Прогноз прочности упругодеформируемых объектов с объемными особенностями в напряжениях на примере сплошного короткого цилиндра Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Проблематика транспортных систем

УДК 624.01/.07

33

Д. В. Гусев

ПРОГНОЗ ПРОЧНОСТИ УПРУГОДЕФОРМИРУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ С ОБЪЕМНЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ В НАПРЯЖЕНИЯХ НА ПРИМЕРЕ СПЛОШНОГО КОРОТКОГО ЦИЛИНДРА

Современная механика разрушения в части оценки прочности систем, работающих в условиях теоретически бесконечных напряжений, практически сведена к прогнозу прочности объектов с концентраторами типа трещин. Известно, что особенности в напряжениях возникают как в местах резкого изменения формы, так и в области контакта разных материалов. Можно констатировать, что надежного и точного прогноза прочности в таких ситуациях механика разрушения в настоящее время не дает. Рассмотрен пример построения прогноза прочности сплошного короткого цилиндра на основе оригинального аналитического решения с использованием силового критерия разрушения.

аналитическое решение; прогноз прочности; силовой критерий разрушения.

Введение

Главным направлением развития строительной механики всегда являлось обеспечение необходимой точности при максимальной простоте расчетов. Но при проектировании или определении несущей способности существующей конструкции, если механические характеристики материалов найдены со значительной погрешностью, то, как бы ни была высока точность дальнейших вычислений, погрешность количественной оценки свойств материалов будет ограничивать точность расчета в целом.

В настоящее время методики определения механических характеристик регламентированы государственными нормативными документами. Например, согласно ГОСТ 10180-90, предел прочности при одноосном сжатии бетона определяется отношением разрушающей нагрузки к площади поперечного сечения, что соответствует условию по первой классической теории прочности при линейном напряженном состоянии. На самом деле при таких испытаниях действие напряжений в образцах всегда имеет объемный характер, этот факт доказывает характер разрушения. Присутствие только одного главного напряжения в каждой точке образца можно обеспечить только тогда, когда между плитами и торцами трение будет отсутствовать, чего, конечно, в реальности добиться невозможно.

В механической лаборатории ПГУПС были проведены испытания образцов-цилиндров из хрупких материалов при одноосном сжатии в различных условиях контакта торцов с опорными плитами, в ходе которых доказано значительное влияние контактных касательных напряжений на грузоподъемность образцов. При усилении взаимодействия опорных поверхностей несущая способность цилиндра возрастала. При этом не во всех государственных стандар-

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2006/2

34 Проблематика транспортных систем

тах по определению предела прочности предъявляются требования к качеству поверхности опорных плит.

Из сказанного выше можно заключить, что по действующим государственным нормативным документам в качестве предела прочности на сжатие определяется величина, не отражающая действительность, а носящая условный характер. Реальная прочность материала завышается, это ведет к снижению грузоподъемности проектируемой конструкции.

Для решения этой проблемы возможен следующий путь:

1) постановка модельной задачи теории упругости;

2) точное аналитическое решение;

3) прогноз несущей способности объекта на основе того или иного критерия разрушения.

Аналитического решения задачи об осевом сжатии кубического объекта жесткими плитами на сегодняшний день не найдено, и вывод его является сложнейшим занятием. Постановка такой задачи с коротким сплошным цилиндром ставит ее в разряд осесимметричных, что несколько упрощает решение.

В прошлом веке опубликован ряд аналитических решений о сплошном коротком цилиндре. Среди разработчиков можно выделить Б. Л. Абрамяна [1], [2], В. З. Васильева [5]. Они получили точные решения первой основной задачи. Подробным изучением напряженного состояния знаменуются публикации Г. М. Валова [3], [4]. Интересна в плане построения решения основная смешанная задача, в которой перемещения заданы на цилиндрической поверхности, представленная В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко [6]. В ходе библиографического исследования искомого аналитического решения обнаружено не было.

1 Постановка задачи

Постановка задачи предопределяется рисунком 1.

Рис. Граничные условия: 1. Расчетная схема

при r = a, sr = 0, trz = 0 0 £ z £ l;

при z = l, w = -w0, u = 0 0 £ r £ a; (1)

при z = —l, w = w0, u = 0 0 £ r £ a.

2006/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Проблематика транспортных систем

35

Решение, удовлетворяющее уравнениям совместности деформаций и статики, а также позволяющее точно выполнить условия (1), можно построить на базе функций напряжений К.В. Соляника-Красса. При этом, в частности, формулы для нормальных напряжений sz и для радиальных перемещений и принимают вид:

а =-

2A - £ [BJ0 (X„r) + BП [210 (X„r) +X„rli (X„r)]}x„ cosX,,z -

n=1 K L -J)

¥ / \

- £ (Achgkz+AgkzsSritz)/Jо (gkr); (2)

k=i4 7

u

1 r —.1 ¥/ |—

= —[A + 2(1 - v)C] r + — £ (Bn/, (X„r) + B0 [1 nA (X„r)) -

2m 2— n=1

—1\ 1 ¥ -2 (1 -v) I. (X„r) }cos Xnz + —£

' 2— к=1

A+2 (1 -v) Dk] chgkz + (3)

+A0g kz • shg kz}J1 (g kr) •

Здесь A, C, Bn, B^, Ak и Ak - постоянные и совокупности постоянных, определяемые из граничных условий; Xn и Ук - параметры, дискретный спектр которых также выбирается при выполнении граничных условий задачи; m, V -модуль сдвига, коэффициент Пуассона; Jo(Yk, r), «Л(Ук, r) - функции Бесселя 1го рода от действительного аргумента; Io(jk, r), I1(jk,r) - модифицированные функции Бесселя 1-го рода.

2 Разрешающие уравнения

Выполнение условий (1) при помощи представлений типа (2), (3) позволяет свести решение поставленной задачи к следующей системе разрешающих уравнений:

"ч

a ¥ 2

BlF (X„a )= -2 - cos XJ •£ A (g,a ) shg kl J0 (gka )K,,,

l k=1

A0 n(g kl )=

2 g ka

Jо (gka)

¥

£ B°cos XnlI1 (Xna)Kk,n -

n=1

(1 -2v) A (1 -v) —W0

v v l

gkJо (gka)

A = (1 + v)—! + 2v(1; v) £ A>gkl Jо (gka)

l l k=1

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2006/2

36

Проблематика транспортных систем

где K, =

(yta ) + (Х „а )

F(Х„а= ~(Х„а)2 /, (Х„а)

2 (1 -v) +

2 (X „а )2

(g ка) + (х„а )

(4)

/о2 (У) -1 - 2 (1 -v) /2 (1 „а ) (X „а )2

g J

P(gkl )= (3 - 4v) chg kl "тЧ

shg kl

1

3 Численная разработка аналитического решения

На основе аналитического решения была составлена программа численной разработки разрешающих уравнений и исследования напряженнодеформированного состояния сплошного короткого цилиндра в условиях осевого сжатия абсолютно жесткими плитами. При этом перемещение торцов цилиндра Wo задано следующим образом:

Ро

E-

Wr,

2 (=+v)

mwo

W

i

2m(i + v)Po’

где po - константа, характеризующая интенсивность действия распределенной нагрузки на торцы цилиндра из классического решения сопротивления материалов. Соответственно все численные результаты даны в долях от po. Приведем некоторые из них.

Рис. 2. Распределение нормальных напряжений sz в плоскости z = o в зависимости от относительной высоты цилиндра l/а (при v = o,3)

4 Прогноз прочности сплошного короткого цилиндра

2oo6/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Проблематика транспортных систем

37

В настоящей работе предлагается к применению универсальный и перспективный подход, основанный на понятии внутренних усилий в структурных ячейках материала. Впервые он введен В. В. Новожиловым [7] в начале 70-х годов и апробирован в задаче Гриффитса.

В работах В. З. Васильева [5] этот метод широко использован для оценки прочности деталей с особенностями в напряжениях. Им было предложено применять вместо коэффициента концентрации напряжений новый механический параметр - коэффициент концентрации элементарных внутренних усилий.

Рассмотрим такой подход на примере осесимметричной задачи о деформировании сплошного короткого цилиндра абсолютно жесткими плитами.

Коэффициент концентрации элементарных внутренних усилий а— определяется выражением:

AN,

а =--—

— AN ср ’

—

(5)

где AN— - нормальное растягивающее элементарное внутреннее усилие, приходящееся на структурную ячейку материала в зоне сингулярности напряжений, А№р- - аналогичное усилие при однородном поле напряжений, когда концентрации напряжений нет.

Значение AN— вычисляется по формуле:

Щ = JJs udF, (6)

( F )

где s— - компонента тензора напряжений, содержащая особенность;

F - площадь сечения элементарной структурной ячейки.

Параметр А№р— определяется следующим образом:

AN— аСр F, (7)

где аср - расчетное среднее напряжение в материале без учета концентраций.

Опуская громоздкие преобразования, для сплошного короткого цилиндра получим:

а,. = 0;

а= 2

а„

A

B0

Ро Х(2Ч)Фо L"=‘ Xna

[A + 2 (1 + v) С] 1

Хт"# (la) cosy-(1-5)! $ОЫ J (ga (l-£))

"=i l a k=i

Ро

x2ap0"=1

¥ ,

Х B" {Ei (l" )

Iо (X„a ) 2 (1 -v)

71 (N na )

A a

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2006/2

38

Проблематика транспортных систем

(1 - 2v)E о (X „ )}sin

f

X,„ a

l

\

V a

1 ¥ D0 _

—X—[R (g k) Mi (g k)+2 vg kaL (g kl )M о (g k)];

x aPok-1 g ka

a_ = - 2(1 vV Xg^Dk-shgkl-&(gk).

x(2 -x) k-1 Po

Численная разработка полученных формул находится на стадии реализа-

ции.

Заключение

Определение предела прочности при одноосном сжатии материала по государственным стандартам ведется с завышением его реального значения, что заведомо уменьшает несущую способность проектируемой конструкции. Развитие трещины в образцах при разрушении исходит от контура торцевых поверхностей цилиндра, где аналитически имеют место объемные особенности в напряжениях. В соответствии с силовым критерием прочности в данных точках получены формулы, определяющие коэффициенты концентрации элементарных усилий. Прогноз прочности сплошного короткого цилиндра находится на стадии численной разработки полученных формул. Такой подход в построении оценки грузоподъемности справедлив и для многих других упругодеформируемых объектов.

Библиографический список

1. Абрамян Б. Л. К задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра // Докл. АН АрмССР. - 1954. - Т. 19. - № 1.

2. Абрамян Б. Л. Некоторые задачи равновесия круглого цилиндра // Докл. АН АрмССР. - 1958. - Т. 26. - № 2.

3. Валов Г. М. Контактная задача об упругой осесимметричной деформации сплошного и полого кругового цилиндра // Тр. Сибирского металлургич. ин-та. - 1957. - № 4/А.

4. Валов Г. М. Об осесимметричной деформации сплошного кругового цилиндра конечной длины // Прикл. математ. и механ. - 1962. - Т. 26. - Вып. 4.

5. Васильев В. З. Пространственные задачи прикладной теории упругости. - М.: Транспорт, 1993.

6. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. Смешанная осесимметричная задача теории упругости для цилиндра конечной длины // Сопр. матер. и теор. сооружений. - Киев, 1971. - Вып. 15.

7. Новожилов В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. - 1969. - Т. 33. - Вып. 2.

УДК 624.52

2006/2

Proceedings of Petersburg Transport University