ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ КОМПРЕССОРОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА УНИВЕРСАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.515

Проектирование центробежных компрессоров на основе метода универсального моделирования

Ключевые слова:

центробежный

компрессор,

проектирование

газодинамических

характеристик,

коэффициент

полезного действия,

компьютерное

моделирование.

Ю.Б. Галеркин1, А.Ф. Рекстин1*, А.А. Дроздов1, К.В. Солдатова1, О.А. Соловьёва1, Е.Ю. Попова1

1 Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Российская Федерация, 195251, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29 * E-mail: rekstin2k7@mail.ru

Тезисы. Предложена сквозная система проектирования на базе замкнутых компьютерных программ, результатом применения которой становятся семейство газодинамических характеристик компрессора и твердотельная модель его проточной части. Существенному улучшению подвергнуты два основных этапа проектирования - первичный и окончательный с поиском оптимального решения.

Несмотря на успехи газодинамической теории и вычислительной газодинамики, окончательно не решен вопрос создания надежного проекта проточной части центробежного компрессора, обеспечивающего технические требования к производительности и отношению давлений при наивысшем возможном КПД.

Поскольку аналитическое описание рабочего процесса невозможно, поиск оптимального решения достижим только путем сопоставления вариантов проточной части. Для каждого из этих вариантов нужно рассчитать КПД и отношение давлений (п) при заданном расходе. Отечественные и зарубежные методы математического моделирования [1-4] с большей или меньшей степенью соответствуют задаче. Политехническая научная школа компрессоростроения работает с методом универсального моделирования (далее - метод) [5, 6]. С помощью 4-й версии метода созданы компрессоры газоперекачивающих агрегатов нового поколения в рамках конверсионной программы «Урал-Газпром» [7] и реализованы десятки других успешных проектов [8]. Математические модели для расчета КПД существенно усовершенствованы в моделях 5-й [9] и 6-й [10] версий и использованы при проектировании новых компрессоров [11, 12].

Недостатком метода на начальном этапе была относительная сложность процесса проектирования. Проектирование выполнялось последовательным применением нескольких непосредственно не связанных между собой программ. В ходе оптимизации пользователю следовало принимать ряд решений, требующих большого опыта. Создание твердотельной модели проточной части не предусматривалось.

В связи с этим была поставлена задача минимизации интерактивного участия пользователя в процессе оптимального проектирования, повышения качества математических моделей и создания замкнутой системы компьютерных программ. На выходе процесса проектирования в среде разработанной сквозной системы получают семейство газодинамических характеристик компрессора и твердотельную модель проточной части. Для повышения качества и надежности проектирования существенному улучшению подвергнуты два основных этапа проектирования - первичное и окончательное с поиском оптимального решения.

Вариантный расчет многоступенчатого компрессора. Новая упрощенная математическая модель КПД

Заданные параметры компрессора могут быть обеспечены практически неисчислимым количеством вариантов его конструкции. В общем случае предметом выбора для проектировщика являются:

• количество валов, на которых установлены рабочие колеса (РК) ступеней;

• количество ступеней на валах;

• число оборотов валов в минуту;

• количество промежуточных охлаждений;

• диаметры РК;

• типы РК (радиальные (РРК) или осера-диальные (ОРК));

• типы диффузоров (лопаточные (ЛД) или безлопаточные (БЛД)).

При расчете компрессора очевидным является использование уравнения неразрывности. Через все ступени компрессора проходит одинаковый массовый расход (т), объемный расход определяется изменением плотности газа (р). Один из двух главных параметров проектирования ступени [13] - условный коэффициент расхода (Ф) - зависит от диаметра1 Б2 РК и частоты вращения ротора (показателя политропы) п, об/мин:

Ф =

расч

^ m

\

Р04 D2U2

V 4

24,33

( m ^

D3

\Pon у

(\

¥

T расч

ж = (1 + (k -1)^ТЫЦ1 + ртр +рпр))

к , к~1Ц

Здесь и далее в статье применены универсальные индексы условных обозначений. Подстрочные: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 - индексы контрольных сечений; г - гидравлический; го - граница отрыва; кр -критический; л - лопатка; н - начальное значение; опт - оптимальное значение; расч - относящийся к расчетному режиму (по расходу); мин - минимальное значение; макс - максимальное значение; h - англ. hub (магистраль); s - англ. shroud (бандаж). Надстрочные: звездочка (*) означает отнесение к полным параметрам (параметры торможения); черта означает линейный размер, отнесенный к D2, или скорость потока, отнесенную к u2.

протечек; п - политропный коэффициент полезного действия.

Идея математической модели для оценки КПД ступеней по параметрам проектирования Фрасч, конструктивному ограничению Д^ (где Д1М[Я - минимальный диаметр вала (втулки)) и условным критериям подобия была сформулирована и реализована Е. Поповой [14]. Позднее предложен и верифицирован [15] современный вариант системы уравнений:

V, = 1 - хгкф KD к„ + Дпвд -ДЛ*

(4)

(1)

где и - окружная скорость (окружное направление).

Второй главный параметр проектирования - коэффициент теоретического напора РК (¥г) на расчетном режиме:

(2)

где с - абсолютная скорость потока.

Отношение давлений компрессора равно произведению отношений давлений ступеней (с учетом потерь давления в следующем за ступенью газоохладителе, если он есть). Из уравнения процесса отношение давлений ступени

(3)

где к - показатель адиабаты (коэффициент изо-энтропы); Ми - условное число Маха; Ртр - коэффициент дискового трения; Рпр - коэффициент

где Х1 - эмпирический коэффициент; коэффициенты К учитывают влияние параметров, соответствующих их нижним индексам; Дпвд -учитывает уменьшение потерь за счет использования ЛД; Дпвп - потери во входном патрубке (ВП).

Наличие способа оценки КПД ступени открывает возможность расчета КПД компрессоров с учетом потерь во входном патрубке и промежуточных охладителях (при их наличии). В сжатом виде информация о вариантном расчете одновального компрессора без промежуточных охлаждений представлена на рис. 1.

Если для одновального компрессора без охлаждения задано значение п, пользователю следует выбрать вариант с оптимальным числом ступеней и значением Эти параметры

определяют значенИЯ ^ Мирасч и Финч

т.е. КПД ступеней по уравнению (4) и компрессора с учетом потерь в ВП. Свободный выбор оборотов ротора п не меняет сути представленного вариантного расчета, только увеличивает количество сопоставляемых вариантов.

У компрессора с более сложной схемой программа III1МВЦК-Г9Р предоставляет возможность сравнить варианты с разным числом валов, ступеней, коэффициентами Ф и ¥ ступеней, количеством и расположением газоохладителей [12]. После выбора нужного варианта программы осуществляют первичное проектирование - расчет размеров проточной части ступеней компрессора для расчета газодинамических характеристик методом универсального моделирования.

Первичное проектирование РК

В прежних версиях метода первичное проектирование проточной части ступени осуществлялось согласно принципам политехнической научной

а

в

Выбор способа вариантного расчета

М|тта1 N$1 ег^таЬоп

Варианты с различным колечеством ступеней и коэффициентом то рет и чес кого напора

Компрессор с разным диаметром и коэфциенгамн теоретического напора РК

Главное меню

б

г

Рис. 1. Программа первичного проектирования ППОВЦК-Г9Р: а - меню ввода параметров одновального компрессора; б - меню выбора способа вариантного расчета; в - графическое представление параметров компрессора с разными значениями

г - параметры выбранного варианта

школы [13] с учетом рекомендаций ведущих отечественных ученых [16-19]. Передовые научные взгляды отечественных ученых по-прежнему актуальны. Но эксперименты 2-й половины прошлого столетия, на которых основаны рекомендации по проектированию, не отражают всей сложности современной компрессорной техники. Практически это означает, что рассчитанное по первичному проекту отношение давлений может не соответствовать техническому заданию, элементы проточной части ступени не согласованы, КПД ниже ожидаемого.

Поскольку метод универсального моделирования позволяет рассчитывать характеристики любых проточных частей, то автоматически или интерактивно программа оптимального проектирования формально способна

усовершенствовать любой первичный проект. Однако способность математической модели найти правильное решение не следует переоценивать. На этой стадии проектирования от пользователя требуются высокая квалификация и определенные трудовые затраты для дополнительного анализа и принятия правильного решения.

Наиболее ответственная часть проектирования РК - точная оценка коэффициента Ф, при котором безударно обтекаются лопаточные аппараты РК, ЛД, обратно-направляющего аппарата (ОНА). Также надо с максимальной точностью определить коэффициент При этих условиях математическая модель метода универсального моделирования надежно рассчитывает КПД и отношение п*.

Рис. 2. ОРК 0132-0,545-0265: а - параметры проектирования (программа РСХЦК-9-ГР); б - вид лопаточной решетки; в - диаграммы скоростей (программа 3ДМ.023)

Авторы поставили задачу решить эти проблемы с максимальным приближением к действительности уже на стадии первичного проектирования, когда участия пользователя не предусмотрено. Это сглаживает отличие окончательного проекта от первичного и нивелирует роль и влияние квалификации пользователя при окончательном проектировании.

С этой целью 124 РРК и ОРК с параметрами проектирования в диапазоне

Фрасч = 0,015...0,15,

= 0,40.0,70,

Двт = 0,25.0,40 были оптимально спроектированы методом универсального моделирования, а их лопаточные решетки оптимизированы на основе анализа диаграмм скоростей невязкого потока. Как основные размеры, так и форма лопаток каждого из РК сопоставлены во многих вариантах, так что предлагаемая новая методика первичного проектирования основана на расчетах многих сотен вариантов РК. Наиболее важные черты метода первичного проектирования РК представлены ниже.

Размеры входа в РК (Д0опт) по традиции, подтвержденной успешной практикой, выбираются на основе минимизации относительной скорости. Для ОРК:

1 (

D0 опт '

D + 23

ф„

2

А 3

(5)

Хорошо проверенная рекомендация - безударное обтекание лопаток на заданном расчетном режиме - не подтвердила своей эффективности в случае малорасходных РК [20].

Сопоставление десятков вариантов малорасходных РРК позволило предложить такую методику выбора размеров:

• лопаточный угол на входе - не менее 23°;

• высота лопаток на входе соответствует такому положительному углу атаки, при котором пик скорости на входной кромке дозирован (см. далее рис. 5 внизу справа);

• выходной угол лопаток не должен быть меньше 16°;

• относительная высота лопаток обеспечивает такой коэффициент расхода, при котором коэффициент теоретического напора невязкого (идеального) потока (Рг ) соответствует нужному реальному коэффициенту напора с учетом поправки К на влияние вязкости: Т = К Т

1 Гр„, ц Гнд-

Первичное проекирование среднерасход-ных РРК и высокорасходных ОРК в основном соответствует схеме, представленной в монографии Ю.Б. Галеркина [5]. Использованы результаты исследований СРБ2-методами [10]. Главная новизна первичного проектирования в том, что получены точные рекомендации по выбору размеров проточной части, нужных для расчета характеристик по модели КПД метода универсального моделирования.

где е' - отношение плотностей.

Диаметр входа Д0опт (см. уравнение (5)) определяет входной треугольник скоростей.

CFD (англ. computational fluid dynamics) -вычислительная гидродинамика.

Авторами разработаны формулы для расчета входных лопаточных углов на периферии Р'

и у втулки рл1А, выходного лопаточного угла Р^2, числа лопаток гРК и коэффициентов формы лопаток в программе 3ДМ.023. Эта программа осуществляет расчет пространственной формы лопаток для твердотельной модели и диаграмм скоростей невязкого потока для анализа формы лопаток (рис. 2).

Диаграммы скоростей показывают, что при окончательном проектировании входной угол лопаток на периферии можно уменьшить на 1° для уменьшения пика скоростей. Это обеспечит условие безударного входа на расчетном режиме. Выходной угол лопаток обеспечивает заданный коэффициент ¥т с превышением на 1,1 %. Такая точность расчета в сторону увеличения напора не требует корректировки выходного угла. Ранее опубликованы примеры первичного проектирования колес в широком диапазоне коэффициентов напора и расхода, подтверждающие близость первичного проекта РК к окончательному проекту [21].

Первичное проектирование неподвижных элементов ступени

Современные БЛД имеют суженный начальный участок для увеличения угла потока в основную часть с постоянной шириной. Если угол потока на выходе из РК достаточен для хорошей работы БЛД, суженный начальный участок не нужен. Объекты первичного проектирования - относительная ширина Ь3 = -3- и радиальная протяженность —4 = —-. В предлагаемом методе первичного проектирования впервые выбор относительной ширины увязан не с параметрами расчетного

режима, а с обеспечением безотрывного течения на предпомпажном режиме.

Оценка положения границы помпажа. В практике расчетов общепринято понимание границы помпажа как режима с максимальным отношением давлений [22]. Граница помпажа соответствует коэффициенту расхода, при котором коэффициент политропного напора ¥р = ¥т -(где - потерянный напор) достигает максимума:

^Г = 0- (6)

¿Ф

Линейная зависимость ¥т от условного коэффициента Ф проанализирована ранее [23]. На рис. 3 показаны напорная характеристика и треугольник скоростей при линейной зависимости = _Дф2), где ф - коэффициент расхода.

В пределах практически используемой части размерной характеристики компрессоров зависимость внутреннего напора от расхода также линейная [16]. Для целей первичного проектирования приемлемо считать функцию ¥т = _Дф2) также линейной, хотя связь между Ф и ф2 не вполне линейная.

При линейной зависимости коэффициента напора от коэффициента расхода

Чт =ТГо -(ТГо-Ч^ ). (7)

расч

На основании экспериментальных данных [23] предложена приближенная формула при ¥Три = 0,40...0,70:

= 0,84 + 0,27(¥г - 0,40). (8) Связь гидравлического КПД пг (не учитывающего щелевые потери) с подведенным и потерянным напорами: = 1--—. Для отношения —— рекомендовано [24] приближенное выра-

жение:

" ■ = 1 + 8,5

'1 ® ^

Ф

расч J

(9)

Рьп >

^2шах

ч>у

и2 = 1

б

Рис. 3. Напорная характеристика (а) и треугольник скоростей (б) при линейной зависимости = _/(ф2): м> - относительная скорость потока; в - угол между относительной скоростью потока и обратным окружным направлением; Ры - выходной угол лопатки; вw - угол движения потока

После преобразований и поиска Фкр, соответствующего максимальному значению ¥рмакс, получаем:

¥ р =х¥т-

Р * о

Ф„„„„

-Ф-Тт (1 -Лг )

(

1 + 8,5

Ф

Л3

1 -■

Ф

у расч у

(10)

Ф

_ч

Ф „„

-= 1 -

--1

17(1 -лг )

(11)

Выбор ширины основного участка БЛД. После расчета отношения Фкр/Фрасч следует определить, насколько угол выхода потока из РК а уменьшится на границе помпажа. Полученное значение следует сравнить с углом а , при котором в основной части БЛД наступает отрыв («граница отрыва»), и выбрать отношение Ь3 (где Ь - ширина канала в направлении оси ротора), при котором а3 = а3 . На рис. 4 показаны отрывное и безотрывное течения в БЛД по результатам СРБ-расчетов [25, 26].

Очевидна сильная зависимость критического угла потока, при котором начинается отрыв, от относительной ширины БЛД. Обработка результатов расчетного эксперимента установила следующую зависимость тангенса угла потока на границе отрыва в БЛД, т.е. на границе помпажа:

= 0,0875 + 3,5Ь3.

(12)

Угол выхода потока из РК на границе помпажа определяется составляющими треугольника скоростей ф2 , . Тангенс угла потока на границе помпажа:

Ф„

Ф2„,

1§а 2„ =

Ф „

Ф '

0,84 + 0,27(ТГ - 0,40) - (0,84 + 0,27(Т т - 0,40) )- 45

Ф „

1

и

Относительная ширина БЛД, при которой а 2 = а2

_ -0,0875 + ^0,00766 + ^ _2

_ =

7

(14)

Радиальная протяженность БЛД. Даже при = 10° в узком и длинном диффузорах давление растет. Очевидно, рациональное отношение В4/Б2 следует искать совместно с последующим элементом проточной части. Ранее проблема обсуждалась на основании выражения для потери КПД в неподвижных элементах ступени [5].

С увеличением радиальной протяженности БЛД коэффициент потерь растет, но становится меньше кинетическая энергия на входе в ОНА или улитку. В более длинном ОНА больше потери трения. Анализ параметров разработанного К.В. Солдатовой семейства модельных ступеней 21СУ [9] и расчетное исследование методом универсального моделирования позволили предложить для первичного проектирования БЛД ступеней промежуточного типа такое уравнение:

БА = 1,45 + 1,4(Фрасч - 0,015)"

(15)

Для концевых ступеней с улитками или выходными сборными камерами радиальная протяженность БЛД ограничивается конструктивными соображениями.

Первичное проектирование ЛД. Высота лопаток диффузоров промышленных центробежных компрессоров постоянная, т.е. Ь4 = Ь3, но больше высоты лопаток РК. Потери внезапного расширения компенсируются увеличением гидравлического диаметра каналов. Замедление потока в ЛД при одинаковых радиальных размерах более сильное, чем в БЛД, особенно, если БЛД имеет

сужение на входе. В проектах, выполненных методом универсального моделирования, используются ЛД по схеме, показанной на рис. 5.

Особенности ЛД: диффузор одноярусный с постоянной высотой лопаток Ь4 = Ь3 > Ь2, средняя линия лопаток - дуга окружности, лопатки с симметричным двухдуговым профилем (по эффективности такие профили не уступают традиционным крыловым профилям [27]), отношение ОъЮ2 = 1,10.

При первичном проектировании ЛД должны быть выбраны такие параметры: соотношение высот лопаток ЛД и РК Ь3/Ь2 > 1; отношение диаметров ВА/В2, если оно не задано из конструктивных соображений; число лопаток ЛД (гвд), входной угол лопаток ал3, выходной угол лопаток а^4. Оптимальные соотношения получены путем СББ-расчетов ряда ЛД с варьированием параметров проектирования. Методика проектирования была объектом особенного внимания. Физическая картина течения согласно СББ-расчету и согласно физической визуализации представлена на рис. 6. Зона отрыва на выпуклой поверхности лопаток диффузора при Ф ~ Фрасч, визуализированная напылением красителя (см. рис. 6б), очень характерна для этого элемента проточной части.

Изложенная ниже методика расчета ЛД базируется на результатах исследований отечественных ученых, опыте проектной работы

а2 = 10°

а2 = 20°

а2 = 10°

а2 = 20°

а2 = 10°

Рис. 4. Линии тока в меридиональной плоскости БЛД относительной шириной Ь2/Б2 = {0,1; 0,057; 0,014} при малых углах потока [25, 26]

лаборатории газовой динамики турбомашин и СББ-расчетах.

Относительный диаметр начала ЛД:

Минимально допустимый угол входа лопаток:

алз„ = 12°.

(19)

Д = 1,10.

(16)

Оптимальный угол атаки по результатам

Максимальное отношение Ь3/Ь2 при усло- СРБ-анализа: вии полного растекания потока в безлопаточном пространстве, рассчитанное по формуле 1Ъ = -1°. Г.Н. Дена [17]:

(20)

V Ъ I

V 2 у макс

_ 1 + 0,01625

~ + ъ'

Минимально возможный угол потока (17) на входе в ЛД:

Оптимальная радиальная протяженность а3 = arctg ЛД по результатам СББ-анализа (или согласно техническому заданию):

tga2

(21)

Д, = 1,50.

(18)

Рис. 5. Размеры ЛД с двухдуговым профилем лопаток:

а - угол лопатки ЛД или ОНА; 5макс - максимальная толщина лопатки

Рис. 6. Структура потока в ЛД: а - по СРБ-расчету; б - экспериментальная визуализация [13]

если а3 > ал3

на входе в ЛД, то

К

( К ^

V К2 I

V 2 у макс

и апз = а* + гз„„т;

- /3 , где 13 - угол атаки

(22)

если а3 < ал

то

ьз _ гиа^ *§(алз„ " гзопт)

—

ь

Ь2 1иа2

Ща2

Угол выхода лопаток диффузора:

аЛ4 = алз + 62(ал4„.„ " а^э).

Г

где и, = агссоБ

О,

(23)

(24)

(25)

(26)

V О4

-со8 и.

прямых лопаток.

Число лопаток ЛД:

вариантов ступени. В среднем лопаточная решетка «24 лопатки с двухдуговым профилем» повышает КПД ступени на 1,2 %. На стадии первичного проектирования форму ОНА определяют следующие параметры лопаточной решетки: высота лопаток на входе Ь5, высота лопаток на выходе Ь6, входной угол лопаток а^, выходной угол лопаток а^, выходной диаметр лопаток Д6, число лопаток ^ОНА. По опыту проектирования серии модельных ступеней [12, 21] и СББ-расчетам [27], неэффективны лопаточные решетки ОНА с углом входа лопаток менее 25°. Для диапазона ступеней Фрасч = 0,015.0,15 рекомендуются эмпирические формулы:

- угол выхода

а°л5 = 25° + 21,6°(Фрасч - 0,015)0

Ь = 1,45 - 0,5(Фрасч - 0,015)0

= 20 + 12(Фюсч - 0,015)0

(28)

(29)

(30)

( , ^

^ =2,73

V °р

• а„з + а„

81П-

2

где

(-1 '

г

V °р у

Д

Д

(27)

= 2,0; / - средний шаг решетки.

Число 2т принимается целым, не равным и не кратным числу лопаток РК.

Первичное проектирование ОНА. При формировании метода проектирования использованы результаты, обобщенные в монографии Ю.Б. Галеркина [5], и ряд дополнительных расчетов.

Характерные черты лопаточных аппаратов ОНА согласно методу универсального моделирования:

• форма средней линии лопаток - дуга окружности;

• форма профиля лопаток - двухдуговой профиль с максимальной толщиной в середине профиля, равной 5макс/Д = 0,040;

• выходной угол лопаток а^6 = 95°;

• число лопаток - четное;

• число спрямляющих лопаток - вдвое меньше числа основных лопаток.

Авторами сопоставлены характеристики КПД и внутреннего напора одной из ступеней семейства 20СЕ [6], полученные в результате многократных испытаний разных

При таком подходе к первичному проектированию открытым остается вопрос об угле атаки на расчетном режиме /5 = ал5 - а5. Расчеты показали, что угол атаки на расчетном режиме для высокорасходных ступеней равен +4°.+5°. Для малорасходных ступеней он увеличивается до +10°. Это не мешает эффективной работе ступеней на режимах с расходом меньше расчетного.

Высота лопаток на выходе определяется из условия обязательного ускорения потока в выходном кольцевом конфузоре (ВКК) не менее 15 % и необходимости плавного поворота потока в ВКК [5]:

Ь6 = 0,417[(Х>02, +1,38(Б20, - Д2т,))0,5 - Ба

Диаметр окончания лопаток ОНА

(31)

В6 = Ба + 2Ял.6 = Ба + 2^Ь6 = Ба +1,2Ь6, (32) Ь6

где - радиус закругления покрывающего диска РК.

Возможности метода первичного проектирования. Пример быстрого анализа эффективности ступеней с разными параметрами проектирования демонстрируют приводимые ниже данные расчета ступеней для Фрасч = {0,015; 0,025; 0,045; 0,0625; 0,080}.

и «Л3 = «л3......

г

Рис. 7. Программа ОПТИМ2, первичное проектирование. Серия ступеней с разными

1 - 0,015; 2 - 0,025; 3 - 0,045; 4 (см. нижнюю строку легенды)

значениями Фрасч: 1 - 0,015; 2 - 0,025; 3 - 0,045; 4 - 0,0625; 5 - 0,080

Остальные параметры проектирования для всех ступенеий одинаковы: = 0,050, £>вт = 0,350, Ми = 0,70, условное число Рейнольдса (по и2) Яец = 6000000, к = 1,40. На рис. 7 представлены характеристики КПД, коэффициента внутреннего напора (¥,.), коэффициента политропного напора и отношения давлений серии ступеней (в легенде п* обозначено через П).

После оптимизации формы и соотношения размеров проточной части при окончательном проектировании КПД может быть увеличен. Но для сравнительной оценки приводимые данные представляются достаточными. Влияние Фрасч на характеристики ступеней носит закономерный характер. КПД достигает максимума при таком Фрасч, когда снижение потерь трения с ростом гидравлического диаметра каналов перестает компенсировать рост потерянного напора в результате увеличения роста скоростей потока в РК и в неподвижных элементах.

Особенности 9-й версии метода универсального моделирования

В сквозной системе после первичного проектирования оптимизация основных размеров проточной части и расчет газодинамических характеристик компрессора осуществляются 9-й версией модели. Для расчета характеристик компрессора используются математические модели КПД и коэффициента внутреннего напора. В 9-й версии обе модели отличаются от предыдущих. Общий вид формулы (приводится схематично) для расчета статического КПД РК демонстрирует схожие черты моделей метода универсального моделирования и особенности 9-й модели КПД:

1 -X?

Л1-2 ="

Ё + К2 + К2 + =8 К,=8 +Ё(«2) + 2ТГ (Рй )

к +1

(33)

Сама структура формулы вытекает из известной связи КПД с показателями политропы и изо-энтропы. Как и во всех моделях метода, отдельно рассчитываются потери трения, смешения, ударные потери, потери на лопатках (на обеих поверхностях отдельно) и на ограничивающих поверхностях. Коэффициенты потерь - это алгебраические уравнения с экспериментальными коэффициентами. В качестве аргументов выступают градиенты скоростей в направлении движения и по нормали к поверхностям проточной части. Особенность 9-й модели для РК в том, что профильные потери рассчитываются на восьми осесимметричных поверхностях тока. Это приближает геометрическую модель колеса при расчете КПД к реальной проточной части.

;=1

;=1

На рис. 3 (см. ранее) слева показана линейная характеристика = /ф2), на которой основана модель напора в 9-й версии [23]. Два параметра определяют протекание напорной характеристики:

= 0 - ф2С0Б Рг

(34)

Р0 = 10,9655 (р072) +17,4802 I -

+18, 22й20'5 - 5,702

/ \ 0,8 К Ь1 У

(35)

0 = 1 - 0,0479

- 0,0025

(ь

2

V ь1 У

+ 0,0255| ^ 40

- 3,7462Ь21

(36)

где I - высота лопатки; t - шаг решетки (расстояние между лопатками).

Взамен хорошо зарекомендовавшей себя, но сложной математической модели БЛД прежних версий введена модель на основе обобщения расчетного СРБ-эксперимента [25, 26]. Для расчета параметров на выходе из БЛД достаточно знать коэффициент потерь и угол потока на выходе из БЛД. Предложены также аппроксимирующие зависимости [28].

Коэффициент потерь БЛД:

!■ Ь

С, = аа

(37)

где 1с2 - скоростной коэффициент.

' ь

2

V А У

Л ь2

+ 1— + е;

А

с = 2312,7Х;2 - 2234,9\2 + 830,63;

1 = -207,36Х¡;2 + 266,98Хс2 - {

е = 6,4922Х22 - 6,9342Хс2 + 3,5363;

ь = /

(ь

2

V А У

+ я — + к;

А

/ = -124,32Х22 +186,87Хс2 -17,242; ,333; я = 19,241Х22 -29,915-Хс2 -3,3289;

к = -0,6906Хс22 + 0,6577Хс2 - 0,527.

Угол выхода потока из БЛД:

а4 = а2 +аа2 +Ьа2 + с,

(38)

где

а = й ХС 2 + е;

й = 0,00131п е = -0,0021;

ь = / К 2 + я;

( Ь Л 2

V А у

+ 0,01;

/ = -0,131п

( Ь ^ 2

V А У

- 0,9844;

Я = 0,05631п

( Ь ^ 2

V А У

+ 0,3345;

С = ИХс2 + V;

к = 2,2081п I = -5,1371п

( Ь ^

чАу

( Ь ^ 2

V А У

+ 9,7999;

-13,136.

В прежних версиях математической модели расчет коэффициентов сжатия е = — выполнял-

ся итерационно, что при достаточно сложной общей структуре модели значительно увеличивает продолжительность процесса. В исключительных случаях возникают проблемы сходимости. В 9-й версии расчеты параметров потока в контрольных сечениях делаются на основании газодинамической функции плотности тока д(к) [29].

0.4

0

Оптимизация проточной части и расчет характеристик

После вариантного расчета и первичного проектирования:

• по программе 3ДМ.023 анализируются диаграммы скоростей лопаточных аппаратов РК и, при необходимости, вносятся коррективы;

• рассчитываются газодинамические характеристики первичного проекта, анализируются параметры потока в контрольных сечениях и вносятся коррективы в основные размеры проточной части;

• рассчитывается семейство характеристик спроектированного компрессора или ступени.

Описанный процесс одинаков и для отдельной ступени, и для многоступенчатого компрессора, где все ступени оптимизируются последовательно. Поэтому для примера ниже приведен процесс проектирования одной ступени промежуточного типа с ОРК и ЛД. Ее параметры и размеры после предварительного проектирования показаны на рис. 8.

Нажатие кнопки «Записать размеры для 3ДМ» формирует файлы, нужные для расчета диаграмм скоростей невязкого квазитрехмерного потока на лопатках РК. Достоинства предварительного проекта лопаточного аппарата:

• коэффициент теоретического напора соответствует заданному значению;

• общий характер обтекания удовлетворяет требованиям, сформулированным Ю.Б. Галер-киным [5].

Недостаток предварительного проекта -проходное сечение на входе в решетку немного меньше нужного, поэтому на периферии лопатки имеет место пик скоростей, соответствующий отрицательному углу атаки.

В окончательном проекте для устранения отрицательного угла атаки оказалось достаточным незначительно увеличить диаметр входа D0. По данным А.А. Дроздова [10], целесообразно выровнять циркуляцию скорости на разных осесимметричных поверхностях тока. Это сделано за счет переменной величины выходного угла ßn2 с увеличением от основного диска к покрывающему. Для уменьшения неравномерности меридионального потока лопатки немного наклонены в сторону, противоположную направлению вращения.

Расчеты характеристик по программе «ОПТИМ 2» показали, что корректировка основных размеров неподвижных элементов не требуется. Изменение размеров ОРК увеличило КПД в расчетной точке всего на 0,2 %. Более важно то, что корректировка размеров РК обеспечивает безударное обтекание лопаток ОРК на периферийной осесимметричной поверхности тока. Таково требование к расчетному режиму в методе универсального моделирования.

Заказчики проекта нуждаются в информации о параметрах работы компрессора на режимах, отличных от расчетного. Для компрессоров с газотурбинным приводом обычно

Рис. 8. Программа «ОПТИМ 2». Модельная ступень промежуточного типа с ОРК и ЛД: а - параметры проектирования; б - размеры после первичного проектирования

требуется рассчитать семейство характеристик в диапазоне оборотов ротора (0,7... 1,05)прасч. Программы метода универсального моделирования предоставляют возможность расчета семейства характеристик при изменении любого из начальных параметров: давления р'н, температуры Тн, к, радиуса кривизны покрывного диска Я, п. При расчете безразмерных характеристик ступени количество переменных уменьшается до двух.

На максимальный КПД ступени и КПД левее расчетной точки показатель изоэнтро-пы не влияет. При большем к больше отношение давлений. При этом КПД правее расчетной точки становится меньше из-за более сильного рассогласования безударных режимов ОРК и ЛД.

Виртуальный двойник проточной части компрессора

Современные вычислительные технологии широко внедряются в процессы производства и изготовления высокотехнологичной продукции. Происходит постепенный отказ от изготовления чертежей в сторону разработки 3Б моделей объектов, их виртуальных испытаний и последующей передачи на изготовление. Все это приводит к необходимости соответствующего усовершенствования пакета программ метода универсального моделирования. Возникла потребность автоматизированной передачи рассчитанных размеров и формы проточной части в программы построения 3Б-моделей.

Они могут быть использованы при проведении СББ-расчетов течения газа в проточной части или прочностных расчетов. Размеры и форма отдельных элементов проточной части может передаваться на станки с числовым программным управлением для последующего

Рис. 9. Программа «Цифровой двойник центробежной компрессорной ступени»: меридиональный вид проточной части центробежной компрессорной ступени промежуточного типа и ее размеры (см. далее)

Рис. 10. Пример твердотельной модели спроектированного РК

изготовления. Такое цифровое описание спроектированного объекта называется виртуальным двойником проточной части.

После окончания проектирования в меню (рис. 8) следует нажать кнопку «Подробный расчет размеров ступени». Для всех размеров, определяющих форму проточной части, имеются соответствующие формулы, по которым в программе «ОПТИМ 2» выполняется расчет и представляется графическое изображение проточной части.

Рассчитанные размеры передаются в программу «Цифровой двойник центробежной компрессорной ступени», которая производит графическую визуализацию спроектированного компрессора или отдельных его ступеней. У пользователя остается возможность вносить корректировки в размеры элементов проточной части с целью соблюдения возможных ограничений габаритов изделия. На рис. 9 (см. с. 105) показан пример графического изображения центробежной компрессорной ступени и таблицы с ее размерами.

Далее в программе «3Б-компрессор» создается 3Б-модель проточной части, которую возможно использовать при проведении СРБ-расчетов (рис. 10).

***

Многолетнее развитие метода универсального моделирования привело к появлению связанной системы оптимального газодинамического проектирования промышленных центробежных компрессоров. В 9-й версии метода сквозное проектирование осуществлено благодаря комплексу работ по всем аспектам процесса. Развиты программы первичного проектирования центробежных компрессоров, улучшены математические модели расчета потерь напора в проточной части центробежных компрессорных ступеней, результаты расчетов методом универсального моделирования связаны с квазитрехмерными расчетами лопаточных решеток РК, созданы программы построения чертежей и твердотельных моделей спроектированных компрессоров, а также программа «Цифровой двойник центробежной компрессорной ступени».

Работа выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации для молодых кандидатов наук МК-1893.2020.8.

Список литературы

1. Лунев А.Т. Структура метода проектирования и испытания проточной части нагнетателей для перекачивания природного газа / А.Т. Лунев // Компрессорная техника и пневматика. - 2001. -№ 10. - С. 4-7.

2. Лунев А.Т. Разработка высокоэффективных сменных проточных частей центробежных компрессоров газоперекачивающих агрегатов: дис. ... к.т.н. / А.Т. Лунев. - Казань, 2005. -123 с.

3. Japikse D. Design system development for turbomachinery (turbopump) designs and a decade beyond / D. Japikse // JANNAF Conference, Cleveland, Ohio, July 15-17, 1998. - С. 263-275.

4. Japikse D. Effective two-zone modeling of diffusers and return channel systems for radial and mixed-flow pumps and compressors / D. Japikse, J. Bitter // 11th International symposium on transport phenomena and dynamics of rotating machinery. - Honolulu, 2006. - Т. 2. -С. 511-520.

5. Галеркин Ю.Б. Турбокомпрессоры. Рабочий процесс, расчет и проектирование проточной части / Ю.Б. Галеркин. - М.: Информационно-издательский центр «КХТ», 2010. - 596 с.

6. Труды научной школы компрессоростроения СПбГПУ / под ред. Ю.Б. Галеркина. -СПб.: СПбГПУ, 2010.

7. Васильев Ю.С. Высокоэффективные центробежные компрессоры нового поколения. Научные основы расчета, разработка методов оптимального проектирования и освоение производства / Ю.С. Васильев, П.И. Родионов, М.И. Соколовский // Наука и промышленность России. - 2000. - № 10-11. - С. 78-85.

8. Галеркин Ю.Б. Развитие научной школы турбокомпрессоростроения ЛПИ - СПбПУ Петра Великого, результаты сотрудничества с компрессоростроителями / Ю.Б. Галеркин,

A.Ф. Рекстин, К.В. Солдатова и др. // 17-я Международная научно-техническая конференция, Казань, май 2017 г. - С. 19-29.

9. Солдатова К.В. Создание новой математической модели проточной части центробежных компрессоров и базы данных модельных ступеней: дис. ... д.т.н. / К.В. Солдатова. - СПб., 2017. - 357 с.

10. Дроздов А.А. Метод проектирования центробежных компрессоров

с осерадиальными рабочими колесами: дис. ... к.т.н. / А.А. Дроздов. - СПб.: СПбПУ, 2016. -236 с.

11. Рекстин А.Ф. Особенности моделирования газодинамических характеристик центробежных компрессоров турбодетандерных агрегатов / А.Ф. Рекстин,

B.Б. Семеновский, К.В. Солдатова и др. // Компрессорная техника и пневматика. - 2018. -№ 1. - С. 13-20.

12. Рекстин А.Ф. Вариантные расчеты промышленных центробежных компрессоров на основе упрощенной математической модели / А.Ф. Рекстин, Б.В. Бакаев // Научно-технические ведомости СПбПУ Естественные и инженерные науки. - 2018. - Т. 24. - № 4. -

C. 24-38. - DOI: 10.18721/JEST.24403.

13. Селезнев К.П. Центробежные компрессоры / К.П. Селезнев, Ю.Б. Галеркин. -

Л.: Машиностроение, 1982. - 271 с.

14. Попова Е.Ю. Оптимизация основных параметров ступеней турбомашин на основе математического моделирования: дис. ... к.т.н. / Е.Ю. Попова. - СПб.: СПбГПУ, 1991.

15. Рекстин А.Ф. Анализ эффективности центробежных компрессорных ступеней

с помощью приближенных алгебраических уравнений / А.Ф. Рекстин, Е.Ю. Попова, А. А. Уцеховский // Компрессорная техника и пневматика. - 2018. - № 1. - С. 33-40.

16. Рис В. Ф. Центробежные компрессорные машины / В.Ф. Рис.- Л.: Машиностроение, 1964. - 336 с.

17. Ден Г.Д. Механика потока в центробежных компрессорах / Г. Д. Ден. -

М.: Машиностроение, 1973. - 272 с.

18. Шнепп В .Б. Конструкция и расчет центробежных компрессорных машин /

B.Б. Шнепп. - М.: Машиностроение, 1995. -240 с.

19. Лившиц С .П. Аэродинамика центробежных компрессорных машин / С.П. Лившиц. -М.-Л.: Машиностроение, 1966. - 340 с.: ил.

20. Рекстин А.Ф. Особенности первичного проектирования малорасходных центробежных компрессорных ступеней / А.Ф. Рекстин, Ю.Б. Галеркин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. - 2018. -

Т. 20. - № 2. - С. 43-54. - DOI: 10.15593/22249877/2018.2.06.

21. Рекстин А.Ф. Верификация упрощенной математической модели центробежных компрессорных ступеней / А.Ф. Рекстин, К.В. Солдатова, Ю.Б. Галеркин // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. -2018. - № 9(702). - С.44-56. -

DOI: 10.18698/0536-1044-2018-9-44-56.

22. Sorokes J.M. Sidestream optimization through

the use of computational fluid dynamics and model testing / J.M. Sorokes, D.A. Nye, N. D'Orsi, et al. // Proc. of the 29th Turbomachinery Symposium. - 2000. - D0I:10.21423/R1QS8R. -https: //pdfs. semantic scholar. org/41 bb/ e5276f815bd3c1335a78ec3dc8ba1d0152b3.pdf ?_ga= 2.213176855.2072373788.15933394971550708036.1593339497

23. Галеркин Ю.Б. Альтернативный способ расчета характеристики коэффициента теоретического напора центробежного компрессорного колеса / Ю.Б. Галеркин, А. Ф. Рекстин, К. В. Солдатова

и др. // Компрессорная техника и пневматика. -2016. - № 6. - С. 11-19.

24. Галеркин Ю.Б. Вопросы проектирования проточной части центробежных компрессоров природного газа / Ю.Б. Галеркин // Компрессорная техника и пневматика

в XXI веке: труды Международной научно-технической конференции по компрессоростроению, 15-17 сентября 2004 г. - Сумы, Украина: СумГУ, 2004. - Т. 2. -

C. 166-188.

25. Галеркин Ю.Б. Совершенствование методов расчета безлопаточных диффузоров центробежных компрессорных ступеней на основе вычислительных экспериментов. Ч. 1 / Ю.Б. Галеркин, О.А. Соловьёва // Компрессорная техника и пневматика. - 2014. -№ 3. - С. 35-41.

26. Галеркин Ю.Б. Совершенствование методов расчета безлопаточных диффузоров центробежных компрессорных ступеней

на основе вычислительных экспериментов. Ч. 2 / Ю.Б. Галеркин, О.А. Соловьёва // Компрессорная техника и пневматика. - 2014. -№ 4. - С. 15-21.

27. Маренина Л.Н. СЕБ-моделирование и анализ характеристик неподвижных элементов проточной части центробежной компрессорной ступени / Л.Н. Маренина // Компрессорная техника и пневматика. - 2016. - № 3. - С. 27-35.

28. Соловьёва О.А. Математическая модель для расчета газодинамических характеристик

и оптимизации безлопаточных диффузоров центробежных компрессорных ступеней: дис. ... к.т.н. / О.А. Соловьёва. - СПб.: СПбПУ, 2018. - 162 с.

29. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика / Г.Н. Абрамович. - 4-е изд., испр. и дополнен. -М.: Наука, главная редакция физ.-мат. лит., 1976. - 888 с.

Design of centrifugal compressors by means of a universal modelling method

Yu.B. Galerkin1, A.F. Rekstin1*, A.A. Drozdov1, K.V. Soldatova1, O.A. Solovyeva1, Ye.Yu. Popova1

1 Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, Bld. 29, Polytekhnicheskaya street, St. Petersburg, 195251, Russian Federation * E-mail: rekstin2k7@mail.ru

Abstract. Authors suggest an end-to-end design system of the closed computer software. Its application results in a family of gas-dynamic compressor characteristics and a solid model of its flow channel. Two major stages of design procedure are considerably perfected, namely the initial one, and the final one including the election of an optimal solution.

Keywords: centrifugal compressor, design of gas dynamic characteristics, performance factor, computer simulation. References

1. LUNEV, A.T. Structure of a method for designing and testing flow channels of pressurizers aimed at pumping natural gas [Struktura metoda proyektirovaniya i ispytaniya protochnoy chasti nagnetateley dlya perekachivaniya prirodnogo gaza]. Kompressornaya Tekhnika iPnevmatika, 2001, no. 10, pp. 4-7. ISSN 2413-3035. (Russ).

2. LUNEV, A.T. Creation of high-efficient removable flow channels for centrifugal compressors of gas transmittal units [Razrabotka vysokoeffektivnykh smennykh protochnykh chastey tsentrobezhnykh kompressorov gazoperekachivayushchikh agregatov]. Candidate thesis (engineering). Kazan, Russia, 2005. (Russ.).

3. JAPIKSE, D. Design system development for turbomachinery (turbopump) designs and a decade beyond. In: JANNAF Conference, Cleveland, Ohio, July 15-17, 1998, pp. 263-275.

4. JAPIKSE, D., J. BITTER. Effective two-zone modeling of diffusers and return channel systems for radial and mixed-flow pumps and compressors. In: 11th International symposium on transport phenomena and dynamics of rotating machinery, Honolulu, 2006, vol. 2, pp. 511-520.

5. GALERKIN, Yu.B. Turbine compressors. Operation, calculation and design of a flow channel [Turbokompressory. Rabochiy protsess, raschet i proyektirovaniye protochnoy chasti]. Moscow: Informatsionno-izdatelskiy tsentr "KKhT", 2010. (Russ.).

6. GALERKIN, Yu.B. (ed.). Proceedings of the St. Petersburg State Polytechnic University scientific thought on compressor engineering [Trudy nauchnoy shkoly kompressorostroyeniya SPbGPU]. St. Petersburg: St. Petersburg State Polytechnic University, 2010. (Russ.).

7. VASILYEV, Yu.S., P.I. RODIONOV, M.I. SOKOLOVSKIY. High-performance new-generation centrifugal compressors. Scientific principals of computing, development of methods for optimal designing and mastering of commercial production [Vysokoeffektivnyye tsentrobezhnyye kompressory novogo pokoleniya. Nauchnyye osnovy rascheta, razrabotka metodov optimalnogo proyektirovaniya i osvoyeniye proizvodstva]. Nauka iPromyshlennostRossii, 2000, no. 10-11, pp. 78-85. (Russ.).

8. GALERKIN, Yu.B.,A.F. REKSTIN, K.V. SOLDATOVA, et al. Evolution ofthe turbine compressor engineering school at the Leningrad Polytechnic Institute - Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, results of collaboration with compressor engineers [Razvitiye nauchnoy shkoly turbokompressorostroyeniya LPI - SPbPU Petra Velikogo, rezultaty sotrudnichestva s kompressorostroitelyami]. In: Proc. of the 17th International scientific-technical conference, Kazan, May 2017, pp. 19-29. (Russ.).

9. SOLDATOVA, K.V. Creation of a new mathematical model for flow channels of centrifugal compressors and a data base of pattern cascades [Sozdaniye novoy matematicheskoy modeli protochnoy chasti tsentrobezhnykh kompressorov i bazy dannykh modelnykh stupeney]. Dr. thesis (engineering). Kazan National Research Technological University. St. Petersburg, 2017. (Russ.).

10. DROZDOV, A.A. A method for designing centrifugal compressors with axial-radial blade wheels [Metod proyektirovaniya tsentrobezhnykh kompressorov s oseradialnymi rabochimi kolesami]. Candidate thesis (engineering). Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University. St. Petersburg, 2016. (Russ.).

11. REKSTIN, A.F., V.B. SEMENOVSKIY, K.V. SOLDATOVA, et al. Specifics of simulating gas-dynamic characteristics of centrifugal compressors for turbo-expanding assemblies [Osobennosti modelirovaniya gazodinamicheskikh kharakteristik tsentrobezhnykh kompressorov turbodetandernykh agregatov]. Kompressornaya Tekhnika i Pnevmatika, 2018, no. 1, pp. 13-20. ISSN 2413-3035. (Russ.).

12. REKSTIN, A.F., B.V. BAKAYEV. Alternate designing of industrial centrifugal compressors using a simplified mathematical model [Variantnyye raschety promyshlennykh tsentrobezhnykh kompressorov na osnove uproshchennoy matematicheskoy modeli]. Nauchno-tekhnicheskiye vedomosti SPbPU. Yestestvennyye i Inzhenernyye Nauki, 2018, vol. 24, no. 4, pp. 24-38. ISSN 2542-1239. (Russ.). DOI: 10.18721/JEST.24403.

13. SELEZNEV, K.P., Yu.B. GALERKIN. Centrifugal compressors [Tsentrobezhnyye kompressory].Leningrad: Mashinostroyeniye, 1982. (Russ.).

14. POPOVA, Ye.Yu. Optimization of the major parameters of turbine cascades using mathematical simulation [Optimizatsiya osnovnykh parametrov stupeney turbomashin na osnove matematicheskogo modelirovaniya]. Candidate thesis (engineering). State Technical University. St. Petersburg: St. Petersburg State Polytechnic University, 1991. (Russ.).

15. REKSTIN, A.F., Ye.Yu. POPOVA, A.A. UTSEKHOVSKIY. Analysis of efficiency of centrifugal compressor stages using approximate algebraic equations [Analiz effektivnosti tsentrobezhnykh kompressornykh stupeney s pomoshchyu priblizhennykh algebraicheskikh uravneniy]. Kompressornaya Tekhnika i Pnevmatika, 2018, no. 1, pp. 33-40. ISSN 2413-3035. (Russ.).

16. RIS, V.F. Centrifugal compressor machines [Tsentrovezhnyye kompressornyye mashiny]. Leningrad: Mashinostroyeniye, 1964. (Russ.).

17. DEN, G.D. Flow mechanics in centrifugal compressors [Mekhanika potoka v tsentrobezhnykh kompressorakh]. Moscow: Mashinostroyeniye, 1973. (Russ.).

18. SHNEPP, V.B. Construction and design of centrifugal compressor machines [Konstruktsiya i raschet tsentrobezhnykh kompressornykh mashin]. Moscow: Mashinostroyeniye, 1995. (Russ.).

19. LIVSHITS, S.P. Aerodynamics of centrifugal compressor machines [Aerodinamika tsentrobezhnykh kompressornykh mashin]. Moscow-Leningrad: Mashinostroyeniye, 1966. (Russ.).

20. REKSTIN, A.F., Yu.B. GALERKIN. Specifics of prime designing low-power centrifugal compressor stages [Osobennosti pervichnogo proyektirovaniya maloraskhodnykh tsentrobezhnykh kompressornykh stupeney]. Vestnik Permskogo Natsionalnogo Issledovatelskogo Politekhnicheskogo Universiteta, 2018, vol. 20, no. 2, pp. 43-54. ISSN 2224-9354. (Russ.). DOI: 10.15593/2224-9877/2018.2.06.

21. REKSTIN, A.F., K.V. SOLDATOVA, Yu.B. GALERKIN. Verification of a simplified mathematical model of centrifugal compressor stages [Verifikatsiya uproshchennoy matematicheskoy modeli tsentrobezhnykh kompressornykh stupeney]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Mashinostroyeniye, 2018, no. 9(702), pp. 44-56. ISSN 0536-1044. (Russ.). DOI: 10.18698/0536-1044-2018-9-44-56.

22. SOROKES, J.M., D.A. NYE, N. D'ORSI, et al. Sidestream optimization through the use of computational fluid dynamics and model testing [online]. In: Proc. of the 29th Turbomachinery Symposium, 2000. DOI:10.21423/R1QS8R. Available from: https://pdfs.semanticscholar.org/41bb/e5276f815bd3c1335a78ec3 dc8ba1d0152b3.pdf?_ga=2.213176855.2072373788.1593339497-1550708036.1593339497

23. GALERKIN, Yu.B., A.F. REKSTIN, K.V. SOLDATOVA, et al. Alternative way to calculate a factor of theoretical head for a centrifugal compressor wheel [Alternativnyy sposob rascheta kharakteristiki koeffitsiyenta teoreticheskogo napora tsentrobezhnogo kompressornogo kolesa]. Kompressornaya Tekhnika iPnevmatika, 2016, no. 6, pp. 11-19. ISSN 2413-3035. (Russ.).

24. GALERKIN, Yu.B. Design challenges of flow channels for centrifugal natural gas compressors [Voprosy proyektirovaniya protochnoy chasti tsentrobezhnykh kompresorov prirodnogo gaza]. In: Compressing machinery and pneumatics in 21st century [Kompressornaya tekhnika i pnevmatika v XXI veke]: proc. of the International scientific-technical conference on compressor engineering, September 15-17 2004. Sumy, Ukrain: Sumy State University, 2004, vol. 2, pp. 166-188. (Russ.).

25. GALERKIN, Yu.B., O.A. SOLOVYEVA. Perfection of methods for designing vaneless diffusors of centrifugal compressor stages using computing experiments [Sovershenstvovaniye metodov rascheta bezlopatochnykh diffuzorov tsentrobezhnykh kompressornykh stupeney na osnove vychislitelnykh eksperimentov]. Pt. 1. Kompressornaya Tekhnika i Pnevmatika, 2014, no. 3, pp. 35-41. ISSN 2413-3035. (Russ.).

26. GALERKIN, Yu.B., O.A. SOLOVYEVA. Perfection of methods for designing vaneless diffusors of centrifugal compressor stages using computing experiments [Sovershenstvovaniye metodov rascheta bezlopatochnykh diffuzorov tsentrobezhnykh kompressornykh stupeney na osnove vychislitelnykh eksperimentov]. Pt. 2. Kompressornaya Tekhnika i Pnevmatika, 2014, no. 4, pp. 15-21. ISSN 2413-3035. (Russ.).

27. MARENINA, L.N. CDF-simulation and analysis of characteristics of fixed elements in a flow channel of a centrifugal compressor stage [CFD-modelirovaniye i analiz Charakteristik nepodvizhnykh elementov protochnoy chasti tsentrobezhnoy kompressornoy stupeni]. Kompressornaya Tekhnika i Pnevmatika, 2016, no. 3, pp. 27-35. ISSN 2413-3035. (Russ.).

28. SOLOVYEVA, O.A. Mathematical model for calculation of gas-dynamic characteristics and optimization of vaneless diffusors for centrifugal compressor stages [Matematicheskaya model dlya rascheta gazodinamicheskikh kharakteristik i optimizatsii bezlopatochnykh diffuzorov tsentrobezhnykh kompressornykh stupeney]. Candidate thesis (engineering). St. Petersburg: Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University, 2018. (Russ.).

29. ABRAMOVICH, G.N. Applied gas dynamics [Prikladnaya gazovaya dinamika]. 4th ed., revised. Moscow: Nauka, Chief editorial office of physical-mathematical literature, 1976. (Russ.).