (к), к ]уі (к) I и (к)

где м{.../...} - оператор условного математического ожидания; р - горизонт прогноза, к = 0, 1, 2,. - текущий момент времени; Я1(к+г) > 0 и Я2(к+г) > 0 - весовые матрицы соответствующих размерностей.

СИНТЕЗ СТРАТЕГИЙ ПРОГНОЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ

Прогнозирующие управления определяются по следующему правилу: на каждом шаге к минимизируем функционал (3) по последовательности программных управлений и(к/к), ..., и(к+р-1/к), зависящих только от состояния системы в момент к. В качестве управления в момент к берем и(к) = и(к/к). Тем самым получаем управление и(к) как функцию состояния х(к), т.е. управление с обратной связью. Чтобы получить управление и(к+1) на следующем шаге, процедура повторяется для текущего момента к+1.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: для любой матрицы ¥[0(к), к], зависящей от

0(к), Ф(к) = м{ф(к)к] } и Ф(к)= Т[0(к),к]-Ф(к), не

указывая явную зависимость матриц от 0(к).

Теорема. Оптимальная стратегия прогнозирующего управления системой (1) при ограничениях (2), минимизирующая критерий (3) при фиксированном горизонте управления р, определяется уравнением

і=1

0

і=1

+

+

і=1

где

Kk )= [ Q

U (k ) =

Q„ ]u (k),

u(k/k)

(k + p - 1/k)

H (k ) =

Hp1 (k) к Hpp (k) G(k)=[G1 (k) к Gp(k)],

Umin (k ) Umax (k)

Umin (k ) = Umin (k + p - 1)_ , Umax (k) = Umax (k + p - 0

S(k)= diag(s(k),...,s(k + p -1)), блоки которых определяются следующими соотношениями:

Hs (k ) =

BQ (k + i - 1 j A Q (k + j) \L12 (p - s), i < s L22 (p — і)+R2 (k + і — 1),

hT

і > s,

^ (к) = П=0 AT (к + 1)}^2 ( - 5) >

П7=> (к +1 ) = !>

6(5 +1) = L11 (5) + ^(к + р -1 -5), б(о) = Ях(к + р), (9)

А1(5) = £^Г=оАт (к + р -1 - 5)5()1(к + р -1 - 5)+

+ МІ£” 0А] (к + р -1 - 5)б(5)Ді (к + р -1 - 5)}

А2 (5) = £^”=0 А^Т (к + р -1 - 5 ) (к + р -1 - 5)+

+ м{Г”=о -ДТ (к + р - 1 - 5)6(5,. (к + р - 1 - 5)}, (11)

^2 (5) = 0 5т(к + р -1 - 5)б(РЬ (к + р -1 - 5) +

+м{г;=о В] (к+р -1 - 5)5)) (к+р -1 - 5)}. (12)

Доказательство: Выражая последовательно все х(к+і) (і = 1, р) через х(к) с использованием уравнения системы (1) и подставляя результат в критерий (3), получим 3 (к + р/к) = хт (к) L11( р -1) х(к) +

е{п АоТ (к + 5)к( р - г -1)и(к + ^к)

г=0 и=0 і

+ 2 x T(k)

p-2 p-1 __ Гj-1___

+ 2Z Z uт(k + ^k)BQT(k + r>J пAQT(k + s)

r=Q j=r+1 ^s=r+1

(4)

; L12 (p - 1 - j)u(k + jlk) +

p-1

+ Z u T (k + r/k)[22 (p -1 - r) + R2 (k + r)](k + r/k)+

определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием вида

У(к+р/к) = ит(к)И(к) и (к) + 2хт(к^(к) и(к), (5)

при ограничениях

ит1П(к) < ЗД и(к) < итах(к), (6)

где 1и - единичная матрица размерности пи, 0и - квадратная нулевая матрица размерности пи; И(к), G(k) и итш(к), итах(к), £(к) - блочные матрицы вида

_ И„ (к) к И,р (к)

p-1

+ tr^Z Q(i)W(k + p -1 - і)

(1З)

где ^ означает след матрицы, Q(i), £ц(0, ^12(/'), £22(/)

г-1__

определяются по формулам (9)-(12) и П А0Т (к + 5) = 1.

5=г

Выражение (13) нетрудно записать в матричном виде J (к + р/к) = хт (к)[(р) - Я{ (к )]х(к) +

(7)

(8)

+ 2 x т (k )G(k )U (k) + U T (k) H (k )U (k) +

p-1

+ HZ Q(i)W (k + p -1 - i)

(14)

где матрицы и(к), Н(к), О(к) имеют вид (4)-(8),

Ж (г) = Б (г) Б т(г) + м{/5(/),£)т(/)}.

Ограничения вида (2) должны быть выполнены для всех управлений, присутствующих в критерии. В матричном виде они запишутся как (6).

Итак, имеем задачу минимизации критерия (14) по вектору и(к) при ограничениях (6), которая эквивалентна задаче квадратичного программирования с критерием (5) при ограничениях (6).

Теорема доказана.

Замечание: размеры матриц Н(к), О(к) и и(к) зависят от выбора значения горизонта прогноза р. Если горизонт прогноза велик, это приводит к значительным вычислительным затратам, и для их сокращения можно использовать следующий прием. Положим и(к+5/к) = и(к+5+1/к) = ... = и(к+р-1/к) = 0 для некоторого 5 < р-1. Матрицы и(к), Н(к) и О(к) представим в блочном виде

U(k) =

U(s)(k)

Q(p-s)

H (k) =

H(s,s) (k) H(s,p-s) (k)

H(p-s,s) (k) H(p-s,p-s) (k)

в(к) = [^(к), о(р-4к)] ,

(10) после чего критерий (5) преобразуется следующим образом

Т(5)(к + р/к) = ит (к)Н(5,5) (к) и(5) (к) +

+ 2 хт (к >3(5) (к )и(5) (к ). (15)

Ограничения (6) примут вид

ишяЛ) < S(s)(k)U(s)(k) < Цт^к), (16)

где

Umias (k) =

Umin (k ) n (k + s - 1

Umax,s (k) =

umax(k) Umax (k + s-1)

S(s) (k) = diag (s(k),..., s(k + s -1)).

Далее решается задача оптимизации критерия (15) при ограничениях (16) по «укороченному» вектору прогнозирующих управлений и(5)(к).

ЛИТЕРАТУРА

1. Rawlings J. Tutorial: model predictive control technology // Proc. american control conf. San Diego. California. June 1999. P. 662-676.

2. Пропой А.И. Применение методов линейного программирования для синтеза импульсных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. 1963. № 7. С. 912-920.

3. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.

х

u

r=Q

і=Q

і=Q

u

4. Bemporad A., Borrelli F., Morari M. Model predictive control based on linear programming - The explicit solution // IEEE transactions on automatic control. 2002. Vol. 47. № 12. P. 1974-1985.

5. Seron M.M., De Dona J.A., Goodwin G.C. Global analytical model predictive control with input constraints // 39th IEEE conf. on decision and control. 2000. Sydney. Australia. 12-15 December. 154-159.

6. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

7. Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Линейно-квадратичное управление дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2003. № 10. С. 50-65.

8. Пакшин П.В. Устойчивость дискретных систем со случайной структурой при постоянно действующих возмущениях // Автоматика и телемеханика. 1983. № 6. C. 75-85.

9. Hopkins W.E. Optimal stabilization of families of linear differential equations with jump coefficients and multiplicative noise // SIAM J. ^ntrol and optimiz. 1987. Vol. 25. № 6. P. 1587-1600.

10. Li X., Zhou X., Rami M. Indefinite Stochastic LQ control with jumps // Proc. 40th IEEE conf on decision and control. 2001. Orlando. P. 1693-1698.

Статья представлена кафедрой математических методов и информационных технологий в экономике экономического факультета и кафедрой

прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную

редакцию «Кибернетика» 23 сентября 2004.