CC BY
33
Cloud of Science. 2019. T. 6. № 3 http://cloudofscience.ru
Многокритериальная оптимизация в моделях
прогнозирования на основе интервальных дискретных нечетких множеств второго типа1
Л. А. Демидова, М. А. Степанов
Рязанский государственный радиотехнический университет, 390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1
e-mail: liliya.demidova@rambler.ru, smastefan@gmail.com
Аннотация. В статье рассматривается подход к решению задачи многокритериальной оптимизации в моделях прогнозирования на основе интервальных дискретных нечетких множеств второго типа (ИДНМТ2), при этом в качестве критериев оптимизации используются показатель средней относительной ошибки прогнозирования и показатель несовпадения тенденций. Приведены примеры решения задач краткосрочного прогнозирования временных рядов социально-экономической сферы в условиях многокритериальной оптимизации, подтверждающие эффективность предлагаемого подхода к решению задачи многокритериальной оптимизации в моделях прогнозирования на основе ИДНМТ2. Ключевые слова: временной ряд, модель краткосрочного прогнозирования, интервальное дискретное множество второго типа, многокритериальная оптимизация, показатель средней относительной ошибки прогнозирования, показатель несовпадения тенденций, генетический алгоритм.
1. Введение
Решение задачи прогнозирования временных рядов (ВР) востребовано в различных сферах деятельности человека [1, 2]. Поскольку большинству реальных процессов, которым могут быть сопоставлены ВР, присуща некоторая неопределенность, то, очевидно, что элементам ВР можно поставить в соответствие нечеткие переменные с соответствующими функциями принадлежности (ФП). Использование нечетких отношений и нечетких правил вывода позволяет строить при приемлемых временных затратах эффективные модели краткосрочного прогнозирования ВР [3].
Обычно для представления неопределенности применяются нечеткие множества первого типа (НМТ1), называемые в литературе просто нечеткими множествами. Нечеткие множества второго (НМТ2) типа позволяют представлять, обрабатывать и моделировать различные неопределенности, которые не могут быть адекватно представлены с помощью НМТ1 [4]. Применение НМТ2 приводит к некоторому
'Работа выполнена при поддержке РФФИ и Правительства Рязанской области (грант № 18-410623001).
увеличению вычислительном сложности алгоритмов расчета по сравнению с НМТ1. Вычислительная сложность алгоритмов расчета может быть уменьшена при использовании интервальных НМТ2 (ИНМТ2) [4]. Уменьшение вычислительной сложности при использовании ИНМТ2 объясняется тем, что все вторичные степени принадлежности в этом случае полагаются равными 1, что упрощает операции над ними. Дискретизация ИНМТ2, т. е. переход к интервальным дискретным НМТ2 (ИДНМТ2), также позволяет уменьшить вычислительные затраты на реализацию алгоритмов расчета.
В предлагаемой статье рассматриваются однофакторные МП, т. е. МП, при разработке которых используются значения элементов одного ВР, представляющего прогнозируемый фактор. В качестве базовой МП на основе ИДНМТ2 фигурирует модель, предложенная в [5].
2. Базовая модель прогнозирования
Пусть d(t) (t = 0,1, 2,..., m) — ВР на основе реальных значений прогнозируемого фактора, а Ad(t) (t = 0,1, 2,..., m) — ВР на основе значений приращений этого фактора:
Ad (t) = d (t) - d (t-1). (1)
Использование ВР на основе значений приращений фактора позволяет повысить точность разрабатываемой МП [3, 5].
Пусть универсум X, на котором задан ВР Ad (t ), определен как
X = Dmm -Д, Dmax + Д], (2)
где D и D — минимальное и максимальное значения элементов ВР
' 1 mill max
Ad (t) (t = 0,1, 2,..., m) соответственно (Dmin = min(Ad (t)), Dmax = max( Ad (t))), а Dx
t=1, m t=1,m
и D — действительные числа, использование которых позволяет разбить универсум X на n интервалов равной длины: x,X,...,xn [3, 5].
Тогда ИДНМТ2 A, определенное на универсуме X, может быть представлено
как
 = II, (*! )/A'j + II, (х2 )/*,+... + и , (х„ )/Х„ , (3 )
где м^ (x) = иà (x), й^ (x); м^ (x), й^ (x) — «нижняя» и «верхняя» ФП ИДНМТ2, которые являются обычными ФП дискретных НМТ1 (ДНМТ1) на интервале x и характеризуют «отпечаток неопределенности» FOU (Footprint Of Uncertainty); it~(x)\X —>[0,1]; ti-4(xr) (r = \,ri) —степень принадлежности интервала xr универсума X по «нижней» и «верхней» функциям принадлежности ИДНМТ2.
УПРАВЛЕНИЕ В СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Рисунок 1. Пример «отпечатка неопределенности» FOU для ИДНМТ2
На рис. 1 приведен пример «отпечатка неопределенности» FOU для ИДНМТ2. Зеленым цветом показана нижняя огибающая, а красным — верхняя огибающая «отпечатка неопределенности» FOU соответственно.
Лингвистические термы Ar (г = 1, п) на основе ИДНМТ2 могут быть представлены как [5]
Д = + а/х2 + 0/х3 +... + 0/хя ч + 0/хя,
Д = Nxi + Vх 2 + Л/*з + 0/х4 +... + 0/хя,
Д = 0/xi + 0/х2 +... + 0/хя 2 + Л/х,^ + 1/хя,
где А = a!ower, aupper; a!ower и с^,,. — значения «нижней» ФП » .(л-, ) и «верхней» ФП й^(xr) на интервале xr (r = 1,и) соответственно.
Лингвистическому терму Аг (г = 1,и) соответствует «отпечаток неопределенности» FOUr, границы которого определяются с учетом значений «нижней» и «верхней» функций принадлежности и л (xr ) и й-^ (xr ) соответственно на интервалах x (r = 1, п) универсума.
Если значение приращения фактора принадлежит интервалу x, то соответствующий ему «отпечаток неопределенности» FOUx имеет вид: l'Ol/, = l/Д + Л/Д (Л = alower, aupper ). Если значение приращения фактора принадлежит интервалу xr {r = 2,n — 1), то соответствующий ему «отпечаток неопределенности» FOUr имеет вид: FOUг = Л/Д , +1/Д + Л/Д+1 (Л = alower, aupper ). Если значение приращения фактора принадлежит интервалу хп. то соответствующее ему нечеткое значение FOUn имеет вид: FOUn = Л Д , + l/Д (Л = alower, aupper).
МП на основе ИДНМТ2 может быть построена следующим образом. Пусть для t-го и (/+1)-го отсчетов времени ВР определены FOU и FOU соответственно. Тогда для /-го и (t + 1)-го отсчетов времени может быть сформирована нечеткая логическая зависимость (НЛЗ) первого порядка: FOUj ^ FOU:. НЛЗ k-го порядка формируются аналогичным образом.
Группы нечетких логических зависимостей (ГНЛЗ) определяются посредством объединения НЛЗ с одинаковой левой частью в одну группу. Так, например, если сформированы НЛЗ:
FOU , FOU ,..., FOU ^ FOU,
Jk J(k-l) J1 h.
FOU , FOU ,..., FOU ^ FOU ,
Jk J(k-1) J1 *2
FOU , FOU ,..., FOU ^ FOU ,
Jk J(k-1) J1 Lg
то они объединяются в группу:
FOU , FOU ,..., FOU ^FOU , FOU ,..., FOU . (5)
Jk J( k-1) J1 Z1 h Lg 4 7
«Нижняя» и «верхняя» ФП ИДНМТ2, характеризующие правую часть группы,
пРи ^ = alower, а^ вычисляются как [5]:
UFOU (Xr ) = max( UFOUl (Xr),UFOU; (XrX- , UFOU[
(xr ) )(r = 1,«). (6)
Результирующие ДНМТ1 для (t + 1)-го отсчета времени находятся как объединения ДНМТ1, соответствующих «нижней» и «верхней» ФП, для тех «отпечатков неопределенности» FOU, которые включены в правую часть ГНЛЗ для (t + 1)-го отсчета времени.
В итоге при прогнозировании значения элемента ВР для (t + 1)-го отсчета времени определяются соответствующие ему ИДНМТ2 и «отпечаток неопределенности» FOU.
Такая МП на основе ИДНМТ2 не учитывает повторы «отпечатков неопределенности» FOU в правых частях ГНЛЗ. Эту МП целесообразно использовать, если в ГНЛЗ отсутствуют повторяющиеся элементы — «отпечатки неопределенности» FOU — в правых частях ГНЛЗ, а также если не существует явного преобладания по числу повторов «отпечатков неопределенности» FOU в правых частях ГНЛЗ.
Прогнозируемое значение f (t +1) для (t + 1)-го отсчета времени находится как сумма известного значения элемента d (t) ВР для t-го отсчета времени, и значения центроида, т. е. дефаззифицированного значения приращения фактора y(t +1) для (t + 1)-го отсчета времени.
Значение центроида y(t +1) для (t + 1)-го отсчета времени вычисляется с применением операции «понижения типа» ("type-reduction") [4], при выполнении которой определяют два ДНМТ1, «вложенных» в «отпечаток неопределенности» FOU ИДНМТ2 А, и имеющих минимальный и максимальный центроиды в А. ИДНМТ2 может быть представлено интервалом, который описывается с помощью его левой и правой конечных точек как [yleft, ynght], соответствующих указанным выше ДНМТ1.
Центроид ДНМТ1 представляет собой взвешенное среднее и вычисляется как
УПРАВЛЕНИЕ В СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
y(t +1) = £wr(t + 1) • xJ TJwr(t + 1), (7)
r=\ / r=\
где n — число интервалов xr (r = 1, n); xr — средняя точка r-го интервала xr; wr (t +1) — значение степени принадлежности для r-го интервала результирующего ДНМТ1 для (t + 1)-го отсчета времени в правой части ГНЛЗ вида (5) с ФП вида (6) (при этом в формулах (5) и (6) вместо «отпечатков неопределенности» FOU фигурируют ДНМТ1).
Центроид С - ИДНМТ2 вычисляется через центроиды ДНМТ1, вложенных в «отпечаток неопределенности» FOU. В результате определяется четкий интервал [Ум,bright], на основе значений границ которого вычисляется четкое значение y (t +1) для (t + 1)-го отсчета времени:
y(t +1) = y'eft +yright. (8)
Для вычисления значения центроида ('- ИДНМТ2 может быть использован
итерационный алгоритм Карника - Менделя [4], а также некоторые другие специальные алгоритмы , позволяющие существенно снизить вычислительные затраты.
В базовой МП на основе ИДНМТ2, которая является однокритериальной, в качестве критерия оценки качества используется средняя относительная ошибка прогнозирования (AFER — average forecasting error rate) [3, 5], которая должна быть минимизирована:
1 т
AFER = — £|(f (t) - d(t))/d(t)| • 100%, (9)
m i=1
где f (t) и d(t) — предсказанное и реальное значения для t-го отсчета времени; т — число значений ВР (число отсчетов времени).
При разработке МП на основе ИДНМТ2 актуальной задачей является задача поиска оптимальных значений параметров МП, обеспечивающих максимальную точность прогнозирования. В качестве таких параметров в МП на основе ИДНМТ2 выступают: действительные числа D, D2, используемые при корректировке границ универсума X, число интервалов разбиения n универсума X, порядок k МП, степени принадлежности alower и aupper. Применение генетического алгоритма (ГА)
позволяет значительно сократить время поиска оптимальных значений параметров модели прогнозирования на основе ИДНМТ2.
Для МП на основе ИДНМТ2 хромосома в ГА определяется как [5]
5 = D D2, n К alower , aupper )- (10)
В базовой версии ГА для каждого элемента хромосомы задаются диапазоны их изменения: для D1 — [0; dlj; для D2 — [0; dl2]; для n — [2; nmax]; для alower и
^upper--[0; 1], где d/j, d/2 — положительные действительные числа, равные,
наприме^ d/t = Dmax - Dmln, i = ¡,2; Птях — натуральное число, Птах < ™ - Ъ ™ — число отсчетов времени; для k — [2; kmax ]; kmm. — натуральное число, kmm. < т -1.
Особенностью базовой версии ГА является то, что как при создании начальной популяции хромосом, так и при создании хромосом-отпрысков для каждого нового набора (D, D, n, k, alower, aupper) необходимо проверить возможность формирования
ГНЛЗ с непустыми правыми частями. Если требование о возможности формирования ГНЛЗ с непустыми правыми частями выполняется, то функция соответствия Fit вычисляется по формуле (9), а набор (Dj, D2, n, k, alower, aupper) добавляется в качестве
хромосомы в популяцию. В противном случае набор (D,, D2, n, k, alower, aupper) отбраковывается как «нежизнеспособный». Кроме того, при реализации базовой версии ГА необходимо следить за выполнением условия: aupper > alower, так как числа alower и
aupper определяют «нижнее» и «верхнее» значения ФП ИДНМТ2 соответственно. При этом каждый из наборов D, D2, n, k, alower и D1, D2, n, k, aupper проверяется на «жизнеспособность». Если хотя бы один из них будет признан «нежизнеспособным», то соответствующая ему хромосома 5 = (Dj, D2, n, k, alower, aupper) также признается «нежизнеспособной». В противном случае для хромосомы s с использованием итерационного алгоритма Карника - Менделя вычисляется значение средней относительной ошибки прогнозирования AFER (9).
В базовой версии ГА большое внимание уделяется созданию начальной популяции, состоящей только из «жизнеспособных» хромосом. В этом случае выполнение операций скрещивания и мутации будет более эффективным и результативным.
Хромосома, которая обеспечивает минимальное значение функции соответствии Fit (9), признается в качестве лучшей в текущем поколении базовой версии ГА. Подробно принципы реализации базовой версии ГА описаны в [5].
3. Предложения по развитию базовой модели прогнозирования
В п. 2 было отмечено, что при реализации базовой версии ГА необходимо выполнять проверку возможности формирования ГНЛЗ с непустыми правыми частями, что приводит к увеличению временных затрат на разработку МП. При этом даже если в начальной популяции все хромосомы являются «жизнеспособными», выполнение операций скрещивания и мутации может привести к появлению большого числа «нежизнеспособных» хромосом. В результате придется либо столкнуться с
УПРАВЛЕНИЕ В СОЦИАЛЬНО-
ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
эффектом медленного развития популяции хромосом (как вариант — с эффектом «замирания» развития популяции хромосом), либо увеличить временные затраты на формирование «жизнеспособных» хромосом при выполнении операций скрещивания и мутации.
В связи с этим предлагается при реализации ГА выполнить адаптацию диапазонов изменения значений некоторых параметров МП на основе ИДНМТ2 таким образом, чтобы постепенно сузить область поиска. В частности, наиболее перспективным представляется сузить диапазоны изменения значений числа интервалов разбиения п универсума X и порядка k МП.
Очевидно, что именно эти два параметра могут оказать существенное влияние на появление ГНЛЗ с пустыми правыми частями.
Предлагается через некоторое число поколений / выполнять выявление минимального и максимального ^тах числа интервалов разбиения универсума X с последующей корректировкой нижней щ и верхней п2 границ диапазона изменения значений числа интервалов разбиения п универсума X по правилам:
Предлагается через некоторое число поколений / выполнять выявление минимального Ктт и максимального Ктах порядка к МП с последующей корректировкой нижней к и верхней к2 границ диапазона изменения значений порядка к МП по правилам:
Адаптация границ диапазонов изменения значений указанных выше двух параметров может выполняться поочередно, например через каждые 5 поколений.
В таком случае ГА практически с первых поколений будет работать только с такими значениями числа интервалов разбиения п универсума X и порядка к МП, при которых ГНЛЗ гарантированно могут иметь непустые правые части, следовательно, хромосомы в популяции будут иметь больше шансов на признание их «жизнеспособными» (следует отметить, что в дальнейших исследованиях целесообразно сформировать рекомендации по адаптации границ диапазонов изменения чисел Д, Д, используемых при корректировке границ универсума X).
В п. 2 было отмечено, что базовая МП на основе ИДНМТ2 является однокри-териальной: в ней в качестве критерия оценки качества используется средняя относительная ошибка прогнозирования АББЯ (9). Качество базовой МП может быть
улучшено посредством введения в нее дополнительного критерия оценки качества, например показателя несовпадения тенденций Tendency, который должен быть минимизирован [6]:
где h — число отрицательных произведений (f(t — 1) — f(t)) • (d(t — 1) — d(t)) при t = k + 2, n, f (t) и d(t) — предсказанное и реальное значения элементов ВР для /-го отсчета времени; п — число отсчетов времени; k — порядок МП; n — k — 1 — общее число произведений (f (t — 1) — f (t)) • (d (t—1) — d (t)).
Критерии оценки качества МП (9) и (11) позволяют оценить сходство прогнозных значений известных элементов анализируемого ВР с реальными, но с применением разных принципов оценивания [6]. Критерий (9) позволяет оценить сходство прогнозных и реальных значений известных элементов ВР, а критерий (11) — сходство направлений изменения прогнозных и реальных значений известных элементов ВР.
Для решения задачи оптимизации МП по двум критериям могут быть применены различные подходы [6], в том числе подходы, реализующие многокритериальную оптимизацию с применением ГА (среди которых в первую очередь следует назвать такие алгоритмы, как VEGA, FFGA, NPGA, SPEA, NSGA и его модификации), что особенно интересно с учетом уже имеющихся авторских наработок по од-нокритериальной оптимизации МП на основе ИДНМТ2 с применением ГА. Считается, что алгоритм NSGA-II, являющийся модификацией алгоритма NSGA (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm), существенно превосходит другие алгоритмы многокритериальной оптимизации с точки зрения минимизации вычислительных затрат [7, 8]. Однако в контексте решения задачи многокритериальной оптимизации для МП на основе ИДНМТ2 с учетом специфики расчета функции соответствия в задаче однокритериальной оптимизации, предполагающей необходимость проверки возможности формирования ГНЛЗ с непустыми правыми частями, было принято решение о разработке авторской версии многокритериального ГА с заимствованием общих для многих многокритериальных ГА идей о выявлении Парето-фронта решений.
В соответствии с понятием Парето-доминирования одна МП доминирует над другой МП, если первая МП не хуже второй МП по обоим критериям оценки качества МП (9) и (11) и хотя бы по одному из этих критериев превосходит вторую МП.
Предлагается рассмотреть четыре способа выявления Парето-фронта решений.
Первый способ предполагает выявление Парето-фронта решений по результатам реализации однокритериального базового ГА. В этом случае выявление Парето-фронта решений будет выполняться с учетом двух критериев (9) и (11) в финальной популяции решений. При этом Парето-фронт может быть малочисленным и в пре-
Tendency = h/ (n — k -1),
(11)
УПРАВЛЕНИЕ В СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
дельном случае содержать только одно Парето-решение (другие Парето-решения могут быть удалены из популяции при минимизации функции соответствия (9) при реализации принципа элитизма для ГА, особенно — при реализации большого числа поколений ГА с возможным снижением разнообразия хромосом в популяции решений).
Второй способ предполагает выявление Парето-фронта решений в каждом поколении при реализации однокритериального базового ГА с занесением в отдельный пул всех различающихся между собой Парето-решений (без повторов). В этом случае Парето-фронт будет более многочисленным. При этом аналитик сможет выполнить сравнительный анализ Парето-фронтов для первого и второго подходов и отследить особенности развития как популяции решений, так и пула с Парето-решениями.
Третий способ предполагает выявление Парето-фронта решений в каждом поколении при реализации однокритериального базового ГА с занесением в отдельный пул всех различающихся между собой Парето-решений (без повторов). При этом все Парето-решения текущего поколения в произвольном порядке (с повторами) переносятся в начало списка решений, формируемого при реализации однокри-териального базового ГА, с целью подготовки текущей популяции решений к выполнению операций мутации и скрещивания: чем ближе решение к началу списка, тем больше вероятность того, что оно будет выбрано для выполнения дальнейших модификаций, направленных на улучшение уже найденных решений.
Четвертый способ предполагает выявление Парето-фронта решений в каждом поколении при реализации однокритериального ГА с занесением в отдельный пул всех различающихся между собой Парето-решений (без повторов). Значения функции соответствия этого ГА в текущем поколении определяются в результате аддитивной свертки нормированных значений оценок текущих решений (как Парето-решений, так и остальных решений) по критериям (9) и (11). Чем меньше значение такой функции соответствия, тем лучше соответствующее ему решение. При этом возможны два варианта организации списка решений, формируемого при реализации однокритериального ГА, с целью подготовки текущей популяции решений к выполнению операций мутации и скрещивания. Первый вариант организации списка предполагает выполнения упорядочения решений в порядке возрастания значений функции соответствия на основе аддитивной свертки без учета того, является ли решение Парето-решением или обычным решением. Второй вариант организации списка предполагает выполнение упорядочения решений в порядке возрастания значений функции соответствия на основе аддитивной свертки таким образом, что сначала в списке находятся упорядоченные Парето-решения, а затем уже упорядоченные остальные решения из популяции решений. При использовании второго вариан-
та организации списка вероятность того, что то или иное Парето-решение будет выбрано для выполнения дальнейших модификаций, направленных на улучшение уже найденных решений, выше.
Первые два способа обеспечивают только предоставление дополнительных возможностей по анализу решений, генерируемых в процессе развития популяции решений, но не позволяют управлять этим процессом с целью получения лучших решений. Последние два способа позволяют управлять процессом развития популяции решений, основываясь на принципах Парето-оптимальности, с целью получения лучших решений.
4. Исследование многоцелевых моделей прогнозирования на основе интервальных дискретных нечетких множеств второго типа
Исследование возможностей многоцелевых МП на основе ИДНМТ2 было выполнено на основе реальных значений ВР, характеризующих различные аспекты социально-экономического развития Рязанской области за 2002-2018 гг. (т. е. на основе статистических данных). Разработка всех МП осуществлялась на основе данных по 17 отсчетам времени (по 17 годам), прогнозирование выполнялось на один шаг вперед — для 2018 г. Результаты прогнозирования ВР сравнивались с реальными значениями показателей социально-экономического развития Рязанской области за 2018 г., а также со значениями, представленными для 2018 г. по ВР в официальном прогнозе социально-экономического развития Рязанской области [9].
В частности, были разработаны МП для ВР, характеризующих такие факторы, как «Уровень безработицы (по методологии МОТ)» (в процентах) и «Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата в целом по региону» (в рублях): Т(«Уровень безработицы (по методологии МОТ)») = = [6.2; 8.3; 5.8; 5.3; 5.2; 4.0; 5.5; 9.2; 8.4; 7.2; 4.6; 4.7; 4.4; 4.7; 4.4; 4.1; 4.2]; Т («Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата в целом по региону») =
= [3094.9; 4028.1; 4964.8; 6149.7; 7677.1; 9796.6; 12 686.3; 13 439.5; 15 288.9; 16 717.7; 19 098.4; 21 796.5; 24 280.2; 25 481.6; 27 261.2; 29 129.5; 31 966.80].
Значение последнего элемента в каждом ВР соответствовало 2018 г. Прогнозные значения на 2018 г. составили 4.4% для первого ВР и 31 353,60 руб., при этом ошибки прогнозов оказались соответственно равны -4.55 и 1.96% [9]. Приемлемыми с точки зрения специалистов-аналитиков считаются результаты прогнозирования, имеющие отклонение не более 5% от реальных значений (в противном случае требуется обосновать причины больших отклонений).
УПРАВЛЕНИЕ В СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Реализация ГА была выполнена с использованием популяции из 30 хромосом для числа поколений, равно 1000. Коэффициенты мутации и скрещивания были выбраны равными 0.7.
На рис. 2а представлены графически результаты разработки МП на основе ИДНМТ2 и прогнозирования на один шаг вперед на 2018 г., соответствующий 17 отсчету времени на рисунке для ВР, характеризующего фактор «Уровень безработицы (по методологии МОТ)». На рис. 2б представлен Парето-фронт, полученный по итогам анализа пула с Парето-решениями по всем поколениям ГА и содержащий два финальных Парето-решения, определяющие МП 3-го и 2-го порядков. При этом число интервалов разбиения для МП 3-го порядка, признанной лучшей, оказалось равным 5, числа Д и Д корректировки границ универсума оказались соответственно равны -1.964 и 1.706, а значения чисел а1отгег и аиррег, определяющих «нижнее» и «верхнее» значения ФП ИДНМТ2, оказались соответственно равны 0.004 и 0.142. Значения оценок по критериям (9) и (11) составили соответственно 6.63% и 0.333, а ошибка прогнозирования на один шаг вперед оказалась равной 4.22%, что меньше ошибки, диагностированной на основе прогнозного значения в [9] и равной по модулю 4.55% (в этом случае имела место еще и ошибка в определении направления тенденции развития ВР на 2018 г.).
-Реальное значение - Верхняя граница
ение (с понижением типа)
9
| 0.45
а о.4
5
I 0.35 1=1
8
|
» 0.3
О Модели ° Парето-фронт
О О ООО
10 12 14 Отсчёт времени
6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 Значение средней относительной ошибки прогнозирования
б
Рисунок 2. Результаты разработки МП на основе ИДНМТ2 для ВР, характеризующего фактор «Уровень безработицы (по методологии МОТ)»
На рис. 3а представлены графические результаты разработки МП на основе ИДНМТ2 и прогнозирования на один шаг вперед на 2018 г., соответствующий 17 отсчету времени на рисунке для ВР, характеризующего фактор «Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата в целом по региону». На рис. 3б представлен Парето-фронт, полученный по итогам анализа пула с Парето-решениями по всем поколениям ГА и содержащий одно решение, определяющее МП 3-го порядка. При этом число интервалов разбиения для этой МП оказалось равным 6, числа
Д и Д
корректировки границ универсума оказались соответственно равны
а
-199.556 и 255.696, а значения чисел а1отгег и аиррег, определяющих «нижнее» и «верхнее» значения ФП ИДНМТ2, оказались соответственно равны 0.091 и 0.118. Значения оценок по критериям (9) и (11) составили соответственно 1.11% и 0, а ошибка прогнозирования на один шаг вперед оказалась равной 0.16%, что существенно меньше ошибки, равной 1.96% (диагностированной на основе прогнозного значения оценки в [9]).
А Реальное значение
—•— Верхняя граница
—в—Нижняя граница
—♦—Прогнозное значение (с пония ением типа)
10 12 14 16 Отсчёт времени
а
о Модели о Парето-фронт
оо о <даэ ©одаз о
^ _I_I_I_I_I
3 1.113 1.114 1.115 1.116 1.117 1.118 Значение средней относительной ошибки прогнозирования
б
Рисунок 3. Результаты разработки МП на основе ИДНМТ2 для ВР, характеризующего фактор «Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата в целом по региону»
Анализ результатов, полученных для двух рассмотренных ВР, позволяет сделать следующие выводы. Первый ВР обладает более высоким уровнем неопределенности в своем развитии, что отражается в существовании более явно выраженного «отпечатка неопределенности» и, как следствие, в более явно выраженных нижней и верхней границах ИДНМТ2 на рис. 2а. Более высокий уровень неопределенности первого ВР привел также к большему разнообразию Парето-решений по всем поколениям ГА в пуле (рис. 2б), а также к получению больших значений оценок по критериям (9) и (11). Использование четвертого подхода к выявлению Паре-то-фронта решений позволило ускорить поиск лучших решений задачи многоцелевой оптимизации для МП на основе ИДНМТ2 посредством управления направлением поиска на основе аддитивной свертки нормализованных оценок по критериям (9) и (11). При этом положительный эффект на ускорение поиска лучших решений оказала также адаптация границ диапазонов поиска числа интервалов разбиения универсума и порядка МП.
5. Заключение
Предложенный подход к решению задачи многокритериальной оптимизации в МП на основе ИДНМТ2 использует в качестве критериев оптимизации показатель средней относительной ошибки прогнозирования и показатель несовпадения тен-
УПРАВЛЕНИЕ В СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
денций. Исследование перспективности использования этого подхода при решении задач краткосрочного прогнозирования ВР было выполнено на основе статистической информации о социально-экономическом развитии Рязанской области. Результативность предлагаемого подхода подтверждена примерами расчетов прогноза на один шаг вперед, в частности, для двух ВР: «Уровень безработицы (по методологии МОТ)» и «Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата в целом по региону». В дальнейшем планируется выполнить развитие и исследование новых подходов к ускорению процесса поиска лучших решений задачи многоцелевой оптимизации для МП на основе ИДНМТ2.
Литература
[1] Андерсен Т. Статистический анализ временных рядов. — М. : Мир. 1976.
[2] Паклин Н. Б., Орешков В. И. Бизнес-аналитика от данных к знаниям. — СПб. : Питер. 2013.
[3] Демидова Л. А. Разработка однофакторных нечетких моделей для анализа тенденций временных рядов с использованием генетического алгоритма // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. 2007. № 4-2 (52). С. 156-164.
[4] Mendel J. M. Type-2 fuzzy sets and systems: an overview // IEEE Computational Intellegence Magazine. 2007. Vol. 2. No. 1. P. 20-29.
[5] Демидова Л. А. Прогнозирование тенденций временных рядов на основе однофактор-ной нечеткой модели с использованием дискретных нечетких множеств второго типа и генетического алгоритма // Бизнес-информатика. 2008. № 4 (6). С. 46-53.
[6] Астахова Н. Н., Демидова Л. А. Сравнительный анализ вариантов оптимизации при разработке моделей прогнозирования на основе строго бинарных деревьев // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. 2016. № 2 (34). С. 9-25.
[7] Deb K., Pratap A., Agarwal S., Meyarivan T. A Fast and Elitist Multiobjective Genetic Algorithm: NSGA II // KanGAL Report No. 200001. Indian Institute of Technology. Kanpur. India. — 2000. P. 182-197.
[8] Deb K., Jain H. An evolutionary many-objective optimization algorithm using reference-point based non-dominated sorting approach, Part I. Solving problems with box constraints // IEEE Transactions on Evolutionary Computation. 2014. Vol. 18(4). P. 577-601.
[9] Сравнение прогнозных значений показателей социально-экономического развития Рязанской области с фактическими результатами за 2018 год [Электронный ресурс] https://mineconom.ryazangov.ru/upload/iblock/0fa/sravn_prognoz_2018.pdf
Авторы:
Лилия Анатольевна Демидова — доктор технических наук, профессор кафедры вычислительной и прикладной математики, Рязанский государственный радиотехнический университет
Максим Анатольевич Степанов — аспирант, Рязанский государственный радиотехнический университет
Multicriteria optimization in the forecasting models on the basis of the interval discrete type-2 fuzzy sets
Liliya Demidova, Maxim Stepanov
Ryazan State Radio Engineering University
Gagarin Str., 59/1, Ryazan, Russian Federation, 390005
e-mail: liliya.demidova@rambler.ru, smastefan@gmail.com
Abstract. The article discusses the approach to solving the multicriteria optimization problem in the forecasting models based on the interval discrete type-2 fuzzy sets of the second type (IDT2FS), while the average relative forecast error and the trend mismatch index are used as the optimization criteria. The examples of solving the short-term time series forecasting problems in the socio-economic sphere under conditions of multicrite-ria optimization, confirming the effectiveness of the proposed approach to solving the multicriteria optimization problem in the forecasting models based on the IDT2FS have been given.
Keywords: time series, short-term forecasting model, interval discrete type-2 fuzzy set, multicriteria optimization, average relative forecast error indicator, trend mismatch indicator, genetic algorithm.
References
[1] Andersen T. (1976) Statisticheskij analiz vremennyh ryadov. Moscow, Mir [In Rus]
[2] Paklin N. B., & Oreshkov V. I. (2013) Biznes-analitika ot dannyh k znaniyam. Saint-Petersburg, Piter [In Rus]
[3] Demidova L. A. (2007) Nauchno-tekhnicheskie vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo politekhnicheskogo universiteta, 4-2 (52): 156—164. [In Rus]
[4] Mendel J. M. (2007) IEEE Computational Intellegence Magazine, 2(1 ):20-29.
[5] Demidova L. A. (2008) Business Informatics, 2(1):20-29. [In Rus]
[6] Astakhova N. N., and Demidova L. A. (2016) Prikaspijskij zhurnal: upravlenie i vysokie tekhnologii, 2(34):9-25 [In Rus]
[7] Deb K., Pratap A., Agarwal S., Meyarivan T. (2000) KanGAL Report No. 200001. Indian Institute of Technology. Kanpur. India. P. 182-197.
[8] Deb K., Jain H. (2014) IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 18(4):577-601.
[9] https://mineconom.ryazangov.ru/upload/iblock/0fa/sravn_prognoz_2018.pdf [In Rus]
