Прогнозирование положения уровня Ферми в полупроводнике чувствительного слоя сенсора газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 543.27.-8::621.315.592

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ УРОВНЯ ФЕРМИ В ПОЛУПРОВОДНИКЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО СЛОЯ СЕНСОРА ГАЗА

© 2011 г. А.Г. Захаров, С.А. Богданов, А.А. Лытюк

Таганрогский технологический институт Taganrog Technological Institute

Южного федерального университета, of Southern Federal University,

пер. Некрасовский, 44, г. Таганрог, Nekrasovskiy Lane, 44, Taganrog,

Ростовская область, ГСП-17А, 347928 GSP-17A, Rostov Region, 347928

Представлена модель расчета положения уровня Ферми относительно разрешенных зон в полупроводнике чувствительного слоя кондуктометрического сенсора в равновесном состоянии. Предложенная модель позволяет учесть присутствие в полупроводнике многозарядных дефектов кристаллической решетки, а также вырождение носителей заряда. Описанный в работе алгоритм может быть использован с целью прогнозирования характеристик кондуктометрических сенсоров газа, в том числе газовой чувствительности, а также уточнения исходных данных при проектировании структур экстремальной электроники и оптимизации режимов их функционирования.

Ключевые слова: уровень Ферми, концентрация основной легирующей примеси, многозарядная примесь, абсолютная температура, большое каноническое распределение Гиббса, кондуктометрический сенсор газа.

Model for calculation of the equilibrium Fermi level in a sensitive layer of a semiconductor conductometric gas sensor is presented in the article. The model accounts for multi-charged defects of a semiconductor crystal lattice and degeneracy of charge carriers. The proposed algorithm can be used for prognostication of conductometric gas sensors characteristics (sensitivity, etc) and initial data correction for creating extreme electronics elements and optimization of their operation regimes.

Keywords: Fermi level, majority dopant concentration, multi-charged impurity, absolute temperature, grand canonical Gibbs distribution, conductometric gas sensor.

Исследования сорбционных процессов на границе раздела газовая среда - полупроводник сохраняют свою актуальность в настоящее время как с фундаментальной, так и с прикладной точек зрения [1]. При этом особое значение приобретает разработка математических моделей функционирования чувствительных адсорбционных элементов и алгоритмов для их реализации [2]. Моделирование электрофизических характеристик полупроводникового чувствительного слоя способно в значительной мере сократить объем натурных экспериментальных исследований в процессе создания полупроводниковых сенсоров газов и оптимизации их рабочих режимов.

Важной характеристикой полупроводникового материала чувствительного слоя (ЧС) сенсора газа в состоянии термодинамического равновесия, отражающей особенности его электрофизических свойств, является положение уровня Ферми. Относительно разрешенных зон это положение [3, 4] определяет такие хемосорбционные свойства поверхности адсорбента, как общее число частиц газа, связанных с поверхностью при заданных давлении и температуре; величину заряда поверхности при заполнении ее хе-мосорбированными частицами; вероятность пребывания хемосорбированной частицы в состоянии «прочной» или «слабой» связи с поверхностью, а также радикальном или валентно-насыщенном состоянии; относительное содержание на поверхности обратимой и необратимой форм адсорбции. Кроме того, уровень Ферми характеризует концентрации носителей заряда, электропроводность и другие объемные свойства полупроводника.

Большинство современных полупроводниковых сенсоров газов обладают максимальной газовой чувствительностью при температурах 300 - 500 °С, а материал ЧС сенсора обычно является структурно или композиционно неупорядоченным [5-7]. Это усложняет задачу определения положения уровня Ферми, так как известные аналитические выражения справедливы для невырожденных полупроводников, содержащих однозарядные дефекты кристаллической решетки, при температурах, когда собственная проводимость отсутствует [8, 9].

Целью настоящей работы является разработка модели, позволяющей прогнозировать положение уровня Ферми в полупроводнике ЧС кондуктометрическо-го сенсора газа.

Положение уровня Ферми Ef может быть найдено из условия электрической нейтральности полупроводника [10]:

Р = 0, (1)

где р - объемная плотность заряда, которая в общем случае определяется величинами концентраций свободных носителей, ионизированных атомов примесей, а также электрически активных дефектов кристаллической структуры полупроводника [10]:

Р = Ч -\Р - П + - М-; ), (2)

где р, п - концентрации дырок и электронов в разрешенных зонах соответственно; Ы+1 - концентрации положительно заряженных дефектов и примесей;

- концентрации отрицательно заряженных дефектов и примесей.

Выражения для концентраций свободных дырок в валентной зоне и электронов в зоне проводимости имеют следующий вид [9]:

N {е)

p = I

Ec,ma

n = J

Ч + -

E, - E

dE;

kT Nc (E)

1 + -

E - E

-dE,

(3)

(4)

/

kT

где М,(Е), №С(Е) - плотности состояний в валентной зоне и зоне проводимости; Ес, Еу - величины энергий, соответствующих дну зоны проводимости и потолку валентной зоны; Естах, Еут1П - величины энергий, соответствующих потолку зоны проводимости и дну валентной зоны; к - постоянная Больцмана; Т - температура.

Многие электрически активные дефекты и примесные атомы в зависимости от зарядового состояния способны присоединять или отдавать несколько носителей заряда. Вероятность /р) заполнения такого многозарядного центра определяется большим каноническим распределением Гиббса [10]:

gp exp

f pEf - E( p П

f( p )=-

kT

Egp exP

'pEf - E( p П

p=0

kT

gP =ßp +EßpS exp

E(p)= E Ep . p=1,2, . .

e ^

_ps_

kT

(5)

(6)

(7)

к = nde (M - p )f(p)

p=0

Na= Na E pf

p=o

(p)

(8)

(9)

где Ыв , ЫА - концентрации многозарядных доноров и акцепторов; М, К - максимальное количество электронов, которое может отдать донорный центр или присоединить акцепторный центр.

Если полупроводник содержит несколько видов примесей того или иного типа, выражения (8), (9) позволяют рассчитать индивидуальный вклад каждого вида в общую концентрацию ионизированных атомов.

ц=ц1 -

(10)

где р - количество электронов, связанных с центром; £ - обобщенная кратность вырождения энергетического состояния центра с р электронами; ¡р, р -

кратности вырождения основного и 5 раз возбужденного энергетического состояния центра с р электронами; Е{р) - величина энергии центра с р электронами в основном энергетическом состоянии; Ер5 - энергия 5 -го возбужденного энергетического состояния относительно основного состояния центра.

Концентрации ионизированных многозарядных

доноров N£ и акцепторов ЫА определяются следующим образом [10]:

Условие электрической нейтральности (1) приводит к трансцендентному уравнению, решение которого может быть найдено численными методами.

Для решения уравнения (1) использовался итерационный метод Ньютона [11]:

Р&? )

Ж1!,

где Е}, Е}-1 - значение энергии уровня Ферми на

д-й и (д-1)-й итерации; р{е}-1 ) - величина объемной плотности заряда при данном значении уровня Ферми Е}-1; р' {е}-1 ) - величина производной объемной плотности заряда при данном значении уровня Ферми Е}-1.

С целью предотвращения расходимости итераций использовался смешанный алгоритм расчета: начальное приближение определялось с помощью метода бисекции [12].

Алгоритм решения поставленной задачи можно представить в следующем виде:

1) ввод исходных данных, задание точности вычисления положения уровня Ферми е;

2) выбор интервала значений энергии, содержащего решение уравнения (1);

3) задание величины точности в определения начального приближения Е0 для метода Ньютона, вычисление необходимого количества итераций т для достижения заданной точности в;

4) вычисление объемной плотности заряда р, согласно (2), с учетом (3) - (9) для значений энергии, соответствующих концам интервала и его середине;

5) анализ знаков рассчитанных значений р, выбор нового интервала, на концах которого значения р имеют противоположный знак;

6) выполнение этапов 4 - 5 т раз;

7) вычисление уровня Ферми, согласно (10), до

достижения заданной точности е > |е} - е}-1| (в качестве Е0 берется значение энергии, соответствующее

середине т-го интервала).

В случае задания распределений Ы(Е), ЩЕ в табличной форме [13] интегрирование выражений (3) - (4) производилось в квадратурах методами Симпсона и Гаусса [14].

В случае изотропного параболического закона дисперсии выражения (4), (5) упрощаются и имеют следующий вид [8]:

p = 2

n = 2

2mn р kT

2mnn kT

Fi/2 (-Ct-H);

F1/2 H) ,

где т*, т* - эффективные массы дырок и электронов; к - постоянная Планка; Е1/2{л), Е1/2{-^1 -л) -интегралы Ферми-Дирака половинного индекса;

Ес - Ег

Л = —- безразмерная величина уровня Ферми;

E

E

c

P

s

3/2

2

h

R

3/2

2

h

Fi/2& = b + ^ )3

-2,0 ,5 0 ,5

С, = ——— - безразмерная величина ширины за-

кТ 0,

прещенной зоны.

Интеграл !<\ (с ) с погрешностью, не превышаю- -0 щей нескольких процентов во всем интервале изме- _| нения аргумента с , может быть аппроксимирован следующими выражениями [8]: -1

/^(¿Г) = ехр(<^)- 0,3 ехр(2<^) + 0,06 ехр(з<^). с'<0.9

+ -2

Прогнозирование положения уровня Ферми в полупроводниках с шириной запрещенной зоны 1,1 и 3,5 эВ производилось для диапазона температур 250 - 800 К при различных концентрациях однозарядных примесей, а также значениях энергии их ионизации относительно дна зоны проводимости. Зависимость ширины запрещенной зоны от температуры не учитывалась, закон дисперсии принимался параболическим, эффективные массы электронов и дырок считались одинаковыми, а факторы вырождения энергетических уровней - равными единице.

Результаты расчетов представлены на рис. 1, 2. Полученные зависимости хорошо согласуются с аналитическими решениями, известными из литературы [8, 9].

В настоящей работе представлена разработанная модель расчета положения уровня Ферми относительно разрешенных зон в полупроводнике ЧС кон-дуктометрического сенсора. Модель может быть использована как для уточнения исходных данных при проектировании структур экстремальной электроники, так и для прогнозирования характеристик кондук-тометрических сенсоров газа, а также для оптимизации режимов их функционирования. Кроме того, разработанный алгоритм может являться составной частью алгоритма расчета основных электрофизических характеристик элементов твердотельной электроники.

Е(, эВ

0,0

Ef, эВ 0

,5

,0

,5

1

2 "

100

200

300

-0,2

-0,

-0,6

-0,8

-1,0-

N S.

\

100

200

300

400

т, К

500

600

700

Рис. 1. Зависимость положения уровня Ферми от температуры и концентрации донорной примеси с энергией ионизации Ев = (Ес - 0,045) эВ: 1 - = 1017 см-3; 2 - = 1015 см-3; 3 - = 1013 см-Ширина запрещенной зоны = 1,1 эВ

400

т, к

500

600

700

800

800

Рис. 2. Зависимость положения уровня Ферми от температуры и концентрации донорной примеси с энергией ионизации Ed = (EC - 0,15) эВ: 1 - ND = 1015 см-3;

2 - Nd = 1013 см-3. Ширина запрещенной зоны EG = 3,5 эВ

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ (ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 гг.», гос. контракт № 02.740.11.0122.).

Литература

1. Вашпанов Ю.А., Смынтына В.А. Адсорбционная чувствительность полупроводников. Одесса, 2005. 216 с.

2. Богданов С.А., Захаров А.Г., Лытюк А.А. Моделирование газовой чувствительности сенсора на основе полупроводниковых материалов, содержащих нанокристаллы оксидов металлов // Нанотехнологии-2010 : тр. междунар. науч.-техн. конф. и молод. школы-семинара. Ч. 2. Таганрог, 2010. С. 105 - 107.

3. Волькенштейн Ф.Ф. Электронные процессы на поверхности полупроводников при хемосорбции. М., 1987. 432 с.

4. Бару В.Г., Волькенштейн Ф.Ф. Влияние облучения на поверхностные свойства полупроводников. М, 1978. 288 с.

5. Fleischer M. Advances in application potential of adsorp-tive-type solid state gas sensors: high-temperature semiconducting oxides and ambient temperature GasFET devices // Meas. Sci. Technol. 2008. № 19. P. 1 - 18.

6. Semiconducting metal oxide based sensors for selective gas pollutant detection / S. Kanan [et al.] // Sensors. 2009. № 9. P. 8158 - 8196.

7. Metal oxide gas sensors: sensitivity and influencing factors / C. Wang [et al.] // Sensors. 2010. № 10. P. 2088 - 2106.

8. Блекмор Дж. Статистика электронов в полупроводниках : пер. с англ. / под ред. Л.Л. Коренблита. М., 1964. 392 с.

9. Зи С. Физика полупроводниковых приборов: в 2 кн. Кн.1 : пер. с англ. М., 1984. 456 с.

10. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М., 1977. 672 с.

11. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: учеб. пособие для вузов. М., 1989. 432 с.

12. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов : учеб. пособие. М., 2005. 304 с.

13. Reser B.I. Numerical method for calculation of the Fermi integral // J. of physics: Condensed Matter. 1996. Vol. 8, № 18. P. 3151 - 3160.

14. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М., 1967. 500 с.

Поступила в редакцию

23 декабря 2010 г.