Прогнозирование роста трещин в теплоэнергетическом оборудовании ТЭС Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.18.021

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПОВРЕЖДЕНИЙ ТРУБОПРОВОДОВ ТЭС И АЭС

© 2010 г. В.К. Семенов, А.А. Беляков

Ивановский государственный энергетический Ivanovskiy State Energy

университет им. В.И. Ленина University

Предлагается стохастическая математическая модель, позволяющая с точностью до флуктуации прогнозировать число повреждений паропроводов на ТЭС и АЭС. Модель основана на уравнении Колмогорова, полуэмпирическом уравнении роста среднего числа повреждений и результатах регрессионного анализа данных обследования состояния паропроводов.

Ключевые слова: стохастическая модель; регрессионный анализ; повреждение; прогнозирование; трубопровод.

The stochastic mathematical model allowing to within fluctuations to predict number of damages of steam lines on heat power plant and the atomic power station is offered. The model is based on Kolmogorov's equation, the semiempirical equation of growth of an average of damages and results of regression analysis of the data of inspection of a condition of steam lines.

Keywords: stochastic model; regression analysis; damage; forecasting; pipeline.

Большинство ТЭС и АЭС, работающих в России, эксплуатируются уже в течение длительного времени и приближены к исчерпанию срока службы. Надежность паропроводов имеет большое значение для надежности энергоблока в целом. На многих установках паропроводы работают без замены с начала эксплуатации, поэтому в них имеется значительное накопление повреждений, приводящих к возникновению макроскопических трещин. Часто зародыши таких трещин, вызванные несовершенством технологии производства, содержатся в материале еще до введения его в эксплуатацию [1]. В процессе эксплуатации под действием тепловых и динамических нагрузок происходит развитие трещин до опасных размеров, что может привести к аварийной ситуации. Четверть всех повреждений паропроводов отечественных ТЭС являются опасными. К ним относятся разрывы различных элементов - гибов, сварных соединений, реже прямых участков труб. По данным обследования наиболее повреждаемыми элементами являются сварные угловые швы в местах приварки штуцеров (45% общего количества повреждений), стыковые сварные соединения (36 %) и гибы (14%) [2]. На атомных и тепловых станциях регулярно проводятся мероприятия по контролю толщины стенок элементов трубопроводов с целью выявления мест износа. Повреждения элементов энергоблоков должны устраняться при проведении плановых ремонтов. Поскольку проведение ремонтных работ связано с большими затратами материальных и трудовых ресурсов, то возникает необходимость прогнозирования объема плановых работ для отдельных элементов конкретной станции.

Коррозионное и механическое растрескивание паропроводов определяются целым комплексом условий: накоплением отложений продуктов коррозии, тепловым и динамическим режимом работы, внешни-

ми механическими воздействиями, наличием химически активных частиц и пр. Поскольку многие причины повреждения паропроводов являются неконтролируемыми, то на процесс накопления дефектов следует смотреть как на стохастический и исходить из вероятностных представлений.

Существует весьма сложная методика расчета надежности и прогнозирования остаточного ресурса оборудования по физико-статистической модели «нагрузка - несущая способность» [3]. Эта методика основывается на сборе большого количества экспериментальных данных по толщинометрии трубопроводов и действующих на них нагрузок (давление, температура, механические нагрузки и пр.). Далее производится подбор законов распределения случайных величин нагрузок и толщины трубопроводов, а также вида функции усталости и ее параметров. На основе этих данных проводится прочностной расчет, определяется минимально допустимая толщина трубопроводов, прогнозируется остаточный ресурс и даются рекомендации по техническому обслуживанию. Реализовать такой подход в условиях практики весьма проблематично.

Нами предлагается следующая математическая модель прогноза, основанная на минимальном количестве информации о состоянии паропровода. Состояние паропровода (системы) будем характеризовать числом повреждений N причем, если интервал времени мал, то и изменение состояния системы тоже мало, т.е. за малое время наиболее вероятны переходы, в результате которых число N изменяется незначительно, а большие изменения числа N - маловероятны. Так как повреждения возникают не непрерывно, а время от времени, то процесс по переменной N является дискретным. В таких условиях эволюцию системы можно рассматривать как непрерывный во време-

ни и дискретный по числу N стохастический процесс марковского типа [4]. Состояние системы будем характеризовать вероятностью P(N0,t0; N,t) того, что система, имевшая в момент времени N0 повреждений, к моменту t будет иметь N повреждений. Также введем в рассмотрение величину Q(N,t)dt - вероятность появления повреждения за время dt. Эта вероятность определяет средний поток повреждений в системе. В самом деле, вероятность появления двух повреждений за время dt равна [Q(N,t)dt]2. Она представляет собой величину второго порядка малости по dt и ею можно пренебречь. Тем более можно пренебречь вероятностями появления трех и большего числа повреждений за время dt. Таким образом, среднее число повреждений, появляющихся в системе за время dt, будет равно

0[1 - Q(N,+ N,t^ = Q(N,t)dt.

Следовательно, средний поток повреждений -Q(N,t).

Найдем вероятность Р(Щ,Ь0; N,t+dt). Она складывается из вероятности того, что к моменту времени t уже имелось N повреждений, и за время dt ни одного повреждения не возникло, и из вероятности того, что к моменту t имелось N-1 повреждение, но к моменту t+dt появилось еще одно. Возможность появления за время dt двух и большего количества повреждений исключается, т.к. вероятности этих событий второго и более высокого порядка малости. Следовательно,

Р( N, t + dt) = Р( N, t) [1 - Q( N, ^ ] + +Р(N -1, t)Ш(N -1, t^ .

Раскладывая левую часть уравнения в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными членами разложения, имеем:

д

—Р(N, 0 = Р(N -1, t)Ш(N -1, t) - Р^, t)Ш(N, 0.(1)

дt

Полученное уравнение в теории марковских процессов называется уравнением чистого размножения и представляет собой частный случай уравнения Колмогорова [4]. Для краткости записи аргументы N0 и ^ опущены. Заметим, что при N=N0 правая часть уравнения не должна содержать первого слагаемого. Как правило, зависимость нелинейная, поэтому решение уравнения (1) можно найти только численными методами при помощи вычислительной техники. Между тем, для практики достаточно знать, как ведут себя средние числа повреждений и их флуктуации. Для знания этих величин не требуется определения явного вида функции распределения.

Вначале найдем уравнение для среднего числа повреждений. С этой целью умножим левую и правую части уравнения (1) на N и просуммируем по всевозможным значениям числа повреждений от 0 до да. После несложных преобразований, получим:

d < N > dt

Уравнение (2) имеет очевидный физический смысл: скорость роста повреждений в системе определяется средним потоком повреждений. Однако для того, чтобы им воспользоваться, нужно перейти от среднего потока к потоку от среднего числа повреждений. Для этого разложим в ряд Тейлора вблизи

N) * Ш(< N >) +1 ^(<N >) (N - <N» + 2 dN

+ —

1 d2Q(< N >ï ЛГ 2 \N-< N >)2.

2 dN2 Усредняя по N, получим:

Q(N) « Q(< N >) + -

1 d Q(< N >)

2 dN 2

Д.

При малой дисперсии распределения Д =< (N -<N >)2) вторым слагаемым можно пренебречь:

d < N >

dt

!Q(< N >).

(3)

На детерминированном уровне описания именно это уравнение должно лежать в основе всех теорий накопления числа повреждений в системе. Заметим, что в случае линейной зависимости Q(N) это уравнение становится точным.

Выведем теперь уравнение для дисперсии распределения

Д =< ( N-< N >)2 >=< N 2 >-< N >)2.

После элементарных вычислений, получим:

= 2 f & Д + Q(< N >, t). (4)

dt ^ dN )

4 y N=< N >

Если в зависимости Q(N,t) переменные разделяются, то вместо времени t можно ввести новую переменную <N>, разделив уравнение (4) на уравнение (3):

^ = 2Д---finA(< N >)1 +1.

d < N > d < N >L J

Полученное уравнение является линейным и интегрируется в квадратурах:

Д =

Q 2(< N >)

Q2(< N0 >)

< N > dN

Д 0 + Q 2(< N 0 »Jo, Q^

.(5)

=< Q(N, t) > .

(2)

Аналогичным образом можно найти уравнения для третьего момента распределения Г =< (N - < N >)3 >, характеризующего меру асимметрии распределения вероятностей. Опуская вычисления, приведем лишь окончательный результат:

^ = 3Ш'Г+3Ш'Д+Ш. dt

Итак, на основании уравнений (3) и (5) определяется среднее число повреждений и их флуктуация :

N(0 =< N(0 >±7^) .

Для практического использования полученных результатов необходимо сформулировать полуэмпирический закон роста числа повреждений паропроводов. Обозначая число потенциально опасных мест на трубопроводе через Np и считая число повреждений пропорциональным числу неповрежденных потенциально опасных мест Np-<N>, получим следующее уравнение для числа повреждений в момент времени t + dt : < N (1 + dt) >=< N (1) > +Ц1)(Np - < N .

Отсюда

дисперсия достигает максимального значения при

d < N > dt

N

= a(t)(1- < N >).

(6)

N * = 1 - exp(-ja(t )dt).

При этом

< N >= — Np, тогда как в начале процесса и в конце

дисперсия равна нулю.

На рис. 2 в качестве примера представлены результаты прогноза повреждений паропроводов блоков № 5 и 6 Рязанской ГРЭС. Как видно из графиков, кривые регрессии оказываются разными для разных паропроводов. Этим подтверждается, что прогноз следует проводить для конкретного паропровода, а не для среднестатистического.

MN„

0,3

0,2

0,1

Здесь N * =- - нормированное число повреж-

NP

дений.

Подставляя (6) в уравнение для дисперсии распределения (5) при Д0=0, получим:

-=< N > (1-< N >).

N

р

В процессе планово-предупредительных ремонтов имеет место частичное восстановление объекта, поскольку поврежденные участки ремонтируются (завариваются, вырезаются и заменяются). При этом остальные опасные участки остаются прежними, что приводит к старению материала опасных участков и ускоренному росту новых повреждений. Поэтому коэффициент а следует считать зависящим от времени: а = а0 + 2a.it + 3а212 . Определение количества коэффициентов идентификации а0, а1, а2 и их значений осуществляется методом регрессионного анализа результатов обследования конкретных паропроводов.

Интегрируя уравнение (6), получим:

0,22 0,4 0,(5 0,8 1,0

< N >

Рис. 1. График зависимости дисперсии распределения от среднего числа дефектов

«

я я

ю О

200 180 -160 140 120 -100 80 -60 40 -20 0

2000

2001

2002 2003

Год

2004

2005

2006

Ja(t)dt = g(t) = a0t + a1t2 +a2t3.

Зависимость числа дефектов, возникших за год ЛN от времени носит скачкообразный характер, поэтому следует строить интегральную кривую зависимости суммарного числа повреждений от времени. По полученной зависимости можно будет определить прирост числа повреждений за тот или иной промежуток времени.

На рис. 1 представлен график зависимости дисперсии распределения от среднего числа дефектов при нулевой начальной дисперсии. Из графика видно, что

Рис. 2. Данные расчета повреждений паропроводов пятого и шестого блоков Рязанской ГРЭС: О - фактическое число повреждений паропроводов блока № 5;--расчетное число повреждений паропроводов блока № 5; X - фактическое число повреждений паропроводов блока

№ 6;----расчетное число повреждений паропроводов

блока № 6

Верификация полученных в расчете данных осуществляется путем отбрасывания последней известной точки статистических данных и сравнения её с точкой, полученной расчетным путем по следующей формуле:

5 =

N - N

ист прогнооз

N„„.

где ^ст - реальное количество повреждений, известное по результатам обследования, а %рогноз - число прогнозируемых повреждений.

Для верификации прогноза использовались результаты обследования трубопроводов шести блоков Рязанской ГРЭС. Точность прогноза накопления дефектов составляет 86 - 100 %, что говорит о состоятельности предложенной математической модели и возможности применения данного подхода для оценки примерных объемов ремонтных работ.

Литература

1. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984.

2. Живучесть паропроводов стареющих тепловых электростанций / под ред. Ю.Л. Израилева, Ф.А. Хромченко. М.: Изд-во «ТОРУС ПРЕСС», 2002.

3. Острейковский В.А. Старение и прогнозирование ресурса оборудования атомных станций. М.: Энергоатомиздат, 1994.

4. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969.

Поступила в редакцию 18 февраля 2010 г.

Семенов Владимир Константинович - д-р техн. наук, профессор, Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина. Тел. (4932) 385-778.

Беляков Андрей Александрович - аспирант, Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина. Тел. 8 961 117 23 22. E-mail: [email protected].

Semenov Vladimir Konstantinovich - Doctor of Technical Sciences, professor, Ivanovskiy State Energy University Ph. (4932) 385-778.

Belyakov Andrey Aleksandrovich - post-graduate student, Ivanovskiy State Energy University. Ph. 8 961 117 23 22. E-mail: [email protected].

УДК 621.18.021

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РОСТА ТРЕЩИН В ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ

ОБОРУДОВАНИИ ТЭС

© 2010 г. В.К. Семенов, А.А. Беляков

Ивановский государственный энергетический Ivanovskiy State Energy

университет им. В. И. Ленина University

Предлагается стохастическая математическая модель роста трещин в теплоэнергетическом оборудовании. Модель основана на уравнении Фоккера-Планка и полуэмпирическом уравнении роста средней длины трещины.

Ключевые слова: макроскопические трещины; непрерывный стохастический процесс марковского типа; кинетические коэффициенты; дисперсия распределения; уравнение роста трещин; статистическое описание; момент распределения уравнения роста трещин; график зависимости дисперсии распределения.

Stochastic mathematical model of the growing of the rifts is offered In work in теплоэнергетическом equipment. The Model is founded on equation Fokkera-Plank and semitheoretical equation of the growing of the average length of the rift.

Keywords: macroscopic flaws; continuous stochastic process of Markov type; kinetic factors; dispersion of distribution; the equation of growth of flaws; the statistical description; the moment of distribution of the equation of growth of flaws; graph of a dispersion of distribution.

Оборудование ТЭС и АЭС работает под постоянным воздействием изменяющейся температуры, давления, циклическими нагрузками и пр. Такие условия работы приводят к накоплению в материале оборудования значительных повреждений и развитию макроскопических трещин. Нередко зародыши трещин находятся в материале еще до ввода его в эксплуатацию [1].

Растрескивание стенок, теплообменных трубок и других элементов оборудования определяются целым комплексом условий (накопление продуктов коррозии, тепловые и динамические режимы работы, механические воздействия и пр.), многие из которых являются неконтролируемыми. Следовательно, на процесс накопления дефектов следует смотреть как на стохастический и исходить из вероятностных пред-

ставлений. Многие из величин можно считать определенными, детерминированными, тогда как сам процесс роста трещины - случайный и длина трещины -случайная величина, изменяющаяся во времени непрерывным образом. Причем, если интервал времени мал, то и изменение длины трещины тоже мало, т.е. за малое время наиболее вероятны переходы, в результате которых длина трещины изменяется незначительно, а большие изменения длины трещины - маловероятны. В таких условиях эволюцию системы можно рассматривать как непрерывный стохастический процесс марковского типа [2]. Это означает, что вероятность перехода системы из одного состояния (начального) в другое состояние (конечное) зависит только от начального состояния и не зависит от тех состояний, которые предшествовали начальному. Последнее предположение является весьма общим и, хотя вначале не может быть доказано, получает обоснование в дальнейшем. Так будет показано, что уравнения, описывающие кинетику роста трещины на детерминированном уровне, являются по существу следствием сделанного допущения.

Статистическое описание роста трещины будем осуществлять заданием функции распределения вероятностей р(1,1), причем р(1,^1 представляет собой вероятность того, что данный элемент имеет трещину, длина которой находится в интервале от I до l+dl. Рассматриваемый нами стохастический процесс является непрерывным по обеим переменным 1 и I. Такие стохастические процессы подчиняются уравнению Фоккера-Планка [2]:

^Г^ = [А(/)р(/, 1)] + -д2- [В(1 )р(1,1)]. (1)

51 д1 д12

Кинетические коэффициенты А(1) и В(1) соответственно представляют собой среднее и среднеквадратичное изменение длины трещины за единицу времени:

вд 1 ад

А(1) = | qю(/,q)dq , В(1) = — | q2ю(/, q)dq .

0 2 0

Здесь q - длина зоны пластической деформации, возникающей перед вершиной трещины; ю(l,q)dq -вероятность изменения длины трещины от длины I до l+q за единицу времени.

Как известно [1], рост трещины связан с развитием зоны пластической деформации перед вершиной трещины, причем q/l <<1. Этот процесс носит пороговый характер, т.е. величина q должна быть больше или равна некоторому минимальному значению 5. Согласно сделанным предположениям функция ю(l,q) быстро убывает с увеличением q, так что основную роль играют малые значения q, т.е. 5. Так как 5 >0, то рассматриваемый нами стохастический процесс является процессом чистого рождения. В этом случае кинетические коэффициенты связаны простым соотношением В(1) = 15А(1). Учитывая, что 5 является единственным геометрическим параметром задачи

развития трещины в бесконечной среде, длину I будем измерять в безразмерных единицах 1/5. При такой нормировке коэффициент А(1) в уравнении Фоккера-Планка умножится на 1/5, а коэффициент В(1) - на 1/52. Нормированные таким образом коэффициенты

будут связаны соотношением В(1) = 1 А(1). Чтобы не

вводить новых обозначений далее сохраним за I, А и В старые обозначения.

Как правило, кинетические коэффициенты нелинейно зависят от длины трещины, поэтому решение уравнения Фоккера-Планка можно найти только численными методами при помощи вычислительной техники. Между тем, для практики часто достаточно знать, как ведут себя средние длины трещин и их флуктуации. Для знания этих величин не требуется определения явного вида функции распределения.

Вначале найдем уравнение для средней длины трещины. При этом анализ проведем в общем виде, считая коэффициенты А и В разными. С этой целью умножим левую и правую части уравнения (1) на I и проинтегрируем по всевозможным значениям длины трещины от 10 до ад. Имея в виду, что при I = 10 и I = ад функция распределения р(1,1) = 0, после несложных преобразований получим:

' d < I >

(^ 1 - < < - >V

Индекс 10 означает, что усреднение ведется при фиксированном значении начальной длины трещины. Усредняя по начальным длинам, получим уравнение

d < l > dt

=< A(l) > .

(2)

Уравнение (2) имеет очевидный физический смысл: скорость роста трещины определяется средней скоростью роста трещин (потоком). Однако для того, чтобы им воспользоваться, нужно перейти от среднего потока к потоку от среднего. Для этого разложим А(1) в ряд Тейлора вблизи < I >:

A(l) и A(< l >) +

dA(< l >) dl

(l -<l>) +

1 d2A(< l >)(l-< l >)2.

2

dl2

Усредняя по l, получим:

A(l) и A(< l >) +-

1 d2A(< l >)

dl2

Д.

(3)

При малой дисперсии распределения Д =< (I- < I >)2 > << < 12 > вторым слагаемым можно пренебречь:

d < I >

dt

A(< l >) .

(4)

На детерминированном уровне описания именно это уравнение должно лежать в основе всех теорий роста трещин в аппаратуре. Заметим, что в случае линейной зависимости А(1) это уравнение становится точным.

Выведем теперь уравнение для дисперсии распре-

деления:

д =< (l- < i >)2 >=< i2 > - < i >2.

Из уравнения (2) имеем:

d < l >2 dt

= 2 < l > A(l).

(5)

(6)

dД . d г, л2, , Ч1 „B(<l >)

-= Д-1 lnA2(<l >) 1 + 2—---

d < l >L 'S A(<l >)

d <l > d <l >

Полученное уравнение является линейным и интегрируется в квадратурах:

Д =

A2(< l >)

A2(< lo >)

<l >

До + A2(lo) J dl

<lo >

A2(l)

(8)

d <l > CT™ „/2

-= a-<l> .

dt K„

d < l > = ß (Дст)

dt

K x

< l >

m/2

Умножая все члены уравнения (1) на I и интегрируя по I, с учетом (5) и (6) получим:

^ = 2[< А(1) > - < I >< А(1) >] + 2 < В(1) > . (7)

Раскладывая </А(/)> в ряд Тейлора и усредняя по I, найдем:

1 d 2

< 1А(1) >=< I > А < I > +-—[¿4(1)]=<1 >Д .

С учетом (3) и (7) уравнение для дисперсии распределения запишется в виде

dД ^йА^ , „, ч -= 21 — I Д + 2В(< I >).

dt У dl)

4 у м=<и>

Если А(< I >) В(< I >) явно от времени не зависят (или зависят одинаковым образом), то вместо времени t можно ввести новую переменную:

Здесь а и р - эмпирические коэффициенты пропорциональности, учитывающие геометрию элемента и внешние условия; ст - напряжение в материале; Кс - критический коэффициент интенсивно-

сти напряжений, при котором распространение трещины происходило бы со скоростью упругой волны

~ — ; Е - модуль Юнга, у - удельная энергия пла-\Р

стического деформирования; т - продолжительность цикла. Как показали эксперименты, эмпирический коэффициент т для большинства материалов и сплавов может принимать значения от 2 до 6 [1]. В частности, для углеродистых сталей т = 4.

В реальности трещина не может быть бесконечной - область ее возможной протяженности ограничена размером повышенной загруженности (сварные швы, гибы, места вальцовки, характерный размер изделия). Кроме того, материал стареет, в нем накапливаются скрытые кумулятивные эффекты. С учетом этих обстоятельств уравнение роста трещины перепишем в виде

dl dt

a(t) (l -11)

(9)

Здесь I *= < I >/L - новая переменная; L - предельная длина трещины; п = т/2; а(0 - эмпирический коэффициент, учитывающий указанные выше свойства материала, условия эксплуатации и его старение:

а(0 = а0 +а1t + а 2t2 +... .

Входящие сюда коэффициенты должны определяться на основе регрессионного анализа результатов натурного эксперимента.

Для п = 1 рост средней длины трещины определяется экспоненциальным законом:

I" (0 = 1 - ехр( -Х©).

Для п > 1 рост трещины происходит по закону

Здесь учтено, что в принятых переменных

В(1) = 1 А(1). Аналогичным образом можно найти

уравнения для последующих моментов распределения.

Различные полуэмпирические уравнения роста трещин (уравнения Пэриса, Эрдогана, Формана и др.) основаны на теории Гриффитса, в основу которой положен закон сохранения энергии. Энергия, необходимая для развития трещины, равна энергии упругости, заключенной в объеме трещины. Уравнения роста трещин в бесконечной среде при непрерывной и циклической нагрузке можно записать в следующем виде [1]:

l * (t) = 1 -

1

[1 + (n - 1)X(t)]n-1

Здесь принято обозначение Х^) = ^.

0

С учетом (9) дисперсия распределения определяется выражением

Д,

1

D = -^ =-(1 -l*)

5L 2n-1

/ \(2n-1)

1 - (1 -г)( )

Здесь Ap - размерная дисперсия, а D - безразмерная величина.

т

n

На рис. 1 представлены графики зависимости дисперсии распределения от длины трещины при различных значениях числа п, откуда видно, что с ростом числа п максимум дисперсии сдвигается влево, а дисперсия в максимуме уменьшается.

0.3

Щ)

0.2

0.1

0.5 I

а)

функции прогноза определены на основе регрессионного анализа экспериментальных данных по методу наименьших квадратов. Предельная длина трещины составляет 150 мм, а время измерено сотнями циклов.

/, мм 60 I

40

20

6 9

1x100, цикл

Рис. 2. Функция прогноза роста трещины из тепловой канавки ротора турбины:

□ □□

- данные эксперимента;

0.2 0.15 D(l) 0.1 0.05 0

0 0.5 1

I

б)

Рис. 1. Зависимость дисперсии распределения D = Д5/L от длины трещины при: а - п = 1; б - п = 2

В качестве примера на рис. 2 приведена кривая прогноза роста трещины из тепловой канавки ротора турбины, изготовленного ПО ЛМЗ из стали Р2 [3], при циклической нагрузке. Коэффициенты идентификации

--функция прогноза

На основании уравнений (4) и (8) можно спрогнозировать среднюю длину трещины, ее флуктуацию л/а и время достижения данного состояния 1(1) «< 1(1) >±7^1).

Литература

1. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984.

2. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974.

3. Израилев Ю.Л. Основы теории живучести турбин. Рекомендации и опыт реализации. М.: Министерство энергетики и электрификации СССР, 1991.

0

0

Поступила в редакцию 18 февраля 2010 г.

Семенов Владимир Константинович - д-р техн. наук, профессор, Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина. Тел. (4932) 385-778.

Беляков Андрей Александрович - аспирант, Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина. Тел. 8 961 117 23 22. E-mail: [email protected].

Semenov Vladimir Konstantinovich - Doctor of Technical Sciences, professor, Ivanovskiy State Energy University Ph. (4932) 385-778.

Belyakov Andrey Aleksandrovich - post-graduate student, Ivanovskiy State Energy University. Ph. 8 961 117 23 22. E-mail: oh [email protected]._