CC BY
19
А. В. НИКИТИН
Андрей Викторович Никитин — аспирант кафедры информатики СПбГУЭФ.
В 1991 г. окончил Ленинградское высшее военно-морское инженерное училище им. В. И. Ленина, в 1997 г. — Межотраслевой институт повышения квалификации и переподготовки руководящих кадров при СПбГУЭФ. Автор 3 публикаций.
Область научной специализации — математические и
инструментальные методы в экономике. ^ ^ ^
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ РАСХОДА МАТЕРИАЛЬНОГО РЕСУРСА
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО СПРОСА С ПОМОЩЬЮ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИНСТРУМЕНТОВ EXCEL*
Для принятия оптимальных стандартизированных решений по созданию и поддержанию складских запасов в промышленности применяется инструмент «Deterministic Economic Order Quantity Inventory Model» — модель поддержания складского запаса с детерминированным оптимальным размером заказа. Последний обычно обозначается "DEOQ". Условием использования "DEOQ" является спрогнозированный с некоторыми допущениями спрос на конечную продукцию (и, следовательно, спрогнозированный расход всех видов хранящихся на складе ресурсов). Общая формула DEOQ для расчета размера заказа конкретного ресурса:
2 Ы
ч * . (1)
В качестве расчетного периода выбирается год; размер заказа — q единиц ресурса; количество единиц ресурса, требуемых в течение года, — d; издержки на размещение внешнего или реализацию внутреннего заказа — k; издержки на хранение единицы ресурса в течение выбранного стандартного периода — h [1, с. 851]. Это краткое описание "DEOQ" поможет рассмотреть более сложные, использующие элементы теории вероятностей инструменты, применяемые для количественной оптимизации ресурсов при заведомо неопределенном их расходе, в многопериодной модели принятия решения.
• Оптимальный размер и точка заказа в условиях неопределенного спроса
Обозначения и допущения
Расход d становится непрерывной случайной величиной, характеризуемой математическим ожиданием
тй = I xf{x)dx \ \x\f(x} dx
(при условии сходимости интеграла --= для любых х , где f(x) —
плотность непрерывной случайной величины [2, с. 58]), дисперсией
Цс = i (x-mx)'f(x)dx
• -: , стандартным (средним квадратичным) отклонением
. Стандартное отклонение, так же как и дисперсия, характеризует степень рассеивания реализаций случайной величины около ее математического ожидания [там же, с. 59, 60].
То, что расход ресурса со склада стал непрерывной случайной величиной, подразумевает необходимость введения для его расчета, кроме упомянутых d, h, k, q, следующих параметров и понятий:
ГРНТИ 06.35.51 © А. В. Никитин, 2009
Статья публикуется по рекомендации доктора технических наук, профессора В. В. Трофимова.
Математическое ожидание случайных величин необходимо для выведения формулы годовых издержек (3), формул оптимального размера заказа (4) и (5), формулы вероятности превышения расхода в течение периода поставки над запасом в точке заказа (6). Кроме того, математическое ожидание, наряду со стандартным отклонением, используется в приводимом ниже примере для проверки соответствия распределения случайной величины d нормальному распределению. Дисперсия не участвует в дальнейших расчетах, но упомянута в тексте как неотъемлемая характеристика любой непрерывной случайной величины, непосредственно связанная со стандартным отклонением.
В приводимых формулах значения x являются реализациями любых упомянутых в тексте случайных величин.
l — срок поставки, т. е. время от момента размещения заказа до его доставки на склад, в течение которого расход ресурса не определен заранее;
цикл — интервал между двумя последовательными приходами ресурса на склад; ohi(t) — имеющийся на момент t запас на складе;
г — запас, при достижении которого размещается следующий заказ (точка заказа); cb — вмененный расход на одну заказанную, но не доставленную единицу ресурса; b(t) — объем принятых от покупателей, но не отгруженных им заказов на момент t. В общем случае в практике коммерческих предприятий допустима ситуация, когда некоторое незначительное количество размещенных клиентами заказов не поставлено или не произведено в срок и претензия или отказ клиента не возникает. Такого рода обстоятельства, как правило, заранее оговариваются сторонами в контракте. Объем таких заказов всегда мал по сравнению с общим объемом заказов за указанный в контракте период и по сравнению со среднегодовым уровнем запаса, так как часть цикла, в течение которой возникают недопоставки, всегда минимизирована предприятием. Расход cb возникает вследствие потери репутации и необходимости размещения дополнительного заказа.
Ьг — случайная величина, представляющая количество недопоставленных единиц ресурса в течение цикла, при условии, что г — точка заказа;
i(t) — нетто-запас на складе на момент t, i(t) = ohi(t) - b(t);
р — вероятность всех возможных событий, связанных со случайной величиной;
y — непрерывная случайная величина, характеризующая расход ресурса в течение времени поставки l и имеющая плотность распределения f(y), математическое ожидание my = l xmd, дисперсию jy = l x jd,
среднее квадратичное отклонение crv > x(jd (значения расхода в разные моменты времени полагаются величинами независимыми). Предполагается, что обе случайные величины имеют нормальное распределение, т. е. плотность распределения имеет вид [2, с. 81]:
Л- 1 Г Сдг — -т^.)3^
JvT^'^t 2"s i. (2)
Нормальное распределение широко применяется при решении прикладных задач. Это связано с тем, что в реальности многие исследуемые случайные величины являются следствием различных случайных событий. В частности, при достаточно общих предположениях, сумма большого числа независимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному. Последнее подтверждается, например, рассматриваемой в курсе теории вероятностей теоремой Муавра-Лапласа, которая гласит, что последовательность J. п= 1, 2, .... нормированных частот «успехов» сводится по распределению к нормальной случайной величине U~N(0;1) [там же, с. 147].
Средства Excel позволяют выполнить проверку этого предположения, что будет показано ниже. Формула (2) иллюстрирует заложенные в Excel возможности статистического анализа.
Очевидно, высокий уровень г снизит риск отсутствия ресурса на складе в нужный момент, но станет причиной больших расходов по поддержанию складского запаса. Следовательно, встает вопрос о нахождении такой величины г, при которой общие ожидаемые расходы и риск нехватки ресурса будут сбалансированы.
Определение оптимальной точки заказа
При фиксированной закупочной цене изменение общих годовых расходов зависит от изменения трех составляющих: ожидаемых годовых расходов по поддержанию складских запасов, ожидаемых годовых расходов по размещению заказов, ожидаемых годовых расходов, вмененных на недопоставки.
1
2,'т— - + т . „ ,
Справедливо предположить, что в течение цикла '■ ' '. а />/,„, — mohi(th где 1\
— момент начала цикла (т. е. момент непосредственно после поступления на склад предыдущей партии), t2
— момент окончания цикла, наступающий непосредственно перед поступлением следующей партии на
склад Но = = +
Тогда:, и ожидаемые расходы по поддержанию запасов:.
Ожидаемые годовые расходы из-за недопоставок — произведение этих расходов в течение цикла на
количество циклов в течение года:
.
Ожидаемые годовые расходы по размещению заказов: \ Ч Таким образом, общие годовые расходы, зависящие от величин q и г:
/Q \ fmd\ fmd\ TCi.q,r) = h (- + г — mv I + сътъ x |-}+ fex | — I
2 , ; ,, (3)
где разность r-my представляет неснижаемый запас.
Далее, необходимо определить значения q и r*, для которых выполняется условие:
cbmb7.md + кта _ ^ _
cbmbjnd + kmd)
* ' (4)
где q по определению может быть только положительным числом.
В практических расчетах подкоренное слагаемое , как правило, не учитывается ввиду его малой величины по сравнению с , и выражение (4) становится сходным с выражением (1):
j2kmdt
■ ~ \ fh. (5)
*
Для определения оптимального уровня r применяется маргинальный анализ, так как «точка заказа» влияет косвенно на ожидаемые годовые расходы из-за недопоставок (второе слагаемое выражения (3)) и прямо на расходы по поддержанию запасов (первое слагаемое выражения (3)). Расходы по размещению заказов считаются независимыми от r. При увеличении r на сколь угодно малое положительное д, первое слагаемое выражения (3) возрастет на Ид:
.
Вместе с тем на дсь должны снизиться расходы, связанные с недопоставками, так как количество недопоставленных единиц уменьшается на д. В течение года наблюдается md/q циклов, поэтому ожидаемое
годовое уменьшение второго слагаемого выражения (3): V При возрастании г снижается
p(y > r) и возрастает Ид. Поэтому справедливо предположение о существовании такого значения r , при котором маржинальная экономия расходов на недопоставку уравняется с маржинальным ростом расходов на поддержание складских запасов.
ЛтлсМ > = „ _ рСу > 0 =
Таким образом, наряду с выражением (5), имеет место следующее равенство:
>r*) = hq h
hq' f >1
(6)
Если 'WltjCb " , то расходы по поддержанию запасов несоизмеримо высоки по сравнению с расходами на недопоставки и последнее равенство не имеет решения. В этом случае руководством предприятия определяется минимально допустимое значение r. Формально из последнего равенства следует, что при И—>0 и/или при достаточно большом cb вероятность недопоставки в течение срока поставки p(x > r) — 0. Принятие решения о величине r в таком случае также остается за ответственными лицами предприятия [1, с. 892, 893].
• Использование средств Excel для определения точки заказа и неснижаемого запаса в условиях неопределенного спроса
Имеются данные о ежегодном отпуске со склада предприятия продукции в тоннах за последние семь лет (табл. 1). Срок поставки l составляет две недели. Расходы к на размещение одного заказа оценены в 50 евро, а годовые затраты на складское хранение одной тонны И приняты равными 10 евро. Вмененный расход cb на единицу ресурса считается равным 20 евро. Следует определить оптимальный размер заказа, точку заказа, неснижаемый запас и вероятность отсутствия товара на складе к концу срока поставки.
Таблица 1
Ежегодный расход продукции, т
Год 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Расход d 965 975 1000 1050 1000 1070 940
Выборка из семи значений считается достаточной для практической приблизительной оценки характера распределения и для иллюстрации использования инструментов Excel.
С помощью соответствующих функций Excel определяются основные параметры этого массива данных: среднее значение, которое здесь принимается как математическое ожидание md = 1000 (функция срзнач), стандартное отклонение ad = 46,28 (функция стандотклон), максимальное значение dmax = 1070 (функция макс), минимальное значение dmin = 940 (функция мин). Далее выявляется характер частотного распределения случайной величины d, как показано в таблице 2. Для этого данные разбиваются на условные интервалы (колонка 1 табл. 2). С помощью функции частота ({=частота(массив_данных;
массив_интервалов)_}) [3, c. 31] определяется частота реализаций случайной величины в пределах каждого интервала (колонка 2 табл. 2). Посредством формул в ячейках рабочего листа Excel определяются процентная частота и кумулятивная процентная частота (колонки 3 и 4 табл. 2). С помощью функции нормальное распределение (нормрасп (x; среднее; стандартное_откл; интегральная) проверяется соответствие характера распределения случайной величины нормальному [там же, c. 35]; для расчета теоретических процентных частот в качестве параметров выбираются фактические среднее значение и стандартное отклонение случайной величины.
Таблица 2
Проверка соответствия частотного распределения случайной величины d нормальному распределению
Интервал Частота Процентная частота Кумулятивная процентная частота Теоретическая процентная частота
1 2 3 4 5
х < 950 1 14 14 14
950 < х < 1000 4 57 71 50
1 000 < х < 1050 1 14 86 86
1 050 < х < 1100 1 14 100 98
х > 1100 0 0 100 0
— Всего: 7 Всего: 100 % — —
Сравнение колонок 4 и 5 таблицы 2 показывает, что для практических целей распределение приведенной в таблице 1 случайной величины может считаться нормальным.
Оптимальный размер заказа вычисляется подстановкой данных в выражение (5):
2kmd 2 x 50 x 1000 „ „ Ч = —гЛ= -г^-
.
и используется для определения точки заказа, для чего определяются характеристики случайной величины y — расхода в течение периода поставки. Поскольку период поставки равен двум неделям, считается, что величина y имеет нормальное распределение, математическое ожидание my = l х md = да/26 = 1000/26 =
46.28/" = qjQa
38,46, и стандартное отклонение <rv = ^; х ad I \ _6 .С помощью неравенства (6)
определяется вероятность того, что расход в течение периода поставки превысит соответствующий точке заказа складской запас:
.
Для определения такой величины r, которая с вероятностью 95 % будет соответствовать расходу за период поставки, используется функция Excel нормобр (нормобр — вероятность; среднее; стандартное откл.). Ввод данных (нормобр (0,95; 38,46; 9,08)) [2, c. 895] позволяет рассчитать r = 53,40. Тогда неснижаемый запас определяется как разность r - my = 53,40 - 38,46 = 14,94, при округлении до целого 15.
Вывод. Приведенный анализ показал справедливость применения элементов теории вероятностей для решения задач прогнозирования размера заказа, точки заказа, неснижаемого запаса, и, как следствие, оптимизации расходов предприятия. Последнее особенно актуально в ситуации, когда спрос на ресурс заранее не прогнозируем. Прикладной пакет Excel предоставляет набор встроенных инструментов для решения упомянутых задач за счет того, что в нем реализован математический аппарат статистических расчетов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Winston W. L. Operations Research. Applications and algorithms. 4 ed. Belmont: Brooks/Cole — Thomson Learning, 2004.
2. Кизбун А. И., Горяинова Е. Р., Наумов А. В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. 2-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
3. Джексон М., Стонтон М. Финансовое моделирование в Excel и VBA. Углубленный курс. Диалектика. М.; СПб.; Киев, 2006.
* Если аргумент «интегральная» равен 1 (или «истина»), функция возвращает значения для интегральной функции распределения; если аргумент «интегральная» равен 0 (или «ложь»), функция возвращает плотность распределения.
