Метод прогноза количества повреждений трубопроводов ТЭС и АЭС Текст научной статьи по специальности «Математика»

К 621.18.021

МЕТОД ПРОГНОЗА КОЛИЧЕСТВА ПОВРЕЖДЕНИЙ ТРУБОПРОВОДОВТЭС И АЭС

В.К. Семенов, А.А. Беляков

Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина

Ivanovo State Power Engineering University named after V.I. Lenin

Предлагается стохастическая математическая модель, позволяющая с точностью до флуктуаций прогнозировать число повреждений паропроводов на ТЭС и АЭС. Модель основана на уравнении Колмогорова, полуэмпирическом уравнении роста среднего числа повреждений и результатах регрессионного анализа данных обследования состояния паропроводов.

Ключевые слова: стохастическая модель, регрессионный анализ, повреждение, прогнозирование, трубопровод.

The stochastic mathematical model allowing to predict the number of damages of steam lines at thermal station and nuclear power plant to within fluctuations is offered. The model is based on Kolmogorov's equation, the semiempirical equation of increasing an average number of damages, and results of regressive analysis of the data of inspection the condition of steam lines.

Keywords: stochastic model, regressive analysis, damage, prognostication, pipeline.

Большинство ТЭС и АЭС, работающих в России, эксплуатируются уже в течение длительного времени и приближены к исчерпанию своего срока службы. Надежность паропроводов имеет большое значение для надежности энергоблока в целом. На многих установках паропроводы работают без замены с момента начала эксплуатации, поэтому в нихимеется значительное накопление повреждений, приводящих к возникновению макроскопических трещин. Часто зародыши таких трещин, вызванные несовершенством технологии производства, содержатся в материале еще до введения его в эксплуатацию. [1] В процессе эксплуатации под действием тепловых и динамических нагрузок происходитразвитие трещин до опасных размеров, что может привести к аварийной ситуации. Четверть всех повреждений паропроводов отечественных ТЭС являются опасными. К ним относятся разрывы различных элементов - гибов, сварных соединений, реже прямых участков труб. По данным обследования наиболее повреждаемыми элементами являются сварные угловые швы в местах приварки штуцеров (45% общего количества повреждений), стыковые сварные соединения (36%) и гибы (14%). [2] На атомных и тепловых станциях регулярно проводятся мероприятия по контролю толщин стенок элементов трубопроводов с целью выявления мест износа. Повреждения элементов энергоблоков должны устраняться при проведении плановых ремонтов. Поскольку проведение ремонтных работ связано с большими затратами материальных и трудовых ресурсов, то возникает необходимость прогнозирования объема плановых работ для отдельных элементов конкретной станции.

Коррозионное и механическое растрескивание паропроводовопределяются целым комплексом условий: накоплением отложений продуктов коррозии, тепловым и динамическим режимом работы, внешними механическими воздействиями, наличием химически активных частиц, и пр. Поскольку многие причины повреждения паропроводов являются неконтролируемыми, то на процесс накопления дефектов следует смотреть, как на стохастический, и исходить из вероятностных представлений.

Существует весьма сложная методика расчета надежности и прогнозирования остаточного ресурса оборудования по физико-статистической модели "нагрузка-несущая способность". [3] Эта методика основывается на сборе большого количества экспериментальных данных по толщинометрии трубопроводов и действующих на них нагрузок (давление, температура, механические нагрузки и пр.). Далее производится подборзаконов распределения случайных величин нагрузок и толщины трубопроводов, а также вида функции усталости и ее параметров. На основе этих данных проводитсяпрочностной расчет, определяется минимально допустимая толщина трубопроводов, прогнозируется остаточный ресурс и даются рекомендации по техническому обслуживанию. Реализовать такой подход в условиях практики весьма проблематично.

Нами предлагается следующая математическая модель прогноза, основанная на

минимальном количестве информации о состоянии паропровода. Состояние

паропровода (системы) будем характеризовать числом повреждений Ы, причем, если

интервал времени мал, то и изменение состояния системы тоже мало, т.е. за малое

время наиболее вероятны переходы, в результате которых число N изменяется

незначительно, а большие изменения числа N - маловероятны. Так как повреждения

возникаютне непрерывно, а время от времени, то процесс по переменной N является

дискретным. В таких условиях эволюцию системы можно рассматривать, как

непрерывный во времени и дискретный по числу N стохастический процесс

марковского типа. [4] Состояние системы будем характеризовать вероятностью

P(N0,t0;N,t) того, что система, имевшая в момент времени N0 повреждений, к моменту I

будет иметь N повреждений. Также введем в рассмотрение величину Q(N,t)dt-

вероятность появления повреждения за время dt. Эта вероятность определяет средний

поток поврежденийв системе. В самом деле, вероятность появления двух повреждений

2 и за время dt равна ^(N,0^]" Она представляет собой величину второго порядка

малости по dt и ею можно пренебречь. Тем более, можно пренебречь вероятностями

появления трех и большего числа поврежденийза время dt. Таким образом, среднее

число повреждений, появляющихся в системе за время dt, будет равно:

0[1 - 0(4 ад+1 • 0(4 ^ = 0(4 ^.

Следовательно, средний поток повреждений равен Q(N,t).

Найдем вероятность P(N0,t0;N,t+dt). Эта вероятность складывается из вероятности того, что к моменту времени t уже имелось N повреждений и за время dt ни одного повреждения не возникло, и из вероятности того, что к моменту t имелось N-1 повреждение, но к моменту t+dt появилось еще одно. Возможность появления за время dt двух и большего количества повреждений исключается, т.к. вероятности этих событий второго и более высокого порядка малости. Следовательно,

Р(К 1 + ё1) = Р(К 1)[1 - 0(41)ё1] + Р(К -1, ^(К -1, ^

Раскладывая левую часть уравнения в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными членами разложения, имеем:

д

- р(Н 1) = Р(К -1,-1,1) - Р(Н 1^, 1). (1)

д!

Полученное уравнение в теории марковских процессов называется уравнением чистого размножения и представляет собой частный случай уравнения Колмогорова. [4] Для краткости записи аргументы Noи Допущены. Заметим, что при N=N0 правая часть уравнения не должна содержать первого слагаемого. Как правило, зависимость Q(N) нелинейная, поэтому решение уравнения (1) можно найти только численными методами при помощи вычислительной техники. Между тем, для практики достаточно знать, как ведут себя средние числа повреждений и их флуктуации. Для знания этих величин не требуется определения явного вида функции распределения.

Вначале найдем уравнение для среднего числа повреждений. С этой целью умножим левую и правую части уравнения (1) на N и просуммируем по всевозможным значениям числа поврежденийот 0 до да. После несложных преобразований, получим:

^ =< «ад >■ (2)

ш

Уравнение (2) имеет очевидный физический смысл: скорость роста повреждений в системе определяется средним потоком повреждений. Однако, для того, чтобы им воспользоваться, нужно перейти от среднего потока к потоку от среднего числа повреждений. Для этого разложим Q(N) в ряд Тейлора вблизи <К>:

ОГО« о« N » + К >) (К - <К» + < N >) (К- < N »2

Усредняя по N получим:

О(К) « О(< N >) + ^ ^ 2 7 А.

1 ё2О(< N >)

2

При малой дисперсии распределения А =< ^ - (N >)2) вторым слагаемым можно пренебречь:

^^ О(< н>). (3)

ш

На детерминированном уровне описания именно это уравнение должно лежать в основе всех теорий накопления числа повреждений в системе. Заметим, что в случае линейной зависимости Q(N) это уравнение становится точным.

Выведем теперь уравнение для дисперсии распределения:

А =< ^ - <N >)2) =<< N2 > - < N >>2.

После элементарных вычислений, получим:

dt I dN ,

■Л + 0(< N >,t).

(4)

Если в зависимости Q(N,t) переменные разделяются, то вместо времени t можно ввести новую переменную <N>, разделив уравнение (4) на уравнение (3)

^ = 2Л—[lnA(< N >)] +1

d < N > d < N > 1

Полученное уравнение является линейным и интегрируется в квадратурах:

Л =

02(< N >)

< N>

л0 + 02(<N0 >) |

dN

(5)

Аналогичным образом можно найти уравнения для третьего момента распределения Г =< < N >)3 >, характеризующего меру асимметрии распределения вероятностей. Опуская вычисления, приведем лишь окончательный результат

dГ

=30'Г + 30'Л + 0.

Итак, на основании уравнений (3) и (5) определяется среднее число повреждений и их флуктуация л/Л :

N(1) =< N(1) >±Л/Л(1).

Для практического использования полученных результатов необходимо сформулировать полуэмпирический закон роста числа повреждений паропроводов. Обозначая число потенциально опасных мест на трубопроводе через ^и считая число повреждений пропорциональным числу неповрежденных потенциально опасных мест Np-<N>, получим следующее уравнение для числа повреждений в момент времени t+dt:

< N(1 + dt) >=< N(1) > +Х(1)Ш - < N .

Отсюда:

d < N >

= а(1)(1-< N >).

(6)

N

Здесь N = — - нормированное число повреждений.

Подставляя (6) в уравнение для дисперсии распределения (5) при Л0=0, получим:

А=< N > (1-< N* >).

N

ы=< н>

>

0

В процессе планово-предупредительных ремонтов имеет место частичное восстановление объекта, поскольку поврежденные участки ремонтируются (завариваются, вырезаются и заменяются). При этом остальные опасные участки остаются прежними, что приводит к старению материала опасных участков и ускоренному росту новых повреждений. Поэтому коэффициент а следует считать зависящим от времени: а = ао + 2а^ + 3а2^ . Определение количества коэффициентов идентификации а0, а^ а2 и их значений осуществляется методом регрессионного анализа результатов обследования конкретных паропроводов.

Интегрируя уравнение (6), получим

г

К* = 1 - ехр(-|а(1;)ё1;) ,

о

г

при этом |а(1)& = = а0г + аг2 + а2г3.

о

Зависимость числа дефектов, возникших за год ДN от времени носит скачкообразный характер, поэтому следуетстроить интегральную кривую зависимости суммарного числа повреждений от времени. По полученной зависимости можно будет определить прирост числа повреждений за тот или иной промежуток времени.

0,3 -. 0,25 -0,2 -

а

0,1 -0.05 -0 -

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

<М>

Рисунок 1- График зависимости дисперсии распределения от среднего числа дефектов

На рисунке 1 представлен график зависимости дисперсии распределения от среднего числа дефектов при нулевой начальной дисперсии. Из графика видно, что

дисперсия достигает максимального значения при < N >=—N , тогда как в начале

2 р

процесса и в конце дисперсия равна нулю.

Рисунок 2- Данные расчета повреждений паропроводов 2-го блока Рязанской ГРЭС — расчетное число повреждений паропроводов

х фактическое число повреждений паропроводов

3 - Данные расчета паропроводов 3-го

Рисунок повреждений блока Рязанской ГРЭС

- расчетное число

паропроводов

х фактическое число повреждений паропроводов

повреждений

На рисунках 2, 3 в качестве примера представлены результаты прогноза повреждений паропроводов блоков №2 и №3 Рязанской ГРЭС. Как видно из графиков, кривые регрессии оказываются разными для разных паропроводов. Этим подтверждается, что прогноз следует проводить для конкретного паропровода, а не для среднестатистического.

Верификация, полученных в расчете, данных осуществляется путем отбрасывания последней известной точки статистических данных и сравнения её с точкой, полученной расчетным путем по следующей формуле:

5 =

N - N

ист прогнооз

N

где ^ст - реальное количество повреждений, известное по результатам обследования, а

N

прогноз

число прогнозируемых повреждений.

Для верификации прогноза использовались результаты обследования трубопроводов шести блоков Рязанской ГРЭС. Точность прогноза накопления дефектов составляет 86-100%, что говорит о состоятельности предложенной математической модели и возможности применения данного подхода для оценки примерных объемов ремонтных работ.

Литература

1. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. - М.: Машиностроение, 1984.

2. Живучесть паропроводов стареющих тепловых электростанций. / Под ред. Ю.Л. Израилева, Ф.А. Хромченко. - М.: Изд-во «ТОРУС ПРЕСС», 2002.

3. Острейковский В.А. Старение и прогнозирование ресурса оборудования атомных станций.- М.: Энергоатомиздат, 1994.

4. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. - М.: Наука, 1969.

Семенов Владимир Константинович - д.т.н., профессор,Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина. E-mail: oh_behave@mail.ru

Беляков Андрей Александрович - аспирант, Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина. E-mail: oh_behave@mail.ru

Semenov Vladimir Konstantinovich - Doctor of Technical Science, Professor, Ivanovo State Power Engineering University named after V.I. Lenin. E-mail: oh_behave@mail.ru

Belyakov Andrey Alexandrovich - postgraduate student, Ivanovo State Power Engineering University named after V.I. Lenin.E-mail: oh_behave@mail.ru