CC BY
4
Т. 9. № 4. 2023
Vol. 9, no. 4. 2023
Экономические науки
еconomics
УДК 330.4
DOI 10.30914/2411 -9687-2023-9-4-433-442
Прогнозирование котировок финансовых инструментов с помощью нейронных сетей
М. В. Казаковцева, Е. В. Конакова
Марийский государственный университет, г. Йошкар-Ола, Российская Федерация
Аннотация. Введение. Важным аспектом для инвесторов и трейдеров являются точные прогнозы, имеющие огромное значение для принятия решений о покупке, продаже или держании акций, а также для определения оптимальной стратегии инвестирования и управления рисками. На сегодняшний день нейронные сети и методы машинного обучения становятся все более популярными и эффективными в различных областях, включая прогнозирование. Одним из важнейших направлений практического использования нейронных сетей являются задачи прогнозирования, а именно задачи прогнозирования временных рядов на фондовом рынке, предсказание курса валют, построение прогноза потребления электроэнергии, прогнозирование платежеспособности кредиторов, нагрузок энергетических систем и пр. Нейронные сети могут применяться для решения практически любого рода задач, в том числе и при отсутствии явной математической модели или недостатке данных для эффективного применения статистических методов. В работе рассматривается применение метода экспоненциального сглаживания и нейронных сетей в задачах прогнозирования. Цель работы заключается в изучении и оценке эффективности метода экспоненциального сглаживания и нейронных сетей для прогнозирования временных рядов на примере котировок акций компании «ФосАгро». Материалы и методы. В работе использован метод экспоненциального сглаживания для предварительного прогнозирования исторических данных, а также для улучшения точности прогнозирования применены нейронные сети. Результаты исследования, обсуждения. Экспоненциальное сглаживание и нейронных сетей приводит к улучшению точности прогнозирования для котировок акций компании «ФосАгро». Заключение. Применение экспоненциального сглаживания и нейронных сетей в задачах прогнозирования может помочь улучшить точность прогнозов котировок акций и других финансовых временных рядов.
Ключевые слова: экспоненциальное сглаживание, нейронные сети, прогнозирование, временной ряд, модель, сеть
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Для цитирования: Казаковцева М. В., Конакова Е. В. Прогнозирование котировок финансовых инструментов с помощью нейронных сетей // Вестник Марийского государственного университета. Серия «Сельскохозяйственные науки. Экономические науки». 2023. Т. 9. № 4. С. 433-442. DOI: https://doi.org/10.30914/2411-9687-2023-9-4-433-442
Forecasting financial instrument quotations using neural networks M. V. Kazakovtseva, E. V. Konakova
Mari State University, Yoshkar-Ola, Russian Federation
Abstract. Introduction. An important aspect for investors and traders is accurate forecasts, which are of great importance for making decisions about buying, selling or holding shares, as well as for determining the optimal
investment strategy and risk management. To date, neural networks and machine learning techniques have become increasingly popular and effective in a variety of fields, including forecasting. One of the most important areas of practical use of neural networks are forecasting tasks, namely, forecasting time series on the stock market, predicting the exchange rate, building a forecast of electricity consumption, predicting the solvency of creditors, loads of energy systems, etc. Neural networks can be used to solve almost any kind of problem, including in the absence of an obvious mathematical model or a lack of data for the effective use of statistical methods. The paper discusses the use of the exponential smoothing method and neural networks in forecasting problems. The purpose of the work is to study and evaluate the effectiveness of the exponential smoothing method and neural networks for forecasting time series using the example of PhosAgro stock quotes. Materials and methods. The method of exponential smoothing is used for preliminary prediction of historical data, and neural networks are used to improve the forecasting accuracy. Research results, discussion. Exponential smoothing and neural networks lead to improved forecasting accuracy for PhosAgro stock quotes. Conclusion. Applying exponential smoothing and neural networks to forecasting tasks can help improve the accuracy of stock price forecasts and other financial time series.
Keywords: exponential smoothing, neural networks, forecasting, time series, model, network The authors declare no conflict of interest.
For citation: Kazakovtseva M. V., Konakova E. V. Forecasting financial instrument quotations using neural networks. Vestnik of the Mari State University. Chapter "Agriculture. Economics", 2023, vol. 9, no. 4, pp. 433-442. (In Russ.). DOI: https://doi.org/10.30914/2411-9687-2023-9-4-433-442
Введение
Существенную роль в различных областях, таких как финансы, экономика, климатология и другие, играет прогнозирование временных рядов. Прогнозирование - это процесс предсказания будущих значений на основе исторических данных. Точные прогнозы позволяют принимать обоснованные решения, оптимизировать стратегии и управлять рисками. В последние годы нейронные сети и методы машинного обучения получили распространение в прогнозировании временных рядов [4]. Однако в определенных случаях, таких как ограниченность данных или сложные структуры временного ряда, применение исключительно нейронных сетей может быть недостаточно [3]. В таких ситуациях применение различных подходов может помочь достичь более точных и надежных прогнозов [2].
Нетривиальной задачей является прогноз поведения сложных динамических систем. Как правило, такой прогноз основывается на обнаружении скрытых закономерностей в накопленных данных. Коллективная психология участников торгов имеет непосредственное влияние на формирование биржевой цены, усложняя данный процесс, зато имеются накопленные данные в виде финансового временного ряда.
Актуальность данной работы заключается в использовании нейронных сетей для решения трудноформализуемой задачи прогнозирования
финансовых временных рядов, а также важностью получения качественных прогнозов основных финансовых индикаторов в условиях рыночной экономики [1].
В данной работе для решения задачи прогнозирования финансовых временных рядов рассмотрены нейросетевые методы, которые отличаются от других моделей своей способностью устанавливать нелинейные связи между будущими и фактическими значениями и хорошей масштабируемостью.
Цель исследования - изучение и оценка эффективности метода экспоненциального сглаживания и нейронных сетей для прогнозирования временных рядов на примере котировок акций компании «ФосАгро».
Материалы и методы исследования
Для проведения анализа использован метод экспоненциального сглаживания и нейронные сети с применением программного пакета Statistica [8]. Экспоненциальное сглаживание помогает улавливать общие тенденции и сезонные колебания, тогда как нейронная сеть может изучить сложные паттерны, которые могут быть недоступны для экспоненциального сглаживания1. Применение данных методов рассмотрены во многих исследованиях [6].
1 Нейронные сети. Statistica Neural Networks: Пер. с англ. М. : Горячая линия - Телеком, 2000. 182 с.
Результаты исследования, обсуждения
Выявление и анализ тенденции динамического ряда часто производится с помощью его выравнивания или сглаживания. Экспоненциальное сглаживание - один из простейших и распространенных приемов выравнивания ряда. В его основе лежит расчет экспоненциальных средних [5].
Главное достоинство прогнозной модели, основанной на экспоненциальных средних, состоит в том, что она способна последовательно адаптироваться к новому уровню процесса без значительного реагирования на случайные отклонения. Предполагая, что в исследуемых данных присутствует демпфированный возрастающий тренд и сезонная аддитивная составляющая, период сезонных колебаний равен 4. Следовательно, ряд не
стационарен. Признаком стационарности можно считать нормальность распределения остатков данного временного ряда.
Гистограмма распределения остатков исходного ряда не подчиняется графику нормального распределения (рис. 1). Следовательно, можно предположить, что исходный ряд не является стационарным, и на данном этапе анализа необходимо привести временной ряд к стационарному виду.
С помощью экспоненциального сглаживания по модели демпфированного тренда и аддитивной сезонности с параметрами Альфа = 0,629, Дельта = 0,000, Фи = 0,189 построен прогноз с 1 января 2023 г. по 10 января 2023 г. включительно, проанализированы стандартные ошибки построенной модели (рис. 2).
Гистограмма; перем.: Цена акций, руб. - Ожид. нормальн.
4500 5500 6500 7500 8500 9500 10500
Верхние границы (х<=граница)
Рис. 1. Гистограмма распределения остатков исходного временного ряда / Fig. 1. Histogram of the distribution of residues of the original time series
Итоговая ошибка Эксп. сглажив.: Аддитивн. сезон. (4) S0=5797, T0=11,02 (Данные ФосАгро^а) Демпф. тренд,адд.сезон.; Альфа= ,629 Дельт=0,00 Фи=,189 Цена акций, руб.
Ошибка
Средн. ош. 2,4663730
Ср. абсол. ошибка 134,7405322
Суммы квадратов 11502511,9141264
Ср. квадрат 49156,0338211
Средн. относ. ошибка -0,0066328
Ср. абс. отн. ошибка 1,9551821
Рис. 2. Стандартные ошибки построенной модели / Fig. 2. Standard errors of the constructed model
В рассмотренном случае, процент средней аб- 13 %, это говорит о достаточной точности пред-солютной ошибки составляет 1,95 %, что меньше ложенной модели.
Сглаженные значения ряда повторяют контуры наблюдаемого временного ряда, поскольку значения прогнозной линии достаточно близки по структуре к динамике исходного временного ряда, что позволяет сделать вывод об адекватности построенного прогноза реальным данным [7].
Гистограмма распределения остатков сглаженного ряда подобна графику нормального рас-
пределения, что свидетельствует об адекватности отражения наблюдаемого процесса динамики стоимости акции, и построенный на ее основе прогноз можно считать точным (рис. 3).
Для проверки адекватности выбранной модели необходимо оценить независимость распределения остатков друг от друга с помощью автокорреляции функции, частной автокорреляции и плотности распределения остатков.
Гистограмма; перем.: Цена акций, руб. Остатки эксп. сгл.; - Ожид. нормальн.
0 -1200 -800 -400 -1400 -1000 -600 -200
400 800 1200 1600 2000 200 600 1000 1400 1800
Верхние границы (х<=граница)
Рис. 3. Гистограмма распределения остатков сглаженного ряда / Fig. 3. Histogram of distribution of smoothed series residues
Лаг Корр. СтОш
1 +.106 .0650
2 +.018 .0648
3 -.039 .0647
4 -.233 .0645
5 -.026 .0644
6 -.122 .0643
7 +.007 .0641
8 -.027 .0640
9 +.092 .0638
10 -.012 .0637
11 +.003 .0635
12 +.040 .0634
13 -.076 .0633
14 +.095 .0631
15 -.047 .0630
Автокорреляцион. функция Цена акций, руб.: Остатки эксп. сгл.; (Стандартные ошибки - оценки белого шума)
п
и
п
У
г
L И
Q Р
2.67 .1024
2.74 .2538
3.10 .3762
16.10 .0029
16.26 .0061
19.86 .0029
19.87 .0059
20.04 .0102
22.13 .0085
22.17 .0143
22.17 .0231
22.57 .0317
23.99 .0312
26.24 .0241
26.80 .0304
Дов. интерв.
Рис. 4. График автокорреляционной функции остатков / Fig. 4. Autocorrelation plot of residues
0
-1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
Частная автокорреляцион. функция Цена акций, руб.: Остатки эксп. сгл.; (Ст. ошибки предполагают порядок АР к-1)
Лаг 1 2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13
14
15
Корр. +,106 +,007 -,042 -,227 +,023 -,123 +,019 -,088 +,109 -,100 +,029 -,008 -,030 +,071 -,040
СтОш ,0654 ,0654 ,0654 ,0654 ,0654 ,0654 ,0654 ,0654 ,0654 ,0654 ,0654 ,0654 ,0654 ,0654 ,0654 0
г
L и
Г
" Дов. интерв.
Рис. 5. График частной автокорреляционной функции остатков / Fig. 5. Partial autocorrelation plot of residues
Анализ автокорреляции показывает отсутствие сильных взаимосвязей уровней остаточного ряда, так же как и анализ частной автокорреляции функции (рис. 4 и 5).
Так как процент ошибки равен 1,95 %, что меньше допустимого равного 13 %, анализ автокорреляционной и частной автокорреляционной функции доказывает отсутствие сильных взаимосвязей уровней остаточного ряда, плотность распределения остатков близка к плотности нормального распределения, то можно сказать о хорошем выборе подбора прогнозной модели. Следовательно, используя полученную модель, можно строить прогноз.
Комбинирование экспоненциального сглаживания и нейронных сетей в задачах прогнозирования позволяет применить преимущества обоих методов. Экспоненциальное сглаживание учиты-
вает последние изменения и тренды в данных, а нейронные сети способны выявить более сложные зависимости и предсказывать наиболее точные результаты [9].
В построении нейронных сетей участвуют 991 значение цен закрытия акций ФосАгро, из которых 70 % значений используется для обучающей выборки, остальные 30 % составляют контрольную выборку. На вход подана выборка из 10 значений. Из 20 обученных сетей программа предложила 5 наилучших для сохранения и последующего анализа (рис. 6).
Наилучшими она признала их ввиду того, что они имели наибольшую производительность на обучающей и контрольной выборке. Также выбор наилучшей сети основывается на нормальности распределения остатков сетей и прогнозировании исходного ряда.
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
Итоги моделей (Таблица данных) Включенные наблюдения: 1:981
N Арх итектура Производительность обуч. Контр. производи-тельност ь. Ошибка обучения Конт р. ошибка Алгоритм обучения Функция ошибки Ф-я актив. скрытых нейр. Ф-я актив. в ыходных нейр.
1 MLP 10-8-1 0,999045 0,997075 3011,654 10127,56 BFGS 176 Сум. квадр Гипер б. Тождеств.
2 MLP 10-3-1 0,998505 0,996849 4743,450 10945,84 BFGS 30 Сум. квадр Гипер б. Тождеств.
3 MLP 10-2-1 0,998528 0,996843 4661,668 11119,73 BFGS 48 Сум. квадр Логист. Тождеств.
4 MLP 10-2-1 0,998477 0,996850 4829,543 11074,97 BFGS 43 Сум. квадр Логист. Тождеств.
5 MLP 10-2-1 0,998470 0,996869 4846,501 10998,01 BFGS 32 Сум. квадр Гипер б. Тождеств.
Рис. 6. Итоги модели / Fig. 6. Model results
Из диаграммы рассеивания (рис. 7) видно, что точки находятся на прямой. Сильных выбросов не наблюдается. Это говорит о хорошем качестве построенных моделей нейронных сетей.
По результатам сравнения проекций временного ряда наилучшей признана сеть следующей архитектуры: MLP 10-3-1 с гиперболической функцией активации для скрытых нейронов
(рис. 8). Данная сеть содержит 3 нейрона в скрытом слое, 10 входов и один выход.
Об адекватности построенной модели свидетельствует нормальность распределения остатков и точность описания реальных данных (рис. 9).
Для всех сетей, построенных аналогично представленным выше, ошибка прогноза на прогнозных значениях компании варьируется от 0,14 % до 0,42 %, что говорит о хорошем качестве прогнозирования.
Цена акций, руб. (Целевая) и Цена акций, руб. (Выход) Выборки: Обучающая, Тестовая Включенные наблюдения: 1:981
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 1500 2500 3500 4500 5500 6500 7500 8500 9500
Цена акций, руб. (Целевая)
О 1 .MLP 10-8-1
О 2.MLP 10-3-1
О 3.MLP 10-2-1
О 4.MLP 10-2-1
О 5.MLP 10-2-1
Рис. 7. Диаграмма рассеивания для большей выборки / Fig. 7. Scattering chart for a larger sample
Временные ряды проекция для Цена акций, руб. 10 наблюд. использованы как входные, прогноз на 1 вперед Все подвыборки Включенные наблюдения: 1:981
в
10000 9500 9000 8500 8000 7500 7000 6500 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 -100
1100
-Цена акций, руб.
-[1.MLP 10-8-1]
-[2.MLP 10-3-1]
-[3.MLP 10-2-1]
-[4.MLP 10-2-1]
-[5.MLP 10-2-1]
Рис. 8. График проекции временного ряда / Fig. 8. Time series projection plot
Линейный график для нескольких переменных Временные ряды проекция для Цена акций, руб. (Таблица данных75) в Рабочая книга1 2у*991с
10.04.2019 18.10.2019 05.05.2020 16.11.2020 28.05.2021 03.12.2021 15.07.2022
- Цена акций, руб.
- Цена акций, руб.(Выход)
Рис. 9. Описание реальных данных сетью MLP 10-3-1 / Fig. 9. Description of real data by MLP network 10-3-1
На следующем шаге был построен прогноз с 1 января 2023 года по 10 января 2023 года по выбранным моделям для малой и большей выборки.
Прогнозные значения сети практически повторяют динамику временного ряда, что позволя-
ет сказать о достаточной точности выбранных моделей (рис. 10).
На завершающем этапе проведен сравнительный анализ наилучших моделей для прогнозирования временного ряда (табл. 1).
Временные ряды проекция для Цена акций, руб. 10 наблюд. использованы как входные, прогноз на 1 вперед
Все подвыборки
-100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
Окно
-Цена акций, руб.-[3.MLP 10-4-1]
Рис. 10. График временного ряда и прогноза стоимости акций компании ФосАгро / Fig. 10. Schedule of time series and forecast of PhosAgro shares value
Таблица 1 / Table 1
Сравнительная таблица наилучших моделей / Best models comparison table
Дата / Date Модель / Model
Экспоненциальное сглаживание / Exponential smoothing Модель MLP 10-3-1, нейронные сети / Model MLP 10-3-1, neural networks
1 2 3
01.01.2023 6410,013 6419,385
02.01.2023 6441,755 6455,183
Окончание табл. 1
Дата / Date Модель / Model
Экспоненциальное сглаживание / Exponential smoothing Модель MLP 10-3-1, нейронные сети / Model MLP 10-3-1, neural networks
1 2 3
03.01.2023 6429,015 6486,074
04.01.2023 6395,008 6508,212
05.01.2023 6411,935 6536,146
06.01.2023 6442,118 6572,815
07.01.2023 6429,084 6597,898
08.01.2023 6395,021 6628,388
09.01.2023 6411,937 6656,209
10.01.2023 6442,118 6684,714
Исходя из вышерассмотренных моделей для прогнозирования цен закрытия акций компании ФосАгро, наилучшим по прогнозным значениям следует выделить модель MLP 10-3-1 для большей выборки, построенной по нейронной сети, так как она с наибольшей точностью описывает данный временной ряд.
Заключение
Сравнение результатов позволяет определить эффективность использования экспоненциального сглаживания и нейронных сетей в данной ра-
боте [9]. Для достижения наилучших результатов необходимо учитывать следующие факторы: качество данных, выбор модели и архитектуры, обучение и настройка модели, оценка и проверка модели. В целом применение нейронных сетей и экспоненциального сглаживания в задачах прогнозирования способствует улучшению точности прогнозов котировок акций и других финансовых временных рядов, а принятие решений на основе этих прогнозов становится более информированным и основанным на надежных данных [10].
1. Алжеев А. В., Кочкарков Р. А. Сравнительный анализ прогнозных моделей ARIMA и LSTM на примере акций российских компаний // Финансы: теория и практика. 2020. Т. 24. № 1. С. 14-23. DOI: https://doi.org/10.26794/2587-5671-2020-24-1-14-23
2. Андриянов Н. А. Обзор методов прогнозирования временных рядов // Современные проблемы проектирования, производства и эксплуатации радиотехнических систем. 2018. № 11. С. 147-151. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=36648031 (дата обращения: 05.11.2023).
3. Барбашова Е. В., Гайдамакина И. В., Польшакова Н. В. Прогнозирование в коротких временных рядах: методологические и методические аспекты // Вестник ОрелГАУ. 2020. № 2 (83). URL: https://cyberleninka.ra/artide/n/prognozirovame-v-korotkih-vremennyh-ryadah-metodologicheskie-i-metodicheskie-aspekty (дата обращения: 14.11.2023).
4. Исследование метода прогнозирования временных рядов на транспорте с помощью рекуррентных нейронных сетей / Г. М. Лысов, Ф. Н. Приходько, А. А. Коновалова, К. А. Тимошенко // Дневник науки. 2023. № 1 (73). URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=50437580 (дата обращения: 05.11.2023).
5. Новиков А. А., Будзинская Е. О., Канева О. Н. Анализ методов прогнозирования временных рядов. // Информационный бюллетень Омского научно-образовательного центра ОмГТУ и ИМ СО РАН в области математики и информатики. 2020. Том 4. № 1. С. 37-43. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=44063546 (дата обращения: 05.11.2023).
6. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации / пер. с польского И. Д. Рудинского. Москва : Финансы и статистика, 2002. 344 с
7. Позолотин В. Е., Султанова Е. А. Применение алгоритмов экспоненциального сглаживания к обработке временных рядов // Информационные технологии. Проблемы и решения. 2019. № 4 (9). С. 45-50. URL: https://elibrary.ru/item.asp ?id=39138954 (дата обращения: 05.11.2023).
8. Ращупкина О. С. Анализ временных рядов с помощью системы Statistica. // Фундаментальные и прикладные исследования в области управления, экономики и торговли: сб. трудов научно -практической и учебной конференции (г. Санкт-Петербург, 04-06 июня 2019 г.). Том Ч. 1. Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2019. С. 58-61. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=39820384 (дата обращения: 05.11.2023).
9. Сунчалин А. М., Сунчалина А. Л. Обзор методов и моделей прогнозирования финансовых временных рядов. // Хроно-экономика. 2020. № 1 (22). С. 25-29. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=42584516 (дата обращения: 05.11.2023).
10. Сравнительный анализ методов построения объединенного прогноза / А. А. Френкель, Н. Н. Волкова, А. А. Сурков, Э. И. Романюк // Вопросы статистики. 2017. № 7. С. 17-27. URL: https://voprstat.elpub.ru/jour/article/view/535 (дата обращения: 05.11.2023).
Статья поступила в редакцию 18.11.2023 г.; одобрена после рецензирования 13.11. 2023 г.; принята к публикации 16.11.2023 г. Об авторах
Казаковцева Марина Вадимовна
кандидат экономических наук, доцент, кафедра прикладной статистики и цифровых технологий, Марийский государственный университет (424000, Российская Федерация, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, д. 1), ORCID: https://orcid.org/0000-0001-5031-1681, marina290576@mail.ru
Конакова Екатерина Витальевна
магистрант, кафедра прикладной статистики и цифровых технологий, Марийский государственный университет (424000, Российская Федерация, г. Йошкар-Ола, пл. Ленина, д. 1), katya.konakova0229@mail.ru
Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.
1. Alzheev A. V., Kochkarov R. A. Sravnitel'nyi analiz prognoznykh modelei ARIMA i LSTM na primere aktsii rossiiskikh kompanii [Comparative analysis of ARIMA and LSTM predictive models: evidence from Russian stocks]. Finansy: teoriya i praktika = Finance: Theory and Practice, 2020, vol. 24, no. 1, pp. 14-23. (In Russ.). DOI: https://doi.org/10.26794/2587-5671-2020-24-1-14-23
2. Andriyanov N. A. Obzor metodov prognozirovaniya vremennykh ryadov [Overview of time series forecasting methods]. Sov-remennye problemy proektirovaniya, proizvodstva i ekspluatatsii radiotekhnicheskikh sistem = Modern problems of design, production and operation of radio engineering systems, 2018, no. 11, pp. 147-151. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=36648031 (accessed 05.11.2023). (In Russ.).
3. Barbashova E. V., Gaydamakina I. V., Polshakova N. V. Prognozirovanie v korotkikh vremennykh ryadakh: metodologiches-kie i metodicheskie aspekty [Forecasting in short time series: methodological and methodical aspects]. Vestnik OrelGAU = Bulletin of Agrarian Science, 2020, no. 2 (83). Available at: https://cyberleninka.ru/article/n/prognozirovanie-v-korotkih-vremennyh-ryadah-metodologicheskie-i-metodicheskie-aspekty (accessed 15.11.2023). (In Russ.).
4. Lysov G. M., Prikhodko F. N., Konovalova A. A., Timoshenko K. A. Issledovanie metoda prognozirovaniya vremennykh ryadov na transporte s pomoshch'yu rekurrentnykh neironnykh setei [Research on methods of forecasting time series in transport using recurrent neural networks]. Dnevnik nauki = Diary of Science, 2023, no. 1 (73). Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=50437580 (accessed 05.11.2023). (In Russ.).
5. Novikov A. A., Budzinskaya E. O., Kaneva O. N. Analiz metodov prognozirovaniya vremennykh ryadov [Analysis of time series forecasting methods]. Informatsionnyi byulleten' Omskogo nauchno-obrazovatel'nogo tsentra OmGTU i IM SO RAN v oblasti matematiki i informatiki = Information bulletin of the Omsk Scientific and Educational Center of OmSTU and IM SB RAS in the field of mathematics and informatics, 2020, vol. 4, no. 1, pp. 37-43. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=44063546 (accessed 05.11.2023). (In Russ.).
6. Osovsky S. Neironnye seti dlya obrabotki informatsii [Neural networks for information processing]. Transl. from Polish by I. D. Rudinsky, M., Finance and Statistics Publ., 2002, 344 p. (In Russ.).
7. Pozolotin V. Y., Sultanova E. A. Primenenie algoritmov eksponentsial'nogo sglazhivaniya k obrabotke vremennykh ryadov [Application of algorithms of exponential smoothing to processing of time series]. Informatsionnye tekhnologii. Problemy i resheniya = Information Technology. Problems and Solutions, 2019, no. 4 (9), pp. 45-50. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=39138954 (accessed 05.11.2023). (In Russ.).
8. Rashchupkina O. S. Analiz vremennykh ryadov s pomoshch'yu sistemy Statistica [Time series analysis using the STATISTICA system]. Fundamental'nye iprikladnye issledovaniya v oblasti upravleniya, ekonomiki i torgovli: sb. trudov nauchno-prakticheskoi i uchebnoi konferentsii (g. Sankt-Peterburg, 04-06 iyunya 2019 g.) = Fundamental and Applied Research in the Field of Management, Economics and Trade: collection of works of a scientific, practical and educational conference (St. Petersburg, June 04-06, 2019), SPb.: Publ. house of Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, 2019, pp. 58-61. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=39820384 (accessed 05.11.2023). (In Russ.).
9. Sunchalin A. M., Sunchalina A. L. Obzor metodov i modelei prognozirovaniya finansovykh vremennykh ryadov [Overview of methods and models for forecasting financial time series]. Khronoekonomika = Chronoeconomics, 2020, no. 1 (22), pp. 25-29. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=42584516 (accessed 05.11.2023). (In Russ.).
10. Frenkel A. A., Volkova N. N., Surkov A. A., Romanyuk E. I. Sravnitel'nyi analiz metodov postroeniya ob"edinennogo prognoza [Comparative analysis of methods for constructing a combined forecast]. Voprosy statistiki = Issues of Statistics, 2017, no. 7, pp. 17-27. Available at: https://voprstat.elpub.ru/jour/article/view/535 (accessed 05.11.2023). (In Russ.).
The article was submitted 18.11.2023; approved after reviewing 13.11.2023; accepted for publication 16.11.2023.
About the authors Marina V. Kazakovtseva
Ph. D. (Economics), Associate Professor, Department of Applied Statistics and Digital Technologies, Mari State University (1 Lenin Sq., Yoshkar-Ola 424000, Russian Federation), ORCID: https://orcid.org/0000-0001-5031-1681, marina290576@mail.ru
Ekaterina V. Konakova
Graduate student, Department of Applied Statistics and Digital Technologies, Mari State University (1 Lenin Sq., Yoshkar-Ola 424000, Russian Federation), katya.konakova0229@mail.ru
All authors have read and approved the final manuscript.
