CC BY
73
Прогнозирование механических свойств биометаллического материала на основе многоуровневой математической модели
Ю.Н. Сидоренко, Н.А. Шевченко
Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия
Рассматривается возможность прогнозирования механического поведения пористых титановых имплантатов, применяемых в хирургической практике. Для решения задачи используется многоуровневая модель гетерогенного материала стохастической структуры. В рамках модели реальная структура пористого имплантата заменяется идеализированным геометрическим представлением. В основе численного моделирования лежит принцип локального формирования механических свойств композиционных материалов. Представлены функции распределения локальных упругих свойств биокомпозита и характерные диаграммы деформирования его локальных объемов.
1. Введение
В современной медицине находят широкое использование пористые имплантаты, хирургическим путем внедряемые в организм. Живая ткань, прорастая во внедренную пористую среду, образует вместе с ней систему, способную поддержать нормальное функционирование живого организма. Одной из проблем, возникающих при разработке новых медицинских материалов, является обеспечение необходимого уровня механических свойств системы «живая ткань - пористый имплантат». Отсутствие надежных методик прогнозирования таких свойств приводит к тому, что основным путем получения данных о механическом поведении имплантатов, внедренных в организм, является проведение экспериментов на подопытных животных.
Основными требованиями, предъявляемыми к материалам, используемым в медицине в качестве имплантатов, являются биологическая совместимость и наличие развитой системы открытых пор, обеспечивающей проницаемость имплантата для живых тканей. Одним из перспективных направлений в технологии изготовления таких материалов является использование методов порошковой металлургии [1, 2]. Среди многих материалов, структура пористости и механические свойства которых позволяют использовать их в качестве имп-
лантатов, наиболее пригодными с точки зрения биологической совместимости являются титан и сплавы на его основе. Спекание порошков исходных материалов может проводиться при различных температурно-временных режимах, что влияет на параметры пористости и механические свойства изготовленных образцов. Конечная структура спеченного материала характеризуется наличием развитой системы пор со средними размерами порядка 102 мкм, соединенных между собой сквозными каналами. Общая доля пористости в объеме материала составляет 50-60 %.
Экспериментальные наблюдения [3, 4] показывают, что процесс прорастания живой ткани в пористый имплантат можно разделить на несколько этапов. Для образцов, изготовленных из пористого титана, установлено, что после начальной пропитки пористой структуры физиологическими жидкостями в течение одного месяца происходит образование соединительных тканей различной плотности. К трем месяцам наблюдается однородное заполнение пористой структуры уплотненной соединительной тканью. Полное заполнение имплантата костной тканью происходит через шесть месяцев после его внедрения в организм. Изучение шлифов проросших имплантатов показывает наличие жесткой связи между костной тканью и поверхностью
© Сидоренко Ю.Н., Шевченко Н.А., 1999
Рис. 1. Структура модельного материала
пор имплантата. Таким образом, можно говорить об образовании биометаллического композита с ярко выраженной нерегулярной каркасной структурой.
2. Модельные представления и свойства компонентов материала
Предлагается для оценки механических свойств имплантата, внедренного в живой организм, использовать математическую модель гетерогенного материала стохастической структуры [5]. Полагается, что совокупность свойств материала представляет собой иерархическую систему. Нижний уровень образуют свойства отдельных компонентов. Свойства промежуточного (мезо-) уровня формируются в результате сочетания свойств компонентов и характера их взаимодействия в ограниченном объеме материала. Свойства верхнего уровня (макросвойства) определяются как совокупное проявление свойств множества составляющих материал локальных объемов.
В основу определения свойств материала на мезо-уровне положен принцип локальности их формирования [6, 7]. Структурно-неоднородный материал рассматривается как совокупность объемов, каждый из которых характеризуется уникальной конфигурацией образующих его структурных элементов и расстоянием, на котором сохраняется ближний порядок их взаимодействия. Уникальность сочетания свойств компонентов и характер их взаимодействия в пределах каждого конкретного объема позволяют использовать понятие локальных механических свойств для описания поведения данного объема в условиях внешнего нагружения. Согласно представлениям, развиваемым в рамках физической мезомеханики [8], подобный объем материала, при условии определения критериев его представительности как носителя свойств на мезоуровне, может рассматриваться в качестве характерного мезообъема.
Физическая природа механизмов деформирования компонентов мезообъема в данной работе не рассматривается.
Матрица биокомпозита является продуктом спекания порошкового титана. Пористая структура матрицы включает в себя крупные поры, систему каналов между ними и поры малых размеров, где прорастание живой ткани затруднено или невозможно (закрытые поры). Допускается, что наибольший вклад в формирование механических свойств биокомпозита вносят поры, заполненные живой тканью, тогда как соединяющие их каналы преимущественно служат в качестве транспортных маршрутов для обеспечения жизнедеятельности организма. В рамках модели реальная структура пористого имплантата заменяется идеализированным геометрическим представлением. С учетом сделанного допущения о характере влияния разных элементов пористой структуры на механические свойства материала полагается, что биокомпозит представляет собой сплошную матрицу, случайным образом заполненную дискретными эллипсоидальными элементами (порами). Плоское сечение такой структуры представлено на рис. 1. Размер пор (длина большей оси эллиптического сечения А) изменяется в пределах 60-100 мкм, отношение длин осей эллипсов В/А принято равным 0.57, относительные размеры прямоугольной модельной структуры D/B = 50, угол ф выбирается случайным образом в пределах 180°, рис. 1.
Таблица 1
Время, мес. Е, ГПа V Тип живой ткани
1 0.5 0.3 неплотная заполняющая ткань
3 5 0.3 соединительная ткань
6 20 0.3 костная ткань
Допускается, что механические свойства компонентов биокомпозита не отличаются от свойств, которые могут быть определены в макроэксперименте для каждого компонента в отдельности. Характеристики упругих свойств (модуль Юнга Е, коэффициент Пуассона V) живой ткани в зависимости от времени прорастания приведены в таблице 1 [9].
Доля межпоровых каналов и мелких пор, где прорастание костной ткани затруднено, в общем объеме материала не превышает 10 %. Для оценки механических свойств титановой матрицы с учетом наличия в ней такого рода пористости были проведены эксперименты по деформированию образцов, спеченных при таких же температурно-временных режимах, что и при изготовлении пористых имплантатов, но предварительно уплотненных для обеспечения указанного объема пористости. С учетом проведенных экспериментов для титановой матрицы были приняты следующие характеристики:
Е = 112 ГПа, V = 0.32, ^ = 400 МПа, Ек = 5.5 ГПа,
где 5т — предел текучести; Е к — касательный модуль на участке неупругого деформирования. Кривая деформирования матрицы аппроксимировалась двухзвенной ломаной линией.
3. Схема определения локальных свойств
Локальные свойства биокомпозита в случайным образом выбранной точке модельной структуры определяются по результатам численного моделирования поведения ограниченного фрагмента структуры (микрофрагмента), непосредственно окружающего данную
точку, в условиях однородного внешнего нагружения. Задача решается методом конечных элементов в двумерной постановке с использованием аналога трехфазной модели механики композитов [5, 10]. Расчетная схема микрофрагмента модельной структуры приведена на рис. 2. Для моделирования условий нагружения микрофрагмента композита, которые складываются в среде материала, многокомпонентный мезообъем погружается в объем однородной среды с эффективными для него свойствами. Начальные характеристики эффективной среды оцениваются по модели механической смеси и уточняются итерационно. Граничные условия, соответствующие заданным параметрам нагружения, задаются на внешних границах объема эффективной среды.
Используется теория эффективных свойств, согласно которой микрофрагмент структуры композита отождествляется с элементарным объемом эффективной однородной среды, обладающей приведенными физикомеханическими свойствами. Механические состояния мезообъема композита и элементарного объема эффективной среды полагаются эквивалентными, если при заданных параметрах механического воздействия равны их удельные потенциальные энергии деформирования. Вследствие нерегулярного характера структуры материала свойства, определенные в разных точках, будут различны. Таким образом задача оценки эффективных механических свойств биокомпозита (как проявления совокупности его локальных свойств) сводится практически к формированию репрезентативной выборки свойств микрофрагментов модельной структуры и определению ее параметров. С этой целью в пределах модельной структуры случайным образом выбираются точки, для каждой из которых определяются локальные свойства с использованием описанной выше процедуры.
Размеры микрофрагмента модельной структуры для удовлетворения требованию локальности формирования механических свойств принимаются равными расстоянию, на котором сохраняется ближний порядок взаимодействия структурных элементов. Для определения этого расстояния исследуется зависимость функций распределения случайных выборок упругих свойств (локально-эффективного модуля Юнга Еей) от размеров моделируемого фрагмента структуры для разных времен прорастания живой ткани. Для аппроксимации распределений эффективных упругих модулей использовано трехпараметрическое распределение Вейбулла
F( X) = 1 - ехр
1 1 Г X - Х0 ^ 1 8
1 в J
Рис. 2. Расчетная схема определения эффективных параметров микрофрагмента модельного материала: 1 — эффективная среда; 2 — поры; 3 — матрица
где Х0, а, в — параметры распределения; X— случайная величина. Следует отметить, что локальная пористость (соотношение между живой тканью и титановой мат-
Рис. 3. Зависим°сть функций плотности распределения локальн^1х рис. 4. Диаграммы деформирования микрофрагментов структуры при
эффективных упругих модулей от размеров микрофрагментов струк- средних значениях пористости
туры (время прорастания живой ткани три месяца)
рицей) для всех сформированных выборок имеет нормальное распределение.
4. Результаты численных расчетов
На рис. 3 показан вид функций плотности распределения модулей Ее(Г для разных размеров исследуемых фрагментов. Характерным является качественное изменение вида данных функций при изменении размеров фрагмента. Увеличение размеров приводит к тому, что распределение упругих модулей приобретает признаки нормального (гауссова) распределения. Такое распределение типично для результатов серии независимых измерений произвольной физической величины. В рассматриваемом случае независимость результатов интерпретируется как признак потери локального характера свойств, определяемых в численном эксперименте (Еей). Соответственно, размеры фрагментов выборки, для которой характер распределения приобретает признаки нормального, принимаются в качестве верхней оценки расстояния ближнего порядка взаимодействия структурных элементов. Результаты, полученные на фрагментах структуры, составляющих данную выборку, используются для оценки параметров случайной вели-
Таблица 2
Время, мес. L/B Е „ ГПа еГР % а
1 6 11.6 0.45 0.06
3 5 22.0 0.46 0.07
6 3 31.0 0.47 0.14
чины Ее(Г, характеризующей упругие свойства материала. Объем биокомпозита соответствующих размеров может рассматриваться в качестве характерного ме-зообъема, т.е. объема, отвечающего за формирование свойств материала (в данном случае — упругих) на уровне структурных компонентов биокомпозита.
В таблице 2 приведены результаты, касающиеся размеров локально-представительных объемов (мезообъе-мов) L/B и наиболее вероятных значений модуля упругости биокомпозита Ее(Г, полученные для разных времен прорастания живой ткани. Там же представлены параметры нормального распределения (математическое
Рис. 5. Интервалы изменения 8 локальных деформационных свойств биокомпозита для разных времен прорастания живой ткани
ожидание % и стандартное отклонение а) для локальной пористости, определенные для соответствующих выборок фрагментов.
Видно, что размеры зон формирования локальных свойств существенно зависят от соотношения свойств компонентов композита. В материале со свободными порами элементы структуры обладают гораздо большей зоной влияния на локальные свойства, чем в материале, поры которого заполнены плотными тканями.
Представляет интерес оценка степени изменения локальных деформационных характеристик биокомпозита в зависимости от содержания живой ткани. Такая оценка проводилась для характерных величин пористости, в качестве которых были выбраны математическое ожидание % (рис. 4) и значения, равные % ± а (рис. 5). Среди всех микрофрагментов, параметры пористости которых удовлетворяли указанным значениям, выбирались те, форма межкомпонентных границ которых могла быть наилучшим образом аппроксимирована равномерным конечно-элементным разбиением. Уровень деформации в численном эксперименте во всех случаях не превышал 2.5 %. Представленные на рис. 4, 5 кривые деформирования демонстрируют существенное возрастание упругих характеристик имплантата по мере формирования в его порах костной структуры. Полученные результаты показывают, что локальная величина пористости не может рассматриваться в качестве основного параметра, в достаточной степени ответственного за формирование локальных деформационных свойств материала. Результаты, представленные на рис. 5, свидетельствуют также о значительной неоднородности деформационных свойств имплантата в процессе прорастания живой ткани.
5. Заключение
Полученные результаты позволяют сделать вывод о применимости представленной модели для анализа механических свойств пористых материалов со свободными и заполненными порами как частного случая многокомпонентных материалов со стохастической струк-
турой. Модель может быть использована для оценки влияния параметров структуры и свойств металлического компонента на механические свойства пористых имплантатов, используемых в медицинской практике. Результаты моделирования поведения системы «пористый титан - живая ткань» позволяют оценить степень разброса ее локальных упругих и деформационных свойств в процессе формирования структуры биокомпозита, а также использовать эти оценки при разработке новых пористых материалов для медицины и прогнозировании их свойств в процессе эксплуатации.
Литература
1. Гюнтер В.Э., Итин В.И., Монасевич Л.А. и др. Эффекты памяти формы и их применение в медицине. - Новосибирск: Наука, 1992.- 742 с.
2. Миргазизов М.З., Гюнтер В.Э., Итин В.И. и др. Сверхэластичные имплантаты и конструкции из сплавов с памятью формы в стоматологии. - Quintessenz Verlags, GmbH, 1993. - 231 с.
3. Итин В.И., Гюнтер В.Э., Ходоренко В.Н. и др. Динамика прорастания пористого проницаемого никелида титана тканями организма и механическое поведение композитов «никелид титана -ткани организма» // Письма в ЖТФ. - 1996. - Т. 22. - Вып. 6. -С. 37-42.
4. Итин В.И., Гюнтер В.Э., Ходоренко В.Н. и др. Прочностные свойства пористых проницаемых материалов на основе титана для стоматологии // Порошковая металлургия. - 1997. - № 9/10. -С. 29-33.
5. Лейцин В.Н., Сидоренко Ю.Н. Выбор объема волокнистого композиционного материала для оценки микромеханических свойств // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Докл. конф. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998. - С. 109-110.
6. Вилъдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. - М.: Наука, 1997. - С. 109-110.
7. БогачевИ.Н., Вайнштейн А.А., Волков С.Д. Статистическое металловедение. - М.: Металлургия, 1984. - 288 с.
8. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995.- 297 с. и 320 с.
9. БерезовскийВ.А., КолотиловН.Н. Биофизические характеристики
тканей человека: Справочник. - Киев: Наукова думка, 1990. -224 с.
10. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. - М: Мир, 1982.- 334 с.
