Проектирование вычислительной сети эффективной архитектуры для распределенного решения сложных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.272.3

С. Н. Ефимов, В. В. Тынченко, В. С. Тынченко

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЕТИ ЭФФЕКТИВНОЙ АРХИТЕКТУРЫ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ

Рассмотрена проблема выбора эффективной архитектуры распределенной вычислительной сети для параллельного решения сложной задачи. Предлагается аналитическая модель функционирования вычислительной сети типа клиент-сервер, построенная средствами теории массового обслуживания. Разработан метод оценки производительности вычислительной сети рассматриваемого типа, позволяющий учитывать характеристики решаемой задачи.

Проектирование сложных систем представляет собой итерационный процесс, когда на каждой последующей стадии выполняется доработка и детализация предыдущей версии проектируемой системы. В силу этого на первоначальном системотехническом этапе проектирования распределенную вычислительную сеть (РВС) целесообразно рассматривать как абстрактную вычислительную систему, состоящую из вычислительных узлов, объединенных каналами связи. Выбор эффективной структуры РВС определяется назначением системы, а также требованиями к ее производительности и надежности.

В ходе проектирования РВС, предназначенной для эффективного распределенного решения сложной задачи, требуется согласование структуры вычислительной сети со структурой параллельно выполняемого алгоритма решаемой задачи. В вычислительном смысле эффективной является методика крупноблочного распараллеливания алгоритма сложной задачи: разработка параллельного алгоритма, состоящего из идентичных последовательных ветвей, слабо связанных по данным и сравнимых по количеству операций. Одним из конструктивных приемов крупноблочного распараллеливания является распараллеливание по циклам, когда отдельные ветви алгоритма параллельно реализуют вычисления всех итераций одного цикла [1].

Крупноблочное распараллеливание алгоритма решаемой задачи хорошо согласуется с использованием клиент-серверной архитектуры для организации взаимодействия вычислительных узлов РВС в процессе решения задачи. На клиентах запускаются процессы, циклически реализующие вычисления по параллельным ветвям алгоритма; сервер, в свою очередь, реализует логику управления параллельными процессами, информационный обмен между ними, а также интерфейс с пользователем.

Обеспечение требуемой производительности РВС в процессе системотехнического проектирования сводится к оценке производительности исследуемых вариантов построения системы, а также к оптимизации структуры и режима функционирования для достижения заданной производительности при минимальной стоимости системы. Основным инструментом при исследовании производительности являются модели производительности вычислительных систем, позволяющие к тому же оценивать характеристики вычислительных процессов и использования ресурсов. Указанные характеристики необходимы для выявления факторов, влияющих на производительность, а также узких мест и недоиспользованных ресурсов.

Построим аналитическую модель производительности клиент-серверной РВС, состоящей из произвольного количества типов клиентов, произвольного числа клиентов каждого типа и многопроцессорного сервера.

Характеристики моделируемой РВС: N - количество типов клиентов; т. - количество клиентов i-го типа

___ ’ I

(i = 1, N); n - количество однородных процессоров сервера; ю. - быстродействие клиентов i-го типа (FLOPS); ю - быстродействие процессоров на сервере (FLOPS); n. - быстродействие канала связи клиентов i-го типа с сервером (бит/с).

Характеристики решаемой задачи: NOalg - средняя вычислительная сложность (количество машинных операций) одной итерации вычислений на одной ветви алгоритма решения задачи (оп.); NOctrl - средняя вычислительная сложность алгоритма управления одной ветвью алгоритма решения задачи (оп.); Valg - средний объем данных клиент-серверного обмена (бит); T - максимально допустимое время решения задачи.

Процесс функционирования РВС можно рассматривать как последовательную смену состояний на некотором интервале времени At и применить для описания данного процесса аппарат теории массового обслуживания. Представим процесс функционирования РВС замкнутой системой массового обслуживания (СМО) с ожиданием и случайным распределением заявок всех типов по всем процессорам сервера без взаимодействия между собой. Пусть имеется N типов клиентов, причем количество клиентов каждого типа произвольное (т , т , ..., mN). Каждый клиент в некоторые случайные моменты времени нуждается в обслуживании. Обслуживание осуществляется посредством n однородных процессоров сервера. Поток заявок на обслуживание от клиентов каждого типа - пуассоновский с параметром X., где i = 1, N . Интенсивность обслуживания каждой заявки подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром ц_. Вновь поступившая на обслуживание заявка направляется с равной вероятностью на любой из свободных процессоров сервера и принимается на обслуживание. Если все процессоры заняты, то поступившая на обслуживание заявка становится в очередь и ждет своего обслуживания. Дисциплина обслуживания - случайный равновероятный выбор из очереди.

Рассматриваемая СМО может находиться в следующих состояниях:

- яо’о О - в системе заявок на обслуживание нет, все процессоры сервера свободны;

1,0

- а10 0 - в системе находится одна заявка от клиен-

та первого типа, на одном процессоре сервера обслуживается одна заявка, очереди нет;

- аоо 1 - в системе находится одна заявка от клиента N-го типа, на одном процессоре сервера обслуживается

одна заявка, очереди нет;

„к ,1

- а^ ^ - в системе находитсяj.заявок от клиента

i-го типа, где і = 1, 2,..., N, к процессоров сервера занято обслуживанием, I заявок находятся в очередях на обслуживание;

h ,1М —h

- а 9 - в системе находится т.заявок от кли-

ml,m1,...,mN і

ентов каждого типа, h процессоров сервера занято обслуживанием, (M - h) заявок находятся в очередях на обслуживание, где M - суммарное число клиентов:

N Г n, пр0 М > n

M = У m¡ ; h = < ;

i= [М, пр0 M < n

к = о, к; і = о,(М - к).

Используя правила составления системы дифференциальных уравнений, запишем систему дифференциальных уравнений рассматриваемой СМО в виде [2]

dP°’° (t)

oi0,0,...,0^

dt

N

= —X mi лгР0000...,0 (t) + M1P1^0<!...,0 (t) +

1=1

+M2 P01f...,0 (t) + ••• + MN p1,0,...,1(t)

dPk,l (t) n [(mi — jl )Лг + dl M ]Pk(t) +

Ji ’j2 -Jn

dt _ 1 .......................

Pj1 —1.j2 ’-j

Dk ,l

j1 ’J '-'JN

= —y

1= +(m1 — J1 + 1)л1 n—k^1 Pk—V. . (t)

n

+(m2 — J2 + 1)л 2 n k +1 Pk J—, . (t) + ••• +

n

+(mN — jN + 1)л N

h J2—1,...., J n — k +1 Pk—1, i

n J1, J2,..., JN

—1(t) +

+(m1 — J1 + 1)л1 _ PJ—1 1j j (t) +

n Jl Jn

+(m2 — j2 +1)л2 _ Pj’\ І1 j (t) + ••• + n Ji’J2 *’••• ’Jn

+(mN — jN +1)лN TPf.,lí..1.. h. —1(t) +

1-

1-

^k — 1V+1

^k — 1V+1

J1, J2 ^.^ J N

d1M1Pj1НЛ,...,Jn (t) +

d2M2Pk,l ++. . (t) +

2 2 J^J2 +1...Jn W

+...

1-

^k — 1V+1

dN “J! JN+1(t) +

kl

k+1 V y

^ k 4

.k +1

v y

diJ,,, . (t)+

d2M2 pj+1,...,.(t)+•••+

dPhM—h (t)

mi,m2,...,m.

dt

N MjPh,M ~h (t) +

1 mi,m2,...,m. v J

X + ^ ph,M —h—1 /А +

i=1 + ліР . (t) +

1 mi —1,m2,...,m. v !

+л2 pkm _h—i (t)+•••+

2 mi,m2 —1,...,m. v 1

. Dh, M—h—1 /л +л nP , (t),

N mi,m2,...,mM —1v

, Г ji, пр0 ji < k

где di =

[k, пр0 ji > k При условии

С1 = ^ < 1 Mi

(1)

существует стационарный режим, а функционирование СМО описывается системой линейных уравнений. Исходя из условия существования стационарного режима (1), определим соотношение параметров вычислительной системы ю., ю и V., при котором выполняется условие стационарности исследуемой СМО.

Параметры потоков X. и ц зависят от величин Т и т., где Т - среднее время между заявками клиента ¿-го типа, которое представляет собой среднее время выполнения одной итерации алгоритма на клиентах ¿-го типа и зависит от аппаратной реализации клиентов ¿-го типа, а также от заданного параметра задачи NО^

ыо„

T0i =

alg

Ші

(2)

где т - среднее время обслуживания заявки клиента ¿-го типа, которое зависит от аппаратной реализации сервера, пропускной способности каналов связи, а также от заданных параметров задачи NОа1е и Уа1^.

4? = ^ГПЯІ + 4^ ГУ 5

і = ^а lg 4 = №сМ

Щгші = 5 ^(Г^ 5

V? Щ,гу

следовательно,

ф = Va lg + NOctri

(3)

V/

Интенсивность потока заявок на обслуживание представляет собой среднее число заявок, поступающих в единицу времени, поэтому 1. определяется по формуле

Л, =------ ------= —^ , (4)

г I • То,-1 • 4? т01 -Ф

где I - среднее количество итераций на одной ветви алгоритма решения задачи.

Интенсивность обслуживания заявок - это величина, обратная среднему времени обслуживания заявки, следовательно, т. определяется по следующей формуле:

М? =1. (5)

С учетом выражений (1), (4) и (5) для существования стационарного режима необходимо выполнение следующего соотношения:

Т0, - ^

+

+

Произведя преобразование, получим соотношение параметров Т0; и т., при котором выполняется условие существования стационарного режима

То, > 2 • т,. (6)

Подставляя в условии (6) выражения для Т0. и т из уравнений (2) и (3) соответственно, получаем соотношение параметров вычислительной системы Ю., Ю и V, при котором выполняется условие стационарности исследуемой СМО

V? -N0.

щ <

a^g

система линейных уравнений (8) является полной и имеет единственное решение. Так как в системе (8)

N

У ]? = (к +1), то индексы к и I в обозначении вероятного

сти можно опустить.

Для решения системы уравнений (8) в общем виде сделаем подстановку:

N

:П ~ (10)

г=1

р

¡1 , ]' 2 3 N

2У

(7)

а 1%

2-Щ ’ У ’

V -так - 2^а 1% ‘Щ При выполнении условия (7) система линейных уравнений, описывающая функционирование СМО, с учетом Qk 1 - вероятности того, что в системе находящейся в состоянии а^,, после обслуживания одной из к + I заявок общее число заявок, ожидающих обслуживания в очередях, не изменится, имеет следующий вид:

N

-Х Лгр0,0,...,0 + М1Р1,0,...,0 +

и запишем систему уравнений в следующем виде:

+м2Р0’і°_0 + • • • + ^р0 0 ■■■ 1 = 0 ,

N

к ,1

3 1 ,3 2 ,■■■, 3 N

[-Х(т? - 3І)л? + м? ]Р

І=1

п - к +1 к-1і +(т1-} 1 + 1)л1 р _1, / / +

/ л\ п - к +1 к _11

■■■ + (mN - JN + 1)лN--------Р/ / ,■ -1

+

+ (т1- Л + 1)л1 _ р—ч/ 3 + •••

+ (mN - 3 N +1) лN — ркг/ 1 3 -1 +

П ^ N 1

1 -

1 -

к -1 к

V

^к-1

чі+1

У і +1

^1м1Рк++1 . +•••

1 1 31 +1, J2,■■■,JN

dN ммр/_ 3х+1 +

кі

к +1

ч

^ к

к +1 ,

V /

d1м^P—^^. . + ••• +

1 1 31 +1,J2,■■■, 3,,

рк+1,1

•¡'2 ,^ ■■, J■N +1

dNмNP■ +-М -■ , і = 0,

ик,М-к

N м?Р +

4—, ? т.,т.,_,т

Vі Р 2’ ’ N

І=1 +л1Рк,Л1-к“1 + л2Р]к,'А ~к~1 +

1 т1 -1, т2 ,■■■, тм 2 т1, т2 -1, mN

. „ пк,М-к-1 _ п

+ л ДгР і = 0

^ ml,m2,■■■,mN-1

С учетом условия нормировки

р°,° +

р0,0,■■■,0 +

■ ■■ +

к М -к к+1 к+1 - 31 к+1 -Я

ь! XX X ••• X р

к=1 і=0 31 =0 32 =0 і- =0

к,і

31 , J2,■■■, jN -1(к+1 -Я )

N

X(т?- / )л?+ І=1

Р/ •Р/ ••••• Р/ +

./1 ^2

+(т1 - ¡1 + 1)л1

п-к +1

Р -• Р ••••• Р/ + •••

J\ ± J2

■■■ + (тИ -¡И +1)лN

Р1 ^ Р/ 2 '•••• ^Р N -1 +

+ (т1 - ¡1 + 1)л1 пРі -1 •р2 ••••• Р+ ••• к ~ ~ ~

■■■ + (т№ - J'w + 1)л№ п Р.1 -Рр2 ••••• /-1 +

1 +

^к- О1+1

^м1РЛ+1 • рь ■ •••• рь, +•••

(11)

■■■+

1+

Ґк- О1+1

к

V у

^м№Р/1 • Рр2 • •••• Рр„+1 +

(8)

■ ■■ +

(і1м1Р/1+1 •р/ ••••• Р/„ + •

dN•Р/2 ••••• Р7„+1 = 0 .

\к +1

~ Перегруппируем систему (11) таким образом, чтобы Р3 входили в соответствующие выражения, содержащие т., 1, ц , т. е. произведем разделение переменных по индексам, после чего она примет вид

п-к +1 -

Р/1 -1 -

{(т1 - І1 + 1)лг

-[(т1 - Л)л1 + dlMl ] +

+(т1 - ¡1 + 1)л1 ~ р/ -1 +

п н

1 -

ґк-14+1

<^1м1р\+1+

\к + 1У

^м1р1 +1}Р/2 рз • ••Р/„ +

/, п-к +1-

{(т2 - ¡2 + 1)л2 —

- [(т2 - ¡2 )л2 + d2M2 ]] +

к ~

+(т2 - ¡2 +1)л^ Рі -1 +

= 1 (9)

1 -

к-1

\І+1

^м2 р2+1 +

(12)

п

+

+

+

+

+

+

^ d2M2Pj +1}pj 'К •• -Pj„ + ••• +

,k +1

v /

+{(mN — jN + 1)л N

J 2 +^ Jl .3 J.

n — k +1

нений рассматриваемой СМО для стационарного режима имеет следующий вид:

тсР0,0 = Р1,0 ,

n

PJn —1 —

— [(mN — jN )лN + dNM-N ]PjN + k ~

+(mN — jN + 1)л N~Pj„ —1 +

1 —

k — 1 l +1

k

V y

dN MNPjN+1 +

[(m — k — ^ + k ] pk ,i =

, , J 14 n — k +1

— (m — k — l + 1)c------------Pj^—11 +

n ’

k

+(m — k — l + 1)c — Pk i—i + n

(14)

kl

^N МN Р] +1} Р] • Р] • • • = 0

к + 1 ^ ^ ^ + 1 ^ ./1 Л ■/ N-1

V У

Система линейных уравнений (12) будет иметь решение только в случае, когда выражения в фигурных скобках равны нулю, так как Р/ Ф 0 . Следовательно, можно

записать ,

, 1Ч п - к +1 р

(т1 - /1+1)л1--------р -1 -

п1

(k+

l—1

Pk

k+1, l '

1 —

k — 1 l +1

k

V У

kPk ,l+1,

— [(mi — .і)лі + diMi ]P¿ +

k ~

+(mi—ji+і)л^ pj —i+

1—

k — 1 l +1

k

v y

diMipj1+i+

kl

k+1

diMipj+i=

. n — k +1 ~

(mi — Ji + 1)лі-----------------P, —i —

n Ji

— [(mi — ji )лі + di M ]pj +

mPM ,0 = С

n — m +1

где Рк 1 - вероятность нахождения СМО в состоянии, при котором к заявок обслуживаются и I находятся в очередях и ждут обслуживания,

с = — , k = 0, n , l = 0, m — k .

M

В результате последовательного решения системы уравнений (14) получим новую систему уравнений для определения вероятностей Рк вида

Р1,0 = mc' Р0,0 ,

Pk,l -

m — k — l +1 n — k +1„

-------;------С---------Pk—i,l +

k n

m — k — l +1 k

(15)

С Pk

k ,l —1

+(mi — ji + 1)л^Р,—1 +

n Jl

1—

kl

k — 1 l +1

. k .

\ y

di M pj+i +

k+1

V y

di M-P, +1 = 0,

, n — k +1 ~

(mN — JN + 1)л N-----PJN—1 —

nN

— [(mN — jN )лN + dNMN \Pj„ +

Pm,0 С

1 n — m +1

P

m—1,0.

т п

Следовательно, для определения вероятностей Рк достаточно решить систему уравнений (15), последовательно выражая вероятности Р1 ,, Рк,, Рт 0 через Р0 0.

Сделав соответствующие преобразования по схеме, реализующей метод индукции, получим решение в общем виде. Используя условие нормировки

к т-к

р0,0 + X X Рк,1 = 1,

к=1 I=0

+(mN — jN +1)л N~PJn —1 +

1—

k — 1 l +1

k

V У

dN mNPJn+1 +

ґ k V

k+1

V /

dN MNPJ„+1 = °-

найдем выражение, позволяющее определить вероятности Р, , состояний СМО:

к, I

Pk ,l = ■

rk +1 — lY n l lk

m!

,(k+l)

(m — k — l) n(k+l)

II

i =0 j=0

m!

Лі+h

Каждое уравнение системы (13) представляет собой где к = іn, т > п’ систему уравнений СМО, состоящую из т источников [т, пр0 т < п,

заявок (клиентов) одного типа и и обслуживающих при- Отсюда следует, что выражение для решения системы боров (процессоров сервера). Система линейных урав- уравнений (13) будет иметь следующий вид:

+

+

+

+

+

+

/ =

к +/ -1 /

к

\

т,!

(т, -)! п(к+1)

с-Ч,

достижения состояния ак,/ /l, /2

3 \ ,/2,..., 7л

^ к +1 -1 I

N

N

П Р

'=1

\

1

(к+/)

^Х^Хк ^ к + / -1¥ п

к=1 /=0

I

1 (к+I)!

7к+о _л

П'!

¿=1

х П т!

/1 =0^ /=1 (т, - /)!

/2 =0,т:

=0,mN

Р'

к ,/

к + / -1 I

(к +1 *П

(к+/) N п ГГ •

П/■ _________,=1

Р'г

к=1 1=0

/

1

(к+/)! XII;

(к+/) N -— А1 (т - / )

ТГ / ! /, =0,т1 '=1 ' ' ')г '

П/? ' /2 =0,т2 г =1

Ру

к М -к

/ср =Х X Рк у/ , к=1 /=1

(16)

причем X р/ Ф1. Осуществляя обратную подстановку

/,=0 '

выражение (16) в (10) с учетом количества путей х(к+/), /,

, что в общем случае соответствует полиномиальному коэффициенту, равному

= (к + /)!

%(к+/), ], = N ,

П /г !

=1

N

где (к + /) = 0,1,..., X /г, получим =1

-к /

(17)

Х(к +/)! п тг! с /, Р0,0

Х N П (т - /.)!С P0,0,...,0

Ш' н ' / ')!

=1 Р0,0

В данном случае Р0,0,...,0 определяется из условия нормировки (9)

. (18)

Рк,\ = X X

/1 =0 / =0

X Р

/м-1=0

к,/

]l,Л—Лч,(к+/-К) , (19)

= 1+■

/ср ф

(20)

(21)

Тог + ф

Тогда среднюю производительность РВС можно определить, используя выражение

N т

Пср =X Щ /• (22)

¿=1

Для оценки производительности системы по выражениям (20), (21) и (22) необходимо вычислить вероятности РК. При выводе выражения (19) для Р 1 предполагалось, что потоки запросов на обслуживание являются простейшими с параметрами X., а время обслуживания запросов клиентов г-го типа сервером подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром ц.. Для реальных вычислительных систем потоки отличаются от пуассоновских и экспоненциальных и зависят от архитектуры вычислительной системы и параметров выполняемых на ней алгоритмов [3]. Для РВС рассматриваемого типа в соответствии с выражениями (2), (3) и (4) значение параметра интенсивности X. вычисляется по формуле

.1

Л' N0,

а1%

К.

а1%

N0,

сМ

Щ ^ Щ.ГУ

где I = 1, 2, 3, ..., N.

Параметр интенсивности обслуживания ц. определяется выражением

1

М = К

ак + ^сЫ

V,

Проведя подстановку условия (18) в (17), получим решение системы уравнений в общем виде

” г Щ,5гу

Полученное значение средней производительности РВС Пср позволяет оценить среднее время решения задачи Тср в проектируемой распределенной вычислительной сети:

Т=

^ср

N0

а1%

п

ср

]N =0,т„

При оценке производительности РВС определяющим оказывается общее количество заявок, находящихся на обслуживании и в очередях, независимо от их типа. Общее количество заявок, находящихся в очередях, можно определить, используя понятия совокупности стационарных вероятностей Р^,, средней длины очереди / и коэффициентов 0. средних потерь производительности для клиентов каждого типа:

к+/ к+/ - / к+/ -К

Предложенный подход позволяет осуществлять выбор эффективной структуры по производительности РВС, настроенной на решение сложных задач определенного класса с заданным ограничением на допустимое время решения Т .

г доп

Библиографический список

1. Вишневский, В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей / В. М. Вишневский. М. : Техносфера, 2003. 512 с.

2. Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок ; пер. с англ. И. И. Грушко ; ред. В. И. Нейман. М. : Машиностроение, 1979. 432 с. : ил.

3. Хорошевский, В. Г. Архитектура вычислительных систем / В. Г. Хорошевский. М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005. 512 с.

1

Х

0,0

0,0......0

т

т

S. N. Efimov, V. V. Tynchenko, V. S. Tynchenko

DESIGN OF COMPUTING NETWORK WITH EFFICIENT ARCHITECTURE FOR COMPLEX PROBLEMS DISTRIBUTED SOLVING

The choice problem of distributed computer network efficient architecture for parallel solving of complex problems is discussed. The queuing theory based analytical model of client-server computer network functioning is suggested. The method of computing network productivity estimation that allows to take into consideration characteristics of handling problem is developed.

УДК 539.374

С. И. Сенашов, О. В. Гомонова

ЭВОЛЮЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ1

Известное решение Прандтля преобразовывается точечными симметриями. В результате получены новые классы точных решений уравнений пластичности. Подробно рассмотрены те решения, которые могут быть использованы для описания плоских течений, возникающих при сжатии пластического слоя жесткими плитами.

(1)

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений пластичности [1] вида

Гоx - 2k(0x cos 20 + 0y sin 20) = 0, ja y - 2k (0 x sin 20 - 0 y cos 20) = 0, где о - гидростатическое давление, 0- угол между осью Ox и первым главным направлением тензора напряжений, k - постоянная пластичности; нижний индекс означает дифференцирование по соответствующей переменной.

Для этих уравнений группа преобразований известна [2]. Она порождается следующими операторами:

=dx, X2 =dy,

X3 = xdx + ydy , X4 = -ydx + xdy +d0

X5 =d0

X6 = ^1dx + ^2dy -

-40kdo-----d0

a k 0

X + =^ x +nd y

(3)

где £,i = xcos20 + ysin20 + y —, ^2 = xsin20-ycos20-x —;

k k

(£, n)- произвольное решение линейной системы Г^0 - 2k(£a cos 20 + na sin 20) = 0, jn0 - 2k(£a sin20-na cos 20) = 0 .

Для построения новых решений системы уравнений (1) используются преобразования симметрий, которые порождаются оператором X+ из (2) и имеют вид

x' = x + a£(a, 0), y = y + an(a, 0).

Для их построения необходимо знать точные решения системы дифференциальных уравнений (3). Несмотря на то, что эта система уравнений - линейная, построить точное решение, которое позволило бы получить хорошее преобразование, не так просто.

Приведем один из возможных способов построения точных решений системы (3).

Лемма. Система уравнений (3) имеет следующие решения:

/ о ч

cos 20, — sin 20

k

a

+ sin 20, - cos 20

(2)

(5о, По) (п + ^г,Ч + П0)

Г

4к0^а + — ^0 + ^ соб20 + п б1и20 + п —. к к 4к0па + — П0 +^ в1и20-п бсоб20-^ —

. к к

V у

где (£,п)- произвольное решение системы (3).

Доказательство этих фактов получается из таблицы коммутаторов операторов (2).

Эта лемма дает возможность получить серию новых точных решений системы уравнений (3). Для этого нужно выбрать конкретное ее решение и подействовать на него любым из преобразований Т^Тг или Т3, где

Т1 :(^пН(а, Пс),

Т2 :(^пН(п + ^г,Ч + П0) с ,

тз :(^,п)^

4k 0^a + — ^0 + £, cos20 +

k

+Пsin20 + na, 4k0na +an0 +

k k

+£, sin20-nscos20-^a

Выберем в качестве «затравочного» очевидное решение системы (3): О = (1,0). Подействуем на него преобразованиями Т1, Т2, Т3. Получаем, соответственно,

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 07-01-08172).