CC BY-NC-ND
101
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ТЕНДЕНЦИЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ НА ОСНОВЕ ОДНОФАКТОРНОЙ НЕЧЕТКОЙ МОДЕЛИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИСКРЕТНЫХ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ВТОРОГО ТИПА И ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА
Л.А. Демидова,
к.т.н., доцент кафедры вычислительной и прикладной математики Рязанского государственного радиотехнического университета, e-mail Liliya.Demidova@rambler.ru
Рассматривается применение дискретных нечетких множеств второго типа для разработки однофакторных нечетких моделей прогнозирования. Предлагается генетический алгоритм, обеспечивающий выбор оптимальных параметров модели прогнозирования — действительных чисел для корректировки границ универсума, числа интервалов разбиения универсума и степеней принадлежности элементов дискретных нечетких множеств второго типа.
^ л
Введение
Анализ временных рядов играет важную роль в решении многих актуальных задач, например, при краткосрочном прогнозировании тенденций рынка труда в России. В настоящее время существует необходимость в разработке методов прогнозирования, которые бы обеспечили получение адекватной оценки предстоящих изменений политики и принятия решений в региональных органах управления на основе известных показателей развития регионов. Так как большинство реальных событий характеризуются некоторой неопределенностью, то каждому наблюдению временного ряда (фактора) можно поставить в соответствие нечеткую переменную с некоторой функцией принадлежности.
Модель прогнозирования на основе нечетких множеств первого типа
Нечеткие временные ряды могут быть представлены с помощью нечетких множеств первого или второго типа [1, 2, 3].
Дискретное нечеткое множество первого типа (ДНМТ1) А, определенное на универсуме может быть определено в виде:
А = /А(«1)М + /а(Щ)/Щ + ... + /а( ««)/«« , (1)
где /А(и) — функция принадлежности ДНМТ1 А, /А(ы):и ^ [0, 1], /А(ы) определяет степень принадлежности элемента ыг ДНМТ1 А, г = 1,п.
Пусть Д?) (? = ..., 0, 1, 2, ...) — универсум, определенный на множестве действительных чисел, а F(t) — набор функций Д?) (г = 1, 2, ...)), определенных на универсуме 7(?). Тогда F(t) называется нечетким временным рядом на универсуме У(?).
Пусть
F(t) = F(t—1) ° В(?, Г-1), где В(?, ?—1) — нечеткое отношение и ° — операция тах-тт композиции.
Обозначим зависимость F(t) от F(t—1) как F(t—1)^F(t), где F(t—1) и F(t) — нечеткие множества.
Если Ді) зависит от Ді—1), Ді—2),..., Ді—к), то нечеткая логическая зависимость представляется как: Ді—к),..., Д?—2), Ді—1)^Ді) и называется однофакторной к-порядковой моделью прогнозирования на основе нечетких временных рядов.
Рассмотрим модель прогнозирования при к = 1.
Дґ-1)^Р(0. (2)
Представим нечеткие данные і-го и (і+1)-го периодов (дней, месяцев, кварталов и т.п.) как нечеткие множества Л] и Ак на универсуме и. Тогда нечеткая логическая зависимость может быть представлена в виде: Л] ^ Лк, где Л] — текущее состояние, а Лк — следующее состояние нечеткой зависимости.
Пусть/(і) = Т, (і = 1, 2, ...) — реальные значения временного ряда для некоторого фактора. Определим универсум и для приращений значений фактора как и — [Dm[n D1, -Ощах + D2], где Dmin и Dmax минимальное и максимальное приращения значений фактора на основе известных данных соответственно (Дпіп = тіп(/(ґ)-/(ґ-1), Dmax = тах/(ґ)-/ (ґ—1)), а D1 и D2 — два действительных числа, обеспечивающие разбиение универсума и на интервалы равной длины: щ, и2, ..., ип [1, 2]. Лингвистические термы Лг (г = 1, п), представленные нечеткими множествами фактора, имеют вид:
Л1 = 1/и! + 0,5/и2 + 0/и3 + ... + 0/ип-1 + 0/ип ,
Л2 = 0,5/и! + 1/и2 + 0,5/и3 + 0/и4 + ... + 0/ип ,
Ап = 0/и1 + 0/и2 + ... + 0/ип—2 + 0,5/ип—1 + 1/«„ .
Если значение приращения фактора принадлежит интервалу щ, то соответствующее нечеткое значение имеет вид: Хп = 1/А\ + 0,5А2. Если значение приращения фактора принадлежит интервалу иг, то соответствующее нечеткое значение имеет вид: Хг = 0,5/Аг-1 + 1АГ + 0,5/Аг+1, г = 2, п—1. Если значение приращения фактора принадлежит интервалу ип, то нечеткое значение имеет вид: Хп = 0,5/Ап-1 + 1Ап.
Пусть Хк и X' — нечеткие значения приращения для г-го и (г + 1)-го периодов соответственно. Для г-го периода можно записать нечеткую логическую зависимость вида: Хк ^ X'. На основе нечетких зависимостей для всех известных значений временного ряда определяются группы зависимостей путем объединения зависимостей с одинаковой левой частью в одну группу. Так, зависимости Хк ^ X, Хк ^ X, Хк ^ Xs объединяются в группу: Xk ^ X, XkXs, а функция принадлежности ДНМТ1 группы определяется
Результирующее ДНМТ1 для прогнозируемого значения временного ряда для (і+1)-го периода находится как объединение ДНМТ1, входящих в правую часть группы нечетких зависимостей для і-го периода [1, 2].
Искомое значение прогнозируемой величины находится как сумма реального значения временного ряда фактора Tt для і-го периода и дефаззифи-цированного (четкого) значения приращения фактора yi+1:
F+l = Ti + Уі+l . (3)
Четкое значение приращения фактора для (і+1)-го периода находится по методу центра тяжести для одноточечных множеств
где n — количество интервалов ur (r = (r =l,n); zr — средняя точка r-го интервала; wr — значение степени принадлежности для r-го интервала результирующего ДНМТ1, описывающего группу нечетких зависимостей.
Средняя относительная ошибка прогноза (AFER — average forecasting error rate) может быть вычислена по формуле:
где F и Tt — предсказанное и реальное значения для
і-го периода;
m — количество значений (периодов) временного ряда.
Модель прогнозирования на основе нечетких множеств второго типа
Нечеткие множества второго типа позволяют моделировать различные неопределенности, которые не могут быть адекватно представлены с помощью нечетких множеств первого типа [3]. Однако применение нечетких множеств второго типа обычно увеличивает вычислительную сложность по сравнению с нечеткими множествами первого типа из-за наличия дополнительной размерности. Поэтому, использование нечетких множеств второго типа является целесообразным, если позволяет обеспечить значительное улучшение результатов (например, повышение точности прогноза).
Интервальное дискретное нечеткое множество второго типа (ИДНМТ2) A\ определенное на универсуме U может быть определено в виде [3]:
A = /Ащ)/щ + + ... + ff(u„)/u„ , (6)
где ff(u) = — A(u), ДА'(М); — л(и), Дл(и) — «нижняя» и «верхняя» функции принадлежности ИДНМТ2, являющиеся функциями принадлежности ДНМТ1, характеризующие «отпечаток неопределенности» (footprint of uncertainty) FOU [3]; f~(u):U^ [0, 1],f~(u) (r = 1,я) — степень принадлежности элемента ur по «нижней» и «верхней» функциям принадлежности ИДНМТ2.
На рис. 1 приведен пример FOU для ИДНМТ2. Серым цветом закрашен сам FOU, символы о и • определяют дискретные значения для «нижней» и «верхней» функций принадлежности ИДНМТ2 соответственно (при совпадении значений для «нижней» и «верхней» функций принадлежности символ • изображен внутри символа о).
и(«)
11 \ ІІ2 Щ 11^ Ы-j
Рис. 1. FOU для ИДНМТ2
Лингвистические термы А (г =1, п) на основе ИДНМТ2 могут быть определены в виде:
А\ = 1/и! + V/u2 + 0/«з + ... + 0/ип—1 + 0/ип ,
А = V/U\ + 1/и2 + V/Uз + 0/и4 + ... + 0/ип ,
Ап = 0/щ + 0/и2 + ... + 0/Ип—2 + 0,5/Ип—1 + 1/Ип ,
где V = а^ег, аиррег; аЬжг и а^рег — значения «нижней» функций принадлежности — А~(и) и «верхней» функций принадлежности р.А(и) в точке иг (г =1,п).
Таким образом, каждому лингвистическому терму Аг соответствует некоторый FOU, границы которого определяются с помощью «нижней» и «верхней» функций принадлежности — А~(и), |1А(и).
Модель прогнозирования на основе ИДНМТ2 строится аналогично модели на основе ДНМТ1. Пусть определены FOUk и FOUj для приращений
фактора для г-го и (г+1)-периодов соответственно. Тогда для г-го периода можно записать нечеткую логическую зависимость вида: FOUk ^ FOUj. Группы нечетких зависимостей определяются путем объединения нечетких зависимостей с одинаковой левой частью в одну группу. Если были сформированы зависимости: FOUk ^ FOUj, FOUk ^ FOUl, FOUk ^ FOUs, то они объединяются в группу: FOUk ^ FOUj, FOUk, FOU , FOUs, а «нижняя» и «верхняя» функции принадлежности ДНМТ1, характеризующие группу, определяются как
Результирующие ДНМТ1 для прогнозируемого значения (г+1)-го периода находятся как объединения ДНМТ1, соответствующих «нижней» и «верхней» функциям принадлежности, для FOU, входящих в правую часть группы нечетких зависимостей для г-го периода. Таким образом, для каждого прогнозируемого значения (г+1)-го периода временного ряда находится соответствующие ему ИДНМТ2 и FOU — выходной «отпечаток неопределенности».
Искомое значение прогнозируемой величины находится как сумма реального значения временного ряда (фактора) Т для г-го периода и дефаззи-фицированного (четкого) значения приращения фактора у+ по формуле (3).
Четкое значение приращения фактора (центроид) для (г+1)-го периода находится с помощью операции «^уре-геёисйоп» (операции «понижения типа») [3]. При этом определяют два «вложенных» нечетких множества первого типа — Ь и В — внутри FOU интервального нечеткого множества второго типа А. Множества Ь и В имеют минимально и максимально возможный центроиды в А соответственно. Результирующее четкое значение центроида определяется как среднее значение от центроидов множеств Ь и В.
ИДНМТ2 может быть представлено интервалом определения, который описывается с помощью его левой и правой конечных точек как [у1ед, у„р?] соответствующих множествам Ь и В, или с помощью его центра и протяженности как [с—з, с + л], где
с (у1е/? + yгight)/2, ® (у1е/? yгight)/2 [3].
Центроид ДНМТ1 представляет собой взвешенное среднее по формуле (4). Для вычисления центроида ИДНМТ2 С~ необходимо представить у!г (значение степени принадлежности для г-го интервала результирующего ДНМТ1 в формуле (4)) как ДНМТ1. Центроид С~ определяется через центроиды всех «вложенных» в FOU ДНМТ1 и может быть представлен как:
где Zr (г = 1,п) в (7) представляет собой ДНМТ1, имеющее центр сг и протяженность ъг (лг > 0), а Wr (г =1,п) представляет собой ДНМТ1, имеющее центр hr и протяженность Дг (Аг > 0).
Так как Z1, ..., Zn, Ж1, ..., Жп представляют собой ДНМТ1, то и Са является ДНМТ1. Для вычисления центроида С~ необходимо найти две конечные точки интервала: у^ и уГщЫ и , рассмотрев задачи минимизации и максимизации функции (положив гг = сг + лг и гг = сг — соответственно) [3]:
при условии мг е [hr— Дг, кг + Дг], кг > Дг, г =1, п.
Продифференцируем функцию у(м1,...,мп) по мк:
Так как X К > 0 -
то из (9) следует, что:
Так как из у(м1,...,мп) = zk следует, что
Из (10) видно, что если zk > у(м1,...,мп), то у(^1,...,^п) увеличивается при увеличении мк; а если zk < у(м1,...,мп), то у(м1,...,мп) уменьшается при уменьшении wk. Для вычисления центроида С~ можно использовать итерационный алгоритм Кар-ника-Менделя [3].
Итерационный алгоритм Карника-Менделя
Пусть ^ > Дг так, что мг > 0 для г =1, п . Максимальное (минимальное) значение, которое может принимать мк (k =1,п), равно ^ +Дk (hk—Дk).
Функция у(^!,...,мп) достигает своего макси -мального значения, если:
^ мк = ^ +Дк для тех значений к, для которых Zk > у(м1,...,мп);
^ мк = hk—Дk для тех значений к, для которых Zk < у(М1,...,Мп).
Функция у(^1,...,мп) достигает своего минимального значения, если:
^ мк = ^—Дк для тех значений к, для которых Zk > у(м1,...,мп);
^ мк = hk + Дк для тех значений к, для которых Zk < у(М1,...,Мп).
Максимум функции у(М1,...,Мп) может быть определен с помощью следующей итерационной процедуры. Пусть Zr = сг + (г = 1, п). Предположим,
что все Zr упорядочены по возрастанию, то есть
Zl < Z2 < ... < Zn . _
1. Пусть мг = ^для г =1,п Вычислим у’= y(h1,...,hn) по формуле (8).
2. Определим такое к(1 < к < п—1), что zk < у'< Zk+l.
3. Пусть мг = hr— Дг для г < к и мг = hr+Дr для г > к +1. Вычислим уп = у(^ — Д1,...,hk— Дк, ^+1 + Дk+1,...,hn+Дn) по формуле (8). Так как все zr упорядочены по возрастанию, с учетом формул (10) и (11) и неравенства zk < у’ < Zk+1, можно утверждать, что у’’> у, поскольку мг выбраны так, что мг уменьшены для г < к и мг увеличены для г > к+1.
4. Если у’ = у’’, то вычисления заканчиваются, а у’’ представляет собой максимум функции у(м1,...,мп). Если у’Фу’’, то осуществляется переход к шагу 5.
5. Полагаем уу = у ’’ и осуществляем переход к шагу 2.
Алгоритм требует не более п итераций, где одна итерация состоит из шагов 2—5 [3].
Минимум функции у(м1,...,мп) может быть определен с помощью аналогичной итерационной процедуры, где Zr = сг + иг, (г =1,п); а на Шаге 3 для вычисления у’’ = у(^+Дь...^к+Дк, ^+1 —Дk+l,...,hn+Дn) полагается, что мг + Дг для г < к и мг = hr—Дr для г > к + 1.
Генетический алгоритм, обеспечивающий повышение
точности прогнозирования на основе нечетких множеств второго типа
Самостоятельной задачей при прогнозировании на основе нечетких временных рядов является определение оптимальных параметров модели, обеспечивающих максимальную точность прогнозирования: действительных чисел D1, D2, используемых при корректировке универсума и, количества интервалов разбиения D3 = п универсума и и степеней принадлежности элементов D4 (аиррег), D5 (а1омег) для ИДНМТ2. Применение генетического алгоритма (ГА) позволяет значительно сократить время
поиска оптимальных значений параметров D1, D2, D3, D4, D5 [5]. При этом хромосома з будет иметь вид: з = ^1, D2, D3, D4, D5). Для каждого элемента хромосомы следует задать диапазоны их изменения: для Dl — [—^1; 0], для D2 — [0; йУ, для Dз = п—[2; птах], для D4, D5 — [0; 1], где <11, <12, — положительные действительные числа, равные, например, <!{ = Dmax—Dmin, I = 1,2; птах — натуральное число, птах < т—1 (т — количество значений временного ряда). Также при формировании начальной популяции, при выполнении операций скрещивания и мутации необходимо следить за выполнением требования: D4 > D5 так как элементы D4, D5,, в хромосоме определяют верхнее и нижнее значение функций принадлежности ИДНМТ2 соответственно.
Для каждого набора параметров D1, D2, D3, D4, и D1, D2, D3, D5 необходимо вычислить функцию соответствия. В качестве функции соответствия можно выбрать функцию (5). Однако при вычислении функции соответствия по формуле (5) для хромосом как начальной популяции размера Р, так и расширенной популяции размера (Р +Р*Рс) (где Рс — коэффициент скрещивания) может быть получено значение вида «0/0» (если имеются группы нечетких зависимостей с неопределенными правыми частями, и поэтому невозможно вычислить прогнозное значение по формулам (3), (4), так как значение приращения фактора у+ определяется как «0/0»). Поэтому при удалении из популяции размером (Р + Р*Рс) хромосом с худшими значениями функций соответствия следует предварительно оценить хромосомы со значением функции соответствия «0/0» как наихудшие (например, таким хромосомам можно поставить в соответствие максимально возможное значение ошибки, равное 100%). При сортировке хромосом по возрастанию значений функций соответствия хромосомы со значением функции соответствия, равным «0/0», будут занимать последние места в списке и в результате отбраковки Р*Рс худших хромосом будут исключаться из популяции [1]. Для обеспечения гарантированного выполнения прогноза следующего значения временного ряда необходимо видоизменить функцию соответствия в ГА следующим образом. Если для каждого набора D1, D2, D3, D4, и D1, D2, D3, D5 некоторой хромосомы з определены все правые части групп нечетких зависимостей, то функция соответствия для этих наборов вычисляется по формуле (5). Если для любого из наборов D1, D2, D3, D4, и D1, D2, D3, D5 не определена хотя бы одна правая часть в группах нечетких зависимостей, то значение функции соответствия находится как сумма средней относительной ошибки прогноза по формуле (5) и числа 100.
Таким образом, видоизмененная функция соответствия имеет вид:
если определены все правые части в группах ’ логических зависимостей
если не определена хотя бы >
А Г ЕЯ + 100, одна правая часть в группах (12) логических зависимостей
где AFER определяется по формуле (5), V = ajower,
aupper
В результате, набор D1, D2, D3, D4 или D1, D2, D3, D5, несмотря на то, что для него средняя относительная ошибка прогноза по формуле (5) может быть минимальной (если значение функции соответствия не определяется как «0/0»), будет признан одним из худших в процессе реализации ГА, и, возможно, соответствующая ему хромосома будет исключена из популяции.
На основе наборов D1, D2, D3, D4 и D1, D2, D3, D5, вычисляются два значения функций соответствия Ja и J„, . Если хотя бы для одного из наборов
'Supper Slower г—у г—у г
значение функции соответствия оказалось больше 100, то соответствующую ему хромосому следует признать «нежизнеспособной» и положить значение ее функции соответствия J равным наибольшему из двух значений функций соответствия наборов Di, D2, D3, D4 и Di, D2, D3, D5. При этом нет необходимости в вычислении функции соответствия для хромосомы с использованием алгоритма Карника-Менделя для определения центроида ИДНМТ2. В противном случае для хромосомы s вычисляется средняя относительная ошибка прогнозирования AFER по формуле (5) с использованием алгоритма Карника-Менделя для определения центроида ИДНМТ2. Если значение AFER для s (и ИДНМТ2) окажется меньше, чем значения функций соответствия Ja и J„, и для наборов
upper lower
D1, D2, D3, D4 и D1, D2, D3, D5 соответственно, то такую хромосому следует считать «жизнеспособной», а значение ее функции соответствия Js положить равным AFER, иначе необходимо положить значение ее функции соответствия Js равным AFER + 100 (для возможного исключения этой хромосомы из популяции). Таким образом, функцию соответствия хромосомы s следует вычислять по формуле:
Отметим, что необходимо затратить дополнительное время на формирование начальной популяции, чтобы она состояла только из «жизнеспособных»
хромосом (у которых значение функции соответствия меньше 100). Тогда выполнение операций скрещивания и мутации будет более эффективным и результативным (иначе вся популяция может быть с самого начала «нежизнеспособной»). Хромосома, минимизирующая функцию (13), имеет больше шансов быть признанной лучшей. Выбор родителя будет состоять в выборе лучшей хромосомы из двух случайно выбранных. Затем две выбранные таким образом хромосомы-родителя используются для скрещивания, при этом выбирается коэффициент скрещивания Кс и генерируется число N = гаМот([0, 1)]. Если Кс > Ис, то случайным образом выбирается точка скрещивания г и выполняется скрещивание. При выполнении мутации выбирается коэффициент мутации Кт и генерируется число Ит = гаМот([0, 1)]. Если Кт > Ит, то случайным образом выбирается точка мутации г.
Тогда генетический алгоритм имеет вид:
1. Создается начальная популяция размера Р из случайным образом выбранных хромосом з.
2. При ё < О (О — количество генераций) вычисляется функция соответствия для каждой хромосомы, затем создается Р/2 пар хромосом-родителей и осуществляется переход к шагу 3. При ё > О осуществляется переход к шагу 5.
3. Выполняются операции скрещивания и мутации для текущей популяции.
4. Создается новая популяция размера Р, дополненная хромосомами-детьми, а хромосомы с худшими значениями функции соответствия отбрасываются.
5. Выбирается лучшая хромосома, которая минимизирует функцию соответствия.
Пример прогнозирования
На примере данных по фактору «численность занятого населения» (в России) для периодов
2-1999 — 5-2004, полученных от Госкомстата (табл. 1) была построена нечеткая модель прогнозирования на основе ИДНМТ2. Представление выходных значений фактора на основе ИДНМТ2 приведено в табл. 1. При этом были получены группы нечетких логических зависимостей:
Группа 1: FOU1 ^ FOU2.
Группа 2: FOU2 ^ FOU5, FOU6.
Группа 3: FOU3 ^ FOU2, FOU3, FOU4FOU7.
Группа 4: FOU4 ^ FOU3.
Группа 5: FOU5 ^ FOU1, FOU3, FOU5.
Группа 6: FOU6 ^ FOU5.
Группа 7: FOU1 ^ FOU4.
0 2 ____!___!____|____!____!___!____!____\____!___
’ 11-1999 5-2001 11-2002 5-2004
Рис. 2. Графические зависимости для реальных и прогнозируемых значений
В табл. 2 приведены параметры трех однофакторных нечетких моделей и результаты прогнозирования. «Модель 1» основана на ДНМТ1 при заранее заданном значении степени принадлежности элементов нечеткому множеству . Параметры определялись с помощью ГА. «Модель 2» основана на ДНМТ1. Параметры определялись с помощью ГА. «Модель 3» основана на ИДНМТ2. Параметры определялись с помощью ГА. На рис. 2 приведены графические зависимости для реальных и прогнозируемых значений на основе ИННМТ2. Анализ результатов моделирования показывает уменьшение средней относительной ошибки прогнозирования за счет применения ИДНМТ2 (при этом относительная ошибка прогнозирования для периода 5-2004 на основе «Модели 3» равна 1,173505 %).
Заключение
Предлагаемый метод прогнозирования тенденций рынка труда обеспечивает получение более высоких результатов прогноза, чем предложенный в [4], и может быть рекомендован для проведения краткосрочных прогнозов. Применение ИДНМТ2 и ГА для поиска оптимальных параметров нечеткой модели обеспечили более высокую точность прогноза. Для повышения точности прогноза можно представлять значения временных рядов с помощью непрерывных нечетких множеств второго типа, что приводит, однако, к соответствующему увеличению вычислительной сложности и временных затрат. ■
Таблица 1
Фактор «численность занятого населения»
Месяц-год Фактор, тыс. ч. Приращение, тыс. ч. Входное ИДНМТ2 Выходное ИДНМТ2 (V = а/тег аиррег)
2-99 60614 - - -
5-99 62462 1848 -
8-99 63742 1280 0/Л 1+0/Л 2+0/Л 3+К/Л 4+1/Л 5+У/Л 6+0/Л 7
11-99 63082 -660 1/Л 1+К/Л2+1/Л3+К/Л4+1/Л5+К/Л6+0/Л7
2-00 62439 -643 рои3 К/Л 1+1/Л2+1/Л3+1/Л4+К/Л5+К/Л6+1/Л7
5-00 64961 2522 FOu7 К/Л 1+1/Л2+1/Л3+1/Л4+К/Л5+К/Л6+1/Л7
8-00 65154 193 FOU4 0/Л1+0/Л2+К/Л3+1/Л4+К/Л5+0/Л6+0/Л7
11-00 64465 -689 рои3 0/Л1+К/Л2+1/Л3+К/Л4+1/Л5+К/Л6+0/Л7
2-01 62953 -1512 FOU2 К/Л 1+1/Л2+1/Л3+1/Л4+К/Л5+К/Л6+1/Л7
5-01 64542 1589 FOU6 0/Л1+0/Л2+0/Л3+К/Л4+1/Л5+1/Л6+У/Л7
8-01 65459 917 FOUъ 0/Л1+0/Л2+0/Л3+К/Л4+1/Л5+К/Л6+0/Л7
11-01 64664 -795 FOUа 1/Л 1+К/Л2+1/Л3+К/Л4+1/Л5+К/Л6+0/Л7
2-02 65021 357 FOU4 К/Л 1+1/Л2+1/Л3+1/Л4+К/Л5+К/Л6+1/Л7
5-02 65962 941 FOUь 0/Л1+К/Л2+1/Л3+К/Л4+1/Л5+К/Л6+0/Л7
8-02 67502 1540 FOUъ 1/Л 1+К/Л2+1/Л3+К/Л4+1/Л5+К/Л6+0/Л7
11-02 65766 -1736 FOU1 1/Л 1+К/Л2+1/Л3+К/Л4+1/Л5+К/Л6+0/Л7
2-03 64104 -1662 FOU2 К/Л1+1/Л2+К/Л3+0/Л4+0/Л5+0/Л6+0/Л7
5-03 65528 1424 FOUъ 0/Л 1+0/Л 2+0/Л 3+К/Л 4+1/Л 5+1/Л 6+ К/Л 7
8-03 66674 1146 FOUъ 1/Л 1+К/Л2+1/Л3+К/Л4+1/Л5+К/Л6+0/Л7
11-03 66496 -178 FOUа 1/Л 1+К/Л2+1/Л3+К/Л4+1/Л5+К/Л6+0/Л7
2-04 64941 -1555 FOU2 К/Л 1+1/Л2+1/Л3+1/Л4+К/Л5+К/Л6+1/Л7
5-04 67271 2330 FOU6 0/Л 1+0/Л 2+0/Л 3+К/Л 4+1/Л 5+1/Л 6+ К/Л 7
Таблица 2
Параметры нечётких моделей
Параметры «Модель 1» «Модель 2» «Модель 3»
01 816,486940898299 818,938883168293 818,914669508277
°2 662,918661869601 656,198590769605 656,765458625010
°3= п 7 7 7
й0 = а 0,5 0 -
аиррег (а!опег) - - 1 (0)
ЛFER (%) 1,22965304295085 1,22676137780468 1,22528803913897
^^иррег (%) - - 1,24229944946879
^^Оожг (%) - - 1,22678992137390
Г (с) 36,782 91,203 187,734
Литература
1. Демидова Л.А. Прогнозирование тенденций рынка труда на основе однофакторных нечетких временных рядов // Системы управления и информационные технологии, 2007, № 3.2(29). - С. 241-246.
2. Chen S.M. Forecasting enrollments based on fuzzy time series // Fuzzy Sets Systems, 1996, vol. 81, no. 3, pp. 311-319.
3. Mendel J. M. Type-2 fuzzy sets and systems: an overview // IEEE Computational intellegence magazine. 2007, vol. 2, № 1, pp. 20-29.
4. Ярушкина Н.Г. Основы теории нечетких и гибридных систем: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2004, 320 с.: ил.
Г
л
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - ВЫСШАЯШКОЛАЭКОНОМИКИ
представляет свои периодические издания
ЭКОНОМИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ ЭКОНОМИКИ
ЕЖЕКВАРТАЛЬНЫЙ НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЖУРНАЛ
Издается с 1997 г.
Главный редактор -
Евгений Евгеньевич Гавриленков
Журнал освещает теоретические и прикладные проблемы экономической науки. В каждом* номере - статьи ведущих российских экономистов. Рецензии, методологические и лекционные материалы. Эксклюзивные статьи зарубежных экономистов. Данные официальной статистики по широкому кругу вопросов.
Каталог Агентства «Роспечать» - индекс 79264 Объединенный каталог «Пресса России» - индекс 29233
Координаты редакции:
101990 Москва, ул. Мясницкая, 20, офис 235 e-mail: redact@hse.ru, тел./факс: (495) 628-0442
РОССИЙСКАЯ ЭКОНОМИКА: ПРОГНОЗЫ И ТЕНДЕНЦИИ
ЕЖЕМЕСЯЧНЫЙ СПРАВОЧНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
Издается с 1993 г.
Главный редактор
Елена Анатольевна Иванова
Журнал освещает состояние, динамика и дает прогноз основных социально-экономических индикаторов. В каждом номере - хроника событий экономики. Результаты конъюнктурных опросов предприятий. Самые свежие данные. Аналитический материал представлен с использованием таблиц, графиков и диаграмм.
Каталог Агентства «Роспечать» - индекс 79275 Объединенный каталог «Пресса России» - индекс 40548
Координаты редакции:
117312 Москва, ул. Вавилова, 7, офис 203 Е-таіі: id.hse@mail.ru Тел./факс: (495) 772-9571
РАСПРОСТРАНЯЮТСЯ ПО РОССИИ И ДРУГИМ СТРАНАМ СНГ. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ - НА САЙТЕ: www.hse.ru
v:
j
/Г
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
представляет свои периодические издания
ВЕСТНИК МЕЖДУНАРОДНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ:
образование, наука, новая экономика ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
Издается с 2006 г.
Главный редактор -
Марина Владимировна Ларионова
Освещает деятельность ведущих международных организаций и объединений в области образования, науки, новой экономики, а также в области международной и социально-экономической политики, решения вопросов глобального развития. Содержит информацию о международных конференциях, форумах и семинарах, проектах и новых публикациях.
Каталог Агентства «Роспечать» - индекс 20054
Координаты редакции:
101000 Москва, ул. Мясницкая, 20 Тел.: (495) 621-4464, факс: (495) 621-8711 E-mail: iori@hse.ru
