CC BY
45
УДК 681.51.01:517.977.5
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПО ПОТЕРЯМ РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДОМ ПОСТОЯННОГО ТОКА С ПЕРЕМЕННЫМ МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ В СИСТЕМЕ ПРОГРАММИРОВАНИЯ СоБе8уз
Инж. НОВИКОВ С. О., канд. техн. наук, доц. ПАЩЕНКО А. В.
Белорусский национальный технический университет
Изменение момента инерции, характерное для манипуляторов, оказывает существенное влияние на характеристики привода с двигателем постоянного тока (ДПТ). Промышленный манипулятор определяется как автоматическая машина, стационарная или передвижная, состоящая из манипулятора и устройства программного управления для выполнения в производственном процессе двигательных и исполнительных функций. Устройство программного управления, под которым понимают способность заменять программу автоматически или с помощью человека, должно обладать перепрограммируемостью. В настоящее время основное внимание уделяется технологиям создания программного обеспечения для систем управления промышленной автоматикой, построенных на базе программируемых логических контроллеров (ПЛК) и практическому программированию на языках стандарта Международной электротехнической комиссии (МЭК) 61131-3. Сегодня наблюдается существенный рост потребности в современных инструментах производства и автоматики. Задачей прикладного программирования ПЛК является только реализация алгоритма управления конкретной машиной. Опрос входов и выходов контроллер осуществляет автоматически, вне зависимости от способа физического соединения. Эту работу выполняет системное программное обеспечение (ПО). В идеальном случае прикладной программист совершенно не интересуется, как подсоединены и где расположены датчики и исполнительные механизмы. Мало того, его работа не зависит от того, какой фирмы с каким контроллером он работает. Благодаря стандартизации языков программирования прикладная программа оказывается переносимой. Это означает, что ее можно использовать в любом ПЛК, поддерживающем данный стандарт. Наиболее полной версией программного обеспечения для ПЛК, реализующей требования стандарта МЭК 61131-3, является система исполнения СоБе8у8. Данное ПО - сегодня наиболее подходящее для моделирования и разработки алгоритмов систем управления и проведения полунатурных испытаний без привлечения реального объекта.
Состояние проблемы. Насущные требования сегодняшнего времени постоянно обращают наше внимание на проблемы энергосбережений, и неудивительно, что значительное количество современных научных исследований непосредственно связано с данной проблемой. Настоящее исследование направлено на оптимизацию работы электропривода с переменным моментом инерции. Все программное, созданное для решения рассматриваемой задачи, написано и реализовано в системе программирования СоБе8у8. В качестве математического аппарата, позволяющего,
по мнению автора, получить положительные результаты исследования, используется модифицированный принцип максимума [1].
Электроприводы современных машин и механизмов, особенно электроприводы роботов, работают с переменным моментом инерции. Модифицированный принцип максимума в сочетании с процедурой кусочно-непрерывной аппроксимации момента инерции позволяет строить оптимальный регулятор и для таких приводов.
Критерии качества управления и математическая модель. Рассмотрим оптимальное по потерям позиционное управление электроприводом постоянного тока. Момент нагрузки будем считать постоянным, а момент инерции J зависит от угла а.
Из уравнения для кинетической энергии привода получим уравнение равновесия моментов
d_ d а
О ^
V 2 у
(1)
или после преобразования:
J (а) dT = (а, v); dt
(2)
Цн(а, v) =
dJ
V 2 у
— + Ц. (3)
d а
Уравнения системы в этом случае будут иметь вид:
J (а) ^Т = Ц-Цн (а, v); (4)
dt
а(Т) = jvdt, T - const. (5)
о
Необходимо минимизировать потери в якоре
Т
Q = ji2vdt ^ min. (6)
Граничные условия при этом имеют вид:
v(0) = 0; v(T) = 0; а(0) = 0; а(Т) = а,. (7)
После замены аргумента t на V система уравнений привода примет вид:
dq J (а)/
d а (а, v)
(8)
& J (а)
(10)
& V Ц-Цн (а, V)
& а J(а)v
& V Ц-Цн (а, V)
Построим для системы (8)-(10) функцию Л. С. Понтрягина
н = (¥о?'2 + У + У2V) -1 (а) (11)
Ц-Цн (а, V) '
Уравнения для сопряженных переменных будут иметь вид:
& у0 _ дН & V дд '
& ^ _ дН
& V дt
Л.2\
& у2 дН у012 +у1 + у2 V
& ^^ да (Ц-Цн (а, V))
(а)
—^(Ц-Цн (а, V)) + а а
V 2 у
J (а)
& а
(12)
(13)
. (14)
Проведем ступенчатую (кусочно-непрерывную) аппроксимацию зависимости J(a), тогда нетрудно показать с учетом применения аппарата
обобщенных функций, что у2 также будет кусочно-постоянной с разрывами первого рода, определяемыми точками разрывов функции J (а). Поп дН „ лагая у0 = 0 из условия -= 0, определяем оптимальный закон измене-
д1
ния тока якоря
I* = цн (а, V) ±л/Ц^а~у) + у1Ту2у. (15)
Обозначим некоторую ступень постоянства J(a) и у2 индексом
а следующую за ней - индексом . + 1. Точки разрывов кусочно-постоянной функции J(а) от аргумента V не зависят. Поэтому гамильтониан в оптимальном процессе непрерывен. Исходя из этого приравниваем соответствующие индексы . и . + 1.
Для всех переменных в момент разрыва имеем
/■/2 + у, +У21 V] = н = н = +1*2 + У +У21+1 (16)
Ц. -Цн; (a, V) 7 7 +1 Ц*+! -Цн;+! (a, V) '
Из (16) с учетом выражения для тока получаем
= ±Г. (17)
Знак «+» соответствует участку разгона, а знак «-» - участку торможения.
Подставляя выражение для оптимального тока из (15) в (17) и решая данное уравнение относительно у2 у+1, получаем формулу для определения
у 2 у+1 в виде
V 2 у +1
' / (Цу+1 ] +!(«, —)) у /+1(Ц у (а, V))
Л
а2 + у +У2 — ) — ^+1 -У1
(18)
'у+1
Формулировка задачи. Зададимся, не теряя общности, конкретным
законом зависимости момента инерции, зависящего от пути ./(а), в виде
/ (а) = /0 +(кха + к2 а2)екза. (19)
Тогда для вычисления момента нагрузки цн (а, V) целесообразно использовать точную зависимость (17), поэтому из (6) и (7) имеем
цн (а, V) = ц0 +—+(2к2 +к1к3 )а + к2 к3а2 ^ екза.
(20)
Для получения конкретных результатов рассматривалась система уравнений (15), (18)-(20), которая моделировалась в системе программирования СоБе8у8 с использованием метода Эйлера. По результатам моделирования проводилось сопоставление полученных данных для двух случаев:
• оптимального управления током якоря в соответствии с уравнениями (15), (18), где у 2- величина, значение которой изменяется на каждом шаге вычислений и подставляется в (15);
• оптимального управления, по Ю. П. Петрову, при котором весовой множитель у2 принимается постоянным на всем интервале вычислений.
Пример компьютерного моделирования. Учитывая, что необходимо произвести полунатурные испытания ПЛК без использования реального объекта управления, в этом случае модель системы управления ДПТ с пропорционально-интегрально-дифференциальным (ПИД) регулятором будет выглядеть, как показано на рис. 1.
ор1
—N
Задатчик
оптималь-
ного про-
цесса
1
I
ПИД- Модель
регулятор ДПТ
Рис. 1. Модель системы управления с оптимальным задатчиком скорости и переменным моментом сопротивления
V
д
Оформим алгоритм вычислений оптимального процесса позиционирования (реализованный в блоке Convert, рис. 3) в виде следующей вычислительной процедуры:
1. Начало.
2. Ввод исходных данных и инициализация переменных проекта.
3. Вычисление моментов инерции и сопротивления, значения тока и скорости на п-м шаге.
4. Модификация значения угла для следующего шага.
5. Вычисление моментов инерции и сопротивления, значения тока и скорости, коэффициента у2 на (и + 1)-м шаге.
6. Подготовка вычислительной процедуры к следующему шагу вычислений.
7. Проверка условий окончания процедуры управления, если скорость еще больше нуля, то переход к шагу 3, иначе - к шагу 8.
8. Конец работы программного комплекса.
Модуль «Модель ДПТ» содержит описание математической модели ДПТ. Используем следующую систему уравнений для описания системы с ДПТ:
Uя = iя R + Ья ^;
dt
M = кд iя; d ю
J- = Mд Mc.
Решая данную систему уравнений и заменяя дифференциал разностными уравнениями в приращениях, получим следующую зависимость для вычисления скорости двигателя на п-м шаге дискретизации
(( - Мс )А ® п = Юп-1 +---•
Пример реализации данных процедур в системе программирования СоБе8у8 приведен на рис. 2.
В модуле «ПИД-регулятор» описывается в разностной форме ПИД закон управления
Y = Yn + кр s п -кг sn + kd s
п - 2>
где У - сигнал управления на п-м шаге; Уп-1 - сигнал управления на (п - 1)-м шаге; вп, вп-1, вп-2 - величины рассогласований между действительной и желаемой величинами скорости соответственно на п-м; (п - 1)-м и (п - 2)-м шагах. На вход этого блока также поданы: предельное задание по скорости; коэффициенты пропорциональный, интегральный и дифференциальный соответственно.
Асйоп 51ер9 (5Т) - нитей (РВ^С)
Г:=Т0 1 -Й* ♦аЖ)*аКА*ЕИР(Ь:_3 *аЖ):
Ч(_2+к_1*Ъ: ] *4Ж+Ь_21< _3 * 1Ж • аЖ ] )4 & ог_"1 ЕЯР (к
ШгМш;
рдг '1;=(11И-Ы)^ИЛ+1-Ь»г 1 щ
АШоп 51ер2 (5Т) - соптсй (РВ-5РС)
1111Л
□ 0003
0004
р:=И(т; Роип:=Ро1т+141*<Ы1;
.1СШПГОН ВЮСКссашй ШШРОТ ^
ЕШ)_ТМ щ
7АЬ_0иТРиТ х:ЕЕА1 =0; йсст_± КЕА1, йни^сДО: Б£А1:- 0; ЕН1)_УАК
¿□IX
......'вращения
Момент Тскяюри
Ншршнга
Щ
Э]щ>ятптшм постоянная
АШоп 5ЬерЗ (!
АсЬтп 51:ер4 (5
Ик:=-1:
0.75 кЕ^г: Ъькшшшшш дат «ель мгри ПЕ1:-100 МГ 1000 об йпин;
-
к,и И.ДЖгТГ
Ш
ШТ:ЕЕМ.:=0Б07; А1РА:ВШ:=0;
1Л1 :=М0 № _2 1 Г 1 +йЖ| 1 * ^ 1) ¿Ь ог_ор1* гЬ ЕКР(Ь; ; |
]:Ет,
Ьп.:=М1 фМИр511+5Ьоаг_ор1фр512; к:ШТ:=1;
-И
|т ЩЙ4
1ш:КЕА1; М0:Ы£А1,:=735; к 1:КЕАЬ:=1:
4 Асбсл 5[ер5 (5Т) - гатеК (РВ-5Р[)
ЫЧ*
рп1:ВШ-10№
..................р£±2: ЕЕАЬ:=-55^
ММЧЦВД »щи,!»
к»:КШ:=Ш: Ь4:КЕА1:=0 00328:
кШЫШЩ I: ЁЕАЬ:=0; 11:1т;
[1011] А1:КЕА1:-0;
Рис. 2. Фрагмент кода выполняемой программы в системе программирования СоБеБу8
при реализации модели ДПТ
Пример реализации ПИД-регулятора в СоБе8у8 приведен на рис. 3.
Рис. 3. Пример реализации ПИД-регулятора
В Ы В О Д Ы
В результате проведенных исследований и последующего моделирования системы управления с использованием математического аппарата модифицированного принципа максимума были получены вполне удовлетворительные результаты, подтверждающие теоретические предположения об актуальности применения данного метода с целью минимизации потерь при эксплуатации механизмов с переменными моментами инерции. После сравнения и анализа полученных данных для оптимального управления с использованием модифицированного принципа максимума с данными оптимального управления [2] нетрудно заметить преимущества модифицированного принципа максимума. За одно и то же время при отработке одинакового угла модифицированный принцип максимума с использованием описанной выше методики дает потери, меньшие на 7-13 %. Результаты моделирования приведены в табл. 1.
Таблица 1
Результаты моделирования процессов
Для случая PSI2 - const (оптимальный по Ю. П. Петрову процесс) Для случая РБ12 - уат (квазиоптимальный процесс)
PSI1 1005 3915
PSI2 -55,6 383,3
T (время) 0,231 0,231
а (угол) 2,79 2,66
Q (потери) 2848,12 2662,74
Эти данные полностью совпадают с результатами, полученными авторами ранее в [3, 4].
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. П а н а с ю к, В. И. Оптимальное управление в технических системах / В. И. Пана-сюк, В. Б. Ковалевский, Э. Д. Политыко. - Минск: Навука i тэхшка, 1990.
2. П е т р о в, Ю. П. Оптимальное управление электроприводом с учетом ограничения по нагреву / Ю. П. Петров. - Л.: Энергия, 1971.
3. П р и м е н е н и е модифицированного принципа максимума в задачах оптимального управления манипулятором с переменным моментом инерции / В. И. Панасюк [и др.]. -Свердловск, 1990.
4. П а н а с ю к, В. И. Модифицированный принцип максимума в задаче оптимального управления электроприводом с переменным моментом инерции / В. И. Панасюк, А. В. Пащенко, С. О. Новиков. - Львов, 1988.
Представлена кафедрой ПОВТ и АС Поступила 12.12.2008
